Równania kwadratowe z przykładami rozwiązań modulo. Moduł liczby (wartość bezwzględna liczby), definicje, przykłady, właściwości

Jednym z najtrudniejszych tematów dla studentów jest rozwiązywanie równań zawierających zmienną pod znakiem modułu. Zobaczmy na początek, z czym jest to związane? Dlaczego, na przykład, równania kwadratowe większość dzieci klika jak orzechy, ale przy tak dalekiej od najbardziej skomplikowanej koncepcji jak moduł ma tak wiele problemów?

Moim zdaniem wszystkie te trudności wiążą się z brakiem jasno sformułowanych reguł rozwiązywania równań z modułem. Tak, decydując równanie kwadratowe, uczeń wie na pewno, że najpierw musi zastosować wzór na dyskryminację, a następnie wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Ale co, jeśli w równaniu napotkamy moduł? Postaramy się jasno opisać wymagany plan działania dla przypadku, gdy równanie zawiera niewiadomą pod znakiem modułu. Dla każdego przypadku podajemy kilka przykładów.

Ale najpierw pamiętajmy definicja modułu. Tak więc moduł liczby a sam numer nazywa się if a nieujemna i -a jeśli liczba a mniej niż zero. Możesz napisać to tak:

|a| = a jeśli a ≥ 0 i |a| = -a jeśli a< 0

Mówiąc o geometrycznym znaczeniu modułu, należy pamiętać, że każda liczba rzeczywista odpowiada pewnemu punktowi na osi liczbowej - jej do koordynować. Tak więc moduł lub wartość bezwzględna liczby to odległość od tego punktu do początku osi liczbowej. Odległość jest zawsze podawana jako liczba dodatnia. Zatem moduł dowolnej liczby ujemnej jest liczbą dodatnią. Nawiasem mówiąc, nawet na tym etapie wielu uczniów zaczyna się mylić. W module może znajdować się dowolna liczba, ale wynik zastosowania modułu jest zawsze liczbą dodatnią.

Przejdźmy teraz do rozwiązywania równań.

1. Rozważ równanie postaci |x| = c, gdzie c jest liczbą rzeczywistą. Równanie to można rozwiązać za pomocą definicji modułu.

Wszystkie liczby rzeczywiste dzielimy na trzy grupy: większe od zera, mniejsze od zera, a trzecia grupa to liczba 0. Rozwiązanie zapisujemy w postaci diagramu:

(±c jeśli c > 0

Jeśli |x| = c, to x = (0 jeśli c = 0

(bez korzeni, jeśli z< 0

1) |x| = 5, ponieważ 5 > 0, to x = ±5;

2) |x| = -5, ponieważ -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, następnie x = 0.

2. Równanie postaci |f(x)| = b, gdzie b > 0. Aby rozwiązać to równanie, należy pozbyć się modułu. Robimy to tak: f(x) = b lub f(x) = -b. Teraz należy osobno rozwiązać każde z otrzymanych równań. Jeśli w pierwotnym równaniu b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, ponieważ 4 > 0, to

x + 2 = 4 lub x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, ponieważ 11 > 0, to

x 2 - 5 = 11 lub x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 bez pierwiastków

3) |x 2 – 5x| = -8 , ponieważ -osiem< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Równanie postaci |f(x)| = g(x). Zgodnie ze znaczeniem modułu, takie równanie będzie miało rozwiązania, jeśli: prawa część większe lub równe zero, tj. g(x) ≥ 0. Wtedy mamy:

f(x) = g(x) lub f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. To równanie będzie miało pierwiastki, jeśli 5x - 10 ≥ 0. Tu zaczyna się rozwiązywanie takich równań.

1. ODZ 5x – 10 ≥ 0

2. Rozwiązanie:

2x - 1 = 5x - 10 lub 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Połącz ODZ a rozwiązanie otrzymujemy:

Korzeń x \u003d 11/7 nie pasuje do O.D.Z., jest mniejszy niż 2, a x \u003d 3 spełnia ten warunek.

Odpowiedź: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. ODZ 1 - x 2 ≥ 0. Rozwiążmy tę nierówność metodą przedziałową:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rozwiązanie:

x - 1 \u003d 1 - x 2 lub x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 lub x = 1 x = 0 lub x = 1

3. Połącz roztwór i O.D.Z.:

Tylko pierwiastki x = 1 i x = 0 są odpowiednie.

Odpowiedź: x = 0, x = 1.

4. Równanie postaci |f(x)| = |g(x)|. Takie równanie jest równoważne następującym dwóm równaniom f(x) = g(x) lub f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. To równanie jest równoważne dwóm następującym:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 lub x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 lub x = 4 x = 2 lub x = 1

Odpowiedź: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Równania rozwiązywane metodą substytucji (zmiana zmiennej). Ten sposób rozwiązania najłatwiej wyjaśnić na konkretnym przykładzie. Dajmy więc równanie kwadratowe z modułem:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Według właściwości modułu x 2 = |x| 2 , więc równanie można przepisać w następujący sposób:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Zróbmy zmianę |x| = t ≥ 0, wtedy będziemy mieli:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy to t \u003d 1 lub t \u003d 5. Wróćmy do wymiany:

|x| = 1 lub |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odpowiedź: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Spójrzmy na inny przykład:

x 2 + |x| – 2 = 0. Przez właściwość modułu x 2 = |x| 2 , więc

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Zróbmy zmianę |x| = t ≥ 0, wtedy:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy, t \u003d -2 lub t \u003d 1. Wróćmy do wymiany:

|x| = -2 lub |x| = 1

Brak pierwiastków x = ± 1

Odpowiedź: x = -1, x = 1.

6. Innym rodzajem równań są równania o „złożonym” module. Takie równania obejmują równania, które mają „moduły w module”. Równania tego typu można rozwiązywać za pomocą właściwości modułu.

1) |3 – |x|| = 4. Postępujemy tak samo, jak w równaniach drugiego typu. Dlatego 4 > 0, to otrzymujemy dwa równania:

3 – |x| = 4 lub 3 – |x| = -4.

Wyraźmy teraz moduł x w każdym równaniu, wtedy |x| = -1 lub |x| = 7.

Rozwiązujemy każde z otrzymanych równań. W pierwszym równaniu nie ma pierwiastków, ponieważ -jeden< 0, а во втором x = ±7.

Odpowiedź x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Równanie to rozwiązujemy w podobny sposób:

3 + |x + 1| = 5 lub 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 lub x + 1 = -2. Nie ma korzeni.

Odpowiedź: x = -3, x = 1.

Jest również uniwersalna metoda rozwiązywanie równań z modułem. To jest metoda odstępów. Ale rozważymy to dalej.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Nie wybieramy matematyki jej zawód i wybiera nas.

Rosyjski matematyk Yu.I. Manin

Równania modulo

Najtrudniejszymi problemami do rozwiązania w matematyce szkolnej są równania zawierające zmienne pod znakiem modułu. Do udane rozwiązanie takich równań konieczna jest znajomość definicji i podstawowych właściwości modułu. Oczywiście studenci powinni posiadać umiejętności rozwiązywania tego typu równań.

Podstawowe pojęcia i właściwości

Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej oznaczone i jest zdefiniowany w następujący sposób:

Do proste właściwości moduł zawiera następujące relacje:

Notatka, że dwie ostatnie właściwości utrzymują się w dowolnym stopniu.

Również, jeśli , gdzie , to i

Bardziej złożone właściwości modułu, które można skutecznie wykorzystać do rozwiązywania równań z modułami, formułuje się za pomocą następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1.Dla wszelkich funkcji analitycznych oraz nierówności

Twierdzenie 2. Równość jest tym samym co nierówność.

Twierdzenie 3. Równość jest równoznaczne z nierównością.

Rozważ typowe przykłady rozwiązywania problemów na temat „Równania, zawierające zmienne pod znakiem modułu.

Rozwiązywanie równań z modułem

Najczęściej spotykane w matematyka szkolna metodą rozwiązywania równań z modułem jest metoda, w oparciu o rozbudowę modułową. Ta metoda jest ogólna, jednak w ogólnym przypadku jego zastosowanie może prowadzić do bardzo kłopotliwych obliczeń. W związku z tym uczniowie powinni być również świadomi innych, jeszcze skuteczne metody i metody rozwiązywania takich równań. W szczególności, musisz mieć umiejętności stosowania twierdzeń, podane w tym artykule.

Przykład 1 Rozwiązać równanie. (jeden)

Rozwiązanie. Równanie (1) zostanie rozwiązane metodą „klasyczną” – metodą rozbudowy modułów. W tym celu łamiemy oś liczbową kropki i interwały i rozważ trzy przypadki.

1. Jeżeli , to , , , a równanie (1) przyjmuje postać . Wynika stąd. Jednak tutaj , więc znaleziona wartość nie jest pierwiastkiem równania (1).

2. Jeśli , to z równania (1) otrzymujemy lub .

Od tego czasu pierwiastek równania (1).

3. Jeśli , wtedy równanie (1) przyjmuje postać lub . Zauważ, że .

Odpowiadać: , .

Rozwiązując poniższe równania z modułem, będziemy aktywnie wykorzystywać właściwości modułów w celu zwiększenia wydajności rozwiązywania takich równań.

Przykład 2 Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Od i to wynika z równania. Pod tym względem, , , i równanie staje się. Stąd otrzymujemy. Jednakże , więc oryginalne równanie nie ma pierwiastków.

Odpowiedź: bez korzeni.

Przykład 3 Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Od tego czasu . Jeśli następnie , i równanie staje się.

Stąd otrzymujemy .

Przykład 4 Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.Przepiszmy równanie w postaci równoważnej. (2)

Otrzymane równanie należy do równań typu .

Biorąc pod uwagę Twierdzenie 2, możemy stwierdzić, że równanie (2) jest równoważne nierówności . Stąd otrzymujemy .

Odpowiadać: .

Przykład 5 Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. To równanie ma postać. Dlatego , zgodnie z twierdzeniem 3, tutaj mamy nierówność lub .

Przykład 6 Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Załóżmy, że . Dlatego , wtedy dane równanie przyjmuje postać równania kwadratowego, (3)

gdzie . Ponieważ równanie (3) ma jednoznaczność pozytywny korzeń i wtedy . Stąd otrzymujemy dwa pierwiastki pierwotnego równania: oraz .

Przykład 7 Rozwiązać równanie. (4)

Rozwiązanie. Ponieważ równaniejest równoważne połączeniu dwóch równań: oraz , wtedy przy rozwiązywaniu równania (4) należy wziąć pod uwagę dwa przypadki.

1. Jeżeli , to lub .

Stąd otrzymujemy , i .

2. Jeżeli , to lub .

Od tego czasu .

Odpowiadać: , , , .

Przykład 8Rozwiązać równanie . (5)

Rozwiązanie. Od i wtedy . Stąd iz równania (5) wynika, że ​​i , tj. tutaj mamy układ równań

Jednak ten układ równań jest niespójny.

Odpowiedź: bez korzeni.

Przykład 9 Rozwiązać równanie. (6)

Rozwiązanie. Jeśli wyznaczymy a z równania (6) otrzymujemy

Lub . (7)

Ponieważ równanie (7) ma postać , równanie to jest równoważne nierówności . Stąd otrzymujemy . Od , wtedy lub .

Odpowiadać: .

Przykład 10Rozwiązać równanie. (8)

Rozwiązanie.Zgodnie z Twierdzeniem 1 możemy pisać

(9)

Uwzględniając równanie (8) dochodzimy do wniosku, że obie nierówności (9) zamieniają się w równości, tj. istnieje układ równań

Jednak według Twierdzenia 3 powyższy układ równań jest równoważny układowi nierówności

(10)

Rozwiązując układ nierówności (10) otrzymujemy . Ponieważ układ nierówności (10) jest równoważny równaniu (8), pierwotne równanie ma jeden pierwiastek .

Odpowiadać: .

Przykład 11. Rozwiązać równanie. (11)

Rozwiązanie. Niech i , wtedy równanie (11) implikuje równość .

Z tego wynika, że ​​i . Mamy więc tutaj system nierówności

Rozwiązaniem tego systemu nierówności są: oraz .

Odpowiadać: , .

Przykład 12.Rozwiązać równanie. (12)

Rozwiązanie. Równanie (12) zostanie rozwiązane metodą sukcesywnej rozbudowy modułów. Aby to zrobić, rozważ kilka przypadków.

1. Jeśli , to .

1.1. Jeśli , to i , .

1.2. Jeśli następnie . Jednakże , dlatego w tym przypadku równanie (12) nie ma pierwiastków.

2. Jeżeli , to .

2.1. Jeśli , to i , .

2.2. Jeśli , to i .

Odpowiadać: , , , , .

Przykład 13Rozwiązać równanie. (13)

Rozwiązanie. Ponieważ lewa strona równanie (13) jest nieujemne, wtedy i . W związku z tym , i równanie (13)

przyjmuje postać lub .

Wiadomo, że równanie jest równoważna kombinacji dwóch równań oraz , rozwiązanie które otrzymujemy,. Dlatego , wtedy równanie (13) ma jeden pierwiastek.

Odpowiadać: .

Przykład 14 Rozwiąż układ równań (14)

Rozwiązanie. Od i , wtedy i . Dlatego z układu równań (14) otrzymujemy cztery układy równań:

Pierwiastki powyższych układów równań są pierwiastkami układu równań (14).

Odpowiadać: ,, , , , , , .

Przykład 15 Rozwiąż układ równań (15)

Rozwiązanie. Od tego czasu . W związku z tym z układu równań (15) otrzymujemy dwa układy równań

Pierwiastkami pierwszego układu równań są i , az drugiego układu równań otrzymujemy i .

Odpowiadać: , , , .

Przykład 16 Rozwiąż układ równań (16)

Rozwiązanie. Z pierwszego równania układu (16) wynika, że ​​.

Od tego czasu . Rozważ drugie równanie systemu. Ponieważ, następnie , i równanie staje się, , lub .

Jeśli podstawimy wartośćdo pierwszego równania układu (16), a następnie lub .

Odpowiadać: , .

Do głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, związane z rozwiązywaniem równań, zawierające zmienne pod znakiem modułu, możesz doradzić przewodniki po studiach z listy polecanej literatury.

1. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na uczelnie techniczne / Wyd. MI. Scanavi. - M.: Świat i edukacja, 2013r. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: zadania o zwiększonej złożoności. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017 r. - 200 pkt.

3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017r. - 296 s.

Czy masz jakieś pytania?

Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Tochilkina Julia

W artykule przedstawiono różne metody rozwiązywania równań z modułem.

Ściągnij:

Zapowiedź:

Miejska budżetowa instytucja edukacyjna

„Szkoła średnia nr 59”

Równania modulo

Praca abstrakcyjna

Wykonywane Uczeń klasy 9

MBOU "Szkoła średnia nr 59", Barnauł

Tochilkina Julia

Kierownik

Zacharowa Ludmiła Władimirowna,

nauczyciel matematyki

MBOU "Szkoła średnia nr 59", Barnauł

Barnauł 2015

Wstęp

Jestem w dziewiątej klasie. W tym roku akademickim muszę zdać maturę na kurs szkoły podstawowej. Aby przygotować się do egzaminu, zakupiliśmy kolekcję Matematyki D. A. Maltseva. Stopień 9 Przeglądając kolekcję znalazłem równania zawierające nie tylko jeden, ale i kilka modułów. Nauczyciel wyjaśnił mi i moim kolegom z klasy, że takie równania nazywane są równaniami „zagnieżdżonymi modułami”. Ta nazwa wydawała nam się niezwykła, a rozwiązanie na pierwszy rzut oka dość skomplikowane. Tak powstał temat mojej pracy „Równania z modułem”. Postanowiłem zagłębić się w ten temat, zwłaszcza że przyda mi się on przy zdawaniu egzaminów końcowych. rok szkolny i myślę, że będzie to potrzebne w 10 i 11 klasie. Wszystko to decyduje o trafności wybranego przeze mnie tematu.

Cel :

1. Rozważać różne metody rozwiązywanie równań z modułem.
2. Naucz się rozwiązywać równania zawierające znak wartości bezwzględnej różnymi metodami

Do pracy nad tematem sformułowano następujące zadania:

Zadania:

1. Przestudiować materiał teoretyczny na temat „Moduł liczby rzeczywistej”.
2. Rozważ metody rozwiązywania równań i skonsoliduj wiedzę zdobytą przez rozwiązywanie problemów.
3. Zastosuj zdobytą wiedzę w rozwiązywaniu różnych równań zawierających znak modułu w liceum

Przedmiot studiów:metody rozwiązywania równań z modułem

Przedmiot badań:równania modulo

Metody badawcze:

Teoretyczny : studium literatury na temat badań;

Internet - informacja.

Analiza informacje uzyskane w badaniu literatury; wyniki uzyskane podczas rozwiązywania równań z modułem różne sposoby.

Porównanie sposoby rozwiązywania równań, przedmiot racjonalności ich wykorzystania w rozwiązywaniu różnych równań modułem.

„Zaczynamy myśleć, kiedy na coś wpadamy”. Paul Valerie.

1. Pojęcia i definicje.

Pojęcie „modułu” jest szeroko stosowane w wielu sekcjach szkolnego kursu matematyki, na przykład w badaniu błędów bezwzględnych i względnych przybliżonej liczby; w geometrii i fizyce badane są pojęcia wektora i jego długości (modułu wektora). Pojęcie modułu jest stosowane na kierunkach matematyki wyższej, fizyki i nauk technicznych studiowanych w szkołach wyższych.

Słowo „moduł” pochodzi od łacińskiego słowa „modulus”, które w tłumaczeniu oznacza „miara”. Słowo to ma wiele znaczeń i jest używane nie tylko w matematyce, fizyce i technologii, ale także w architekturze, programowaniu i innych naukach ścisłych.

Uważa się, że termin ten został zaproponowany przez Kotsa, ucznia Newtona. Znak modułowy został wprowadzony w XIX wieku przez Weierstrassa.

W architekturze moduł jest początkową jednostką miary ustaloną dla danego obiektu architektonicznego.

W inżynierii jest to termin używany w różne obszary technika, która służy do wyznaczania różnych współczynników i wielkości, na przykład modułu sprężystości, modułu zaangażowania ...

W matematyce moduł ma kilka znaczeń, ale potraktuję go jako wartość bezwzględną liczby.

Definicja1 : Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej a sam numer nazywa się if a ≥0 lub przeciwna liczba - co jeśli a moduł zero wynosi zero.

Rozwiązując równania za pomocą modułu, wygodnie jest korzystać z właściwości modułu.

Rozważ dowody 5,6,7 właściwości.

Stwierdzenie 5. Równość │ jest prawdziwe, jeśliśr ≥ 0.

Dowód. Rzeczywiście, po podniesieniu do kwadratu obu części tej równości otrzymujemy, │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ do │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², skąd │ ​​av │ = av

A ostatnia równość będzie prawdziwa dlaśr ≥0.

Stwierdzenie 6. Równość │ a-c │=│ a │+│ c │ jest prawdziwe, kiedyśr ≤0.

Dowód. Aby to udowodnić, wystarczy równość

│ a + w │=│ a │+│ w │ zastąp in przez - in, potem a (- in) ≥0, skąd av ≤0.

Stwierdzenie 7. Równość │ a │+│ in │= a + in wykonywane w a ≥0 i b ≥0.

Dowód . Biorąc pod uwagę cztery przypadki a ≥ 0 i b ≥ 0; a ≥0 i b a przy ≥0; a w a ≥0 i b ≥0.

(a-c) w ≥0.

Interpretacja geometryczna

|a| to odległość na linii współrzędnych od punktu ze współrzędną a , do początku współrzędnych.

|-a| |a|

A 0 za x

Interpretacja geometryczna znaczenia |a| wyraźnie potwierdza, że ​​|-a|=|a|

Jeśli 0, to na linii współrzędnych znajdują się dwa punkty a i -a, równoodległe od zera, których moduły są równe.

Jeżeli a=0, to na linii współrzędnych |a| reprezentowany przez punkt 0.

Definicja 2: Równanie z modułem to równanie zawierające zmienną pod znakiem wartości bezwzględnej (pod znakiem modułu). Na przykład: |x +3|=1

Definicja 3: Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że nie ma pierwiastków.

2. Metody rozwiązania

Z definicji i właściwości modułu wynikają główne metody rozwiązywania równań za pomocą modułu:

1. „Rozszerzenie” modułu (tj. za pomocą definicji);
2. Wykorzystanie geometrycznego znaczenia modułu (właściwość 2);
3. Metoda rozwiązania graficznego;
4. Użycie przekształceń równoważnych (właściwości 4.6);
5. Podstawianie zmiennych (używa właściwości 5).
6. metoda interwałowa.

Zdecydowałem wystarczająco duża liczba przykładów, ale w pracy przedstawiam państwu tylko kilka, moim zdaniem, typowych przykładów rozwiązywanych na różne sposoby, ponieważ reszta się powiela i aby zrozumieć, jak rozwiązywać równania z modułem, nie ma potrzeby rozważ wszystkie rozwiązane przykłady.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ | f(x)| = a

Rozważ równanie | f(x)| = a i R

Równanie tego rodzaju można rozwiązać definiując moduł:

Jeśli a wtedy równanie nie ma pierwiastków.

Jeśli a= 0, to równanie jest równoważne f(x)=0.

Jeśli a>0, to równanie jest równoważne zbiorowi

Przykład. Rozwiąż równanie |3x+2|=4.

Rozwiązanie.

|3x+2|=4, potem 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

Odpowiedź: -2;2/3.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ Z WYKORZYSTANIEM WŁAŚCIWOŚCI GEOMETRYCZNYCH MODUŁU.

Przykład 1 Rozwiąż równanie /x-1/+/x-3/=6.

Rozwiązanie.

Rozwiązanie tego równania oznacza znalezienie wszystkich takich punktów na osi liczbowej Ox, dla których suma odległości od niego do punktów o współrzędnych 1 i 3 jest równa 6.

Żaden z punktów na liniinie spełnia tego warunku, ponieważ suma podanych odległości wynosi 2. Poza tym segmentem znajdują się dwa punkty: 5 i -1.

1 1 3 5

Odpowiedź: -1;5

Przykład 2 Rozwiąż równanie |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Rozwiązanie.

Oznacz x 2 + x-5 \u003d a, a następnie / a / + / a-4 /=10. Znajdźmy takie punkty na osi x, że dla każdego z nich suma odległości do punktów o współrzędnych 0 i 4 jest równa 10. Warunek ten jest spełniony przez -4 i 7.

3 0 4 7

Więc x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Odpowiedź: -4; -2; jeden; 3.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ | f(x)| = | g(x)|.

1. Ponieważ | a |=|b |, jeśli a=b, to równanie postaci | f(x)| = | g(x )| jest równoznaczne z agregatem

Przykład 1.

Rozwiąż równanie | x–2| = |3 - x |.

Rozwiązanie.

To równanie jest równoważne dwóm równaniom:

x - 2 \u003d 3 - x (1) i x - 2 \u003d -3 + x (2)

2x = 5 -2 = -3 - niepoprawnie

X = 2,5 równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: 2.5.

Przykład 2

Rozwiąż równanie |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Rozwiązanie.

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, tokwadrat jest równoważną transformacją:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22) (2x 2 -18)=0,

6x-22=0 lub 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Odpowiedź: -3; 3; 11/3.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ WIDOKU | f(x)| = g(x).

Różnica między tymi równaniami i| f(x)| = a w tym, że prawa strona jest również zmienną. I może być zarówno pozytywny, jak i negatywny. Dlatego musisz upewnić się, że jest nieujemny, ponieważ moduł nie może być równy liczbie ujemnej (właściwość№1 )

1 sposób

Rozwiązanie równania | f(x)| = g(x ) sprowadza się do zbioru rozwiązań równańi sprawdzanie zasadności nierówności g(x )>0 dla znalezionych wartości nieznanego.

Dwukierunkowy (zgodnie z definicją modułu)

Ponieważ | f(x)| = g (x) jeśli f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) jeśli f(x)

Przykład.

Rozwiąż równanie |3 x –10| = x - 2.

Rozwiązanie.

To równanie jest równoważne połączeniu dwóch systemów:

Ot e t: 3; cztery.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ FORMY |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Rozwiązanie równań tego typu opiera się na definicji modułu. Dla każdej funkcji f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) należy znaleźć dziedzinę definicji, jej zera i punkty nieciągłości, dzieląc ogólną dziedzinę definicji na przedziały, w każdym z których funkcje f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) zachować swój znak. Dalej, korzystając z definicji modułu, dla każdego ze znalezionych obszarów otrzymujemy równanie, które należy rozwiązać na danym przedziale. Ta metoda nazywa się „metoda interwałowa»

Przykład.

Rozwiąż równanie |x-2|-3|x+4|=1.

Rozwiązanie.

Znajdźmy punkty, w których wyrażenia podmodułów są równe zero

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Podzielmy linię liczbową na przedziały x

Rozwiązanie równania sprowadza się do rozwiązania trzech układów:

Odpowiedź: -15, -1,8.

GRAFICZNA METODA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ ZAWIERAJĄCYCH ZNAK MODUŁU.

Graficzny sposób rozwiązywania równań jest przybliżony, ponieważ dokładność zależy od wybranego pojedynczego segmentu, grubości ołówka, kątów przecinania się linii itp. Ale ta metoda pozwala oszacować, ile rozwiązań ma dane równanie.

Przykład. Rozwiąż graficznie równanie |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Rozwiązanie. Skonstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| i y=9.

Aby zbudować wykres, rozważ ta funkcja na każdym przedziale (-∞; 2); [ 3/2 ; )

Odpowiedź: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Zastosowaliśmy również metodę przekształceń równoważnych w rozwiązywaniu równań | f(x)| = | g(x)|.

RÓWNANIA Z „MODUŁEM KOMPLEKSOWYM”

Innym rodzajem równań są równania o „złożonym” module. Takie równania obejmują równania, które mają „moduły w module”. Równania tego typu można rozwiązywać różnymi metodami.

Przykład 1

Rozwiąż równanie ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Rozwiązanie.

Z definicji modułu mamy:

Rozwiążmy pierwsze równanie.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Rozwiążmy drugie równanie.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 i | x | = 1,

x = 3; x = 1.

W dniu: 1; 3; 7.

Przykład 2

Rozwiąż równanie |2 – |x + 1|| = 3.

Rozwiązanie.

Rozwiążmy równanie wprowadzając nową zmienną.

Niech | x + 1| = y , to |2 – y | = 3, stąd

Zróbmy odwrotne podstawienie:

(1) | x + 1| = -1 - brak rozwiązań.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; cztery.

Przykład3 .

Ile pierwiastków ma równanie | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Rozwiązanie. Rozwiążmy równanie za pomocą schematów równoważności.

Równanie | 2 | x | -6 | = 5 -x jest odpowiednikiem systemu:

W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy wartość bezwzględna liczby. Podamy różne definicje modułu liczby, wprowadzimy notację i podamy ilustracje graficzne. Czyniąc to, rozważ różne przykłady znajdowanie modułu liczby z definicji. Następnie wymieniamy i uzasadniamy główne właściwości modułu. Na końcu artykułu porozmawiamy o tym, jak określa się i znajduje moduł liczby zespolonej.

Nawigacja po stronach.

Moduł liczby - definicja, zapis i przykłady

Najpierw wprowadzamy oznaczenie modułu. Moduł liczby a zapiszemy jako , czyli po lewej i prawej stronie liczby wstawimy pionowe linie tworzące znak modułu. Podajmy kilka przykładów. Na przykład modulo -7 można zapisać jako ; moduł 4,125 jest zapisany jako , a moduł jest zapisany jako .

Poniższa definicja modułu odnosi się do, a zatem do i do liczb całkowitych oraz do liczb wymiernych i niewymiernych, jako części składowych zbioru liczb rzeczywistych. Porozmawiamy o module liczby zespolonej w.

Definicja.

Moduł jest albo samą liczbą a, jeśli a jest liczbą dodatnią, albo liczbą −a , przeciwny numer a , jeśli a jest liczba ujemna lub 0, jeśli a=0 .

Dźwięczna definicja modułu liczby jest często zapisywana w następującej formie: , ten zapis oznacza, że ​​jeśli a>0 , jeśli a=0 i jeśli a<0 .

Rekord można przedstawić w bardziej zwartej formie . Ten zapis oznacza, że ​​jeśli (a jest większe lub równe 0 ) i jeśli a<0 .

Jest też rekord . Tutaj przypadek, w którym a=0 należy wyjaśnić osobno. W tym przypadku mamy , ale −0=0 , ponieważ zero jest uważane za liczbę przeciwną sobie.

Przynieśmy przykłady znajdowania modułu liczby z podaną definicją. Na przykład znajdźmy moduły liczb 15 i . Zacznijmy od znalezienia . Ponieważ liczba 15 jest dodatnia, jej moduł jest z definicji równy tej liczbie, czyli . Jaki jest moduł liczby? Ponieważ jest liczbą ujemną, to jej moduł jest równy liczbie przeciwnej do liczby, czyli liczbie . W ten sposób, .

Na zakończenie tego akapitu podajemy jeden wniosek, który jest bardzo wygodny do zastosowania w praktyce przy znajdowaniu modułu liczby. Z definicji modułu liczby wynika, że moduł liczby jest równy liczbie pod znakiem modułu, niezależnie od jego znaku, a z przykładów omówionych powyżej widać to bardzo wyraźnie. Stwierdzenie dźwięczne wyjaśnia, dlaczego moduł liczby jest również nazywany wartość bezwzględna liczby. Tak więc moduł liczby i wartość bezwzględna liczby są jednym i tym samym.

Moduł liczby jako odległość

Geometrycznie moduł liczby można interpretować jako dystans. Przynieśmy wyznaczanie modułu liczby w funkcji odległości.

Definicja.

Moduł jest odległością od początku na linii współrzędnych do punktu odpowiadającego liczbie a.

Definicja ta jest zgodna z definicją modułu liczby podaną w akapicie pierwszym. Wyjaśnijmy ten punkt. Odległość od początku do punktu odpowiadającego liczbie dodatniej jest równa tej liczbie. Zero odpowiada punktowi odniesienia, stąd odległość od punktu odniesienia do punktu o współrzędnej 0 jest równa zeru (żaden pojedynczy odcinek ani żaden odcinek stanowiący ułamek pojedynczego odcinka nie jest potrzebny, aby przejść z punktu O do punktu o współrzędna 0). Odległość od początku do punktu o ujemnej współrzędnej jest równa liczbie przeciwnej do współrzędnej danego punktu, ponieważ jest równa odległości od początku do punktu, którego współrzędna jest przeciwna.

Na przykład moduł liczby 9 wynosi 9, ponieważ odległość od początku do punktu o współrzędnej 9 wynosi dziewięć. Weźmy inny przykład. Punkt o współrzędnej -3,25 znajduje się w odległości 3,25 od punktu O, więc .

Brzmiona definicja modułu liczby jest szczególnym przypadkiem definiowania modułu różnicy dwóch liczb.

Definicja.

Moduł różnicowy dwóch liczb a i b są równe odległości między punktami linii współrzędnych o współrzędnych a i b .

To znaczy, jeśli dane są punkty na linii współrzędnych A(a) i B(b), to odległość od punktu A do punktu B jest równa modułowi różnicy między liczbami a i b. Jeśli przyjmiemy punkt O (punkt odniesienia) jako punkt B, to otrzymamy definicję modułu liczby podanej na początku tego paragrafu.

Wyznaczanie modułu liczby za pomocą arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Czasami znaleziony wyznaczanie modułu przez arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.

Na przykład obliczmy moduły liczb -30 i na podstawie tej definicji. Mamy . Podobnie obliczamy moduł dwóch trzecich: .

Definicja modułu liczby w postaci arytmetycznego pierwiastka kwadratowego jest również zgodna z definicją podaną w pierwszym akapicie tego artykułu. Pokażmy to. Niech a będzie liczbą dodatnią i niech −a będzie liczbą ujemną. Następnie oraz , jeśli a=0 , to .

Właściwości modułu

Moduł posiada szereg charakterystycznych wyników - właściwości modułu. Teraz podamy główne i najczęściej używane z nich. Uzasadniając te własności, będziemy opierać się na definicji modułu liczby jako odległości.

Zacznijmy od najbardziej oczywistej właściwości modułu − moduł liczby nie może być liczbą ujemną. W postaci dosłownej ta właściwość ma postać dowolnej liczby a . Ta właściwość jest bardzo łatwa do uzasadnienia: modułem liczby jest odległość, a odległość nie może być wyrażona jako liczba ujemna.

Przejdźmy do kolejnej właściwości modułu. Moduł liczby jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wynosi zero. Z definicji moduł zerowy wynosi zero. Zero odpowiada początkowi, żaden inny punkt na linii współrzędnych nie odpowiada zero, ponieważ każda liczba rzeczywista jest powiązana z pojedynczym punktem na linii współrzędnych. Z tego samego powodu każda liczba inna niż zero odpowiada punktowi innemu niż początek. A odległość od początku do dowolnego punktu innego niż punkt O nie jest równa zeru, ponieważ odległość między dwoma punktami jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy te punkty się pokrywają. Powyższe rozumowanie dowodzi, że tylko moduł zerowy jest równy zeru.

Pójść dalej. Liczby przeciwne mają równe moduły, czyli dla dowolnej liczby a . Rzeczywiście, dwa punkty na linii współrzędnych, których współrzędne są przeciwstawnymi liczbami, znajdują się w tej samej odległości od początku, co oznacza, że ​​moduły o przeciwnych liczbach są równe.

Następna właściwość modułu to: moduł iloczynu dwóch liczb jest równy iloczynowi modułów tych liczb, to znaczy, . Z definicji moduł iloczynu liczb a i b jest albo a b if , albo −(a b) if . Z reguł mnożenia liczb rzeczywistych wynika, że ​​iloczyn modułów liczb a i b jest równy albo a b , albo −(a b) , jeśli , co dowodzi rozważanej własności.

Moduł ilorazu dzielenia a przez b jest równy ilorazowi dzielenia modułu a przez moduł b, to znaczy, . Uzasadnijmy tę właściwość modułu. Ponieważ iloraz jest równy iloczynowi, to . Na mocy poprzedniej własności mamy . Pozostaje tylko użyć równości , która jest ważna ze względu na definicję modułu liczby.

Następująca właściwość modułu jest zapisana jako nierówność: , a , b i c to dowolne liczby rzeczywiste. Zapisana nierówność to nic innego jak nierówność trójkąta. Aby to wyjaśnić, weźmy punkty A(a) , B(b) , C(c) na linii współrzędnych i rozważmy zdegenerowany trójkąt ABC, którego wierzchołki leżą na tej samej linii. Z definicji moduł różnicy jest równy długości segmentu AB, - długości segmentu AC, oraz - długości segmentu CB. Ponieważ długość dowolnego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych dwóch boków, nierówność , zatem nierówność również się utrzymuje.

Udowodniona właśnie nierówność występuje znacznie częściej w formie . Nierówność pisemną traktuje się zwykle jako odrębną właściwość modułu ze sformułowaniem: „ Moduł sumy dwóch liczb nie przekracza sumy modułów tych liczb”. Ale nierówność wynika bezpośrednio z nierówności , jeśli wstawimy do niej −b zamiast b i przyjmiemy c=0 .

Moduł liczb zespolonych

Dajmy wyznaczanie modułu liczby zespolonej. Dajmy się Liczba zespolona, zapisany w formie algebraicznej , gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, reprezentującymi odpowiednio część rzeczywistą i urojoną danej liczby zespolonej z, i jest jednostką urojoną.

Termin (moduł) w dosłownym tłumaczeniu z łaciny oznacza „miarę”. Pojęcie to zostało wprowadzone do matematyki przez angielskiego naukowca R. Cotesa. A niemiecki matematyk K. Weierstrass wprowadził znak modułu - symbol, którym oznacza się to pojęcie podczas pisania.

Po raz pierwszy ta koncepcja jest badana w matematyce w ramach programu 6 klasy liceum. Według jednej definicji moduł jest wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. Innymi słowy, aby poznać moduł liczby rzeczywistej, musisz odrzucić jej znak.

Graficznie wartość bezwzględna a oznaczony jako |a|.

Główną cechą wyróżniającą to pojęcie jest to, że zawsze jest to wartość nieujemna.

Liczby, które różnią się od siebie tylko znakiem, nazywane są liczbami przeciwstawnymi. Jeśli wartość jest dodatnia, to jej przeciwieństwo jest ujemne, a zero jest własnym przeciwieństwem.

wartość geometryczna

Jeśli rozważymy pojęcie modułu z punktu widzenia geometrii, to będzie on oznaczał odległość mierzoną w odcinkach jednostkowych od początku do danego punktu. Definicja ta w pełni ujawnia geometryczne znaczenie badanego terminu.

Graficznie można to wyrazić w następujący sposób: |a| = O.A.

Właściwości wartości bezwzględnej

Poniżej rozważymy wszystkie matematyczne właściwości tego pojęcia i sposoby pisania w postaci wyrażeń dosłownych:

Cechy rozwiązywania równań z modułem

Jeśli mówimy o rozwiązywaniu równań matematycznych i nierówności zawierających moduł, to musisz pamiętać, że aby je rozwiązać, musisz otworzyć ten znak.

Na przykład, jeśli znak wartości bezwzględnej zawiera jakieś wyrażenie matematyczne, to przed otwarciem modułu należy wziąć pod uwagę aktualne definicje matematyczne.

|A+5| = A + 5 jeśli A jest większe lub równe zero.

5-A jeśli A jest mniejsze od zera.

W niektórych przypadkach znak może być jednoznacznie rozwinięty dla dowolnej wartości zmiennej.

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Skonstruujmy linię współrzędnych, na której zaznaczamy wszystkie wartości liczbowe, których wartość bezwzględna wyniesie 5.

Najpierw musisz narysować linię współrzędnych, wyznaczyć na niej początek współrzędnych i ustawić rozmiar pojedynczego segmentu. Ponadto linia musi mieć kierunek. Teraz na tej prostej należy nanieść oznaczenia, które będą równe wartości pojedynczego odcinka.

W ten sposób widzimy, że na tej linii współrzędnych będą dwa interesujące nas punkty o wartościach 5 i -5.