Wyrażenia potęgowe (wyrażenia potęgowe) i ich transformacja. Posty oznaczone "uprość wyrażenie algebraiczne"

Za pomocą dowolnego języka możesz wyrazić te same informacje za pomocą różnych słów i fraz. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie napisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o uproszczeniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się dalej inne języki. Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym może być inaczej wymawiane w jednym języku.

Na przykład: „Piotr jest przyjacielem Wasyi”, „Wasja przyjaźni się z Petyą”, „Piotr i Wasia są przyjaciółmi”. Mówiąc inaczej, ale jedno i to samo. Dzięki którymkolwiek z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Wasia są przyjaciółmi”. Rozumiemy, o co toczy się gra. Jednak nie podoba nam się, jak brzmi to zdanie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz raz powiedzieć: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Wasia są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to zdanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie tracić, nie zniekształcać sensu.

To samo dzieje się w języku matematycznym. To samo można powiedzieć inaczej. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że dla oryginalnego wyrażenia istnieje wiele równoważnych wyrażeń, to znaczy takich, które oznaczają to samo. I z całej tej mnogości musimy wybrać najprostszy naszym zdaniem lub najbardziej odpowiedni do naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Będzie to odpowiednik .

Będzie również odpowiednikiem dwóch pierwszych: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótszy odpowiednik.

W przypadku wyrażeń liczbowych zawsze musisz wykonać całą pracę i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Oczywiście będzie prostsze.

Upraszczając wyrażenia dosłowne, musisz wykonać wszystkie możliwe czynności.

Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasami odpowiednik, ale dłuższy zapis będzie dla nas wygodniejszy.

Przykład: Odejmij liczbę od liczby.

Można to obliczyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez jej odpowiednik: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie: .

Rozwiązanie

1) Wykonaj czynności w pierwszym i drugim nawiasie: .

2) Oblicz produkty: .

Oczywiście ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowe. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).

Aby określić równoważne wyrażenie, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Własności dodawania i odejmowania:

1. Przemienność dodawania: suma nie zmienia się po przekształceniu wyrazów.

2. Asocjacyjna własność dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy termin z osobna.

Własności mnożenia i dzielenia

1. Przemienność mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Własność asocjacyjna: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć otrzymany iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna własność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia umysłowe.

Oblicz:

Rozwiązanie

1) Wyobraź sobie jak

2) Przedstawmy pierwszy mnożnik jako sumę wyrazów bitowych i wykonajmy mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zastąp pierwszy czynnik równoważną sumą:

Prawo rozdzielcze może być również stosowane w: Odwrotna strona: .

Wykonaj następujące kroki:

1) 2)

Rozwiązanie

1) Dla wygody możesz użyć prawa dystrybucji, po prostu użyj go w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów

Konieczne jest kupowanie linoleum w kuchni i przedpokoju. Część kuchenna - przedpokój. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile każdy z? trzy rodzaje linoleum? (rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja przedstawiająca stan problemu

Rozwiązanie

Metoda 1. Możesz osobno sprawdzić, ile pieniędzy potrzeba na zakup linoleum w kuchni, a następnie dodać je do przedpokoju i zsumować powstałe prace.

Wyrażenie algebraiczne, w zapisie którego oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje również podział na wyrażenia dosłowne, nazywamy ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia

Nazywamy to ułamkiem algebraicznym wyrażenie algebraiczne, który ma postać ilorazu dzielenia dwóch całkowitych wyrażeń algebraicznych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Takie są na przykład wyrażenia

trzecie z wyrażeń).

Transformacje tożsamościowe ułamkowych wyrażeń algebraicznych są w większości przeznaczone do reprezentowania ich jako ułamka algebraicznego. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - terminów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych można naruszyć ścisłą tożsamość wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których znika czynnik, o który dokonano redukcji.

Oto kilka przykładów identyczne przekształcenia ułamkowe wyrażenia algebraiczne.

Przykład 1: Uprość wyrażenie

Wszystkie wyrazy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego wyrazu i znak przed nim):

Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości poza tymi wartościami, nie jest zdefiniowane, a redukcja ułamków jest nielegalna).

Przykład 2. Reprezentuj wyrażenie jako ułamek algebraiczny

Rozwiązanie. Wyrażenie może być traktowane jako wspólny mianownik. Znajdujemy kolejno:

Ćwiczenia

1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:

2. Faktoryzuj.

Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Terminy wielomianu nazywane są członkami wielomianu. Jednomiany są również określane jako wielomiany, biorąc pod uwagę jednomian jako wielomian składający się z jednego członka.

Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.

Wszystkie terminy reprezentujemy jako jednomiany standardowej postaci:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Podobne terminy podajemy w otrzymanym wielomianu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Wynikiem jest wielomian, którego wszystkie człony są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywają się wielomiany postaci standardowej.

Za stopień wielomianu forma standardowa przyjmuje największą z uprawnień swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b \) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6 \) ma drugi.

Zazwyczaj elementy wielomianów postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w kolejności malejącej jej wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma kilku wielomianów może zostać przekształcona (uproszczona) w wielomian postaci standardowej.

Czasami członkowie wielomianu muszą być podzieleni na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy są przeciwieństwem nawiasów, łatwo je sformułować zasady otwierania w nawiasach:

Jeżeli znak + znajduje się przed nawiasami, to terminy ujęte w nawiasy pisane są tymi samymi znakami.

Jeżeli przed nawiasami znajduje się znak „-”, to terminy ujęte w nawiasy są pisane z przeciwstawnymi znakami.

Przekształcenie (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu

Korzystając z rozdzielczej własności mnożenia, można przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego wyrazu wielomianu.

Wynik ten jest zwykle formułowany z reguły.

Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy z wyrazów wielomianu.

Wielokrotnie stosowaliśmy tę zasadę do mnożenia przez sumę.

Iloczyn wielomianów. Przekształcenie (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.

Zwykle stosuj następującą regułę.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy składnik jednego wielomianu przez każdy składnik drugiego i dodać otrzymane iloczyny.

Skrócone wzory mnożenia. Suma, różnica i kwadraty różnicy

Z niektórymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne mieć do czynienia z więcej niż innymi. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnicy i kwadrat różnicy. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, więc na przykład \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy a i b. Jednak kwadrat sumy aib nie jest tak powszechny, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość złożone wyrażenia.

Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) są łatwe do przekonwertowania (uproszczenia) na wielomiany postaci standardowej, w rzeczywistości spotkałeś się już z takim zadaniem przy mnożeniu wielomianów :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Uzyskane tożsamości są przydatne do zapamiętania i zastosowania bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - suma do kwadratu jest równa sumie kwadraty i podwójny produkt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest sumą kwadratów bez podwojenia iloczynu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.

Te trzy tożsamości pozwalają w przekształceniach zastępować ich lewe części prawymi i odwrotnie - prawe części lewe. Najtrudniejszą rzeczą w tym przypadku jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, jakie zmienne aib są w nich zastępowane. Przyjrzyjmy się kilku przykładom użycia skróconych formuł mnożenia.

Upraszczanie wyrażeń algebraicznych jest jednym z Kluczowe punkty nauka algebry i niezwykle przydatna umiejętność dla wszystkich matematyków. Uproszczenie umożliwia zredukowanie złożonego lub długiego wyrażenia do prostego wyrażenia, z którym łatwo się pracuje. Podstawowe umiejętności upraszczania są dobre nawet dla tych, którzy nie są entuzjastami matematyki. Trzymam kilka proste zasady, można uprościć wiele najpopularniejszych typów wyrażeń algebraicznych bez specjalnej wiedzy matematycznej.

Kroki

Ważne definicje

1. Podobni członkowie. Są to członkowie ze zmienną tego samego rzędu, członkowie z tymi samymi zmiennymi lub wolni członkowie (członkowie, którzy nie zawierają zmiennej). Innymi słowy, terminy podobne obejmują jedną zmienną w tym samym stopniu, obejmują kilka identycznych zmiennych lub w ogóle nie zawierają zmiennej. Kolejność terminów w wyrażeniu nie ma znaczenia.

   • Na przykład 3x 2 i 4x 2 są podobne do terminów, ponieważ zawierają zmienną „x” drugiego rzędu (w drugiej potędze). Jednak x i x 2 nie są podobnymi członkami, ponieważ zawierają zmienną „x” różnych rzędów (pierwszy i drugi). Podobnie, -3yx i 5xz nie są podobnymi członkami, ponieważ zawierają różne zmienne.

2. Faktoryzacja. To jest znajdowanie takich liczb, których iloczyn prowadzi do liczby pierwotnej. Każda oryginalna liczba może mieć kilka czynników. Na przykład liczbę 12 można rozłożyć na następny rząd dzielniki: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, możemy więc powiedzieć, że liczby 1, 2, 3, 4, 6 i 12 są dzielnikami liczby 12. Dzielniki są takie same jak dzielniki, czyli , liczby, przez które dzielona jest pierwotna liczba.

   • Na przykład, jeśli chcesz rozłożyć liczbę 20 na czynniki, napisz to tak: 4×5.
   • Zwróć uwagę, że przy faktoringu zmienna jest brana pod uwagę. Na przykład 20x = 4(5x).
   • Liczb pierwszych nie można rozkładać na czynniki, ponieważ są one podzielne tylko przez siebie i 1.

3. Zapamiętaj i postępuj zgodnie z kolejnością operacji, aby uniknąć błędów.

   • Zdanie wtrącone
   • Stopień
   • Mnożenie
   • Podział
   • Dodatek
   • Odejmowanie

   Casting Like Members

   1. Zapisz wyrażenie. Najprostsze wyrażenia algebraiczne (które nie zawierają ułamków, pierwiastków itd.) można rozwiązać (uprościć) w zaledwie kilku krokach.

      • Na przykład uprość wyrażenie 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Zdefiniuj podobnych członków (członków ze zmienną o tym samym porządku, członków z tymi samymi zmiennymi lub wolnych członków).

      • Znajdź podobne terminy w tym wyrażeniu. Terminy 2x i 4x zawierają zmienną tego samego rzędu (pierwsza). Ponadto 1 i -3 są wolnymi członkami (nie zawierają zmiennej). Zatem w tym wyrażeniu terminy 2x i 4x są podobne, a członkowie 1 i -3 są również podobne.

   3. Podaj podobne terminy. Oznacza to dodawanie lub odejmowanie ich i upraszczanie wyrażenia.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Przepisz wyrażenie biorąc pod uwagę podane elementy. Otrzymasz proste wyrażenie z mniejszą liczbą terminów. Nowe wyrażenie jest równe oryginałowi.

      • W naszym przykładzie: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znaczy, że oryginalne wyrażenie jest uproszczone i łatwiejsze w obsłudze.

   5. Zwróć uwagę na kolejność wykonywania operacji podczas rzutowania podobnych warunków. W naszym przykładzie łatwo było wprowadzić podobne terminy. Jednak w przypadku wyrażeń złożonych, w których człony są ujęte w nawiasy i występują ułamki i pierwiastki, nie jest tak łatwo wprowadzić takie terminy. W takich przypadkach postępuj zgodnie z kolejnością operacji.

      • Rozważmy na przykład wyrażenie 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tutaj błędem byłoby od razu zdefiniować 3x i 2x jako podobne terminy i zacytować je, ponieważ najpierw trzeba rozwinąć nawiasy. Dlatego wykonuj operacje w ich kolejności.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ale już, gdy wyrażenie zawiera tylko operacje dodawania i odejmowania, można rzutować podobne terminy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Mnożnik w nawiasach

   1. Znajdź największy wspólny dzielnik (gcd) wszystkich współczynników wyrażenia. NOD to Największa liczba, przez które dzielone są wszystkie współczynniki wyrażenia.

      • Rozważmy na przykład równanie 9x 2 + 27x - 3. W tym przypadku gcd=3, ponieważ każdy współczynnik tego wyrażenia jest podzielny przez 3.

   2. Podziel każdy termin wyrażenia przez gcd. Otrzymane terminy będą zawierać mniejsze współczynniki niż w oryginalnym wyrażeniu.

      • W naszym przykładzie podziel każdy termin wyrażenia przez 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Okazało się, że wyrażenie 3x2 + 9x-1. Nie jest równa oryginalnemu wyrażeniu.

   3. Napisz oryginalne wyrażenie jako równy produktowi GCD dla wynikowego wyrażenia. To znaczy, umieść wynikowe wyrażenie w nawiasach i umieść GCD poza nawiasami.

      • W naszym przykładzie: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Upraszczanie wyrażeń ułamkowych przez usunięcie mnożnika z nawiasów. Po co po prostu wyjmować mnożnik z nawiasów, jak to zrobiono wcześniej? Następnie, aby dowiedzieć się, jak uprościć złożone wyrażenia, takie jak wyrażenia ułamkowe. W takim przypadku wyjęcie czynnika z nawiasów może pomóc w pozbyciu się ułamka (z mianownika).

      • Rozważmy na przykład wyrażenie ułamkowe(9x 2 + 27x - 3)/3. Użyj nawiasów, aby uprościć to wyrażenie.
        • Wyciągnij współczynnik 3 (tak jak wcześniej): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Zwróć uwagę, że zarówno licznik, jak i mianownik mają teraz liczbę 3. Można to zmniejszyć, a otrzymasz wyrażenie: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Ponieważ każdy ułamek, który ma liczbę 1 w mianowniku, jest po prostu równy licznikowi, oryginalne wyrażenie ułamkowe jest uproszczone do: 3x2 + 9x-1.

   Dodatkowe techniki upraszczania

4. Rozważ prosty przykład: √(90). Liczbę 90 można rozłożyć na następujące czynniki: 9 i 10 oraz z ekstraktu 9 Pierwiastek kwadratowy(3) i wyjmij 3 spod korzenia.
   • √(90)
   • (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Upraszczanie wyrażeń z uprawnieniami. W niektórych wyrażeniach występują operacje mnożenia lub dzielenia wyrazów ze stopniem. W przypadku mnożenia wyrazów o jednej podstawie dodaje się ich stopnie; w przypadku dzielenia wyrazów o tej samej podstawie odejmuje się ich stopnie.

   • Rozważmy na przykład wyrażenie 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). W przypadku mnożenia dodaj wykładniki, a w przypadku dzielenia odejmij je.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Poniżej znajduje się wyjaśnienie zasady mnożenia i dzielenia wyrazów ze stopniem.
     • Mnożenie wyrazów przez potęgi jest równoznaczne z mnożeniem wyrazów przez nie. Na przykład, ponieważ x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, to x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) lub x8 .
     • Podobnie dzielenie wyrazów przez potęgi jest równoznaczne z dzieleniem wyrazów przez nie. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Ponieważ podobne wyrazy, które znajdują się zarówno w liczniku, jak i mianowniku, można zmniejszyć, iloczyn dwóch „x” lub x 2 pozostaje w liczniku.

• Zawsze pamiętaj o znakach (plus lub minus) przed terminami wyrażenia, ponieważ wiele osób ma trudności z wyborem właściwego znaku.
• W razie potrzeby poproś o pomoc!
• Uproszczenie wyrażeń algebraicznych nie jest łatwe, ale jeśli zdobędziesz to w swoje ręce, możesz używać tej umiejętności przez całe życie.

Wiadomo, że w matematyce nie można obejść się bez upraszczania wyrażeń. Jest to niezbędne do poprawnego i szybkiego rozwiązywania różnorodnych problemów, a także różnego rodzaju równań. Omawiane uproszczenie implikuje zmniejszenie liczby działań niezbędnych do osiągnięcia celu. Dzięki temu obliczenia są zauważalnie ułatwione, a czas znacznie zaoszczędzony. Ale jak uprościć wyrażenie? W tym celu wykorzystywane są ustalone zależności matematyczne, często nazywane wzorami lub prawami, które pozwalają znacznie skrócić wyrażenia, co upraszcza obliczenia.

Nie jest tajemnicą, że dziś nie jest trudno uprościć wyrażenie online. Oto linki do niektórych z bardziej popularnych:

Nie jest to jednak możliwe z każdym wyrażeniem. Dlatego bardziej szczegółowo rozważymy bardziej tradycyjne metody.

Wyjęcie wspólnego dzielnika

W przypadku, gdy w jednym wyrażeniu występują jednomiany, które mają te same współczynniki, można z nimi znaleźć sumę współczynników, a następnie pomnożyć je przez wspólny dla nich czynnik. Ta operacja jest również znana jako „usuwanie wspólny dzielnik Konsekwentnie stosując tę ​​​​metodę, czasami można znacznie uprościć wyrażenie. Algebra, ogólnie rzecz biorąc, opiera się na grupowaniu i przegrupowaniu czynników i dzielników.

Najprostsze wzory na skrócone mnożenie

Jedną z konsekwencji opisanej wcześniej metody są zredukowane formuły mnożenia. Jak uprościć wyrażenia za ich pomocą, jest znacznie jaśniejsze dla tych, którzy nawet nie nauczyli się tych formuł na pamięć, ale wiedzą, jak się je wyprowadza, czyli skąd pochodzą, a zatem ich matematyczną naturę. W zasadzie poprzednie stwierdzenie pozostaje aktualne w całej matematyce współczesnej, od pierwszej klasy do wyższych kierunków na wydziałach Mechaniki i Matematyki. Różnica kwadratów, kwadrat różnicy i sumy, suma i różnica sześcianów - wszystkie te wzory są szeroko stosowane w matematyce elementarnej, jak i wyższej, w przypadkach, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia w celu rozwiązania problemów . Przykłady takich przekształceń można łatwo znaleźć w każdym podręczniku szkolnym do algebry lub, jeszcze prościej, w przestrzeniach ogólnoświatowej sieci.

Korzenie stopnia

Matematyka elementarna, jeśli spojrzysz na nią jako na całość, nie jest uzbrojona w wiele sposobów na uproszczenie wyrażenia. Stopnie i działania z nimi z reguły są stosunkowo łatwe dla większości studentów. Dopiero teraz wielu współczesnych uczniów i studentów ma znaczne trudności, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia z korzeniami. I jest to całkowicie bezpodstawne. Dlatego matematyczny charakter korzenie nie różnią się od natury tymi samymi stopniami, z którymi z reguły jest znacznie mniej trudności. Wiadomo, że pierwiastek kwadratowy z liczby, zmiennej lub wyrażenia to nic innego jak ta sama liczba, zmienna lub wyrażenie do potęgi „jednej sekundy”, pierwiastek sześcienny- to samo do stopnia „jednej trzeciej” i tak dalej zgodnie.

Upraszczanie wyrażeń z ułamkami

Rozważ także typowy przykład uproszczenia wyrażenia za pomocą ułamków. W przypadkach, gdy wyrażenia są frakcje naturalne, należy wybrać wspólny dzielnik z mianownika i licznika, a następnie zmniejszyć o niego ułamek. Gdy jednomiany mają te same mnożniki podniesione do potęgi, konieczne jest monitorowanie równości potęg podczas ich sumowania.

Uproszczenie najprostszych wyrażeń trygonometrycznych

Niektóre z nich to rozmowa o tym, jak uprościć wyrażenie trygonometryczne. Najszersza sekcja trygonometrii jest być może pierwszym etapem, na którym studenci matematyki zetkną się z nieco abstrakcyjnymi pojęciami, problemami i metodami ich rozwiązywania. Oto odpowiadające im formuły, z których pierwszym jest podstawowa tożsamość trygonometryczna. Mając dostateczny matematyczny sposób myślenia, można prześledzić systematyczne wyprowadzanie z tej identyczności wszystkich głównych tożsamości i formuł trygonometrycznych, w tym formuł na różnicę i sumę argumentów, podwójnych, potrójnych argumentów, formuł redukcyjnych i wielu innych. Oczywiście nie należy tutaj zapominać o pierwszych metodach, takich jak wyjęcie wspólnego czynnika, które są w pełni wykorzystywane wraz z nowymi metodami i formułami.

Podsumowując, oto kilka ogólnych wskazówek dla czytelnika:

• Wielomiany powinny być rozkładane na czynniki, to znaczy powinny być reprezentowane w postaci iloczynu pewnej liczby czynników - jednomianów i wielomianów. Jeśli istnieje taka możliwość, należy wyjąć z nawiasów czynnik wspólny.
• Lepiej zapamiętać wszystkie skrócone wzory mnożenia bez wyjątku. Nie ma ich zbyt wiele, ale są podstawą upraszczania wyrażeń matematycznych. Nie należy również zapominać o sposobie podświetlania idealnych kwadratów w trójmianach, który jest działaniem odwrotnym do jednego ze skróconych wzorów mnożenia.
• Wszystkie istniejące ułamki w wyrażeniu powinny być zmniejszane tak często, jak to możliwe. Czyniąc to, nie zapominaj, że zmniejszane są tylko mnożniki. W przypadku, gdy mianownik i licznik ułamków algebraicznych są pomnożone przez tę samą liczbę, która różni się od zera, wartości ułamków nie ulegają zmianie.
• Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie wyrażenia można przekształcić za pomocą działań lub łańcucha. Pierwsza metoda jest bardziej preferowana, ponieważ. łatwiej jest zweryfikować wyniki działań pośrednich.
• Dość często w wyrażeniach matematycznych trzeba wydobyć pierwiastki. Należy pamiętać, że pierwiastki parzystych stopni można wydobyć tylko z nieujemnej liczby lub wyrażenia, a pierwiastki nieparzystych stopni można wydobyć całkowicie z dowolnych wyrażeń lub liczb.

Mamy nadzieję, że nasz artykuł pomoże Ci w przyszłości zrozumieć wzory matematyczne i nauczy Cię ich praktycznego zastosowania.