Posty oznaczone "konwertuj wyrażenie ze zmienną". Wyrażenia ze zmiennymi

Zapisywanie warunków zadań przy użyciu notacji przyjętej w matematyce prowadzi do pojawienia się tzw wyrażenia matematyczne, które nazywane są po prostu wyrażeniami. W tym artykule omówimy szczegółowo wyrażenia numeryczne, alfabetyczne i zmienne: podamy definicje i przykłady wyrażeń każdego typu.

Nawigacja strony.

Wyrażenia liczbowe – czym są?

Znajomość wyrażeń liczbowych rozpoczyna się niemal od pierwszych lekcji matematyki. Ale oficjalnie zyskują swoją nazwę - wyrażenia numeryczne - nieco później. Na przykład, jeśli podążasz kursem M.I. Moro, dzieje się to na stronach podręcznika matematyki dla 2 klas. Tam idea wyrażeń liczbowych jest podana w następujący sposób: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 itd. - to wszystko wyrażenia numeryczne, a jeśli wykonamy wskazane działania w wyrażeniu, znajdziemy wartość wyrażenia.

Można stwierdzić, że na tym etapie studiowania matematyki wyrażenia liczbowe to zapisy o matematycznym znaczeniu, składające się z liczb, nawiasów oraz znaków dodawania i odejmowania.

Nieco później, po zapoznaniu się z mnożeniem i dzieleniem, zapisy wyrażeń liczbowych zaczynają zawierać znaki „·” i „:”. Podajmy kilka przykładów: 6,4, (2+5)·2, 6:2, (9,3):3 itd.

A w szkole średniej różnorodność nagrań wyrażeń liczbowych rośnie jak kula śnieżna tocząca się po górach. Zawierają zwykłe i dziesiętne, liczby mieszane i liczby ujemne, potęgi, pierwiastki, logarytmy, sinusy, cosinusy i tak dalej.

Podsumujmy wszystkie informacje w definicji wyrażenia liczbowego:

Definicja.

Wyrażenie numeryczne to kombinacja liczb, znaków działań arytmetycznych, prostych ułamkowych, znaków pierwiastków (pierwiastków), logarytmów, oznaczeń funkcji trygonometrycznych, odwrotnych funkcji trygonometrycznych i innych, a także nawiasów i innych specjalnych symboli matematycznych, skompilowana zgodnie z przyjętymi zasadami w matematyce.

Wyjaśnijmy wszystkie elementy podanej definicji.

Wyrażenia numeryczne mogą obejmować absolutnie dowolną liczbę: od naturalnej po rzeczywistą, a nawet zespoloną. Oznacza to, że w wyrażeniach liczbowych można znaleźć

Wszystko jest jasne ze znakami operacji arytmetycznych - są to znaki dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, mające odpowiednio postać „+”, „−”, „·” i „:”. Wyrażenia liczbowe mogą zawierać jeden z tych znaków, niektóre z nich lub wszystkie na raz, a ponadto kilka razy. Oto przykłady wyrażeń numerycznych z nimi: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41-2·4:2-5+12·3·2:2:3:12-1/12.

Jeśli chodzi o nawiasy, istnieją zarówno wyrażenia numeryczne zawierające nawiasy, jak i wyrażenia bez nich. Jeśli w wyrażeniu liczbowym znajdują się nawiasy, to zasadniczo tak jest

Czasami nawiasy w wyrażeniach numerycznych mają jakiś konkretny, osobno wskazany cel. Na przykład można znaleźć nawiasy kwadratowe oznaczające część całkowitą liczby, w ten sposób wyrażenie numeryczne+2 oznacza, że ​​liczba 2 jest dodawana do części całkowitej liczby 1,75.

Z definicji wyrażenia liczbowego wynika również, że wyrażenie może zawierać , , log , ln , lg , oznaczenia itp. Oto przykłady wyrażeń numerycznych z nimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 i .

Podział w wyrażeniach liczbowych można oznaczyć za pomocą . W tym przypadku mają miejsce wyrażenia liczbowe z ułamkami. Oto przykłady takich wyrażeń: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 oraz .

Jako specjalne symbole i oznaczenia matematyczne, które można spotkać w wyrażeniach liczbowych, przedstawiamy . Na przykład pokażmy wyrażenie numeryczne z modułem .

Co to są wyrażenia dosłowne?

Pojęcie wyrażeń dosłownych podawane jest niemal natychmiast po zapoznaniu się z wyrażeniami liczbowymi. Wprowadza się go mniej więcej w ten sposób. W pewnym wyrażeniu liczbowym nie zapisuje się jednej z liczb, lecz w jej miejsce umieszcza się okrąg (lub kwadrat lub coś podobnego) i mówi się, że okrąg można zastąpić określoną liczbą. Jako przykład spójrzmy na wpis. Jeśli zamiast kwadratu wstawisz na przykład liczbę 2, otrzymasz wyrażenie numeryczne 3+2. Zamiast kółek, kwadratów itp. zgodził się zapisywać litery i nazywano takie wyrażenia literami wyrażenia dosłowne. Wróćmy do naszego przykładu, jeśli w tym wpisie zamiast kwadratu wstawimy literę a, otrzymamy dosłowne wyrażenie w postaci 3+a.

Jeśli więc dopuścimy w wyrażeniu liczbowym obecność liter oznaczających określone liczby, wówczas otrzymamy tzw. wyrażenie dosłowne. Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Nazywa się wyrażenie zawierające litery reprezentujące określone liczby dosłowne wyrażenie.

Z tej definicji jasno wynika, że ​​wyrażenie dosłowne zasadniczo różni się od wyrażenia numerycznego tym, że może zawierać litery. Zwykle w wyrażeniach literowych używane są małe litery alfabetu łacińskiego (a, b, c, ...), a małe litery alfabetu greckiego (α, β, γ, ...) są używane do oznaczania kątów.

Zatem wyrażenia dosłowne mogą składać się z cyfr, liter i zawierać wszystkie symbole matematyczne, które mogą pojawić się w wyrażeniach numerycznych, takie jak nawiasy, znaki pierwiastkowe, logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne itp. Osobno podkreślamy, że wyrażenie dosłowne zawiera co najmniej jedną literę. Ale może również zawierać kilka identycznych lub różnych liter.

Podajmy teraz kilka przykładów wyrażeń dosłownych. Na przykład a+b jest wyrażeniem dosłownym składającym się z liter a i b. Oto kolejny przykład wyrażenia dosłownego 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. A oto przykład złożonego wyrażenia dosłownego: .

Wyrażenia ze zmiennymi

Jeśli w wyrażeniu dosłownym litera oznacza ilość, która nie przyjmuje jednej określonej wartości, ale może przyjmować różne wartości, wówczas litera ta nazywa się zmienny i wyrażenie nazywa się wyrażenie ze zmienną.

Definicja.

Wyrażenie ze zmiennymi to wyrażenie dosłowne, w którym litery (wszystkie lub niektóre) oznaczają wielkości przyjmujące różne wartości.

Przykładowo, niech litera x w wyrażeniu x 2 −1 przyjmuje dowolne wartości naturalne z przedziału od 0 do 10, wtedy x jest zmienną, a wyrażenie x 2 −1 jest wyrażeniem ze zmienną x.

Warto zauważyć, że w wyrażeniu może znajdować się kilka zmiennych. Na przykład, jeśli uznamy x i y za zmienne, wówczas wyrażenie jest wyrażeniem z dwiema zmiennymi x i y.

Ogólnie rzecz biorąc, przejście od koncepcji wyrażenia dosłownego do wyrażenia ze zmiennymi następuje w siódmej klasie, kiedy zaczynają uczyć się algebry. Do tego momentu wyrażenia literowe modelowały pewne określone zadania. W algebrze zaczynają patrzeć na wyrażenie bardziej ogólnie, bez odniesienia do konkretnego problemu, ze zrozumieniem, że to wyrażenie pasuje do ogromnej liczby problemów.

Na zakończenie tej kwestii zwróćmy uwagę na jeszcze jedną kwestię: zgodnie z wygląd Na podstawie wyrażenia dosłownego nie można stwierdzić, czy litery w nim zawarte są zmiennymi, czy nie. Dlatego nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy traktowali te litery jako zmienne. W tym przypadku zanika różnica pomiędzy terminami „wyrażenie dosłowne” i „wyrażenie ze zmiennymi”.

Bibliografia.

• Matematyka. 2 zajęcia Podręcznik dla edukacji ogólnej instytucje z przym. na elektron przewoźnik. O 14:00 Część 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova i in.] - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2012. - 96 s.: il. - (Szkoła Rosji). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: podręcznik dla 7 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Nazywa się wyrażenia składające się z liczb, znaków akcji i nawiasów wyrażenia numeryczne. Nazywa się liczbę będącą wynikiem wykonania wszystkich działań wyrażonych w wyrażeniu liczbowym wartość wyrażenia numerycznego. Mówi się, że wyrażenia liczbowe, które nie mają żadnego znaczenia, mają nie ma sensu.

Aby porównać liczby, użyj znaków ,,,,. W takim przypadku można zastosować podwójne nierówności postaci
i tak dalej. Nierówności używające znaków I , zwany ścisły, w którym używane są znaki I , –nie ścisłe.

Wyrażenia składające się z cyfr, liter, symboli akcji i nawiasów nazywane są wyrażeniami dosłownymi lub wyrażenia ze zmienną Lub ze zmiennymi. Nazywa się zbiór wartości zmiennej, dla którego wyrażenie ze zmienną ma wartość liczbową (ma sens). zakres akceptowalnych wartości zmienna tego wyrażenia.

Wyrażenia zmienne służą do zapisywania liczb określonego typu. Na przykład nagrywaj
oznacza dowolną trzycyfrową liczbę, która ma setki, dziesiątki i jednostki, tj.
. Używając wyrażeń alfabetycznych, wygodnie jest zapisywać reguły, prawa i definicje matematyczne. Na przykład, definicja modułu(całkowita wartość) liczby można zapisać w ten sposób:
.

Elementy statystyki

Nazywa się ciągiem liczb uzyskanym w wyniku badania statystycznego próbkowanie statystyczne lub po prostu próbowanie, a każda liczba w tym szeregu jest opcja próbki. Nazywa się liczbę liczb w szeregu tom próbki. Przykładowy rekord, gdy wywoływana jest następna opcja nie mniejsza niż poprzednia uporządkowane serie danych(Lub seria odmian).

Średnia arytmetyczna próbki nazywa się ilorazem sumy wszystkich wariantów próby i ilości wariantu (tj. ilorazem sum wszystkich wariantów i tom próbki). Nazywa się liczbą wystąpień tego samego wariantu w próbie częstotliwość te opcje. Wywoływana jest opcja próbki o najwyższej częstotliwości tryb próbkowania. Nazywa się różnicę między największą i najmniejszą opcją próbki zakres próbki. Jeśli w uporządkowanej serii danych znajduje się nieparzysta liczba opcji, wówczas nazywana jest średnia liczba opcji mediana. Jeżeli w uporządkowanym szeregu istnieje parzysta liczba wariantów, to średnia arytmetyczna z dwóch średnich wariantów nazywana jest mediana.

Wersja przygotowawcza

Na lekcjach algebry w szkole spotykamy się z wyrażeniami różne rodzaje. W miarę uczenia się nowego materiału, nagrywane wyrażenia stają się coraz bardziej zróżnicowane i złożone. Na przykład zapoznaliśmy się z potęgami - w wyrażeniach pojawiały się potęgi, badaliśmy ułamki - wyrażenia ułamkowe itp.

Dla wygody opisu materiału wyrażeniom składającym się z podobnych elementów nadano specyficzne nazwy, aby odróżnić je od całej gamy wyrażeń. W tym artykule zapoznamy się z nimi, czyli dokonamy przeglądu podstawowych wyrażeń, których uczymy się na lekcjach algebry w szkole.

Nawigacja strony.

Jednomiany i wielomiany

Zacznijmy od wyrażeń tzw jednomiany i wielomiany. W chwili pisania tego artykułu rozmowa o jednomianach i wielomianach rozpoczyna się na lekcjach algebry w siódmej klasie. Podano tam następujące definicje.

Definicja.

Jednomiany nazywa się liczby, zmienne, ich potęgi naturalny wskaźnik, a także wszelkie utwory na ich podstawie skompilowane.

Definicja.

Wielomiany jest sumą jednomianów.

Na przykład liczba 5, zmienna x, potęga z 7, iloczyny 5 x i 7 x x 2 7 z 7 są jednomianami. Jeśli weźmiemy sumę jednomianów, na przykład 5+x lub z 7 +7+7·x·2·7·z 7, otrzymamy wielomian.

Praca z jednomianami i wielomianami często wiąże się z wykonywaniem różnych czynności z nimi. Zatem na zbiorze jednomianów definiuje się mnożenie jednomianów i podnoszenie jednomianu do potęgi w tym sensie, że w wyniku ich wykonania otrzymuje się jednomian.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i potęgowanie są zdefiniowane na zbiorze wielomianów. Jak określa się te działania i według jakich zasad są one wykonywane, omówimy w artykule Działania z wielomianami.

Jeśli mówimy o wielomianach z pojedynczą zmienną, to podczas pracy z nimi dzielenie wielomianu przez wielomian ma duże znaczenie praktyczne i często takie wielomiany muszą być reprezentowane w postaci iloczynu;

Ułamki wymierne (algebraiczne).

W ósmej klasie rozpoczyna się nauka wyrażeń zawierających dzielenie przez wyrażenie ze zmiennymi. I są pierwsze takie wyrażenia ułamki racjonalne, co niektórzy autorzy nazywają ułamki algebraiczne.

Definicja.

Ułamek wymierny (algebraiczny). jest ułamkiem, którego licznikiem i mianownikiem są wielomiany, w szczególności jednomiany i liczby.

Oto kilka przykładów ułamków wymiernych: i . Nawiasem mówiąc, każdy zwykły ułamek jest ułamkiem wymiernym (algebraicznym).

Na planie ułamki algebraiczne wprowadzono dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie. Jak to się robi, wyjaśniono w artykule Działania na ułamkach algebraicznych.

Często konieczne jest wykonanie przekształceń ułamków algebraicznych, z których najczęstsze to redukcja i redukcja do nowego mianownika.

Wyrażenia racjonalne

Definicja.

Wyrażenia z potęgami ( wyrażenia mocy) są wyrażeniami zawierającymi stopnie w swoim zapisie.

Oto kilka przykładów wyrażeń z potęgami. Nie mogą zawierać zmiennych, na przykład 2 3 , . Wyrażenia potęgowe ze zmiennymi również mają miejsce: i tak dalej.

Nie zaszkodzi zapoznać się z tym, jak to się robi. konwertowanie wyrażeń z potęgami.

Wyrażenia irracjonalne, wyrażenia z pierwiastkami

Definicja.

Nazywa się wyrażenia zawierające logarytmy wyrażenia logarytmiczne.

Przykładami wyrażeń logarytmicznych są log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Bardzo często wyrażenia zawierają zarówno potęgi, jak i logarytmy, co jest zrozumiałe, ponieważ z definicji logarytm jest wykładnikiem. W rezultacie wyrażenia takie jak to wyglądają naturalnie: .

Aby kontynuować temat, zapoznaj się z materiałem konwertowanie wyrażeń logarytmicznych.

Ułamki

W tej sekcji przyjrzymy się wyrażeniom specjalnego typu - ułamkom.

Ułamek rozszerza koncepcję. Ułamki zwykłe mają również licznik i mianownik umieszczone odpowiednio powyżej i poniżej poziomej linii ułamkowej (po lewej i prawej stronie ukośnej linii ułamkowej). Tylko inaczej zwykłe ułamki, licznik i mianownik mogą zawierać nie tylko liczby całkowite, ale także dowolne inne liczby i dowolne wyrażenia.

Zdefiniujmy więc ułamek.

Definicja.

Frakcja to wyrażenie składające się z licznika i mianownika oddzielonych linią ułamkową, które reprezentują pewne wyrażenia lub liczby numeryczne lub alfabetyczne.

Ta definicja pozwala podać przykłady ułamków.

Zacznijmy od przykładów ułamków, których licznikami i mianownikami są liczby: 1/4, , (-15)/(-2) . Licznik i mianownik ułamka mogą zawierać wyrażenia zarówno numeryczne, jak i alfabetyczne. Oto przykłady takich ułamków: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Ale wyrażenia 2/5−3/7 nie są ułamkami, chociaż zawierają ułamki w swoim zapisie.

Wyrażenia ogólne

W szkole średniej, szczególnie w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności i problemach grupy C w Unified State Exam z matematyki, można spotkać się z wyrażeniami o postaci złożonej, zawierającymi w swoim zapisie jednocześnie pierwiastki, potęgi, logarytmy, funkcje trygonometryczne itp. Na przykład, Lub . Wydaje się, że pasują do kilku typów wyrażeń wymienionych powyżej. Ale zwykle nie są klasyfikowane jako jedne z nich. Są brane pod uwagę wyrażenia ogólna perspektywa , a opisując, po prostu wypowiadają wyrażenie, bez dodawania dodatkowych wyjaśnień.

Na zakończenie artykułu powiem, że jeśli dane wyrażenie jest kłopotliwe i nie jest się do końca pewnym do jakiego typu należy, to lepiej nazwać je po prostu wyrażeniem, niż nazywać je wyrażeniem, którym nie jest .

Bibliografia.

• Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematyka. Klasa 6: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [N. Tak, Vilenkin i inni]. - wyd. 22, wyd. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: podręcznik dla 7 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa – wyd. 14 – M.: Edukacja, 2004. – 384 s.: il. – ISBN 5-09-013651-3.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: wprowadzić pojęcia wyrażenia ze zmiennymi, znaczenie wyrażenia ze zmiennymi, formułę, nauczyć się rozróżniać wyrażenia, które nie mają sensu.

Typ lekcji: lekcja łączona.

Sprzęt: karty do zadawania pytań indywidualnych, karty do gry „Lotto Matematyczne”, prezentacja.

Podczas zajęć

I.Inicjacja.

A) Sprawdzenie gotowości do lekcji.

B) Powitanie.

II. Praca domowa.

s. 7 nr 25, 31, 44.

III. Aktualizowanie wiedzy.

A) Sprawdzanie pracy domowej.

840=23*3*5*7; 1260=22*3*5*31

NWD (840, 1260)=23*3*5*7*31=26040.

Odpowiedź: 26040.

NWD (120, 280, 320)=23*5=40

40>30, 40 (szkoła) – w pierwszej klasie.

Odpowiedź: 40 uczniów.

1 sposób

x=3,2*200/1000; x=0,64.

0,64 (%) – tłuszcz

x=2,5*200/1000; x=0,5.

0,5 (%) – białko

x=4,7*200/1000; x=0,94.

0,94 (%) – węglowodany

2 sposób

1000/200=5 (razy) – zmniejszyła się objętość mleka

1. 3,2:5=0,64 (%) – tłuszcz
2. 2,5:5=0,5 (%) – białko
3. 4,7:5=0,94 (%) – węglowodany

Odpowiedź: 0,64%, 0,5%, 0,94%.

a) 28+15; b) 6*3; c) 3-8,7; d) 0,8:0,4.

B) Poszczególne karty.

1. Znajdź gcd liczb 24 i 34.
2. Znajdź wartość wyrażenia: a) 69,95+27,8; b) 54,5-6,98.

1. Znajdź gcd liczb 27 i 19.
2. Oblicz: a) 85-98,04; b) 65,7*13,4.

1. Znajdź gcd liczb 17 i 36.
2. Oblicz: a) 0,48*5,6; b) 67,89-23,3.

B) Lotto matematyczne.

Postępuj zgodnie z instrukcjami i uzyskaj obraz.

8,5-7,3	5,6+0,9	2,5-(3,2+1,8)
4,7*12,3	2*9,5+14	6,1*(8,4:4)
65:1,3	(10-2,7):5	(6,4+7):2

1,2	6,5	-2,5
57,81	33	12,81
50	1,46	6,7

IV. Tworzenie nowych koncepcji i przekonań.

1. Nowy materiał.

Wyrażenia ze zmiennymi

Jadąc z prędkością 70 km/h, samochód przejedzie 70*3 km w 3 godziny, 70*4 km w 4 godziny, 70*5 km w 5 godzin, 70*5,5 km w 5,5 godziny.

– Jaką drogę przejedzie samochód w ciągu t godzin? Ogółem w t godzinach pokona 70 t km. Zmieniając wartość t, możemy użyć wyrażenia 70t do obliczenia drogi przebytej przez samochód w różnych okresach czasu. Aby to zrobić, po prostu zamień literę t na jej wartość i wykonaj mnożenie. Litera t w wyrażeniu 70t nazywana jest zmienną, a samo wyrażenie 70t nazywa się wyrażeniem ze zmienną.

Podajmy inny przykład. Niech długości boków prostokąta będą równe a cm i w cm. Wtedy jego pole będzie równe ab cm2. Wyrażenie ab zawiera dwie zmienne aib. Pokazuje, jak znaleźć obszar prostokąta za pomocą różne znaczenia a i c. Na przykład:

jeśli a = 8 i b = 11, to ab = 8-11 = 88;

jeśli a = 25 i b = 4, to ab = 25-4 = 100.

Jeśli zamiast każdej zmiennej zastąpisz dowolną jej wartość w wyrażeniu zmiennymi, otrzymasz wyrażenie numeryczne. Jego wartość nazywa się wartością wyrażenia ze zmiennymi, biorąc pod uwagę wybrane wartości zmiennych.

Zatem liczba 88 jest wartością wyrażenia ab dla a = 8 i 6 = 11, liczba 100 jest wartością tego wyrażenia dla a = 25 i 6 = 4.

Niektóre wyrażenia nie mają sensu dla niektórych wartości zmiennej, inne natomiast mają sens dla wszystkich wartości zmiennych. Przykłady obejmują wyrażenia

x(x + 1), ay – 4.

Do pisania formuł używa się wyrażeń zmiennych. Spójrzmy na przykłady.

Dowolną liczbę parzystą m można przedstawić jako iloczyn liczby 2 i liczby całkowitej n, tj. m=2n.

Jeśli w tym wzorze zastąpimy liczby całkowite zamiast n, wówczas wartości zmiennej m będą liczbami parzystymi. Wzór m= 2n nazywany jest wzorem na liczby parzyste.

Wzór m= 2n + 1, gdzie n jest liczbą całkowitą, nazywany jest wzorem na liczbę nieparzystą.

Podobnie jak we wzorze na liczbę parzystą, można zapisać wzór na liczbę będącą wielokrotnością dowolnej innej liczby naturalnej.

Na przykład wzór na liczbę będącą wielokrotnością 3 można zapisać następująco: m=3n, gdzie n jest liczbą całkowitą.

V. Zastosowanie zdobytej wiedzy w praktyce.

Uzupełnienie nr 19-24 zgodnie z podręcznikiem.

Rezerwa nr 26.

VI. Odbicie.

1. Co to jest wyrażenie ze zmiennymi?
2. Jaka jest wartość wyrażenia ze zmienną?
3. Podaj przykłady wyrażeń ze zmiennymi.

I. Wyrażenia, w których można używać liczb, symboli arytmetycznych i nawiasów wraz z literami, nazywane są wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę tę nazywa się zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywa się wyrażeniem ze zmienną.

II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) zostaną zastąpione ich wartościami i zostaną wykonane określone działania, wówczas wynikową liczbę nazywa się wartością wyrażenia algebraicznego.

Przykłady. Znajdź znaczenie wyrażenia:

1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6.

Rozwiązanie.

1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawmy ich wartości. Otrzymujemy:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6. Zastąp wskazane wartości. Pamiętaj, że moduł Liczba ujemna jest równy swojej liczbie przeciwnej, a moduł liczby dodatniej jest równy samej tej liczbie. Otrzymujemy:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są dopuszczalnymi wartościami litery (zmiennej).

Przykłady. Dla jakich wartości zmiennej wyrażenie nie ma sensu?

Rozwiązanie. Wiemy, że nie można dzielić przez zero, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu, biorąc pod uwagę wartość litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!

W przykładzie 1) ta wartość wynosi a = 0. Rzeczywiście, jeśli zastąpisz 0 zamiast a, będziesz musiał podzielić liczbę 6 przez 0, ale nie da się tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.

W przykładzie 2) mianownik x wynosi 4 = 0 przy x = 4, dlatego nie można przyjąć tej wartości x = 4. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu, gdy x = 4.

W przykładzie 3) mianownikiem jest x + 2 = 0, gdy x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu, gdy x = -2.

W przykładzie 4) mianownikiem jest 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| = 5, to nie możesz przyjąć x = 5 i x = -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu przy x = -5 i przy x = 5.
IV. Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeśli dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości tych wyrażeń są równe.

Przykład: 5 (a – b) i 5a – 5b są również równe, ponieważ równość 5 (a – b) = 5a – 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości a i b. Równość 5 (a – b) = 5a – 5b jest tożsamością.

Tożsamość jest równością obowiązującą dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej zmiennych. Przykładami tożsamości już znanych są na przykład właściwości dodawania i mnożenia oraz własność rozdzielności.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się transformacją tożsamości lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.

Przykłady.

A) przekonwertuj wyrażenie na identyczne, korzystając z rozdzielności mnożenia:

1) 10·(1,2x + 2,3 lat); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Rozwiązanie. Przypomnijmy rozdzielność (prawo) mnożenia:

(a+b)c=ac+bc(rozdzielne prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane wyniki).
(a-b) c=a c-b do(prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć odjemną i odjąć tę liczbę osobno, a drugą od pierwszego wyniku odjąć).

1) 10·(1,2x + 2,3 lat) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3 lat = 12x + 23 lata.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6:00 -2an +ak.

B) przekształć wyrażenie na identyczne równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) dodawania:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) dodawania:

a+b=b+a(przemienne: przestawienie wyrazów nie zmienia sumy).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinowane: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiego i trzeciego do pierwszej liczby).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) mnożenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) mnożenia:

a·b=b·a(przemienne: przestawianie czynników nie zmienia iloczynu).
(a b) c=a (b c)(kombinowane: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Jeżeli wyrażenie algebraiczne podane jest w postaci ułamka redukowalnego, to stosując regułę skracania ułamka można je uprościć, tj. zastąp je identycznym, prostszym wyrażeniem.

Przykłady. Uprość, korzystając z redukcji ułamków.

Rozwiązanie. Skracanie ułamka oznacza dzielenie jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę (wyrażenie), inną niż zero. Ułamek 10) zostanie zmniejszony o 3b; frakcja 11) zostanie zmniejszona o A i frakcja 12) zostanie zmniejszona o 7n. Otrzymujemy:

Do tworzenia formuł używa się wyrażeń algebraicznych.

Formuła to wyrażenie algebraiczne zapisane jako równość i wyrażające związek między dwiema lub większą liczbą zmiennych. Przykład: znana Ci formuła ścieżki s=v t(s – przebyta droga, v – prędkość, t – czas). Zapamiętaj, jakie inne formuły znasz.

Strona 1 z 1 1