Pagtatanghal sa paksang "prinsipyo ng Dirichlet". Prinsipyo ng Dirichlet. Mga Problema at Solusyon Isaalang-alang ang mga halimbawa ng iba't ibang problemang nalutas gamit ang prinsipyong Dirichlet

Hypothesis: ang paglalapat ng naaangkop na mga pormulasyon ng prinsipyong Dirichlet ay ang pinaka makatwirang diskarte sa paglutas ng mga problema. Ang pinakaginagamit na pormulasyon ay: "Kung mayroong n + 1 "rabbit" sa n hawla, iyon ay, isang hawla kung saan mayroong hindi bababa sa 2" kuneho " Hypothesis: ang paggamit ng naaangkop na mga pormulasyon ng prinsipyo ng Dirichlet ay ang pinaka makatwirang diskarte sa paglutas ng mga problema. Ang pinakakaraniwang ginagamit na pormulasyon ay: "Kung mayroong n + 1 "rabbit" sa n hawla, iyon ay, isang hawla kung saan mayroong hindi bababa sa 2 "rabbit" Layunin: mag-aral, isa sa mga pangunahing pamamaraan ng matematika, ang prinsipyo ng Dirichlet

Ang prinsipyong ito ay nagsasaad na kung ang isang hanay ng mga elemento ng N ay nahahati sa n hindi magkakapatong na mga bahagi na walang mga karaniwang elemento, kung saan ang N>n kung gayon ang hindi bababa sa isang bahagi ay magkakaroon ng higit sa isang elemento. Kadalasan, ang prinsipyo ng Dirichlet ay nakasaad sa isa ng mga sumusunod na anyo: Kung mayroong n + 1 "rabbit" sa n cell, mayroong isang cell na may hindi bababa sa 2 "rabbit"

U1. "Kung walang higit sa n-1 na "rabbit" sa n cell, mayroong isang walang laman na cell" U1. "Kung walang higit sa n-1 na "rabbit" sa n mga cell, mayroong isang walang laman na cell" Y2. "Kung mayroong n + 1 "rabbit" sa n cell, mayroong isang cell kung saan mayroong hindi bababa sa 2 "rabbit"" Y3. "Kung hindi hihigit sa nk-1 "rabbit" sa n cell, hindi hihigit sa k-1 "rabbit" Y4 ang nakaupo sa isa sa mga cell. "Kung mayroong hindi bababa sa n k + 1 "rabbit" sa n mga cell, pagkatapos ay mayroong hindi bababa sa k+1 na "rabbit" sa isa sa mga cell"

U5. "Continuous Dirichlet na prinsipyo. "Kung ang arithmetic mean ng ilang numero ay mas malaki kaysa sa a, kung gayon kahit isa sa mga numerong ito ay mas malaki kaysa sa a"; Y6. "Kung ang kabuuan ng n mga numero ay mas mababa sa S, kung gayon kahit isa sa ang mga numerong ito ay mas mababa sa S / n." V7: "Sa mga p + 1 integer, mayroong dalawang integer na nagbibigay ng parehong natitira kapag hinati sa p."

Gawain. 800,000 fir ang lumalaki sa coniferous forest. Ang bawat spruce ay may hindi hihigit sa 500,000 karayom. Patunayan na mayroong hindi bababa sa dalawang puno ng fir na may parehong bilang ng mga karayom. Scientific classification Kaharian: Plants Division: Gymnosperms Class: Conifers Family: Pine Species: Spruces

Geometric na problema Mayroong 4 na puntos sa loob ng isosceles trapezoid na may side 2. Patunayan na ang distansya sa pagitan ng ilang dalawa sa kanila ay mas mababa sa 1. Solusyon. Hatiin natin ang trapezoid na may gilid 2 sa tatlong tatsulok na may gilid 1. Tawagan natin silang "mga cell", at ang mga punto - "mga kuneho". Ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, sa apat na puntos, hindi bababa sa dalawa ang nasa isa sa tatlong tatsulok. Ang distansya sa pagitan ng mga puntong ito ay mas mababa sa 1 dahil ang mga punto ay hindi namamalagi sa mga vertice ng mga tatsulok

Combinatorics task May mga bola ng 4 na magkakaibang kulay sa isang kahon (maraming puti, maraming itim, maraming asul, maraming pula). Ano ang pinakamaliit na bilang ng mga bola na dapat alisin sa pamamagitan ng pagpindot sa bag upang dalawa sa kanila ay magkapareho ang kulay? Solusyon Kumuha tayo ng mga bola para sa "mga kuneho", at para sa "mga cell" - itim, puti, asul, pulang kulay. Mayroong 4 na mga cell, kaya kung mayroong hindi bababa sa 5 mga kuneho, kung gayon ang ilang dalawa ay mahuhulog sa isang cell (magkakaroon ng 2 isang kulay na bola).

Problema Binigyan ka ng n+1 magkakaibang natural na numero. Patunayan na ang isa ay maaaring pumili mula sa kanila ng dalawang numero A at B na ang pagkakaiba ay nahahati sa n Problema Patunayan na sa n + 1 magkaibang natural na mga numero ay mayroong hindi bababa sa dalawang numero A at B upang ang bilang na A2 - B2 ay nahahati sa n. Patunayan na ang (А – B)(A+B) ay isang multiple ng n Problema Patunayan na sa n+1 magkaibang natural na mga numero mayroong hindi bababa sa dalawang numero A at B upang ang bilang na A3 – B3 ay nahahati sa n. Patunayan natin na ang (А – B)(A2+AB +B2) ay isang multiple ng n

Fermat's Little Theorem Kung ang p ay isang prime number, ang a ay isang integer na hindi mahahati ng p, kung gayon ang p-1 kapag hinati sa p ay nagbibigay ng natitirang 1 Proof Bawat isa sa mga p - 1 na numero a, 2a, . . ., (p-1) a ("rabbit") ay nagbibigay ng hindi-zero na natitira kapag hinati sa p (dahil ang a ay hindi nahahati sa p)

Ang aming proyekto ay pang-edukasyon, praktikal na aplikasyon. Sa school round ng Olympiad, isang problema ang nakatagpo. Nagpasya kaming pag-aralan ang isyung ito nang mas detalyado: - Nakilala namin ang literatura sa paksang ito. - Itinuturing na makasaysayang materyal. - Pinag-aralan ang prinsipyo ng Dirichlet. - Inihanda ang abstract at presentasyon. - Natutunan kung paano gamitin ito upang malutas ang mga problema. - Plano naming makipag-usap sa mga mag-aaral ng ika-6 na baitang.

Si Dirichlet ay ipinanganak sa Westphalian city ng Düren sa pamilya ng isang postmaster. Sa edad na 12, nagsimulang mag-aral si Dirichlet sa isang gymnasium sa Bonn, makalipas ang dalawang taon sa isang Jesuit gymnasium sa Cologne, kung saan, bukod sa iba pang mga guro, tinuruan siya ni Georg Ohm. Mula 1822 hanggang 1827 nanirahan siya bilang isang home teacher sa Paris, kung saan lumipat siya sa bilog ng Fourier. Talambuhay

Noong 1827 nakakakuha ng trabaho bilang Privatdozent sa Unibersidad ng Breslau (Wroclaw). - Noong 1829, lumipat siya sa Berlin, kung saan patuloy siyang nagtrabaho sa loob ng 26 na taon, una bilang isang assistant professor. - Pagkatapos mula 1831 bilang isang pambihirang propesor. - Mula noong 1839 bilang isang ordinaryong propesor sa Unibersidad ng Berlin. Noong 1855, si Dirichlet ay naging, bilang kahalili ni Gauss, propesor ng mas mataas na matematika sa Unibersidad ng Göttingen. Talambuhay

Kung ang m hares ay nakaupo sa n cell, at m > n, kung gayon ang hindi bababa sa dalawang hares ay nakaupo sa hindi bababa sa isang cell. n, tapos kahit dalawang hares ang nakaupo sa kahit isang kulungan."> n, tapos kahit dalawang hares ang nakaupo sa kahit isang kulungan." > n, tapos kahit dalawang hares man lang." title="(! LANG:Kung mayroong m liyebre sa n kulungan, at m > n, kung gayon mayroong hindi bababa sa dalawang liyebre sa kahit isang kulungan."> title="Kung ang m hares ay nakaupo sa n cell, at m > n, kung gayon ang hindi bababa sa dalawang hares ay nakaupo sa hindi bababa sa isang cell."> !}

Kung mayroong m kalapati sa n mga selula, at m

N, pagkatapos ay kahit isang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at hindi bababa sa isa pang cell na naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares." title="Generalized Dirichlet principle Ipagpalagay na ang m hares ay nakaupo sa n Pagkatapos kung m > n, pagkatapos ay kahit man lang isang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at kahit isa pang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares." class="link_thumb"> 9 !} Generalized Dirichlet's Principle Ipagpalagay na ang mga liyebre ay nakaupo sa n mga kulungan. Kung m > n, kung gayon ang kahit isang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at kahit isa pang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares. n, pagkatapos ay kahit man lang isang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at hindi bababa sa isa pang cell na naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares."> n, pagkatapos ay kahit isang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at hindi bababa sa ang isa pang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares."> n, pagkatapos ay hindi bababa sa isang cell na naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at kahit isa pang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares. " title="(!LANG) :Generalized Dirichlet na prinsipyo higit sa m:n hares."> title="Generalized Dirichlet's Principle Ipagpalagay na ang mga liyebre ay nakaupo sa n mga kulungan. Kung m > n, kung gayon ang kahit isang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares, at kahit isa pang cell ay naglalaman ng hindi bababa sa m:n hares."> !}

12, kung gayon, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa "title="May 15 na mag-aaral sa klase. Patunayan na mayroong hindi bababa sa 2 mag-aaral na nagdiriwang ng kaarawan sa isang buwan. Solusyon: Hayaan ang 15 mag-aaral na maging "hares" Pagkatapos ang "mga cell" ay magiging mga buwan ng taon, mayroong 12 sa kanila. Mula noong 15>12, kung gayon, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa" class="link_thumb"> 10 !} Mayroong 15 mag-aaral sa klase. Patunayan na mayroong hindi bababa sa 2 mag-aaral na nagdiriwang ng kanilang mga kaarawan sa parehong buwan. Solusyon: Hayaang maging "hares" ang 15 estudyante. Pagkatapos ang "mga cell" ay magiging mga buwan ng taon, mayroong 12 sa kanila. Dahil 15> 12, kung gayon, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa isang "cell" kung saan hindi bababa sa 2 "hares" ang uupo . Sagot: May isang buwan kung saan ipagdiriwang ang kaarawan ng hindi bababa sa 2 mag-aaral ng klase. Gawain 1. 12, pagkatapos, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa "\u003e 12", pagkatapos, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa isang "hawla" kung saan uupo ang hindi bababa sa 2 "liyebre." Sagot: Doon ay isang buwan , kung saan ipagdiriwang ang mga kaarawan ng hindi bababa sa 2 mag-aaral ng klase. Problema 1."> 12, pagkatapos, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa" title="Mayroong 15 mga mag-aaral sa klase Patunayan na mayroong hindi bababa sa 2 mag-aaral na nagdiriwang ng kaarawan sa loob ng isang buwan Solusyon: Hayaang maging “hares” ang 15 na estudyante."> title="Mayroong 15 mag-aaral sa klase. Patunayan na mayroong hindi bababa sa 2 mag-aaral na nagdiriwang ng kanilang mga kaarawan sa parehong buwan. Solusyon: Hayaang maging "hares" ang 15 estudyante. Pagkatapos ang "mga cell" ay magiging mga buwan ng taon, mayroong 12 sa kanila. Dahil 15>12, kung gayon, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong hindi bababa sa"> !}

Gumawa si Kolya ng 8 butas sa isang 3x3 meter na karpet. Patunayan na posibleng mag-cut ng 1x1 meter rug na walang butas sa loob nito. Solusyon: Pinutol namin ang carpet sa 9 na alpombra na may sukat na 1x1 metro, dahil mayroong 9 na alpombra - "mga cell", at 8 butas - "mga kalapati." Sagot: May alpombra na walang butas sa loob. Gawain 2.

Mayroong 27 mag-aaral sa grade 3A na 109 na tula lamang ang alam. Patunayan na may isang mag-aaral na nakakaalam ng hindi bababa sa 5 tula. Solusyon: Ipagpalagay na hindi hihigit sa 4 na tula ang alam ng bawat mag-aaral. So, 27 schoolchildren know not more than 427 = 108 (poems) Answer: So may schoolboy na marunong kahit 5 poems. Gawain 3.

Mayroong 15 paaralan sa lungsod. 6015 mga mag-aaral ang nag-aaral sa kanila. Mayroong 400 upuan sa concert hall ng City Palace of Culture. Patunayan na may isang paaralan na hindi kasya ang mga estudyante sa silid na ito. Solusyon: Ipagpalagay na ang bawat paaralan ay hindi hihigit sa 400 mag-aaral. Kaya sa lahat ng paaralan = 6000 (mga mag-aaral). Sagot: Kaya naman, ang mga mag-aaral ng paaralang ito ay hindi magkakasya sa isang bulwagan na may 400 na upuan. Gawain 4.

Ang paaralan ay may 5 ikawalong baitang: 8A, ..., 8D. Bawat isa sa kanila ay may 32 estudyante. Patunayan na mayroong 14 na tao na ipinanganak sa parehong buwan. Solusyon: Ipagpalagay na hindi hihigit sa 13 mag-aaral ang ipinanganak sa bawat buwan. Kaya sa loob ng 12 buwan 1213 = 156 (mga mag-aaral) ang ipinanganak. Ngunit ayon sa kondisyon, 532 = 160 (tao) ang nag-aaral sa paaralan. Sagot: Kaya, mayroong isang buwan kung saan higit sa 13 mga mag-aaral ang ipinanganak, iyon ay, hindi bababa sa 14. Problema 5.

Mayroong 5 puntos sa loob ng isang equilateral triangle na may gilid na 1 cm. Patunayan na ang distansya sa pagitan ng ilang dalawa sa kanila ay mas mababa sa 0.5cm. Solusyon: Makakakuha ka ng 4 na "cells" sa pamamagitan ng pagsira ng equilateral triangle sa pamamagitan ng pagguhit ng mga segment na nagkokonekta sa gitna ng mga gilid. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng 4 na equilateral triangle na may mga gilid na 0.5 cm, na magiging aming "mga cell". Gawain 6.

4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos." title="2 1 4 3 Triangles - "cells", 5 points - 5 " hares". 5 >4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5 cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos." class="link_thumb"> 16 !} Triangles - "mga cell", 5 puntos - 5 "hares". 5>4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5 cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos. 4, ayon sa prinsipyo ni Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5 cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos. "> 4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5 cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos."> 4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos." title="2 1 4 3 Triangles - "cells ", 5 puntos - 5 "hares". 5 >4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5 cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos."> title="2 1 4 3 Triangles - "mga cell", 5 puntos - 5 "hares". 5>4, ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, mayroong isang equilateral triangle na may gilid na 0.5 cm, na naglalaman ng hindi bababa sa dalawang puntos."> !} Konklusyon: Kaya, ang paglalapat ng pamamaraang ito, kinakailangan upang: Tukuyin kung ano ang maginhawa sa problema na kunin para sa "mga cell" at kung ano ang para sa "hares". Kumuha ng "mga cell"; kadalasan ay may mas kaunti (mas) "mga cell" kaysa sa "hares" ng isa (o higit pa). Piliin ang kinakailangang pagbabalangkas ng prinsipyo ng Dirichlet para sa solusyon. Ang prinsipyo ni Dirichlet ay mahalaga, kawili-wili, kapaki-pakinabang. Maaari itong magamit sa pang-araw-araw na buhay, na nagpapaunlad ng lohikal na pag-iisip. Maraming problema sa Olympiad ang nalutas gamit ang espesyal na pamamaraang ito. Pinapayagan nito ang paglalahat.

Prinsipyo ng Dirichlet. Mga Hamon at Solusyon

Pangunahing impormasyon. Ang pinakasikat na pormulasyon ng prinsipyo ng Dirichlet ay ang mga sumusunod: "Kung mayroong m hares sa n cell, at m > n, kung gayon hindi bababa sa dalawang hares ang nakaupo sa hindi bababa sa isang cell." Ang prinsipyo ni Dirichlet ay napakasimple at halata na maaari itong ilapat nang hindi nalalaman ang pagbabalangkas nito.

Isang pangkalahatang pormulasyon ng prinsipyo: "Kung ang isang set na binubuo ng Nk + 1 elemento ay nahahati sa k set, kung gayon ang hindi bababa sa isang subset ay maglalaman ng hindi bababa sa N + 1 elemento" o "Kung ang isang set na binubuo ng m mga elemento ay hinati. sa mga k subset, pagkatapos ay kahit isang subset ay maglalaman ng hindi bababa sa m/k na elemento"

Ang prinsipyo ng Dirichlet ay may geometric na pagbabalangkas: A) kung ang isang segment ng haba l ay nahahati sa n mga segment (na walang mga karaniwang panloob na punto), kung gayon ang haba ng pinakamalaking segment ay hindi bababa sa l / n, at ang haba ng pinakamaliit na segment ay hindi hihigit sa l / n B) kung ang figure na may lugar S ay nahahati sa n bahagi (na walang mga karaniwang panloob na punto), kung gayon ang lugar ng pinakamalaking figure ay hindi mas mababa sa S / n, at ang ang lugar ng pinakamaliit ay hindi hihigit sa S / n

Mga Problema at Mga Halimbawa ng Solusyon Problema 1. Anim na puntos sa pangkalahatang posisyon ang ibinibigay sa eroplano (walang tatlo sa kanila ang nakahiga sa parehong linya). Anumang dalawang punto ay konektado sa pamamagitan ng isang segment, ang bawat segment ay may kulay alinman sa pula o asul. Patunayan na mayroong isang tatsulok na may mga vertice sa mga ibinigay na punto, ang lahat ng panig nito ay may parehong kulay. Solusyon. Tukuyin natin ang mga puntong ito bilang A1, A2, A3, A4, A5, A6. Mula sa puntong A1 ay may 5 segment ng dalawang kulay. Ayon sa prinsipyo ng Dirichlet, kabilang sa mga segment na ito ay mayroong 3 mga segment ng parehong kulay. Hayaan, para sa pagiging konkreto, ito ay mga segment na A1 A2, A1 A3, A1 A4 ng pulang kulay. Isaalang-alang ang mga segment na A2 A3, A3 A4, A2 A4. Mga posibleng kaso: A) sa mga segment na ito ay may pula, halimbawa A2 A3. Pagkatapos sa tatsulok A1 A2 A3 lahat ng panig ay pula; B) walang mga pula sa mga segment na ito. Pagkatapos sa tatsulok A2, A3, A4 lahat ng panig ay asul.

Problema 2. Mayroong 1991 na puntos sa isang parisukat na may gilid na 6 cm. Patunayan na ang isang parisukat na ang gilid ay 5 cm ay maaaring sumaklaw ng hindi bababa sa 664 sa mga puntong ito. Solusyon. Madaling makita na ang 664 ay humigit-kumulang sa ikatlong bahagi ng 1991, katulad ng 1991 = 3*663+2. Samakatuwid, para sa anumang partisyon ng isang set na binubuo ng 1991 na mga puntos sa tatlong subset, kahit isa sa mga subset na ito ay maglalaman ng 664 o higit pang mga puntos. Kaya, upang malutas ang problema, sapat na upang ipakita na ang isang parisukat na may isang gilid na 6 cm ay maaaring nahahati sa tatlong bahagi, na ang bawat isa ay maaaring sakop ng isang parisukat na may isang gilid na 5 cm. Ito ay makikita mula sa figure kung saan ang AK=5cm, BO=3v2cm

Solusyon. Ipagpalagay na sa ilang matambok na 2n-gon ang bawat dayagonal ay parallel sa ilang panig. Ang ideya ng pagkuha ng isang kontradiksyon ay ang mga sumusunod: pinipili namin ang pinakamalaking pangkat ng magkaparehong parallel na mga diagonal at ipinapakita na ang gayong bilang ng mga diagonal ay hindi maaaring ilagay sa loob ng isang matambok na 2n-gon. Samakatuwid, hinahati namin ang lahat ng diagonal sa mga pangkat ng magkaparehong parallel na diagonal. Mayroong hindi hihigit sa 2n tulad ng mga grupo (ang ilang mga panig ay maaaring magkatulad sa bawat isa). Ang bilang ng lahat ng diagonal ay = 2n*(n - 1.5), kaya mayroong hindi bababa sa (n - 1) diagonal sa ilang grupo. Ang mga (n - 1) na dayagonal na ito ay kahanay sa ilang panig A1 A2 at nakahiga na may kaugnayan dito sa isang kalahating eroplano. Ngunit pagkatapos ay mayroong 2n vertices sa gilid na ito at sa mga (n - 1) na diagonal, i.e. ang sa mga dayagonal, na namamalagi hangga't maaari mula sa gilid A1 A2, ay dapat na nasa gilid ng 2n-gon. Kontradiksyon. pagkatapos ay ang pagpapalagay ay mali, kaya mayroong isang dayagonal na hindi parallel sa alinman sa mga panig. Suliranin 3. Patunayan na sa isang arbitraryong matambok na 2n-gon ay may dayagonal na hindi parallel sa alinman sa mga gilid.

Solusyon. Hatiin natin ang parisukat sa 50 parihaba na may mga gilid na 1 cm at 2 cm. Pagkatapos ay hindi bababa sa isa sa mga parihaba na ito ang hindi maglalaman ng mas mababa sa 3 puntos. Ang tatlong puntos na ito ay bumubuo ng isang tatsulok na ang lugar ay hindi lalampas sa kalahati ng lugar ng rektanggulo kung saan matatagpuan ang tatsulok na ito. Problema 4. Sa loob ng isang parisukat na may gilid na 10 cm, 101 puntos ang "itinapon" (walang tatlo sa kanila ang nakahiga sa parehong linya). Patunayan na sa mga puntong ito ay mayroong tatlo na bumubuo ng isang tatsulok na ang lawak ay hindi lalampas sa 1 cm2.

Mga gawain para sa malayang solusyon. Problema 1. Patunayan na mula sa di-makatwirang 52 integer ang isa ay palaging makakapili ng dalawa na ang kabuuan o pagkakaiba ay nahahati sa 100. Problema 2. Patunayan na mayroong natural na numero na ang huling apat na digit ay 1972 at kung saan ay nahahati sa 1971. Problema 3. Ay posible bang makahanap ng natural na exponent ng numero 3, na nagtatapos sa 0001?

Gawain 4. May mga medyas sa isang kahon: 10 itim, 10 asul, 10 puti. Ano ang pinakamaliit na bilang ng mga medyas na kailangan mong bunutin, sa kabila ng katotohanan na kabilang sa mga nakaunat ay mayroong dalawang medyas: a) ng parehong kulay; b) iba't ibang kulay; c) itim? Gawain 5. Mayroong 25 na mag-aaral sa klase. Ito ay kilala na sa alinman sa tatlo sa kanila ay may dalawang kaibigan. Patunayan na mayroong isang mag-aaral na may hindi bababa sa 12 kaibigan. Problema 6. Isang komisyon ng 60 katao ang nagdaos ng 40 pagpupulong, bawat isa ay dinaluhan ng eksaktong 10 miyembro ng komisyon. Patunayan na ang ilang 2 miyembro ng komisyon ay nagpulong sa mga pulong nang hindi bababa sa dalawang beses.

Problema 7. Sa loob ng isang regular na heksagono na may gilid na 3 cm, 55 puntos ang random na inilalagay, walang tatlo sa mga ito ay nasa parehong linya. Patunayan na sa kanila ay mayroong tatlong puntos na bumubuo ng isang tatsulok na ang lawak ay hindi lalampas sa v3/4cm2. Problema 8. Ibinigay sa n+1 magkakaibang natural na numero, ang bawat isa ay mas mababa sa 2n. Patunayan na mula sa kanila posible na pumili ng 3 tulad ng mga numero, ang isa ay katumbas ng kabuuan ng iba pang dalawa. Problema 9. Patunayan na sa 52 integer ay palaging may dalawa na ang pagkakaiba ng mga parisukat ay nahahati sa 100.

Gawain 10. 11 mag-aaral ay nakikibahagi sa 5 bilog ng bahay ng kultura. Patunayan na mayroong dalawang mag-aaral na A at B upang ang lahat ng mga lupon na dinaluhan ni A ay dinaluhan din ng B. Problema 11. Patunayan na sa alinmang 10 integer ay mayroong ilan (maaaring isa) na ang kabuuan ay nahahati sa 10. Problema 12. May mga 17 puntos sa eroplano, walang tatlo ang nasa parehong tuwid na linya. Anumang dalawang punto ay konektado sa pamamagitan ng isang segment ng linya. Ang bawat segment ay may kulay na pula, asul, o berde. Patunayan na mayroong isang tatsulok na may mga vertice sa mga ibinigay na punto, ang lahat ng panig nito ay may parehong kulay.

Problema 13. Ang bawat punto ng eroplano ay pininturahan ng puti o itim. Patunayan na sa eroplanong ito mayroong isang tatsulok na may mga anggulo na 300, 600, 900 at hypotenuse 2, na ang mga vertices ay may parehong kulay Problema 14. 51 puntos ay kinuha sa isang parisukat na ang panig ay katumbas ng 1. Patunayan na ang ilang tatlo sa mga puntong ito ay kinakailangang nasa loob ng isang bilog na radius na 1/7. Problema 15. Mayroong 25 puntos sa eroplano, at sa tatlo ay may dalawa sa layo na mas mababa sa 1. Patunayan na mayroong isang bilog ng radius 1 na naglalaman ng hindi bababa sa 13 na ibinigay na mga puntos.

Problema 16. Sa isang segment na may haba 1, ilang mga segment ang nililiman sa paraang hindi katumbas ng 0.1 ang distansya sa pagitan ng arbitrary na dalawang may kulay na mga punto. Patunayan na ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng may kulay na mga segment ay hindi lalampas sa 0.5. Problema 18. Ibinigay ang isang walang katapusang papel sa isang kahon at isang figure na ang lugar ay mas mababa kaysa sa lugar ng kahon. Patunayan na ang figure na ito ay maaaring ilagay sa papel sa paraang hindi nito saklaw ang alinman sa mga vertex ng cell. Problema 17. Ang mga numero 21 - 1.22 - 1.23 - 1,…,2n-1 ay ibinibigay, kung saan ang n3 ay isang unpared na numero. Patunayan na kahit isa sa mga binigay na numero ay nahahati sa n.

Salamat sa iyong atensyon!

Dirichlet Peter August Lejeune (1805-1859) -
German mathematician, dayuhang kaukulang miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences
(1837), miyembro ng marami pang ibang akademya.
Si Dirichlet ay ipinanganak sa Westphalian city ng Düren sa pamilya ng isang postmaster.
Sa edad na 12, nagsimulang mag-aral si Dirichlet sa isang gymnasium sa Bonn, makalipas ang dalawang taon
Jesuit gymnasium sa Cologne, kung saan, bukod sa iba pang mga guro, ang kanyang
itinuro ni Georg Ohm. Mula 1822 hanggang 1827 nanirahan siya bilang isang home teacher sa
Paris, kung saan siya umikot sa bilog ng Fourier. Noong 1827. nakakakuha ng trabaho
Privatdozent sa Unibersidad ng Breslau. Noong 1829 siya
lumipat sa Berlin, kung saan siya ay nagtrabaho nang tuluy-tuloy sa loob ng 26 na taon, una
bilang isang assistant professor. Pagkatapos mula 1831 bilang isang pambihirang propesor. Mula noong 1839
bilang tenured professor sa Unibersidad ng Berlin. Noong 1855 Dirichlet
nagiging, bilang kahalili ni Gauss, propesor ng mas mataas
matematika sa Unibersidad ng Göttingen.

Sa combinatorics, ang Dirichlet na prinsipyo ay isang pahayag na nagtatatag
komunikasyon sa pagitan ng mga bagay ("rabbit") at mga lalagyan ("mga kulungan")
kapag natugunan ang ilang mga kundisyon. sa Ingles at ilan
sa ibang mga wika ang pahayag ay kilala bilang "prinsipyo ng mga kalapati at
mga kahon" kapag ang mga bagay ay kalapati at ang mga lalagyan ay
mga kahon.
9 na mga cell ay naglalaman ng 7 kalapati,
ayon sa prinsipyo
Dirichlet man lang
9-7=2 espasyong libre
9 na mga cell ay naglalaman ng 10 kalapati,
ayon sa Dirichlet na prinsipyo ng hindi bababa sa
ay nasa iisang selda
higit sa isang kalapati

Salita

Ang pinakakaraniwan ay ang mga sumusunod
pananalita
ang prinsipyong ito:
Kung ang mga kuneho ay nakaupo sa mga kulungan, at
ang bilang ng mga kuneho ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga selula, kung gayon bagaman
kung mayroong higit sa isa sa isa sa mga cell
isang kuneho.
Ang isang mas pangkalahatang pagbabalangkas ay
Kaya:
Kung ang mga kuneho ay nakaupo sa n mga kulungan, kung gayon bagaman
magkakaroon ng hindi bababa sa m/n sa isang cell
kuneho, pati na rin ang hindi bababa sa isang hawla
mayroong hindi hihigit sa m/n kuneho.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng iba't ibang problemang nalutas gamit ang Dirichlet na prinsipyo.

1. Mayroong 15 mag-aaral sa klase. Patunayan
na mayroong hindi bababa sa 2 mag-aaral
nagdiriwang ng kaarawan sa parehong buwan.
SOLUSYON:
Hayaang maging "hares" ang 15 estudyante. Pagkatapos ay "mga cell"
magkakaroon ng mga buwan ng taon, mayroong 12 sa kanila. Mula noong 15\u003e 12, kung gayon, ayon sa
Dirichlet na prinsipyo, mayroong kahit isa
isang hawla na naglalaman ng hindi bababa sa 2
"liyebre". Ibig sabihin, may isang buwan kung saan magkakaroon
magdiwang ng kaarawan man lang
2 mag-aaral sa klase.

Bibigyan ka ng 12 integer. Patunayan na ang isa ay maaaring pumili ng 2 sa kanila na ang pagkakaiba ay nahahati sa 11.

SOLUSYON
Kunin natin ang mga numero para sa "hares". Dahil mayroong 12 sa kanila, kung gayon
Ang "mga cell" ay dapat na mas kaunti. Hayaan ang "mga cell"
ay ang natitira sa isang integer na hinati ng 11.
Magkakaroon ng 11 "cell" sa kabuuan: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.10. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Dirichlet na prinsipyo, mayroon
"hawla", na uupo ng hindi bababa sa 2
"liyebre", ibig sabihin, mayroong 2 integer na may isa
natitira. At ang pagkakaiba ng dalawang numero na may pareho
ang natitirang bahagi ng dibisyon ng 11 ay mahahati ng 11

Gumawa si Kolya ng 8 butas sa isang 3x3 meter na karpet. Patunayan na posibleng mag-cut ng 1x1 meter rug na walang butas sa loob nito.

Gumawa si Kolya ng 8 butas sa isang 3x3 meter na karpet.
Patunayan na posible na i-cut ang isang alpombra ng laki
1x1 meter na walang butas sa loob.
(Ang mga butas ay maaaring ituring na may tuldok.)
SOLUSYON
Dito ang mga butas ay magiging "hares".
Gupitin ang karpet sa 9 na alpombra
mga sukat na 1x1 metro. kasi
mga alpombra - "mga cell" - 9, at mga butas na "hares" - 8, pagkatapos ay mayroong hindi bababa sa
isang "cell" kung saan walang
"hares", ibig sabihin, may alpombra
walang butas sa loob.

Kaya, gamit ang pamamaraang ito, kailangan mong:
Tukuyin kung ano ang maginhawa sa problema na kunin para sa "mga cell", at
anong uri ng "hares".
Kumuha ng "mga cell"; kadalasan mayroong mas kaunting "mga cell"
(higit pa) kaysa sa "hares" ng isa (o higit pa).
Piliin ang kinakailangang salita para sa solusyon
Prinsipyo ni Dirichlet.
Ang prinsipyo ni Dirichlet ay mahalaga, kawili-wili, kapaki-pakinabang. Ang kanyang
maaaring ilapat sa pang-araw-araw na buhay, na bubuo
lohikal na pag-iisip.
Maraming problema sa Olympiad ang nalutas gamit ito
espesyal na pamamaraan. Pinapayagan nito ang paglalahat.