Dodanie kilku frakcji. Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach (podstawowe zasady, najprostsze przypadki)

W tej lekcji rozważymy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych za pomocą różne mianowniki. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach to jeden z najważniejszych i najtrudniejszych tematów na kursie ósmej klasy. Co więcej, ten temat będzie można znaleźć w wielu tematach kursu algebry, którego będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów.

Rozważ najprostszy przykład ułamków zwykłych.

Przykład 1 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Zapamiętaj zasadę dodawania ułamków. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) pierwotnych mianowników.

Definicja

Najmniej Liczba naturalna, która jest podzielna jednocześnie przez liczby i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybrać wszystkie czynniki pierwsze, które wchodzą w skład rozwinięcia obu mianowników.

; . Wtedy LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika konieczne jest, aby każdy z ułamków znalazł dodatkowy czynnik (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez wynikowy dodatkowy czynnik. Frakcje otrzymuje się z same mianowniki, dodawać i odejmować, czego nauczyliśmy się na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiadać:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw rozważ ułamki, których mianownikami są liczby.

Przykład 2 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik dla tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

Odpowiadać:.

Formułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (dzieląc wspólny mianownik przez mianownik tego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe czynniki.

4. Dodaj lub odejmij ułamki, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, w których mianowniku występują wyrażenia literalne.

Przykład 3 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia dosłowne w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Rozwiązaniem tego przykładu jest więc:

Odpowiadać:.

Przykład 4 Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów mnożenia), musisz wziąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiadać:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najtrudniejszym zadaniem jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Szukając wspólnego mianownika, musisz najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (aby uprościć wspólny mianownik).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiadać:.

Teraz naprawimy zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiadać:.

Przykład 7 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiadać:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodaje się nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla większej liczby ułamków pozostają takie same).

Przykład 8 Uproszczać: .

Znajdź licznik i mianownik. Ułamek składa się z dwóch liczb: liczba nad kreską nazywana jest licznikiem, a liczba pod kreską nazywana jest mianownikiem. Mianownik wskazuje całkowitą liczbę części, na które dzieli się całość, a licznik jest rozważaną liczbą takich części.

Na przykład w ułamku ½ licznik to 1, a mianownik to 2.

Wyznacz mianownik. Jeśli dwa lub więcej ułamków ma wspólny mianownik, to ułamki te mają tę samą liczbę pod linią, to znaczy w tym przypadku pewna całość jest podzielona na taką samą liczbę części. Dodawanie ułamków ze wspólnym mianownikiem jest bardzo łatwe, ponieważ mianownik całego ułamka będzie taki sam jak mianownik dodawanych ułamków. Na przykład:

Ułamki 3/5 i 2/5 mają wspólny mianownik 5.
Ułamki 3/8, 5/8, 17/8 mają wspólny mianownik 8.

Określ liczniki. Aby dodać ułamki o wspólnym mianowniku, dodaj ich liczniki i wynik wpisz nad mianownikiem dodanych ułamków.

Ułamki 3/5 i 2/5 mają liczniki 3 i 2.
Ułamki 3/8, 5/8, 17/8 mają liczniki 3, 5, 17.

Dodaj liczniki. W zadaniu 3/5 + 2/5 dodaj liczniki 3 + 2 = 5. W zadaniu 3/8 + 5/8 + 17/8 dodaj liczniki 3 + 5 + 17 = 25.

Zapisz sumę. Pamiętaj, że dodając ułamki ze wspólnym mianownikiem, pozostaje on bez zmian - dodawane są tylko liczniki.

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

W razie potrzeby przekształć ułamek. Czasami ułamek można zapisać jako liczbę całkowitą, a nie jako ułamek zwykły lub dziesiętny. Na przykład ułamek 5/5 łatwo zamienia się w 1, ponieważ każdy ułamek, którego licznik jest równy mianownikowi, wynosi 1. Wyobraź sobie ciasto podzielone na trzy części. Jeśli zjesz wszystkie trzy części, zjesz cały (jeden) placek.

Dowolny ułamek zwykły można zamienić na ułamek dziesiętny; Aby to zrobić, podziel licznik przez mianownik. Na przykład ułamek 5/8 można zapisać w następujący sposób: 5 ÷ 8 = 0,625.

Uprość ułamek, jeśli to możliwe. Uproszczony ułamek to ułamek, którego licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika.

Weźmy na przykład ułamek 3/6. Tutaj zarówno licznik, jak i mianownik mają wspólny dzielnik, równe 3, czyli licznik i mianownik są całkowicie podzielne przez 3. Dlatego ułamek 3/6 można zapisać w następujący sposób: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

W razie potrzeby zamień ułamek niewłaściwy na frakcja mieszana(pomieszane numery). W przypadku ułamka niewłaściwego licznik jest większy od mianownika, na przykład 25/8 (w przypadku ułamka właściwego licznik jest mniejszy od mianownika). Ułamek niewłaściwy można zamienić na ułamek mieszany, który składa się z części całkowitej (czyli liczby całkowitej) i części ułamkowej (czyli ułamka właściwego). Aby zamienić ułamek niewłaściwy, taki jak 25/8, na liczbę mieszaną, wykonaj następujące kroki:

Podziel licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik; zapisz niepełny iloraz (całą odpowiedź). W naszym przykładzie: 25 ÷ 8 = 3 plus reszta. W tym przypadku cała odpowiedź jest częścią całkowitą liczby mieszanej.
Znajdź resztę. W naszym przykładzie: 8 x 3 = 24; odejmij wynik od pierwotnego licznika: 25 - 24 \u003d 1, czyli reszta to 1. W tym przypadku reszta jest licznikiem części ułamkowej liczby mieszanej.
Napisz ułamek mieszany. Mianownik się nie zmienia (czyli jest równy mianownikowi ułamka niewłaściwego), więc 25/8 = 3 1/8.

Niektóre z najtrudniejszych do zrozumienia dla ucznia to różne działania z ułamkami prostymi. Wynika to z faktu, że dzieciom wciąż trudno jest myśleć abstrakcyjnie, a ułamki właściwie tak dla nich wyglądają. Dlatego podczas prezentacji materiału nauczyciele często uciekają się do analogii i wyjaśniają odejmowanie i dodawanie ułamków dosłownie na palcach. Chociaż ani jedna lekcja matematyki szkolnej nie może obejść się bez reguł i definicji.

Podstawowe koncepcje

Przed przystąpieniem do jakiejkolwiek, wskazane jest poznanie kilku podstawowych definicji i zasad. Na początku ważne jest, aby zrozumieć, czym jest ułamek. Przez to rozumie się liczbę reprezentującą jeden lub więcej ułamków jednostki. Na przykład, jeśli pokroisz bochenek na 8 części i położysz 3 z nich na talerzu, to 3/8 będzie ułamkiem. Co więcej, w tym zapisie będzie to zwykły ułamek, w którym liczba nad kreską to licznik, a pod nią mianownik. Ale jeśli jest zapisany jako 0,375, to już będzie dziesiętny.

Ponadto ułamki proste dzielą się na zwykłe, niewłaściwe i mieszane. Pierwsza obejmuje wszystkie te, których licznik jest mniejszy od mianownika. Jeśli wręcz przeciwnie, mianownik jest mniejszy niż licznik, będzie to już ułamek niewłaściwy. Jeśli przed właściwą liczbą jest liczba całkowita, mówią o liczbach mieszanych. Zatem ułamek 1/2 jest poprawny, ale 7/2 nie. A jeśli napiszesz to w tej formie: 3 1/2, to stanie się mieszane.

Aby łatwiej zrozumieć, czym jest dodawanie ułamków i łatwo je wykonać, ważne jest również, aby pamiętać o jego istocie w dalszej części. Jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. To właśnie ta właściwość pozwala wykonywać najprostsze czynności ze zwykłymi i innymi ułamkami. W rzeczywistości oznacza to, że 1/15 i 3/45 to w rzeczywistości ta sama liczba.

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Wykonanie tej czynności zwykle nie sprawia większych trudności. Dodawanie ułamków w tym przypadku jest bardzo podobne do działania z liczbami całkowitymi. Mianownik pozostaje niezmieniony, a liczniki są po prostu sumowane. Na przykład, jeśli musisz dodać ułamki 2/7 i 3/7, rozwiązanie problemu szkolnego w zeszycie będzie wyglądać następująco:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Ponadto to dodanie ułamków można wyjaśnić w kategoriach prosty przykład. Weź zwykłe jabłko i pokrój na przykład na 8 części. Ułóż osobno pierwsze 3 części, a następnie dodaj do nich kolejne 2. W rezultacie 5/8 całego jabłka będzie leżało w filiżance. Sam problem arytmetyczny jest zapisany w następujący sposób:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Ale często są trudniejsze zadania, w których musisz dodać razem, na przykład 5/9 i 3/5. Tu pojawiają się pierwsze trudności w działaniach z ułamkami. W końcu dodanie takich liczb będzie wymagało dodatkowej wiedzy. Teraz będziesz musiał w pełni przypomnieć sobie ich główną właściwość. Aby dodać ułamki z przykładu, najpierw należy je sprowadzić do jednego wspólnego mianownika. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć między sobą 9 i 5, pomnożyć odpowiednio licznik „5” przez 5 i „3” przez 9. Tak więc takie ułamki są już dodane: 25/45 i 27/45. Teraz pozostaje tylko dodać liczniki i uzyskać odpowiedź 52/45. Przykład na kartce papieru wyglądałby tak:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Ale dodawanie ułamków o takich mianownikach nie zawsze wymaga prostego mnożenia liczb pod kreską. Najpierw szukaj najmniejszego wspólnego mianownika. Na przykład, jak dla ułamków 2/3 i 5/6. Dla nich będzie to liczba 6. Ale odpowiedź nie zawsze jest oczywista. W takim przypadku warto przypomnieć zasadę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (w skrócie LCM) dwóch liczb.

Jest rozumiany jako najmniejszy wspólny czynnik dwóch liczb całkowitych. Aby go znaleźć, rozłóż każdy na czynniki pierwsze. Teraz wypisz te z nich, które pojawiają się co najmniej raz w każdej liczbie. Pomnóż je razem i uzyskaj ten sam mianownik. W rzeczywistości wszystko wygląda trochę prościej.

Na przykład musisz dodać ułamki 4/15 i 1/6. Tak więc 15 uzyskuje się przez pomnożenie prostych liczb 3 i 5, a sześć - dwa i trzy. Oznacza to, że LCM dla nich wyniesie 5 x 3 x 2 \u003d 30. Teraz, dzieląc 30 przez mianownik pierwszego ułamka, otrzymujemy współczynnik jego licznika - 2. A dla drugiego ułamka będzie to liczba 5. Pozostaje więc dodać zwykłe ułamki 8/30 i 5/30 i uzyskać odpowiedź 13/30. Wszystko jest niezwykle proste. W zeszycie powinieneś zapisać to zadanie w następujący sposób:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Dodawanie liczb mieszanych

Teraz, znając wszystkie podstawowe sztuczki dodawania prostych ułamków, możesz spróbować swoich sił w bardziej złożonych przykładach. I będą to liczby mieszane, przez które rozumieją ułamek tego rodzaju: 2 2/3. Tutaj część całkowita jest zapisywana przed właściwym ułamkiem. I wielu jest zdezorientowanych podczas wykonywania czynności z takimi liczbami. W rzeczywistości obowiązują tu te same zasady.

Aby dodać liczby mieszane razem, dodaj całe części osobno i ułamki właściwe. A potem te 2 wyniki są już podsumowane. W praktyce wszystko jest znacznie prostsze, wystarczy trochę poćwiczyć. Na przykład w zadaniu musisz dodać następujące liczby mieszane: 1 1 / 3 i 4 2 / 5 . Aby to zrobić, najpierw dodaj 1 i 4, aby uzyskać 5. Następnie dodaj 1/3 i 2/5, stosując technikę najmniejszego wspólnego mianownika. Decyzja zapadnie 15.11. A ostateczna odpowiedź to 5 11/15. W zeszycie szkolnym będzie to wyglądać znacznie krócej:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Dodawanie ułamków dziesiętnych

Oprócz zwykłych ułamków istnieją również ułamki dziesiętne. Nawiasem mówiąc, są one znacznie bardziej powszechne w życiu. Na przykład cena w sklepie często wygląda tak: 20,3 rubla. To jest ten sam ułamek. Oczywiście te są znacznie łatwiejsze do złożenia niż zwykłe. Zasadniczo wystarczy dodać 2 zwykłe liczby, co najważniejsze, w właściwe miejsce wstaw przecinek. Tu pojawiają się trudności.

Na przykład musisz dodać takie 2,5 i 0,56. Aby zrobić to poprawnie, musisz dodać zero do pierwszego na końcu, a wszystko będzie w porządku.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Ważne jest, aby wiedzieć, że każdy ułamek dziesiętny można zamienić na ułamek prosty, ale nie każdy ułamek prosty można zapisać jako ułamek dziesiętny. Tak więc z naszego przykładu 2,5 = 2 1/2 i 0,56 = 14/25. Ale ułamek taki jak 1/6 będzie tylko w przybliżeniu równy 0,16667. Ta sama sytuacja będzie z innymi podobnymi liczbami - 2/7, 1/9 i tak dalej.

Wniosek

Wielu uczniów, nie rozumiejąc praktycznej strony działań z ułamkami, traktuje ten temat beztrosko. Jednak w więcej niż ta podstawowa wiedza pozwoli Ci klikać jak orzechy złożone przykłady z logarytmami i znajdowaniem pochodnych. I dlatego warto raz dobrze zrozumieć działania z ułamkami, aby później nie gryźć łokci ze złości. W końcu jest mało prawdopodobne, aby nauczyciel w szkole średniej wrócił do tego tematu, który został już omówiony. Takie ćwiczenia powinien umieć wykonać każdy licealista.

Wyrażenia ułamkowe są trudne do zrozumienia dla dziecka. Większość ludzi ma trudności z. Studiując temat „dodawanie ułamków z liczbami całkowitymi”, dziecko wpada w osłupienie, mając trudności z rozwiązaniem zadania. W wielu przykładach przed wykonaniem akcji należy wykonać serię obliczeń. Na przykład zamień ułamki zwykłe lub zamień ułamek niewłaściwy na właściwy.

Wyjaśnij dziecku jasno. Weź trzy jabłka, z których dwa będą całe, a trzecie zostanie pokrojone na 4 części. Oddziel jeden plasterek od pokrojonego jabłka, a pozostałe trzy umieść obok dwóch całych owoców. Otrzymujemy ¼ jabłek z jednej strony i 2 ¾ z drugiej. Jeśli je połączymy, otrzymamy trzy całe jabłka. Spróbujmy zmniejszyć 2 ¾ jabłek o ¼, czyli usuń jeszcze jeden plasterek, otrzymamy 2 2/4 jabłek.

Przyjrzyjmy się bliżej działaniom z ułamkami, które zawierają liczby całkowite:

Najpierw przypomnijmy sobie regułę obliczeniową dla wyrażenia ułamkowe ze wspólnym mianownikiem:

Na pierwszy rzut oka wszystko jest łatwe i proste. Ale dotyczy to tylko wyrażeń, które nie wymagają konwersji.

Jak znaleźć wartość wyrażenia, w którym mianowniki są różne

W niektórych zadaniach konieczne jest znalezienie wartości wyrażenia, w którym mianowniki są różne. Rozważ konkretny przypadek:
3 2/7+6 1/3

Znajdź wartość tego wyrażenia, w tym celu znajdujemy wspólny mianownik dla dwóch ułamków.

Dla liczb 7 i 3 jest to 21. Pozostawiamy części całkowite bez zmian i zmniejszamy części ułamkowe do 21, w tym celu pierwszy ułamek mnożymy przez 3, drugi przez 7, otrzymujemy:
6/21+7/21, nie zapominaj, że całe części nie podlegają konwersji. W rezultacie otrzymujemy dwa ułamki o jednym mianowniku i obliczamy ich sumę:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Co jeśli wynikiem dodawania jest ułamek niewłaściwy, który ma już część całkowitą:
2 1/3+3 2/3
W tym przypadku dodajemy części całkowite i części ułamkowe, otrzymujemy:
5 3/3, jak wiesz, 3/3 to jeden, więc 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Po znalezieniu sumy wszystko jest jasne, przeanalizujmy odejmowanie:

Z tego, co zostało powiedziane, wynika zasada działania liczby mieszane który brzmi tak:

Jeśli konieczne jest odjęcie liczby całkowitej od wyrażenia ułamkowego, nie jest konieczne przedstawianie drugiej liczby jako ułamka, wystarczy operować tylko na częściach całkowitych.

Spróbujmy samodzielnie obliczyć wartość wyrażeń:

Przyjrzyjmy się bliżej przykładowi pod literą „m”:

4 5/11-2 8/11 licznik pierwszego ułamka jest mniejszy od drugiego. Aby to zrobić, bierzemy jedną liczbę całkowitą z pierwszego ułamka, otrzymujemy,
3 5/11+11/11=3 całe 16/11, od pierwszego ułamka odejmij drugi:
3 16/11-2 8/11=1 całość 8/11

Zachowaj ostrożność podczas wykonywania zadania, nie zapomnij zamienić ułamków niewłaściwych na mieszane, podkreślając całą część. Aby to zrobić, należy podzielić wartość licznika przez wartość mianownika, wtedy to, co się stało, zajmuje miejsce części całkowitej, reszta będzie licznikiem, na przykład:

19/4=4 ¾, sprawdź: 4*4+3=19, w mianowniku 4 pozostaje bez zmian.

Podsumować:

Przed przystąpieniem do zadania związanego z ułamkami należy przeanalizować, jakie to wyrażenie, jakie przekształcenia należy wykonać na ułamku, aby rozwiązanie było poprawne. Szukaj bardziej racjonalnych rozwiązań. Nie idź na łatwiznę. Zaplanuj wszystkie działania, zdecyduj najpierw w wersji roboczej, a następnie przenieś do zeszytu szkolnego.

Aby uniknąć nieporozumień podczas rozwiązywania wyrażeń ułamkowych, konieczne jest przestrzeganie reguły kolejności. Zdecyduj wszystko dokładnie, bez pośpiechu.