Sistem linearne enačbe z dvema neznankama sta dve ali več linearnih enačb, za katere je treba najti vse njihove skupne rešitve. Obravnavali bomo sisteme dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Splošni obrazec sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama je predstavljen na spodnji sliki:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Tukaj sta x in y neznani spremenljivki, a1, a2, b1, b2, c1, c2 so nekatera realna števila. Rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama je par števil (x,y), tako da če ta števila nadomestimo v enačbe sistema, se vsaka enačba sistema spremeni v pravo enakost. Obstaja več načinov za reševanje sistema linearnih enačb. Oglejmo si enega od načinov reševanja sistema linearnih enačb, in sicer metodo dodajanja.

Algoritem za reševanje z metodo seštevanja

Algoritem za reševanje sistema linearnih enačb z dvema neznankama z metodo dodajanja.

1. Če je potrebno, z ekvivalentnimi transformacijami izenačimo koeficiente ene od neznanih spremenljivk v obeh enačbah.

2. S seštevanjem ali odštevanjem dobljenih enačb dobimo linearno enačbo z eno neznanko

3. Reši dobljeno enačbo z eno neznanko in poišči eno od spremenljivk.

4. Dobljeni izraz nadomestimo v katerokoli od obeh enačb sistema in rešimo to enačbo ter tako dobimo drugo spremenljivko.

5. Preverite rešitev.

Primer rešitve z metodo dodajanja

Za večjo jasnost rešimo naslednji sistem linearnih enačb z dvema neznankama z metodo dodajanja:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Ker nobena od spremenljivk nima enakih koeficientov, izenačimo koeficiente spremenljivke y. Če želite to narediti, prvo enačbo pomnožite s tri, drugo enačbo pa z dve.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Dobimo naslednji sistem enačb:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sedaj odštejemo prvo od druge enačbe. Predstavimo podobne člene in rešimo nastalo linearno enačbo.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Dobljeno vrednost nadomestimo v prvo enačbo iz našega izvirnega sistema in rešimo dobljeno enačbo.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Rezultat je par števil x=6 in y=14. Preverjamo. Naredimo zamenjavo.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Kot lahko vidite, smo dobili dve pravilni enačbi, zato smo našli pravilno rešitev.

S tem matematičnim programom lahko rešite sistem dveh linearnih enačb z dvema spremenljivkama z metodo substitucije in metodo seštevanja.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi daje podrobna rešitev z razlago korakov reševanja na dva načina: metoda zamenjave in metoda dodajanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v srednjih šolah kot priprave na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Tako lahko porabite svoje lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju rešujenih problemov povečuje.

Pravila za vnos enačb

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.

Pri vnosu enačb lahko uporabite oklepaje. V tem primeru so enačbe najprej poenostavljene. Enačbe po poenostavitvah morajo biti linearne, tj. oblike ax+by+c=0 z natančnostjo vrstnega reda elementov.
Na primer: 6x+1 = 5(x+y)+2

V enačbah lahko uporabite ne le cela števila, ampak tudi ulomke v obliki decimalnih in navadnih ulomkov.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Celo število in ulomki v decimalke lahko ločite s piko ali vejico.
Na primer: 2,1n + 3,5m = 55

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vstopu številčni ulomekŠtevec je od imenovalca ločen z znakom za deljenje: /
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &

Primeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Reši sistem enačb

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

JavaScript je onemogočen v vašem brskalniku.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Reševanje sistemov linearnih enačb. Metoda zamenjave

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo substitucije:
1) izrazite eno spremenljivko iz neke enačbe sistema z drugo;
2) zamenjajte dobljeni izraz v drugo enačbo sistema namesto te spremenljivke;

$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(matrika) \desno. $$

Izrazimo y z x iz prve enačbe: y = 7-3x. Če zamenjamo izraz 7-3x v drugo enačbo namesto y, dobimo sistem:
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(matrika) \desno. $$

Enostavno je pokazati, da imata prvi in ​​drugi sistem enake rešitve. V drugem sistemu druga enačba vsebuje samo eno spremenljivko. Rešimo to enačbo:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Desna puščica -5x+14-6x=3 \Desna puščica -11x=-11 \Desna puščica x=1 $$

Če zamenjamo število 1 namesto x v enakost y=7-3x, najdemo ustrezno vrednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rešitev sistema

Sistemi enačb v dveh spremenljivkah, ki imata enake rešitve, se imenujejo enakovreden. Za enakovredne se štejejo tudi sistemi, ki nimajo rešitev.

Reševanje sistemov linearnih enačb s seštevanjem

Razmislimo o drugem načinu reševanja sistemov linearnih enačb - metodi dodajanja. Pri takšnem reševanju sistemov, pa tudi pri reševanju s substitucijo, preidemo iz tega sistema v drug, enakovredni sistem, v katerem ena od enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo dodajanja:
1) pomnožite enačbe sistemskega člena za členom, pri čemer izberite faktorje tako, da koeficienti ene od spremenljivk postanejo nasprotna števila;
2) seštejte levo in desno stran sistemskih enačb člen za členom;
3) reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko;
4) poiščite ustrezno vrednost druge spremenljivke.

Primer. Rešimo sistem enačb:
$$ \left\( \begin(matrika)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

V enačbah tega sistema so koeficienti y nasprotna števila. S seštevanjem leve in desne strani enačb člen za členom dobimo enačbo z eno spremenljivko 3x=33. Zamenjajmo eno od enačb sistema, na primer prvo, z enačbo 3x=33. Vzemimo sistem
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

Iz enačbe 3x=33 dobimo, da je x=11. Če nadomestimo to vrednost x v enačbo \(x-3y=38\), dobimo enačbo s spremenljivko y: \(11-3y=38\). Rešimo to enačbo:
\(-3y=27 \Desna puščica y=-9 \)

Tako smo našli rešitev sistema enačb s seštevanjem: \(x=11; y=-9\) ali \((11;-9)\)

Ob izkoriščanju dejstva, da so v enačbah sistema koeficienti za y nasprotna števila, smo njegovo rešitev zreducirali na rešitev ekvivalentnega sistema (s seštevanjem obeh strani vsake enačbe prvotnega sistema), v katerem ena enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testi enotnega državnega izpita na spletu Igre, uganke Risanje grafov funkcij Črkovalni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam nalog

Z uporabo metode seštevanja se enačbe sistema seštevajo člen za členom, 1 ali obe (več) enačb pa je mogoče pomnožiti s poljubnim številom. Posledično pridejo do enakovrednega SLE, kjer je v eni od enačb le ena spremenljivka.

Za rešitev sistema metoda počlenskega seštevanja (odštevanja) sledite tem korakom:

1. Izberite spremenljivko, za katero bodo izdelani enaki koeficienti.

2. Zdaj morate enačbe sešteti ali odšteti in dobiti enačbo z eno spremenljivko.

Sistemska rešitev- to so presečišča funkcijskih grafov.

Poglejmo si primere.

Primer 1.

Podan sistem:

Po analizi tega sistema lahko opazite, da so koeficienti spremenljivke enaki po velikosti in različni po predznaku (-1 in 1). V tem primeru lahko enačbe enostavno dodajamo člen za členom:

Dejanja, ki so obkrožena z rdečo, izvajamo v mislih.

Rezultat seštevanja po členih je bilo izginotje spremenljivke l. Prav to je smisel metode – znebiti se ene od spremenljivk.

-4 - l + 5 = 0 → l = 1,

V sistemski obliki je rešitev videti nekako takole:

odgovor: x = -4 , l = 1.

Primer 2.

Podan sistem:

V tem primeru lahko uporabite "šolsko" metodo, vendar ima precej veliko pomanjkljivost - ko izrazite katero koli spremenljivko iz katere koli enačbe, boste dobili rešitev v navadnih ulomkih. Toda reševanje ulomkov zahteva veliko časa in verjetnost napak se poveča.

Zato je bolje uporabiti seštevanje (odštevanje) enačb po členih. Analizirajmo koeficiente ustreznih spremenljivk:

Najti morate število, s katerim se lahko deli 3 in naprej 4 , in nujno je, da je to število najmanjše možno. to najmanjši skupni večkratnik. Če vam je težko najti pravo številko, lahko koeficiente pomnožite: .

Naslednji korak:

Prvo enačbo pomnožimo z,

Tretjo enačbo pomnožimo z,

OGBOU "Izobraževalni center za otroke s posebnimi izobraževalnimi potrebami v Smolensku"

Center za izobraževanje na daljavo

Pouk algebre v 7. razredu

Tema lekcije: Metoda algebraično seštevanje.

1. 1. Vrsta učne ure: Ura začetne predstavitve novega znanja.

Namen lekcije: kontrolirati stopnjo usvojenosti znanja in spretnosti pri reševanju sistemov enačb z metodo substitucije; razvijanje spretnosti in sposobnosti za reševanje sistemov enačb z uporabo seštevanja.

Cilji lekcije:

Predmet: naučiti se reševati sisteme enačb z dvema spremenljivkama z metodo seštevanja.

Metapredmet: Kognitivni UUD: analizirati (poudariti glavno), definirati pojme, posploševati, sklepati. Regulativni UUD: določiti cilj, problem v izobraževalnih dejavnostih. Komunikativni UUD: izrazite svoje mnenje in navedite razloge zanj. Osebni UUD: f oblikovati pozitivno motivacijo za učenje, ustvarjati pozitiven čustven odnos učenca do pouka in predmeta.

Oblika dela: individualno

Koraki lekcije:

1) Organizacijska stopnja.

organizirati študentovo delo na temi skozi ustvarjanje odnosa do celovitosti razmišljanja in razumevanja te teme.

2. Spraševanje študenta o gradivu, dodeljenem za domačo nalogo, obnavljanje znanja.

Namen: preveriti študentovo znanje, pridobljeno med izvedbo Domača naloga, prepoznati napake, delati na napakah. Preglejte gradivo iz prejšnje lekcije.

3. Študij novega gradiva.

1). razvijati sposobnost reševanja sistemov linearnih enačb z uporabo seštevanja;

2). razvijati in izboljševati obstoječe znanje v novih situacijah;

3). gojiti sposobnosti nadzora in samokontrole, razvijati neodvisnost.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Namen: ohraniti vid, lajšati utrujenost oči med delom v razredu.

5. Utrjevanje preučenega gradiva

Namen: preizkusiti znanje, spretnosti in spretnosti, pridobljene pri pouku

6. Povzetek lekcije, informacije o Domača naloga, refleksija.

Napredek lekcije (delo v elektronskem dokumentu Google):

1. Danes sem želel začeti lekcijo z Walterjevo filozofsko uganko.

Kaj je pri nas najhitrejše, a tudi najpočasnejše, največje, a tudi najmanjše, najdaljše in najkrajše, najdražje, a tudi poceni?

Čas

Spomnimo se osnovnih pojmov na temo:

Pred nami je sistem dveh enačb.

Spomnimo se, kako smo reševali sisteme enačb v prejšnji lekciji.

Metoda zamenjave

Še enkrat bodi pozoren na rešeni sistem in mi povej, zakaj ne moremo rešiti vsake enačbe sistema brez uporabe substitucijske metode?

Ker so to enačbe sistema z dvema spremenljivkama. Enačbe lahko rešujemo samo z eno spremenljivko.

Samo s pridobitvijo enačbe z eno spremenljivko smo lahko rešili sistem enačb.

3. Nadaljujemo z reševanjem naslednjega sistema:

Izberimo enačbo, v kateri je priročno izraziti eno spremenljivko skozi drugo.

Te enačbe ni.

Tisti. V tem primeru prej raziskana metoda za nas ni primerna. Kakšen je izhod iz te situacije?

Poiščite novo metodo.

Poskusimo oblikovati namen lekcije.

Naučite se reševati sisteme z novo metodo.

Kaj moramo storiti, da se naučimo reševati sisteme z novo metodo?

poznati pravila (algoritem) za reševanje sistema enačb, opraviti praktične naloge

Začnimo razvijati novo metodo.

Bodi pozoren na sklep, ki smo ga naredili po rešitvi prvega sistema. Sistem je bilo mogoče rešiti šele, ko smo dobili linearno enačbo z eno spremenljivko.

Oglejte si sistem enačb in razmislite, kako iz dveh danih enačb dobiti eno enačbo z eno spremenljivko.

Seštejte enačbe.

Kaj pomeni dodati enačbe?

Ločeno sestavi vsoto levih strani, vsoto desnih strani enačb in izenači dobljene vsote.

Poskusimo. Delava skupaj z mano.

13x+14x+17y-17y=43+11

Dobili smo linearno enačbo z eno spremenljivko.

Ste rešili sistem enačb?

Rešitev sistema je par števil.

Kako najti y?

Najdeno vrednost x zamenjajte v sistemsko enačbo.

Ali je pomembno, v katero enačbo nadomestimo vrednost x?

To pomeni, da lahko najdeno vrednost x zamenjamo v...

katera koli enačba sistema.

Seznanili smo se z novo metodo – metodo algebraičnega seštevanja.

Pri reševanju sistema smo obravnavali algoritem reševanja sistema s to metodo.

Algoritem smo pregledali. Zdaj pa ga uporabimo pri reševanju problemov.

Sposobnost reševanja sistemov enačb je lahko koristna v praksi.

Razmislimo o problemu:

Kmetija ima kokoši in ovce. Koliko je obeh, če imata skupaj 19 glav in 46 nog?

Ker vemo, da je skupaj 19 kokoši in ovac, sestavimo prvo enačbo: x + y = 19

4x - število nog ovce

2у - število nog pri piščancih

Ker vemo, da je samo 46 nog, ustvarimo drugo enačbo: 4x + 2y = 46

Ustvarimo sistem enačb:

Rešimo sistem enačb z algoritmom reševanja z metodo dodajanja.

Težava! Koeficienti pred x in y niso enaki in niso nasprotni! Kaj storiti?

Poglejmo še en primer!

Dodajmo našemu algoritmu še en korak in ga postavimo na prvo mesto: Če koeficienti pred spremenljivkami niso enaki in ne nasprotni, potem moramo za neko spremenljivko izenačiti module! In potem bomo ukrepali po algoritmu.

4. Elektronska telesna vadba za oči: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Nalogo zaključimo z metodo algebraičnega seštevanja, popravljanje nov material in ugotovite, koliko kokoši in ovac je bilo na kmetiji.

Dodatne naloge:

6.

Odsev.

Ocenjujem delo pri pouku -...

6. Uporabljeni internetni viri:

Googlove storitve za izobraževanje

Učiteljica matematike Sokolova N.N.

Algebraična metoda dodajanja

Rešite lahko sistem enačb z dvema neznankama različne poti- grafična metoda ali metoda zamenjave spremenljivk.

V tej lekciji se bomo seznanili z drugo metodo reševanja sistemov, ki vam bo verjetno všeč - to je metoda algebraičnega dodajanja.

Od kod ideja, da bi nekaj postavili v sisteme? Pri reševanju sistemov je glavni problem prisotnost dveh spremenljivk, saj enačb z dvema spremenljivkama ne znamo reševati. To pomeni, da je treba enega od njiju na nek pravni način izključiti. In takšni zakoniti načini so matematična pravila in lastnosti.

Ena od teh lastnosti je: vsota nasprotnih števil je nič. To pomeni, da če ima ena od spremenljivk nasprotne koeficiente, bo njihova vsota enaka nič in to spremenljivko bomo lahko izločili iz enačbe. Jasno je, da nimamo pravice dodajati samo izrazov s spremenljivko, ki jo potrebujemo. Dodati morate celotne enačbe, tj. ločeno dodajte podobne izraze na levi strani, nato na desni. Kot rezultat dobimo novo enačbo, ki vsebuje samo eno spremenljivko. Poglejmo povedano na konkretnih primerih.

Vidimo, da je v prvi enačbi spremenljivka y, v drugi pa nasprotno število-y. To pomeni, da je to enačbo mogoče rešiti s seštevanjem.

Ena od enačb ostane takšna, kot je. Kateri koli vam je najbolj všeč.

Toda drugo enačbo bomo dobili s seštevanjem teh dveh enačb člen za členom. Tisti. Seštejemo 3x z 2x, seštejemo y z -y, seštejemo 8 s 7.

Dobimo sistem enačb

Druga enačba tega sistema je preprosta enačba z eno spremenljivko. Iz nje dobimo x = 3. Če nadomestimo najdeno vrednost v prvo enačbo, dobimo y = -1.

Odgovor: (3; - 1).

Vzorčna zasnova:

Rešite sistem enačb z metodo algebraičnega seštevanja

V tem sistemu ni spremenljivk z nasprotnimi koeficienti. Vemo pa, da lahko obe strani enačbe pomnožimo z istim številom. Pomnožimo prvo enačbo sistema z 2.

Potem bo prva enačba dobila obliko:

Zdaj vidimo, da ima spremenljivka x nasprotne koeficiente. To pomeni, da bomo naredili enako kot v prvem primeru: eno od enačb bomo pustili nespremenjeno. Na primer, 2y + 2x = 10. In drugo dobimo z dodatkom.

Zdaj imamo sistem enačb:

Z lahkoto najdemo iz druge enačbe y = 1 in nato iz prve enačbe x = 4.

Vzorčna zasnova:

Naj povzamemo:

Naučili smo se reševati sistem dveh linearnih enačb z dvema neznana metoda algebraično seštevanje. Tako danes poznamo tri glavne metode za reševanje takih sistemov: grafično, metodo zamenjave spremenljivk in metodo dodajanja. S temi metodami je mogoče rešiti skoraj vsak sistem. V bolj zapletenih primerih se uporablja kombinacija teh tehnik.

Seznam uporabljene literature:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. razred v 2 delih, 1. del, učbenik za izobraževalne ustanove/ A.G. Mordkovič. – 10. izd., revidirano – Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. razred v 2 delih, 2. del, Problemska knjiga za izobraževalne ustanove / [A.G. Mordkovič in drugi]; uredil A.G. Mordkovich - 10. izdaja, popravljena - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
3. NJENA. Tulchinskaya, Algebra 7. razred. Blitz anketa: priročnik za študente splošnoizobraževalnih ustanov, 4. izdaja, revidirana in razširjena, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. razred. Tematsko preizkusno delo v nova oblika za študente splošnoizobraževalnih ustanov, uredil A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. razred. Samostojno delo za študente splošnoizobraževalnih ustanov, uredil A.G. Mordkovich - 6. izdaja, stereotipna, Moskva, "Mnemosyne", 2010.