Wzór na sumę postępu algebraicznego. Postęp algebraiczny. Suma progresji algebraicznej - wzór

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.

Cele Lekcji:

rozwijanie i pogłębianie pomysłów uczniów na zadania rozwiązywane za pomocą progresji arytmetycznej; organizacja działalności poszukiwawczej uczniów przy wyprowadzaniu wzoru na sumę pierwszych n członów progresji arytmetycznej;
rozwijanie umiejętności samodzielnego zdobywania nowej wiedzy, wykorzystywania już zdobytej wiedzy do realizacji zadania;
rozwój chęci i potrzeby uogólniania uzyskanych faktów, rozwój niezależności.

Zadania:

uogólniać i usystematyzować istniejącą wiedzę na temat „Progresja arytmetyczna”;
wyprowadzać wzory do obliczania sumy pierwszych n członków progresji arytmetycznej;
nauczyć, jak stosować uzyskane formuły w rozwiązywaniu różnych problemów;
zwróć uwagę uczniów na procedurę ustalania wartości wyrażenia liczbowego.

Ekwipunek:

karty z zadaniami do pracy w grupach i parach;
praca ewaluacyjna;
prezentacja„Progresja arytmetyczna”.

I. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

1. Samodzielna praca w parach.

Pierwsza opcja:

Zdefiniuj postęp arytmetyczny. Zapisz rekurencyjną formułę, która definiuje postęp arytmetyczny. Podaj przykład ciągu arytmetycznego i wskaż różnicę.

Druga opcja:

Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź 100. wyraz postępu arytmetycznego ( jakiś}: 2, 5, 8 …
W tej chwili dwóch uczniów z tyłu tablicy przygotowuje odpowiedzi na te same pytania.
Uczniowie oceniają pracę partnera porównując ją z tablicą. (Ulotki z odpowiedziami są przekazywane).

2. Moment gry.

Ćwiczenie 1.

Nauczyciel. Wymyśliłem pewien postęp arytmetyczny. Zadaj mi tylko dwa pytania, aby po odpowiedziach móc szybko wymienić 7. członka tej progresji. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pytania od studentów.

Jaki jest szósty termin progresji i jaka jest różnica?
Jaki jest ósmy termin progresji i jaka jest różnica?

Jeśli nie ma więcej pytań, nauczyciel może je stymulować - „zakaz” na d (różnicę), czyli nie wolno pytać, jaka jest różnica. Możesz zadawać pytania: jaki jest 6 termin progresji, a jaki 8 termin progresji?

Zadanie 2.

Na tablicy zapisanych jest 20 liczb: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nauczyciel stoi tyłem do tablicy. Uczniowie wypowiadają numer numeru, a nauczyciel natychmiast dzwoni pod sam numer. Wyjaśnij, jak mogę to zrobić?

Nauczyciel pamięta formułę n-tego semestru n \u003d 3n - 2 i podstawiając podane wartości n, znajduje odpowiednie wartości jakiś .

II. Zestawienie zadania edukacyjnego.

Proponuję rozwiązać stary problem z II tysiąclecia p.n.e., znaleziony w egipskich papirusach.

Zadanie:„Niech ci powiedzą: podziel 10 miar jęczmienia między 10 osób, różnica między każdą osobą a jego sąsiadem wynosi 1/8 miary”.

Jak ten problem ma się do tematu progresji arytmetycznej? (Każda następna osoba dostaje 1/8 miary więcej, więc różnica wynosi d=1/8, 10 osób, czyli n=10.)
Jak myślisz, co oznacza liczba 10? (Suma wszystkich członków progresji.)
Co jeszcze musisz wiedzieć, aby łatwo i łatwo podzielić jęczmień według stanu problemu? (Pierwszy termin progresji.)

Cel lekcji- uzyskanie zależności sumy terminów progresji od ich liczby, pierwszego terminu i różnicy oraz sprawdzenie, czy problem został poprawnie rozwiązany w starożytności.

Zanim wyprowadzimy wzór, zobaczmy, jak starożytni Egipcjanie rozwiązali ten problem.

I rozwiązali to tak:

1) 10 miar: 10 = 1 miara - średni udział;
2) 1 takt ∙ = 2 takty - podwojone przeciętny dzielić.
podwojony przeciętny udział jest sumą udziałów 5. i 6. osoby.
3) 2 miary - 1/8 miary = 1 7/8 miarek - dwukrotność udziału piątej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - udział piątego; i tak dalej, możesz znaleźć udział każdej poprzedniej i kolejnej osoby.

Otrzymujemy sekwencję:

III. Rozwiązanie zadania.

1. Praca w grupach

I grupa: Znajdź sumę 20 kolejnych liczb naturalnych: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ogólnie

II grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 100 (Legenda Małego Gaussa).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Wniosek:

III grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 21.

Rozwiązanie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Wniosek:

IV grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 101.

Wniosek:

Ta metoda rozwiązywania rozważanych problemów nazywana jest „metodą Gaussa”.

2. Każda grupa prezentuje na tablicy rozwiązanie problemu.

3. Uogólnienie proponowanych rozwiązań dla dowolnego ciągu arytmetycznego:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, za n-2 , za n-1 , za n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Znajdujemy tę sumę, argumentując podobnie:

4. Czy rozwiązaliśmy zadanie?(TAk.)

IV. Podstawowe zrozumienie i zastosowanie otrzymanych wzorów w rozwiązywaniu problemów.

1. Sprawdzenie rozwiązania starego problemu według wzoru.

2. Zastosowanie wzoru w rozwiązywaniu różnych problemów.

3. Ćwiczenia kształtujące umiejętność stosowania formuły w rozwiązywaniu problemów.

A) nr 613

Dany :( oraz n) - postęp arytmetyczny;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Odnaleźć: S 1500

Rozwiązanie: , i 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Biorąc pod uwagę: ( oraz n) - postęp arytmetyczny;
(i n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Odnaleźć: n
Rozwiązanie:

V. Niezależna praca z wzajemną weryfikacją.

Denis poszedł do pracy jako kurier. W pierwszym miesiącu jego pensja wynosiła 200 rubli, w każdym kolejnym zwiększała się o 30 rubli. Ile zarobił w ciągu roku?

Dany :( oraz n) - postęp arytmetyczny;
a 1 = 200, d=30, n=12
Odnaleźć: S 12
Rozwiązanie:

Odpowiedź: Denis otrzymał 4380 rubli za rok.

VI. Instrukcja pracy domowej.

p. 4.3 - poznaj wyprowadzenie wzoru.
№№ 585, 623 .
Skomponuj problem, który zostanie rozwiązany za pomocą wzoru na sumę pierwszych n członów ciągu arytmetycznego.

VII. Podsumowanie lekcji.

1. Arkusz wyników

2. Kontynuuj zdania

Dziś na zajęciach nauczyłam się...
Wyuczone formuły...
Myślę, że …

3. Czy potrafisz znaleźć sumę liczb od 1 do 500? Jakiej metody użyjesz, aby rozwiązać ten problem?

Bibliografia.

1. Algebra, 9 klasa. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych. Wyd. G.V. Dorofiejewa. Moskwa: Oświecenie, 2009.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie "nie bardzo..."
I dla tych, którzy "bardzo...")

Postęp arytmetyczny to seria liczb, w której każda liczba jest większa (lub mniejsza) od poprzedniej o tę samą wartość.

Ten temat jest często trudny i niezrozumiały. Indeksy literowe, n-ty element progresji, różnica progresji - wszystko to jest trochę mylące, tak ... Ustalmy znaczenie progresji arytmetycznej i wszystko od razu się ułoży.)

Pojęcie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny to bardzo prosta i przejrzysta koncepcja. Wątpić? Na próżno.) Przekonaj się sam.

Napiszę niedokończoną serię liczb:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Czy możesz przedłużyć tę linię? Jakie liczby pójdą dalej, po pięciu? Wszyscy… uh…, w skrócie, wszyscy zorientują się, że liczby 6, 7, 8, 9 itd. pójdą dalej.

Skomplikujmy zadanie. Podaję niedokończoną serię liczb:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Możesz złapać wzór, rozszerzyć serię i nazwę siódmy Numer wiersza?

Jeśli zorientowałeś się, że ta liczba to 20 - gratuluję! Nie tylko czułeś kluczowe punkty progresji arytmetycznej, ale także z powodzeniem wykorzystywał je w biznesie! Jeśli nie rozumiesz, czytaj dalej.

Teraz przełóżmy kluczowe punkty z wrażeń na matematykę.)

Pierwszy kluczowy punkt.

Postęp arytmetyczny zajmuje się szeregami liczb. Na początku jest to mylące. Jesteśmy przyzwyczajeni do rozwiązywania równań, budowania wykresów i tak dalej… A potem wydłużamy szereg, odnajdujemy numer szeregu…

W porządku. Tyle, że progresje są pierwszą znajomością nowej gałęzi matematyki. Sekcja nazywa się „Seria” i działa z seriami liczb i wyrażeń. Przyzwyczaić się do tego.)

Drugi kluczowy punkt.

W ciągu arytmetycznym dowolna liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.

W pierwszym przykładzie ta różnica jest jedna. Niezależnie od tego, jaki numer wybierzesz, jest o jeden więcej niż poprzedni. W drugim - trzy. Każda liczba jest trzykrotnie większa niż poprzednia. Właściwie to właśnie ten moment daje nam możliwość wyłapania wzoru i obliczenia kolejnych liczb.

Trzeci kluczowy punkt.

Ten moment nie jest uderzający, owszem… Ale bardzo, bardzo ważny. Tutaj jest: każdy numer progresji jest na swoim miejscu. Jest pierwsza liczba, siódma, czterdziesta piąta i tak dalej. Jeśli je pomylisz przypadkowo, wzór zniknie. Zniknie również postęp arytmetyczny. To tylko seria liczb.

To jest cały punkt.

Oczywiście w nowym temacie pojawiają się nowe terminy i notacja. Muszą wiedzieć. W przeciwnym razie nie zrozumiesz zadania. Na przykład musisz zdecydować coś takiego:

Zapisz pierwsze sześć wyrazów postępu arytmetycznego (a n), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.

Czy to inspiruje?) Litery, jakieś indeksy... A przy okazji zadanie nie mogło być prostsze. Musisz tylko zrozumieć znaczenie terminów i notacji. Teraz opanujemy tę sprawę i wrócimy do zadania.

Terminy i oznaczenia.

Postęp arytmetyczny to seria liczb, w której każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.

Ta wartość nazywa się . Zajmijmy się tą koncepcją bardziej szczegółowo.

Różnica progresji arytmetycznej.

Różnica progresji arytmetycznej to kwota, o jaką dowolna liczba progresji jeszcze Poprzedni.

Jeden ważny punkt. Proszę zwrócić uwagę na słowo "jeszcze". Matematycznie oznacza to, że otrzymuje się każdą liczbę progresji dodawanie różnica postępu arytmetycznego w stosunku do poprzedniej liczby.

Aby obliczyć, powiedzmy druga numery rzędu, konieczne jest pierwszy numer Dodaj ta właśnie różnica postępu arytmetycznego. Do obliczeń piąty- różnica jest konieczna Dodaj do czwarty dobrze, itp.

Różnica progresji arytmetycznej może pozytywny wtedy każda liczba w serii okaże się prawdziwa więcej niż poprzedni. Ta progresja nazywa się wzrastający. Na przykład:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tutaj każdy numer jest dodawanie liczba dodatnia, +5 do poprzedniej.

Różnica może być negatywny wtedy każda liczba w serii będzie mniej niż poprzedni. Ta progresja nazywa się (nie uwierzysz!) maleje.

Na przykład:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tutaj też uzyskuje się każdą liczbę dodawanie do poprzedniej, ale już ujemnej liczby, -5.

Nawiasem mówiąc, podczas pracy z progresją bardzo przydatne jest natychmiastowe określenie jej charakteru - czy rośnie, czy maleje. Bardzo pomaga odnaleźć się w decyzji, wykryć błędy i poprawić je, zanim będzie za późno.

Różnica progresji arytmetycznej zwykle oznaczany literą d.

Jak znaleźć d? Bardzo prosta. Należy odjąć od dowolnej liczby serii poprzedni numer. Odejmować. Nawiasem mówiąc, wynik odejmowania nazywa się „różnicą”.)

Zdefiniujmy na przykład d dla rosnącego postępu arytmetycznego:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Bierzemy dowolną liczbę rzędu, na przykład 11. Odejmij od tego poprzedni numer tych. osiem:

To jest prawidłowa odpowiedź. W przypadku tego postępu arytmetycznego różnica wynosi trzy.

Możesz po prostu wziąć dowolna ilość progresji, dlatego dla określonej progresji d-zawsze to samo. Przynajmniej gdzieś na początku rzędu, przynajmniej w środku, przynajmniej gdziekolwiek. Nie możesz wziąć tylko pierwszego numeru. Tylko dlatego, że pierwsza liczba brak poprzedniego.)

Przy okazji, wiedząc o tym d=3, znalezienie siódmej liczby tego progresji jest bardzo proste. Do piątej liczby dodajemy 3 - otrzymujemy szóstą, będzie 17. Do szóstej dodajemy trzy, otrzymujemy siódmą liczbę - dwadzieścia.

Zdefiniujmy d dla malejącego ciągu arytmetycznego:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Przypominam, że niezależnie od znaków, do ustalenia d potrzebne z dowolnej liczby zabierz poprzedni. Wybieramy dowolną liczbę progresji, np. -7. Jego poprzednia liczba to -2. Następnie:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Różnica w postępie arytmetycznym może być dowolną liczbą: całkowitą, ułamkową, niewymierną, dowolną.

Inne terminy i oznaczenia.

Każda liczba w serii nazywa się członek progresji arytmetycznej.

Każdy członek progresji ma swój numer. Liczby są ściśle uporządkowane, bez żadnych sztuczek. Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty itd. Na przykład w progresji 2, 5, 8, 11, 14, ... dwa to pierwszy członek, pięć to drugi, jedenaście to czwarty, cóż, rozumiesz ...) Proszę jasno zrozumieć - same liczby może być absolutnie dowolny, cały, ułamkowy, ujemny, cokolwiek, ale numeracja- ściśle w porządku!

Jak napisać progresję w formie ogólnej? Nie ma problemu! Każda liczba w serii jest zapisana jako litera. Do oznaczenia postępu arytmetycznego używa się z reguły litery a. Numer członka wskazuje indeks w prawym dolnym rogu. Członkowie są oddzieleni przecinkami (lub średnikami), tak:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1 to pierwsza liczba 3- trzeci itd. Nic trudnego. Możesz napisać tę serię w skrócie tak: (jakiś).

Są progresje skończony i nieskończony.

ostateczny progresja ma ograniczoną liczbę członków. Pięć, trzydzieści osiem, cokolwiek. Ale to skończona liczba.

Nieskończony progresja - ma nieskończoną liczbę członków, jak można się domyślić.)

Możesz napisać ostateczną progresję poprzez serię taką jak ta, wszystkich członków i kropkę na końcu:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

Lub tak, jeśli jest wielu członków:

1 , 2 , ... 14 , 15 .

W krótkim wpisie będziesz musiał dodatkowo wskazać liczbę członków. Na przykład (dla dwudziestu członków), tak:

(a n), n = 20

Nieskończony postęp można rozpoznać po wielokropku na końcu rzędu, tak jak w przykładach z tej lekcji.

Teraz możesz już rozwiązywać zadania. Zadania są proste, służą wyłącznie do zrozumienia znaczenia postępu arytmetycznego.

Przykłady zadań dla progresji arytmetycznej.

Przyjrzyjmy się bliżej powyższemu zadaniu:

1. Zapisz pierwszych sześć elementów ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.

Przekładamy zadanie na zrozumiały język. Biorąc pod uwagę nieskończony postęp arytmetyczny. Znana jest druga liczba tej progresji: a 2 = 5. Znana różnica progresji: d = -2,5. Musimy znaleźć pierwszego, trzeciego, czwartego, piątego i szóstego członka tego postępu.

Dla jasności napiszę serię zgodnie ze stanem problemu. Pierwszych sześciu członków, gdzie drugi członek to pięciu:

1 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....

3 = 2 + d

Zastępujemy w wyrażeniu a 2 = 5 oraz d=-2,5. Nie zapomnij o minusie!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trzeci termin to mniej niż drugi. Wszystko jest logiczne. Jeśli liczba jest większa niż poprzednia negatywny wartość, więc sama liczba będzie mniejsza niż poprzednia. Progresja maleje. Dobrze, weźmy to pod uwagę.) Rozważamy czwartego członka naszej serii:

4 = 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + d

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Tak więc obliczono terminy od trzeciego do szóstego. Zaowocowało to serią:

1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Pozostaje znaleźć pierwszy termin 1 według znanego drugiego. Jest to krok w przeciwnym kierunku, w lewo). Stąd różnica w postępie arytmetycznym d nie należy dodawać do 2, a na wynos:

1 = 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To wszystko. Odpowiedź na zadanie:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na marginesie zauważam, że rozwiązaliśmy to zadanie nawracający droga. To straszne słowo oznacza jedynie poszukiwanie członka progresji przez poprzednią (sąsiadującą) liczbę. Inne sposoby pracy z progresją zostaną omówione później.

Z tego prostego zadania można wyciągnąć jeden ważny wniosek.

Pamiętać:

Jeśli znamy co najmniej jednego członka i różnicę postępu arytmetycznego, możemy znaleźć dowolnego członka tego progresji.

Pamiętać? Ten prosty wniosek pozwala nam rozwiązać większość problemów kursu szkolnego na ten temat. Wszystkie zadania obracają się wokół trzech głównych parametrów: członek progresji arytmetycznej, różnica progresji, liczba członków progresji. Wszystko.

Oczywiście cała poprzednia algebra nie jest anulowana.) Nierówności, równania i inne rzeczy są dołączone do progresji. Ale zgodnie z postępem- wszystko kręci się wokół trzech parametrów.

Rozważmy na przykład kilka popularnych zadań na ten temat.

2. Zapisz końcowy ciąg arytmetyczny jako szereg, jeśli n=5, d=0,4 i a 1=3,6.

Tutaj wszystko jest proste. Wszystko jest już dane. Musisz pamiętać, jak obliczane są, liczone i zapisywane elementy progresji arytmetycznej. Wskazane jest, aby nie pomijać słów w warunku zadania: „końcowy” i „ n=5". Aby nie liczyć, dopóki nie będziesz całkowicie niebieski na twarzy.) W tej progresji jest tylko 5 (pięciu) członków:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Pozostaje napisać odpowiedź:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Kolejne zadanie:

3. Określ, czy liczba 7 będzie elementem progresji arytmetycznej (a n) if 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto wie? Jak coś zdefiniować?

Jak-jak... Tak, zapisz progresję w postaci serii i zobacz, czy będzie siódemka, czy nie! Wierzymy:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

3 \u003d 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz wyraźnie widać, że mamy dopiero siedem lat Prześlizgnął się od 6,5 do 7,7! Siódemka nie znalazła się w naszym szeregu liczb, a zatem siódemka nie będzie członkiem danego progresji.

Odpowiedź: nie.

A oto zadanie oparte na prawdziwej wersji GIA:

4. Wypisuje się kilku kolejnych członków ciągu arytmetycznego:

...; piętnaście; X; 9; 6; ...

Oto seria bez końca i początku. Bez numerów członkowskich, bez różnicy d. W porządku. Aby rozwiązać problem, wystarczy zrozumieć znaczenie postępu arytmetycznego. Zobaczmy i zobaczmy, co możemy wiedzieć z tej linii? Jakie są parametry trzech głównych?

Numery członkowskie? Nie ma tu ani jednej liczby.

Ale są trzy liczby i - uwaga! - słowo "kolejny" w stanie. Oznacza to, że liczby są ściśle uporządkowane, bez przerw. Czy w tym rzędzie są dwa? sąsiedni znane numery? Tak jest! Są to 9 i 6. Możemy więc obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego! Odejmujemy od sześciu poprzedni numer, tj. dziewięć:

Pozostały puste miejsca. Jaka liczba będzie poprzednią dla x? Piętnaście. Tak więc x można łatwo znaleźć przez proste dodawanie. Do 15 dodaj różnicę postępu arytmetycznego:

To wszystko. Odpowiadać: x=12

Sami rozwiązujemy następujące problemy. Uwaga: te łamigłówki nie są przeznaczone do formuł. Wyłącznie dla zrozumienia znaczenia postępu arytmetycznego.) Po prostu zapisujemy serię cyfr-liter, patrzymy i myślimy.

5. Znajdź pierwszy dodatni wyraz postępu arytmetycznego, jeśli a 5 = -3; d = 1,1.

6. Wiadomo, że liczba 5,5 należy do ciągu arytmetycznego (a n), gdzie a 1 = 1,6; d = 1,3. Określ liczbę n tego terminu.

7. Wiadomo, że w ciągu arytmetycznym a 2 = 4; 5 \u003d 15.1. Znajdź 3 .

8. Wypisuje się kilku kolejnych członków progresji arytmetycznej:

...; 15,6; X; 3.4; ...

Znajdź termin progresji, oznaczony literą x.

9. Pociąg ruszył ze stacji, stopniowo zwiększając prędkość o 30 metrów na minutę. Jaka będzie prędkość pociągu za pięć minut? Podaj odpowiedź w km/h.

10. Wiadomo, że w ciągu arytmetycznym a 2 = 5; a 6 = -5. Znajdź 1.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; cztery.

Wszystko się udało? Wspaniale! Możesz nauczyć się postępu arytmetycznego na wyższym poziomie w kolejnych lekcjach.

Nie wszystko się udało? Nie ma problemu. W Sekcji Specjalnej 555 wszystkie te problemy są rozbite na kawałki.) I oczywiście opisana jest prosta praktyczna technika, która natychmiast podkreśla rozwiązanie takich zadań jasno, wyraźnie, jak w twojej dłoni!

Nawiasem mówiąc, w zagadce o pociągu pojawiają się dwa problemy, na które ludzie często się potykają. Jeden - czysto progresywny, a drugi - wspólny dla wszystkich zadań z matematyki, a także fizyki. To jest tłumaczenie wymiarów z jednego na drugi. Pokazuje, jak te problemy należy rozwiązywać.

W tej lekcji zbadaliśmy elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i jego główne parametry. To wystarczy, aby rozwiązać prawie wszystkie problemy na ten temat. Dodać d do liczb, napisz serię, wszystko będzie rozstrzygnięte.

Rozwiązanie palcowe sprawdza się dobrze w przypadku bardzo krótkich fragmentów serii, tak jak w przykładach w tej lekcji. Jeśli seria jest dłuższa, obliczenia stają się bardziej skomplikowane. Na przykład, jeśli w pytaniu w problemie 9, zamień "pięć minut" na „trzydzieści pięć minut” problem stanie się znacznie gorszy.)

Są też zadania, które są w istocie proste, ale całkowicie absurdalne pod względem obliczeń, na przykład:

Dany ciąg arytmetyczny (a n). Znajdź 121, jeśli 1 =3 i d=1/6.

A co, dodamy 1/6 wiele, wiele razy?! Czy można się zabić!?

Możesz.) Jeśli nie znasz prostej formuły, dzięki której możesz rozwiązać takie zadania w minutę. Ta formuła będzie w następnej lekcji. I tam ten problem jest rozwiązany. W minutę.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Instrukcja

Postęp arytmetyczny to ciąg postaci a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numer d krok progresje.Oczywiście suma dowolnego n-tego członu arytmetyki progresje ma postać: An = A1+(n-1)d. Następnie znając jednego z członków progresje, członek progresje i krok progresje, może być , czyli liczba terminu progresji. Będzie to oczywiście określone wzorem n = (An-A1+d)/d.

Niech m-ty termin będzie już znany progresje i jakiś inny członek progresje- n-ty, ale n , jak w poprzednim przypadku, ale wiadomo, że n i m nie pasują.Krok progresje można obliczyć za pomocą wzoru: d = (An-Am)/(n-m). Wtedy n = (An-Am+md)/d.

Jeśli suma kilku elementów arytmetyki progresje, a także jego pierwszy i ostatni , to można również określić liczbę tych elementów. progresje będzie równa: S = ((A1+An)/2)n. Wtedy n = 2S/(A1+An) to chdenov progresje. Korzystając z faktu, że An = A1+(n-1)d, wzór ten można przepisać jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z tego można wyrazić n, rozwiązując równanie kwadratowe.

Ciąg arytmetyczny to taki uporządkowany zbiór liczb, którego każdy człon, z wyjątkiem pierwszego, różni się od poprzedniego o taką samą wielkość. Ta stała nazywana jest różnicą progresji lub jej kroku i może być obliczona na podstawie znanych elementów progresji arytmetycznej.

Instrukcja

Jeśli wartości pierwszego i drugiego lub dowolnej innej pary sąsiednich składników są znane z warunków problemu, aby obliczyć różnicę (d), po prostu odejmij poprzedni składnik od następnego. Wynikowa wartość może być dodatnia lub ujemna - zależy to od tego, czy progresja rośnie. W postaci ogólnej napisz rozwiązanie dla dowolnej pary (aᵢ i aᵢ₊₁) sąsiednich elementów progresji w następujący sposób: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Dla pary członków takiej progresji, z których jeden jest pierwszym (a₁), a drugi jest dowolnym innym dowolnie wybranym, można również sporządzić wzór na znalezienie różnicy (d). Jednak w tym przypadku musi być znany numer seryjny (i) dowolnie wybranego członka ciągu. Aby obliczyć różnicę, dodaj obie liczby i podziel wynik przez liczbę porządkową dowolnego wyrazu pomniejszoną o jeden. Ogólnie zapisz ten wzór w następujący sposób: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jeżeli oprócz dowolnego elementu ciągu arytmetycznego o liczbie porządkowej i, znany jest inny element o liczbie porządkowej u, zmień odpowiednio wzór z poprzedniego kroku. W tym przypadku różnica (d) progresji będzie sumą tych dwóch wyrazów podzieloną przez różnicę ich liczb porządkowych: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Wzór na obliczenie różnicy (d) staje się nieco bardziej skomplikowany, jeśli w warunkach zadania wartość jego pierwszego członu (a₁) i suma (Sᵢ) danej liczby (i) pierwszych członów podano ciąg arytmetyczny. Aby uzyskać żądaną wartość, podziel sumę przez liczbę składników, które ją utworzyły, odejmij wartość pierwszej liczby w sekwencji i podwój wynik. Podziel otrzymaną wartość przez liczbę składników składających się na sumę pomniejszoną o jeden. Ogólnie zapisz wzór na obliczenie dyskryminatora w następujący sposób: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Jeśli każda liczba naturalna n dopasuj liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że dane sekwencja liczb :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , jakiś , . . . .

Tak więc sekwencja liczbowa jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer a 1 nazywa pierwszy członek ciągu , numer a 2 — drugi członek ciągu , numer a 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś nazywa n-ty członek ciągu , a liczba naturalna n — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś oraz jakiś +1 sekwencje członków jakiś +1 nazywa późniejszy (w stronę jakiś ), a jakiś — poprzedni (w stronę jakiś +1 ).

Aby określić sekwencję, musisz określić metodę, która pozwoli Ci znaleźć element sekwencji o dowolnej liczbie.

Często sekwencja jest podawana z formuły n-tego terminu , czyli formuła, która pozwala określić element sekwencji na podstawie jego numeru.

Na przykład,

ciąg dodatnich liczb nieparzystych można podać wzorem

jakiś= 2n- 1,

i kolejność naprzemiennych 1 oraz -1 - formuła

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekwencja może być określona powtarzająca się formuła, to jest formuła, która wyraża dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, aż do poprzednich (jednego lub więcej) elementów.

Na przykład,

jeśli a 1 = 1 , a jakiś +1 = jakiś + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wtedy pierwsze siedem członów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał oraz nieskończony .

Sekwencja nazywa się ostateczny jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony jeśli ma nieskończenie wielu członków.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jej członków, począwszy od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja nazywa się zanikający , jeśli każdy z jej członków, począwszy od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . jest sekwencją rosnącą;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . jest sekwencją malejącą. ◄

Ciąg, którego elementy nie maleją wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie, nie rosną, nazywa się monotonna sekwencja .

W szczególności sekwencje monotoniczne są sekwencjami rosnącymi i sekwencjami malejącymi.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny wywoływana jest sekwencja, której każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodaje się tę samą liczbę.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , jakiś, . . .

jest ciągiem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + d,

gdzie d - jakaś liczba.

Zatem różnica między następnymi a poprzednimi elementami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - a 1 = 3 - a 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = d.

Numer d nazywa różnica postępu arytmetycznego.

Aby ustalić ciąg arytmetyczny, wystarczy określić jego pierwszy termin i różnicę.

Na przykład,

jeśli a 1 = 3, d = 4 , to pierwsze pięć wyrazów ciągu znajduje się w następujący sposób:

1 =3,

2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Dla progresji arytmetycznej z pierwszym terminem a 1 i różnica d ją n

jakiś = 1 + (n- 1)d.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz progresji arytmetycznej

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)d,

jakiś= 1 + (n- 1)d,

jakiś +1 = a 1 + znaleźć,

to oczywiście

jakiś=	a n-1 + a n+1
	2

każdy element progresji arytmetycznej, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzedniego i kolejnych elementów.

Liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.

Na przykład,

jakiś = 2n- 7 , to postęp arytmetyczny.

Użyjmy powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

W konsekwencji,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = jakiś,
2		2

◄

Zauważ, że n -ty element ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez a 1 , ale także wszelkie poprzednie K

jakiś = K + (n- k)d.

Na przykład,

dla a 5 można napisać

5 = 1 + 4d,

5 = 2 + 3d,

5 = 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

jakiś = n-k + kd,

jakiś = n+k - kd,

to oczywiście

jakiś=	a n-k + a n+k
	2

każdy członek postępu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy połowie sumy członków tego postępu arytmetycznego w równych odstępach od niego.

Ponadto dla każdego ciągu arytmetycznego równość jest prawdziwa:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, dlatego

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ jakiś,

pierwszy n elementy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów przez liczbę wyrazów:

Z tego w szczególności wynika, że jeśli konieczne jest zsumowanie warunków

K, K +1 , . . . , jakiś,

wtedy poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podano ciąg arytmetyczny, to ilości a 1 , jakiś, d, n orazS n połączone dwiema formułami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, wówczas odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości są określane z tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny to ciąg monotoniczny. W którym:

jeśli d > 0 , to wzrasta;
jeśli d < 0 , to maleje;
jeśli d = 0 , to sekwencja będzie nieruchoma.

Postęp geometryczny

postęp geometryczny wywoływany jest ciąg, którego każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony:

b n +1 = b n · q,

gdzie q ≠ 0 - jakaś liczba.

Zatem stosunek następnego wyrazu tego postępu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numer q nazywa mianownik postępu geometrycznego.

Aby ustawić ciąg geometryczny, wystarczy podać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

jeśli b 1 = 1, q = -3 , to pierwsze pięć wyrazów ciągu znajduje się w następujący sposób:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i mianownik q ją n -ty termin można znaleźć według wzoru:

b n = b 1 · q n -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

to oczywiście

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

każdy element postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) poprzedniego i kolejnych elementów.

Ponieważ odwrotność jest również prawdziwa, obowiązuje następujące twierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną pozostałych dwóch.

Na przykład,

udowodnijmy, że ciąg podany wzorem b n= -3 2 n , to postęp geometryczny. Użyjmy powyższego stwierdzenia. Mamy:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

W konsekwencji,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

co potwierdza wymagane twierdzenie. ◄

Zauważ, że n Termin postępu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez b 1 , ale także dowolny poprzedni termin b k , dla którego wystarczy zastosować wzór

b n = b k · q n - k.

Na przykład,

dla b 5 można napisać

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

to oczywiście

b n 2 = b n - k· b n + k

kwadrat dowolnego elementu postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy iloczynowi elementów tego postępu w równej odległości od niego.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego równość jest prawdziwa:

bm· b n= b k· b ja,

m+ n= k+ ja.

Na przykład,

wykładniczo

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , dlatego

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pierwszy n elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem q ≠ 0 obliczona według wzoru:

I kiedy q = 1 - według wzoru

S n= n.b. 1

Zauważ, że jeśli musimy zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b n,

wtedy stosuje się wzór:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na przykład,

wykładniczo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podano postęp geometryczny, to ilości b 1 , b n, q, n oraz S n połączone dwiema formułami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości są określane na podstawie tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym terminem b 1 i mianownik q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :

progresja rośnie, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

b 1 > 0 oraz q> 1;

b 1 < 0 oraz 0 < q< 1;

Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

b 1 > 0 oraz 0 < q< 1;

b 1 < 0 oraz q> 1.

Jeśli q< 0 , to postęp geometryczny ma charakter naprzemienny: jego wyrazy o nieparzystych numerach mają ten sam znak co jego pierwszy wyraz, a wyrazy o numerach parzystych mają znak przeciwny. Oczywiste jest, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszego n warunki postępu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny

Nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny nazywa się nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy niż 1 , to znaczy

|q| < 1 .

Zauważ, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być ciągiem malejącym. To pasuje do przypadku

1 < q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego nazwij numer, do którego suma pierwszego n warunki progresji z nieograniczonym wzrostem liczby n . Liczba ta jest zawsze skończona i wyraża się wzorem

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek między postępami arytmetycznymi i geometrycznymi

Progresje arytmetyczne i geometryczne są ze sobą ściśle powiązane. Rozważmy tylko dwa przykłady.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , następnie

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą 2 oraz

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . to postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . to postęp geometryczny z mianownikiem q , następnie

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięq .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . to postęp geometryczny z mianownikiem 6 oraz

LG 2, LG 12, LG 72, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą LG 6 . ◄

Problemy z postępem arytmetycznym istniały od czasów starożytnych. Pojawili się i zażądali rozwiązania, ponieważ mieli praktyczną potrzebę.

Tak więc w jednym z papirusów starożytnego Egiptu, który ma treść matematyczną - papirus Rhinda (XIX w. p.n.e.) - zawiera następujące zadanie: podzielić dziesięć miar chleba na dziesięć osób, pod warunkiem, że różnica między nimi wynosi jeden ósma miary.

A w pracach matematycznych starożytnych Greków są eleganckie twierdzenia związane z postępem arytmetycznym. Tak więc Hypsicles z Aleksandrii (II wiek, który zebrał wiele interesujących problemów i dodał czternastą księgę do "Elementów" Euklidesa), sformułował ideę: "W ciągu arytmetycznym o parzystej liczbie członków suma członków drugiej połowy jest większa niż suma członków pierwszego o kwadrat 1/2 członków.

Sekwencja an jest oznaczona. Numery ciągu nazywane są jego członami i są zwykle oznaczane literami z indeksami wskazującymi numer seryjny tego członu (a1, a2, a3 ... brzmi: „a 1.”, „a 2.”, „a 3. ” i tak dalej ).

Sekwencja może być nieskończona lub skończona.

Co to jest postęp arytmetyczny? Rozumie się przez to otrzymanie przez dodanie poprzedniego wyrazu (n) o tej samej liczbie d, która jest różnicą progresji.

Jeśli d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, to taki postęp uważa się za rosnący.

Mówi się, że postęp arytmetyczny jest skończony, jeśli weźmie się pod uwagę tylko kilka jego pierwszych wyrazów. Przy bardzo dużej liczbie członków jest to już nieskończony postęp.

Każdy postęp arytmetyczny jest podany według następującego wzoru:

an =kn+b, podczas gdy b i k to niektóre liczby.

Stwierdzenie, które jest odwrotne, jest absolutnie prawdziwe: jeśli ciąg jest podany podobnym wzorem, to jest to dokładnie ciąg arytmetyczny, który ma właściwości:

Każdy członek progresji jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego członka.
Wręcz przeciwnie: jeżeli począwszy od drugiego, każdy termin jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego, tj. jeśli warunek jest spełniony, to podana sekwencja jest ciągiem arytmetycznym. Równość ta jest jednocześnie oznaką progresji, dlatego zwykle nazywa się ją charakterystyczną właściwością progresji.
W ten sam sposób twierdzenie, które odzwierciedla tę właściwość, jest prawdziwe: ciąg jest postępem arytmetycznym tylko wtedy, gdy ta równość jest prawdziwa dla któregokolwiek z członków ciągu, zaczynając od drugiego.

Charakterystyczną właściwość dla dowolnych czterech liczb postępu arytmetycznego można wyrazić wzorem an + am = ak + al, jeśli n + m = k + l (m, n, k są liczbami postępu).

W ciągu arytmetycznym każdy niezbędny (N-ty) wyraz można znaleźć, stosując następujący wzór:

Na przykład: pierwszy składnik (a1) w ciągu arytmetycznym jest dany i wynosi trzy, a różnica (d) wynosi cztery. Musisz znaleźć czterdziesty piąty termin tego progresji. a45 = 1+4(45-1)=177

Formuła an = ak + d(n - k) pozwala wyznaczyć n-ty element ciągu arytmetycznego przez dowolny k-ty element, pod warunkiem, że jest znany.

Suma członków progresji arytmetycznej (przy założeniu pierwszych n członków progresji końcowej) jest obliczana w następujący sposób:

Sn = (a1+an) n/2.

Jeśli znany jest również pierwszy termin, do obliczenia wygodna jest inna formuła:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma progresji arytmetycznej, która zawiera n wyrazów, jest obliczana w następujący sposób:

Wybór formuł do obliczeń zależy od warunków zadania i danych początkowych.

Szereg naturalny dowolnych liczb, takich jak 1,2,3,...,n,... jest najprostszym przykładem postępu arytmetycznego.

Oprócz postępu arytmetycznego istnieje również ciąg geometryczny, który ma swoje właściwości i cechy.