Rozwiązywanie proporcji w kalkulatorze ułamków zwykłych. Jak obliczyć procent kwoty za pomocą proporcji

Jeden procent to setna część liczby. Pojęcia tego używa się, gdy konieczne jest określenie stosunku części do całości. Ponadto kilka wartości można porównać w procentach, ale pamiętaj o wskazaniu, w odniesieniu do której liczby całkowitej obliczane są wartości procentowe. Przykładowo wydatki są o 10% wyższe od dochodów lub cena biletów kolejowych wzrosła o 15% w porównaniu do taryf z ubiegłego roku. Liczba procentowa powyżej 100 oznacza, że proporcja jest większa od całości, co często ma miejsce w obliczeniach statystycznych.

Procent jako koncepcja finansowa- zapłata pożyczkobiorcy na rzecz pożyczkodawcy za udostępnienie pieniędzy na czasowe wykorzystanie. W biznesie powszechne jest określenie „praca dla zysku”. Rozumie się w tym wypadku, że wysokość wynagrodzenia uzależniona jest od zysku lub obrotu (prowizji). Nie da się obejść bez obliczania procentów w rachunkowości, biznesie i bankowości. Aby uprościć obliczenia, opracowano internetowy kalkulator odsetek.

Kalkulator pozwala obliczyć:

Procent ustawionej wartości.
Procent kwoty (podatek od rzeczywistego wynagrodzenia).
Procent różnicy (VAT od ).
I wiele więcej...

Rozwiązując problemy za pomocą kalkulatora procentowego, trzeba operować trzema wartościami, z których jedna jest nieznana (zmienna jest obliczana na podstawie podanych parametrów). Scenariusz obliczeń należy wybrać w oparciu o określone warunki.

Przykłady obliczeń

1. Obliczanie procentu liczby

Aby znaleźć liczbę stanowiącą 25% z 1000 rubli, potrzebujesz:

1000 × 25 / 100 = 250 rub.
Lub 1000 × 0,25 = 250 rubli.

Aby obliczyć za pomocą zwykłego kalkulatora, należy pomnożyć 1000 przez 25 i nacisnąć przycisk %.

2. Definicja liczby całkowitej (100%)

Wiemy, że 250 rub. wynosi 25% pewnej liczby. Jak to obliczyć?

Zróbmy prostą proporcję:

250 rubli. - 25%
Y pocierać. - 100%
Y = 250 × 100 / 25 = 1000 rub.

3. Procent między dwiema liczbami

Powiedzmy, że oczekiwano zysku w wysokości 800 rubli, ale otrzymaliśmy 1040 rubli. Jaki jest procent nadwyżki?

Proporcja będzie taka:

800 rubli. - 100%
1040 rubli – Y%
Y = 1040 × 100 / 800 = 130%

Przekroczenie planu zysku wynosi 30%, czyli spełnienie wynosi 130%.

4. Kalkulacja nie opiera się na 100%

Przykładowo sklep składający się z trzech działów przyjmuje 100% klientów. Na dziale spożywczym – 800 osób (67%), na dziale chemii gospodarczej – 55. Jaki procent klientów trafia do działu chemii gospodarczej?

Proporcja:

800 odwiedzających – 67%
55 gości – Y%
Y = 55 × 67 / 800 = 4,6%

5. O ile procent jedna liczba jest mniejsza od drugiej?

Cena produktu spadła z 2000 do 1200 rubli. O ile procent spadła cena produktu lub o jaki procent 1200 jest mniej niż 2000?

2 000 - 100 %
1200 – Y%
Y = 1200 × 100 / 2000 = 60% (60% do cyfry 1200 z 2000)
100% - 60% = 40% (liczba 1200 jest o 40% mniejsza niż 2000)

6. O ile procent jedna liczba jest większa od drugiej?

Wynagrodzenie wzrosło z 5000 do 7500 rubli. O ile procent wzrosła pensja? Jaki procent 7500 jest większy od 5000?

5000 rubli. - 100%
7500 rubli. - Y%
Y = 7500 × 100 / 5000 = 150% (w liczbach 7500 150% z 5000)
150% - 100% = 50% (liczba 7500 jest o 50% większa niż 5000)

7. Zwiększ liczbę o określony procent

Cena produktu S przekracza 1000 rubli. o 27%. Jaka jest cena produktu?

1000 rubli. - 100%
S - 100% + 27%
S = 1000 × (100 + 27) / 100 = 1270 rub.

Kalkulator online znacznie upraszcza obliczenia: należy wybrać rodzaj obliczeń, wprowadzić liczbę i procent (w przypadku obliczania procentu drugą liczbę), wskazać dokładność obliczenia i wydać polecenie rozpoczęcia działania.

Podczas ostatniej lekcji wideo przyglądaliśmy się rozwiązywaniu problemów związanych z procentami za pomocą proporcji. Następnie, zgodnie z warunkami zadania, musieliśmy znaleźć wartość tej lub innej wielkości.

Tym razem zostały nam już podane wartości początkowe i końcowe. Dlatego problemy będą wymagały znalezienia wartości procentowych. Dokładniej, o ile procent zmieniła się ta lub inna wartość. Spróbujmy.

Zadanie. Trampki kosztują 3200 rubli. Po podwyżce ceny zaczęły kosztować 4000 rubli. O ile procent wzrosła cena tenisówek?

Zatem rozwiązujemy poprzez proporcję. Pierwszy krok - pierwotna cena wynosiła 3200 rubli. Dlatego 3200 rubli to 100%.

Poza tym jest nam dane Cena ostateczna- 4000 rubli. Jest to nieznany procent, więc nazwijmy go x. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

3200 — 100%
4000 - x%

Cóż, stan problemu jest zapisany. Zróbmy proporcję:

Ułamek po lewej stronie doskonale kasuje się o 100: 3200: 100 = 32; 4000:100 = 40. Alternatywnie możesz go skrócić o 4:32:4 = 8; 40: 4 = 10. Otrzymujemy następującą proporcję:

Skorzystajmy z podstawowej własności proporcji: iloczynu ekstremalni członkowie równy iloczynowi średnich. Otrzymujemy:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Jest to powszechne równanie liniowe. Stąd znajdujemy x:

x = 1000: 8 = 125

Zatem otrzymaliśmy końcowy procent x = 125. Ale czy liczba 125 jest rozwiązaniem problemu? Nie ma mowy! Zadanie polega bowiem na ustaleniu, o ile procent wzrosła cena sneakersów.

O jaki procent - oznacza to, że musimy znaleźć zmianę:

∆ = 125 − 100 = 25

Otrzymaliśmy 25% – o tyle wzrosła pierwotna cena. Oto odpowiedź: 25.

Zadanie B2 dotyczące procentów nr 2

Przejdźmy do drugiego zadania.

Zadanie. Koszula kosztowała 1800 rubli. Po obniżce ceny zaczął kosztować 1530 rubli. O ile procent obniżono cenę koszuli?

Przetłumaczmy ten warunek na język matematyczny. Oryginalna cena wynosi 1800 rubli - to 100%. A ostateczna cena to 1530 rubli - wiemy, ale nie wiemy, jaki to procent pierwotnej wartości. Dlatego oznaczamy to przez x. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

1800 — 100%
1530 - x%

Na podstawie otrzymanego zapisu tworzymy proporcję:

Aby uprościć dalsze obliczenia, podzielmy obie strony tego równania przez 100. Innymi słowy, skreślimy dwa zera z licznika lewego i prawego ułamka. Otrzymujemy:

Skorzystajmy teraz ponownie z podstawowej własności proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Pozostaje tylko znaleźć x:

x = 1530: 18 = (765 2): (9 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Otrzymaliśmy x = 85. Jednak podobnie jak w poprzednim zadaniu, liczba ta sama w sobie nie jest odpowiedzią. Wróćmy do naszego stanu. Teraz już wiemy, że nowa cena uzyskana po obniżce wynosi 85% starej. Aby znaleźć zmiany, potrzebujesz starej ceny, tj. 100% należy odjąć nową cenę tj. 85%. Otrzymujemy:

∆ = 100 − 85 = 15

Ta liczba będzie odpowiedzią: Uwaga: dokładnie 15, a w żadnym wypadku 85. To wszystko! Problem jest rozwiązany.

Uważni uczniowie zapewne zapytają: dlaczego w pierwszym zadaniu, szukając różnicy, odjęliśmy liczbę początkową od liczby końcowej, a w drugim zadaniu dokładnie odwrotnie: od początkowych 100% odjęliśmy końcowe 85%?

Wyjaśnijmy sobie tę kwestię. Formalnie w matematyce zmiana ilości jest zawsze różnicą między wartością końcową a wartością początkową. Innymi słowy, w drugim zadaniu powinniśmy otrzymać nie 15, ale -15.

Jednak ten minus w żadnym wypadku nie powinien być uwzględniany w odpowiedzi, ponieważ jest już uwzględniony w warunkach pierwotnego problemu. Mówi wprost o obniżce ceny. A obniżka ceny o 15% jest równoznaczna ze wzrostem ceny o -15%. Dlatego w rozwiązaniu i odpowiedzi na problem wystarczy po prostu napisać 15 - bez żadnych minusów.

To wszystko, mam nadzieję, że sobie z tym poradziliśmy. Na tym zakończymy naszą dzisiejszą lekcję. Do zobaczenia!

Dziś kontynuujemy serię lekcji wideo poświęconych problemom dotyczącym procentów z Unified State Examination z matematyki. W szczególności przeanalizujemy dwa bardzo realne problemy z egzaminu Unified State Exam i po raz kolejny przekonamy się, jak ważne jest dokładne zapoznanie się z warunkami problemu i poprawna jego interpretacja.

Zatem pierwsze zadanie:

Zadanie. Tylko 95% i 37 500 miejskich absolwentów rozwiązało poprawnie zadanie B1. Ile osób rozwiązało poprawnie zadanie B1?

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że jest to jakieś zadanie dla czapek. Tak jak:

Zadanie. Na drzewie siedziało 7 ptaków. 3 z nich odleciały. Ile ptaków odleciało?

Niemniej jednak nadal liczymy. Rozwiążemy metodą proporcji. Mamy więc 37 500 studentów – to 100%. Jest też pewna liczba x uczniów, która stanowi 95% tych szczęśliwców, którzy poprawnie rozwiązali zadanie B1. Zapiszmy to:

37 500 — 100%
X-95%

Musisz zrobić proporcję i znaleźć x. Otrzymujemy:

Mamy przed sobą klasyczną proporcję, jednak zanim skorzystamy z głównej własności i pomnożymy ją krzyżowo, proponuję podzielić obie strony równania przez 100. Innymi słowy, skreślmy dwa zera w liczniku każdego ułamka. Przepiszmy powstałe równanie:

Zgodnie z podstawową własnością proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. Innymi słowy:

x = 375 95

To jest ładne duże liczby, więc musisz je pomnożyć w kolumnie. Przypomnę, że używanie kalkulatora na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki jest surowo zabronione. Otrzymujemy:

x = 35625

Całkowita odpowiedź: 35 625 Dokładnie tyle osób z pierwotnych 37 500 rozwiązało poprawnie zadanie B1. Jak widać, liczby te są dość zbliżone, co ma sens, ponieważ 95% jest również bardzo bliskie 100%. Generalnie pierwszy problem został rozwiązany. Przejdźmy do drugiego.

Problem odsetek nr 2

Zadanie. Tylko 80% z 45 000 absolwentów miasta rozwiązało poprawnie zadanie B9. Ile osób rozwiązało błędnie problem B9?

Rozwiązujemy według tego samego schematu. Początkowo absolwentów było 45 000, czyli 100%. Następnie z tej liczby należy wybrać x absolwentów, którzy powinni stanowić 80% pierwotnej liczby. Tworzymy proporcję i rozwiązujemy:

45 000 — 100%
x — 80%

Skróćmy po jednym zera w liczniku i mianowniku drugiego ułamka. Przepiszmy powstałą konstrukcję jeszcze raz:

Główna właściwość proporcji: iloczyn skrajnych składników jest równy iloczynowi środkowych. Otrzymujemy:

45 000 8 = x 10

To najprostsze równanie liniowe. Wyraźmy z niego zmienną x:

x = 45 000 8:10

Zmniejszamy 45 000 i 10 o jedno zero, mianownik pozostaje jeden, więc jedyne, czego potrzebujemy, to znaleźć wartość wyrażenia:

x = 4500 8

Możesz oczywiście zrobić to samo co ostatnim razem i pomnożyć te liczby w kolumnie. Ale nie komplikujmy sobie życia i zamiast mnożyć w kolumnie, rozłóżmy ósemkę na czynniki:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36 000

A teraz - najważniejsza rzecz, o której mówiłem na samym początku lekcji. Musisz uważnie przeczytać warunki zadania!

Co musimy wiedzieć? Ile osób rozwiązało problem B9 zło. I właśnie znaleźliśmy osoby, które zdecydowały prawidłowo. Okazało się, że jest to 80% pierwotnej liczby, tj. Oznacza to, że aby uzyskać ostateczną odpowiedź, musimy od pierwotnej liczby studentów odjąć nasze 80%. Otrzymujemy:

45 000 − 36 000 = 9000

Wynikowa liczba 9000 jest odpowiedzią na problem. W sumie w tym mieście na 45 000 absolwentów 9 000 osób rozwiązało błędnie zadanie B9. To wszystko, problem rozwiązany.

Z matematycznego punktu widzenia proporcja jest równością dwóch stosunków. Współzależność jest charakterystyczna dla wszystkich części proporcji, a także ich niezmienny wynik. Możesz zrozumieć, jak utworzyć proporcję, zapoznając się z właściwościami i wzorem proporcji. Aby zrozumieć zasadę rozwiązywania proporcji, wystarczy rozważyć jeden przykład. Tylko poprzez bezpośrednie rozwiązywanie proporcji można szybko i łatwo nauczyć się tych umiejętności. A ten artykuł pomoże czytelnikowi w tym.

Właściwości proporcji i wzoru

Odwrócenie proporcji. W przypadku, gdy dana równość wygląda jak 1a: 2b = 3c: 4d, napisz 2b: 1a = 4d: 3c. (A 1a, 2b, 3c i 4d są liczby pierwsze, różne od 0).
Mnożenie podanych wyrazów proporcji w poprzek. W wyrażeniu dosłownym wygląda to tak: 1a: 2b = 3c: 4d, a zapisanie 1a4d = 2b3c będzie temu równoważne. Zatem iloczyn skrajnych części dowolnej proporcji (liczby na krawędziach równości) jest zawsze równy produktowi części środkowe (liczby znajdujące się w środku równości).
Przy komponowaniu proporcji przydatna może być także jej właściwość polegająca na przestawianiu wyrazów skrajnych i środkowych. Wzór na równość 1a:2b = 3c:4d można przedstawić w następujący sposób:
- 1a: 3c = 2b: 4d (w przypadku przestawienia środkowych składników proporcji).
- 4d: 2b = 3c: 1a (w przypadku przestawienia skrajnych składników proporcji).
Jego właściwość zwiększania i zmniejszania doskonale pomaga w rozwiązywaniu proporcji. Gdy 1a: 2b = 3c: 4d, napisz:
- (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (równość przez rosnącą proporcję).
- (1a – 2b): 2b = (3c – 4d): 4d (równość przez malejącą proporcję).
Proporcję można utworzyć poprzez dodawanie i odejmowanie. Gdy proporcję zapisuje się jako 1a:2b = 3c:4d, wówczas:
- (1a + 3c): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporcja powstaje przez dodanie).
- (1a – 3c): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporcję oblicza się przez odejmowanie).
Ponadto, rozwiązując proporcję zawierającą liczby ułamkowe lub duże, możesz podzielić lub pomnożyć oba jej wyrazy przez tę samą liczbę. Przykładowo składniki proporcji 70:40=320:60 można zapisać następująco: 10*(7:4=32:6).
Opcja rozwiązywania proporcji za pomocą procentów wygląda następująco. Na przykład zapisz 30=100%, 12=x. Teraz powinieneś pomnożyć wyrazy środkowe (12*100) i podzielić przez znaną skrajność (30). Zatem odpowiedź brzmi: x=40%. W podobny sposób, jeśli zajdzie taka potrzeba, można pomnożyć znane ekstrema i podzielić je przez zadaną liczbę średnią, uzyskując pożądany wynik.

Jeśli interesuje Cię konkretny wzór proporcji, to w najprostszej i najbardziej popularnej wersji proporcja ma następującą równość (wzór): a/b = c/d, w którym a, b, c i d to cztery nie- liczby zerowe.

Ale nie wszystko jest tak skomplikowane i niezrozumiałe, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Dlaczego to wszystko jest potrzebne? Oto najczęstszy przykład.

Powiedzmy, że mamy załadowany obraz na naszą stronę internetową i chcemy, aby po załadowaniu utworzyliśmy miniaturową kopię, podgląd obrazu. Często jest to konieczne, aby na przykład ogłosić nowości. A skrypt wymaga podania przynajmniej przybliżonych wymiarów miniaturowego obrazka – jego szerokości i wysokości.

Powiedzmy też, że zarysowałeś już jego szerokość, ale co z wysokością? Jak to obliczyć, żeby obraz wydawał się mniej więcej proporcjonalny do oryginału.

Wzór obliczeniowy

Wszystko odbywa się w dwóch etapach:

1 - Podziel oryginalną szerokość przez wymaganą szerokość;
2 - Wymaganą wysokość uzyskujemy dzieląc pierwotną wysokość przez wynik podzielenia obu szerokości (krok 1).

Przykład. Weźmy znane już wszystkim rozmiary obrazów: 1024x768 i 800x600. Wyobraźmy sobie, że nie znamy wysokości drugiego obrazu. Formuła podaje co następuje: 768/(1024/800) = 600 . To jest wysokość, której potrzebujemy.

Jeśli znamy wysokość, ale potrzebujemy uzyskać szerokość, to musimy zrobić wszystko jak w pierwszym wzorze, tylko w odwrotnej kolejności.

Aby uzyskać wymaganą szerokość, potrzebujesz:

1 - Podziel pierwotną wysokość przez wymaganą wysokość;
2 - Wymaganą szerokość uzyskujemy dzieląc pierwotną szerokość przez wynik podzielenia dwóch wysokości (krok 1).

To jest, 1024/(768/600) = 800 .