Funksiya qrafikinin eskizi. Funksiya qrafikinin eskizi (kəsr-kvadrat funksiya nümunəsindən istifadə etməklə). Şəxsi məlumatların qorunması

1. Funksiya qrafiklərinin eskizlərinin qurulması metodikası

2. Nömrə 1-in həlli

3. 2 nömrəli misalın həlli

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Şəxsi məlumatların qorunması

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək


Funksiya qrafiklərinin çəkilməsi. . . . . . . . . . . .
1. Qrafik qurarkən funksiyanın öyrənilməsini planlaşdırın. .
2. Funksiyaların tədqiqinin əsas anlayışları və mərhələləri. . . .
1. D f və çoxluq funksiyasının oblastı
E f funksiyasının qiymətləri. Xüsusi xüsusiyyətlər
funksiyaları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Asimptotların öyrənilməsi. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Şaquli asimptotlar. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Oblik (üfüqi) asimptotlar. . . . . . .
2.3. Şaquli olmayan asimptotların öyrənilməsi üsulları. .
2.4. Funksiya qrafikinin nisbi mövqeyi
və onun asimptotları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Funksiya qrafikinin eskizinin çəkilməsi. . . . . . . . . .
4. Artan və azalan funksiyanın bölmələri
Minimum və maksimum xallar. . . . . . . . . . . . . . .
5. Qabarıq funksiyası yuxarı və aşağı
Bükülmə nöqtələri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Funksiyanın diferensiallaşdırılması, analitik
ifadəsində modul var. . . . . . . . . . . . .
4. Tədqiqat nəticələrinə qoyulan əsas tələblər
və hiylə qurmaq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Funksiyaların tədqiqi və qurulması nümunələri
funksiya qrafikləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Əyrilərin çəkilməsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Əyrilərin tədqiqi və qurulması planı. . . . . . . . . .

2. Əyrilərin tədqiqinin əsas anlayışları və mərhələləri. . . . .
	x x t və y y t funksiyalarının öyrənilməsi. . . . . . .
	Tədqiqat nəticələrinin istifadəsi x x t . .
2.1. Əyrinin şaquli asimptotları. . . . . . . . . . .
2.2. Əyrinin maili (üfüqi) asimptotları. .
	Nəticələrin təhlili və eskizin qurulması
funksiya qrafikası. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Artan və azalan əyrinin bölmələri
Funksiyaların minimum və maksimum nöqtələri
x x y və y y x , əyrinin uc nöqtələri. . . . . . .
	Qabarıq funksiyası yuxarı və aşağı. Bükülmə nöqtələri. .
3. Parametrlə müəyyən edilmiş əyrilərin qurulması. . . . . .
Misal 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misal 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Müstəqil həll üçün problemlər. . . . . .
Cavablar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Qrafik funksiyaları

1. Qrafik qurarkən funksiyanın öyrənilməsini planlaşdırın

1. Funksiyanın tərif sahəsini tapın. Çox vaxt funksiyanın bir neçə dəyərini nəzərə almaq faydalıdır. Funksiyanın xüsusi xassələrini araşdırın: cüt, tək; dövrilik, simmetriya xassələri.

2. Funksiya qrafikinin asimptotlarını araşdırın: şaquli, maili. Funksiya qrafikinin və onun maili (üfüqi) asimptotlarının nisbi mövqeyini təhlil edin.

3. Qrafikin eskizini çəkin.

4. Funksiyanın monotonluq sahələrini tapın: artan və azalan. Funksiyanın ekstremumunu tapın: minimumlar və maksimumlar.

Funksiya törəməsinin kəsilmə nöqtələrində və funksiyanın təyini oblastının sərhəd nöqtələrində (birtərəfli törəmələr varsa) birtərəfli törəmələri tapın.

5. Funksiyanın qabarıqlıq intervallarını və əyilmə nöqtələrini tapın.

2. Funksiya tədqiqatının əsas anlayışları və mərhələləri

1. Funksiya sahəsi Df və çoxlu mənalar

E f funksiyası. Xüsusi Funksiya Xüsusiyyətləri

Funksiyanın təyin olunma oblastını göstərin, onu absis oxunda sərhəd nöqtələri və deşilmiş nöqtələrlə işarələyin və bu nöqtələrin absislərini göstərin. Funksiyanın tərif sahəsini tapmaq lazım deyil.

Çox funksiya dəyəri tapmaq lazım deyil. Qiymətlər toplusunun asanlıqla öyrənilən xassələri: qeyri-mənfilik, aşağıdan və ya yuxarıdan məhdudluq və s., qrafikin eskizini qurmaq, tədqiqatın nəticələrinə və qrafikin düzgünlüyünə nəzarət etmək üçün istifadə olunur.

x kimi

Cüt funksiyanın qrafiki Oy ordinat oxuna görə simmetrikdir. Tək funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir. Cüt və tək funksiyalar tərif sahəsinin müsbət yarısında araşdırılır.

Dövri funksiya bir dövrdə öyrənilir və

Diaqram 2-3 dövr üzrə göstərilir.
2. Asimptotların öyrənilməsi
2.1. Şaquli asimptotlar
Tərif 1.				x x0		çağırdı		şaquli
funksiyanın qrafikinin asimptotudur				y f x,			tamamlanarsa
şərtlərdən biri:			lim f x 1				lim f x.
			x x0 0				x x0 0
2.2. Oblik (üfüqi) asimptotlar

noah) funksiyanın qrafikinin asimptotudur					y f x at x,
lim f x kx b 0 .
					x-də
	asimptotun tərifi
klim		b lim f x kx . Müvafiqin hesablanması


limitlər, y kx b asimptot tənliyini alırıq.
Bənzər bir ifadə bu halda doğrudur

Əgər k 0 olarsa, asimptot əyri adlanır.
k 0 , sonra asimptot			y b horizontal adlanır.
Maili və üfüqi anlayışları oxşar şəkildə təqdim olunur.
y f x funksiyasının qrafikinin asimptotları						x-də.

2.3. Şaquli olmayan asimptotların öyrənilməsi üsulları X və üçün asimptotların öyrənilməsi

qayda ayrıca həyata keçirilir.

1 Simvoldan bir işin yerinə yetirilməsini ifadə etmək üçün istifadə edəcəyik

Bəzi xüsusi hallarda x və x nöqtələrindəki asimptotları birgə öyrənmək mümkündür, məsələn,

1) rasional funksiyalar;

2) Qrafikləri üçün tərif sahəsinin bir hissəsində tədqiqat aparıla bilən cüt və tək funksiyalar.

Əsas hissənin seçilməsi üsulu. Asimptot tapmaq üçün x-də funksiyanın əsas hissəsini seçin. Eynilə x üçün.

Kəsrə rasional funksiyanın əsas hissəsi Kəsrin bütün hissəsini vurğulamaqla tapmaq rahatdır:

Nümunə 1. Funksiya qrafikinin maili asimptotlarını tapın

f x 2 x 3 x 2. x 1

f x 2 x 5					o 1 saat	x , sonra düz

May y 2 x 5 arzu olunan asimptotdur. ◄

İrrasional funksiyanın əsas hissəsi praktiki misalları həll edərkən funksiyanın x üçün Taylor düsturu ilə təmsil üsullarından istifadə etməklə tapmaq rahatdır.

Nümunə 2. Funksiya qrafikinin əyri asimptotunu tapın

x4 3 x 1

x-də.

x 4 o1

x üçün, sonra düz xətt		y x 4 arzu olunan asimptotdur.

		irrasional
		f x 3		tapmaq üçün əlverişlidir
	ax2 bx c və		ax3 bx2 cx d

müvafiq olaraq radikal ifadənin tam kvadratını və ya tam kubunu təcrid etmək üsulundan istifadə edin.

Misal 3. x və x üçün f x x 2 6 x 14 funksiyasının qrafikinin maili asimptotlarını tapın.

Radikal ifadədə tam kvadrat seçirik

x 3 2

5 . Funksiyanın qrafikindən bəri

f x simmetrikdir

x 3 düz xəttinə nisbətən və

sonra f x ~

x-də.

x 3 2 5

Deməli düzdür

y x 3 edir

x-də asimptot və y 3 x düz xətti

Asimptot at

x. ◄

Asimptotları tapmaq üçün əsas hissəni təcrid etmək üsulundan istifadə edə bilərsiniz.

Misal 4. f x 4 x 2 x 2 funksiyasının qrafikinin asimptotlarını tapın.

f x 2

Funksiya budur

asimptota malikdir

y 2 x

və asimptot

y 2 x

x-də .◄

Transsendental funksiyalar üçün hər iki üsul məqbuldur

praktik nümunələri həll edərkən asimptotlara əməl edin.

Qeyd 1. Asimptotları öyrənərkən irrasional, transsendental funksiyalar, və analitik ifadəsində modul olan funksiyalar,İki halı nəzərdən keçirmək məsləhətdir: x və x. X və x nöqtələrində asimptotların birgə tədqiqi tədqiqatda səhvlərə səbəb ola bilər. X-in hədlərini və ya əsas hissəsini taparkən x t dəyişənini dəyişmək lazımdır.

2.4. Funksiya qrafikinin və onun asimptotlarının nisbi mövqeyi

a) y f x funksiyasının x-də asimptot varsa,

diferensialdır və x x 0 şüasında ciddi şəkildə aşağıya doğru qabarıqdır, sonra qrafik

funksiyanın fiki asimptotdan yuxarıda yerləşir (şək. 1.1).

b) y f x funksiyasının x-də asimptotası varsa,

diferensiallaşır və x x 0 şüasında ciddi şəkildə yuxarı qabarıq olur

funksiyanın qrafiki asimptotdan aşağıda yerləşir (şək. 1.2).

c) Asimptot meylli olduğu üçün funksiyanın qrafikinin davranışının başqa halları da ola bilər. Məsələn, funksiyanın qrafikinin asimptotla sonsuz sayda kəsişməsi mümkündür (şək. 1.3 və 1.4).

Bənzər bir ifadə x üçün də doğrudur.

Funksiya qrafikinin qabarıqlıq xassələrini öyrənməzdən əvvəl əsas hissənin təcrid üsulunda o 1 işarəsi ilə funksiya qrafikinin və onun asimptotlarının nisbi mövqelərini təyin etmək olar.

Misal 5. Qrafikin nisbi mövqeyini təyin edin

f x 2 x 2 3 x 2 funksiyası və onun asimptotları. x 1

x-də 0, onda funksiyanın qrafiki asimptotikdən aşağıda yerləşir

siz y 2 x 5. ◄

Misal 6. Qrafikin nisbi mövqeyini təyin edin

f x funksiyaları

x4 3 x 1

və onun x üçün asimptotları.

x 2 1

Bərabərlikdən

x-dən belə nəticə çıxır ki, funksiyanın qrafiki y x 4 asimptotundan aşağıda yerləşir. ◄

Misal 7. f x x 2 6 x 14 funksiyasının qrafikinin və onun asimptotlarının nisbi mövqeyini təyin edin.

f x x 3 olduğundan (misal 3-ə bax), onda

x 3 2 5 x 3

funksiyanın qrafiki x və x nöqtəsində y x 3 asimptotunun üstündə yerləşir. ◄

Misal 8. Qrafikin nisbi mövqeyini təyin edin

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 və onun asimptotları.

x 3 6 x 2 kimi

2 x 14 x 2 3 14 x 6, sonra istifadə edin

a x 2 3 14 x 6,

b x 2 3 , biz f x x 2 alırıq

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

fərq x-də müsbətdir

və x-də mənfi

Buna görə də, x-də funksiyanın qrafiki y x 2 asimptotunun altında, x-də isə y x 2 asimptotunun üstündə yerləşir.◄

Asimptotların öyrənilməsi üçün hədlərin hesablanması metodu funksiyanın qrafikinin və onun asimptotlarının nisbi mövqeyini qiymətləndirməyə imkan vermir.

3. Funksiya qrafikinin eskizinin çəkilməsi Qrafikin eskizini qurmaq üçün, şaquli və

maili asimptotlar, funksiyanın qrafikinin oxlarla kəsişmə nöqtələri. Funksiya qrafikinin və asimptotların nisbi mövqeyini nəzərə alaraq qrafikin eskizi qurulur. Əgər funksiyanın qrafiki x-də asimptotdan yuxarıda (aşağıda) yerləşirsə, onda fərz etsək ki,

x 0 nöqtəsi var ki, x x 0 nöqtələri arasında heç bir əyilmə nöqtəsi yoxdur,

funksiyanın aşağıya (yuxarıya) qabarıq, yəni asimptota doğru olduğunu görürük. Eynilə, şaquli asimptotlar üçün asimptota və x nöqtəsindəki asimptot üçün qabarıqlığın istiqamətini proqnozlaşdırmaq olar. Ancaq yuxarıdakı nümunədən göründüyü kimi

funksiyası y x sin 2 x , belə fərziyyələr x olmaya bilər

4. Artan və azalan funksiyaların sahələri. Minimum və maksimum xallar

Tərif 3.	f x funksiyası çağırılır	artır
(azalan) a, b intervalında, əgər varsa		x1 , x2 a, b ,
belə ki, x 1 x 2	bərabərsizlik var	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

a, b intervalında diferensiallanan f x funksiyası

a, b intervalında əriyir (azalır).

f x funksiyası.

Ekstremum üçün zəruri şərt. Əgər

Nöqtə keçmiş

f x funksiyasının tremumu, onda bu nöqtədə ya

f x 0 0 və ya

törəməsi yoxdur.

Ekstremum üçün kifayət qədər şərait.

f x diferensial

1. Qoy funksiya 0 olsun

x 0 nöqtəsinin deşilmiş qonşuluğunda şüalanır

və davamlı

x 0 nöqtəsində. Sonra,

a) onun törəmə dəyişiklikləri təkrar olduqda mənfidən artıya işarə edərsə

nöqtədə irəliləyir		x 0 ,

			x x 0 , x 0 , onda x 0 maksimum nöqtədir
	hər hansı bir üçün x 0
f x funksiyaları;
	b) onun törəməsi yenidən işarələndikdə artı mənfiyə dəyişirsə
nöqtədə irəliləyir		x 0 ,
			olanlar. İstənilən x x 0, x 0 üçün f x 0,
			x x 0 , x 0 , onda x 0 minimum nöqtədir
	hər hansı bir üçün x 0

f x funksiyaları.

Model nümunələrinə y x (Şəkil 2.1) və daxildir

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bu dərsdə biz funksiyanın qrafikinin eskizini qurmaq texnikasına baxacağıq və izahlı nümunələr verəcəyik.

Mövzu: Təkrar

Dərs: Funksiya qrafikinin eskizinin çəkilməsi (kəsr-kvadrat funksiya nümunəsindən istifadə etməklə)

Məqsədimiz kəsrli kvadrat funksiyanın qrafikini çəkməkdir. Məsələn, artıq tanış olduğumuz funksiyanı götürək:

Kəsr funksiyası verilmişdir ki, onun payı və məxrəci kvadrat funksiyaları ehtiva edir.

Eskiz texnikası belədir:

1. Sabit işarəli intervalları seçin və hər birində funksiyanın işarəsini təyin edin (Şəkil 1)

Biz ətraflı araşdırdıq və müəyyən etdik ki, ODZ-də fasiləsiz olan funksiya yalnız arqument ODZ-nin köklərindən və qırılma nöqtələrindən keçdikdə işarəni dəyişə bilər.

Verilmiş y funksiyası öz ODZ-də davamlıdır, ODZ-ni göstərək:

Kökləri tapaq:

İşarənin sabitlik intervallarını qeyd edək. Biz funksiyanın köklərini və tərif sahəsinin qırılma nöqtələrini - məxrəcin köklərini tapdıq. Qeyd etmək vacibdir ki, hər bir intervalda funksiya öz işarəsini qoruyur.

düyü. 1. Funksiyanın sabit işarəsinin intervalları

Hər bir interval üzrə funksiyanın işarəsini təyin etmək üçün intervala aid olan istənilən nöqtəni götürüb, onu funksiyaya əvəz edib işarəsini təyin etmək olar. Misal üçün:

İntervalda funksiyanın artı işarəsi var

İntervalda funksiyanın mənfi işarəsi var.

Bu, interval metodunun üstünlüyüdür: biz bir sınaq nöqtəsində işarəni təyin edirik və funksiyanın bütün seçilmiş intervalda eyni işarəyə sahib olacağı qənaətinə gəlirik.

Bununla belə, siz funksiya qiymətlərini hesablamadan işarələri avtomatik olaraq təyin edə bilərsiniz, bunun üçün ifrat intervalda işarəni təyin edin və sonra işarələri əvəz edə bilərsiniz.

1. Hər bir kökün yaxınlığında bir qrafik quraq. Xatırladaq ki, bu funksiyanın kökləri və:

düyü. 2. Köklərin yaxınlığındakı qrafik

Bir nöqtədə funksiyanın işarəsi artıdan mənfiyə dəyişdiyindən əyri əvvəlcə oxun üstündədir, sonra sıfırdan keçir və sonra x oxunun altında yerləşir. Bu nöqtədə əksinədir.

2. Hər bir ODZ kəsilməzliyinə yaxın bir qrafik quraq. Xatırladaq ki, bu funksiyanın məxrəcinin kökləri və:

düyü. 3. ODZ-nin kəsilmə nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın qrafiki

Kəsirin məxrəci və ya məxrəci praktiki olaraq sıfıra bərabər olduqda, bu o deməkdir ki, arqumentin qiyməti bu ədədlərə meyl etdikdə, kəsrin qiyməti sonsuzluğa meyllidir. Bu halda, arqument solda üçlüyə yaxınlaşdıqda, funksiya müsbətdir və üstəgəl sonsuzluğa meyl edir, sağda funksiya mənfi olur və mənfi sonsuzluqdan kənara çıxır. Təxminən dörddə, əksinə, solda funksiya mənfi sonsuzluğa meyl edir, sağda isə üstəgəl sonsuzluğu tərk edir.

Qurulmuş eskizə görə, bəzi intervallarda funksiyanın davranışının xarakterini təxmin edə bilərik.

düyü. 4. Funksiya qrafikinin eskizi

Aşağıdakı vacib vəzifəni nəzərdən keçirək - sonsuzluq nöqtələrinin yaxınlığında, yəni arqument artı və ya mənfi sonsuzluğa meylli olduqda, funksiyanın qrafikinin eskizini qurmaq. Bu vəziyyətdə sabit şərtləri laqeyd etmək olar. Bizdə:

Bəzən bu faktın bu qeydini tapa bilərsiniz:

düyü. 5. Sonsuzluqda nöqtələrin yaxınlığında funksiyanın qrafikinin eskizi

Biz funksiyanın bütün tərif sahəsi üzrə təxmini davranışını əldə etdik; sonra törəmədən istifadə edərək konstruksiyanı dəqiqləşdirməliyik.

Misal 1 - funksiyanın qrafikini çəkin:

Arqument keçdikdə funksiyanın işarəni dəyişə biləcəyi üç nöqtəmiz var.

Hər bir interval üzrə funksiyanın işarələrini təyin edirik. Həddindən artıq sağ intervalda bir artı var, sonra işarələr bir-birini əvəz edir, çünki bütün köklər birinci dərəcəyə malikdir.

ODZ-nin kökləri və qırılma nöqtələri yaxınlığında qrafikin eskizini qururuq. Bizdə var: bir nöqtədə funksiyanın işarəsi artıdan mənfiyə dəyişdiyi üçün əyri əvvəlcə oxun üstündədir, sonra sıfırdan keçir və sonra x oxunun altında yerləşir. Kəsirin məxrəci və ya məxrəci praktiki olaraq sıfıra bərabər olduqda, bu o deməkdir ki, arqumentin qiyməti bu ədədlərə meyl etdikdə, kəsrin qiyməti sonsuzluğa meyllidir. Bu halda, arqument solda mənfi ikiyə yaxınlaşdıqda, funksiya mənfi olur və mənfi sonsuzluğa meyl edir, sağda funksiya müsbətdir və plus sonsuzluğu tərk edir. Təxminən ikisi eynidir.

Funksiyanın törəməsini tapaq:

Aydındır ki, törəmə həmişə sıfırdan azdır, buna görə də funksiya bütün bölmələrdə azalır. Beləliklə, mənfi sonsuzluqdan mənfi ikiyə qədər olan hissədə funksiya sıfırdan mənfi sonsuzluğa qədər azalır; mənfi ikidən sıfıra qədər olan hissədə funksiya üstəgəl sonsuzluqdan sıfıra enir; sıfırdan ikiyə qədər olan hissədə funksiya sıfırdan mənfi sonsuzluğa qədər azalır; ikidən üstəgəl sonsuzluğa qədər olan hissədə funksiya plus sonsuzdan sıfıra enir.

Gəlin təsvir edək:

düyü. 6. Məsələn 1 funksiyasının qrafikinin eskizi

x-də, sonra gra-

y 2 x 5. Çünki

fic funksiyalar yatır

asimptotdan yuxarı

Misal 2 - funksiyanın qrafikini çəkin:

Törəmə istifadə etmədən funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq.

Əvvəlcə verilmiş funksiyanı nəzərdən keçirək:

Arqument keçdikdə funksiyanın işarəni dəyişə biləcəyi bir nöqtəmiz var.

Qeyd edək ki, verilmiş funksiya təkdir.

Hər bir interval üzrə funksiyanın işarələrini təyin edirik. Ən sağdakı intervalda bir artı var, sonra işarə dəyişir, çünki kök birinci dərəcəyə malikdir.

Kökün yaxınlığında qrafikin eskizini qururuq. Bizdə var: bir nöqtədə funksiyanın işarəsi mənfidən artıya dəyişdiyinə görə əyri əvvəlcə oxun altında olur, sonra sıfırdan keçir və sonra x oxunun üstündə yerləşir.

İndi funksiyanın qrafikinin sonsuzluq nöqtələrinin yaxınlığında, yəni arqument artı və ya mənfi sonsuzluğa meylli olduqda qururuq. Bu vəziyyətdə sabit şərtləri laqeyd etmək olar. Bizdə:

Yuxarıdakı hərəkətləri yerinə yetirdikdən sonra biz artıq funksiyanın qrafikini təsəvvür edirik, lakin törəmədən istifadə edərək onu aydınlaşdırmalıyıq.

“Törəmə məsələlər” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Ani sürəti necə təsəvvür edirsiniz? Ani sürət problemi. y. Ani sürəti necə təsəvvür edirsiniz? ?X=x-x0. Deyilənlər formada yazılıb. Əvvəlcə tədqiqatımızın “ərazisini” müəyyənləşdirdik. A l g o r i t m. Sürət v tədricən artır.

"Törəmə funksiyasının öyrənilməsi" - Top üfüqdə bucaq altında atəş açır. Variant 1 A B D Variant 2 G B B. Bələdiyyə Təhsil Müəssisəsi Meşkovskaya orta məktəbi Riyaziyyat müəllimi Kovaleva T.V. Funksiya [-4;4] seqmentində müəyyən edilmişdir. Törəmə və funksiya necə bağlıdır? Cavablar: TÖRƏMƏNİN FONKSİYONUN ÖDƏNİLMƏSİ ÜÇÜN TƏTBİQ EDİLMƏSİ: artan və azalan funksiyalar. Tapşırıq Baron Munchausen haqqında hekayəni xatırlayın?

“Mürəkkəb funksiyanın törəməsi” - Kompleks funksiya. Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası. Sadə funksiyanın törəməsi. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Kompleks funksiya: Nümunələr:

“Törəmənin funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi” - 6. -1. 8. Funksiyanın törəməsinin qrafikindən istifadə edərək funksiyanın kritik nöqtələrini müəyyən edin. 1. =. 1 iyul 1646 - 14 noyabr 1716, İstiləşmə. Artan və azalan funksiyaların əlaməti. Funksiyanın törəməsinin intervallar üzrə işarəsini təyin edin.

“Mürəkkəb funksiyanın törəməsi haqqında dərs” - Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Nöqtənin sürətini hesablayın: a) t zamanında; b) t=2 s anında. Funksiyaların törəmələrini tapın: , Əgər. Brooke Taylor. Funksiyanın diferensialını tapın: x-in hansı qiymətlərində bərabərlik yerinə yetirilir. Nöqtə s(t) = s(t) = qanununa uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir (s - metrlə yol, t saniyə ilə vaxtdır).

“Törəmənin tərifi” - 1. Sübut: f(x+ ?x). u(x), v(x) və w(x) hansısa (a; b) intervalında diferensiallanan funksiyalar olsun, C sabitdir. f(x). Bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi: Nyutonun binom düsturundan istifadə edərək əldə edirik: Teorem. Sonra: Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Ümumilikdə 31 təqdimat var

Bu dərsdə biz funksiyanın qrafikinin eskizini qurmaq texnikasına baxacağıq və izahlı nümunələr verəcəyik.

Mövzu: Təkrar

Dərs: Funksiya qrafikinin eskizinin çəkilməsi (kəsr-kvadrat funksiya nümunəsindən istifadə etməklə)

Məqsədimiz kəsrli kvadrat funksiyanın qrafikini çəkməkdir. Məsələn, artıq tanış olduğumuz funksiyanı götürək:

Kəsr funksiyası verilmişdir ki, onun payı və məxrəci kvadrat funksiyaları ehtiva edir.

Eskiz texnikası belədir:

1. Sabit işarəli intervalları seçin və hər birində funksiyanın işarəsini təyin edin (Şəkil 1)

Biz ətraflı araşdırdıq və müəyyən etdik ki, ODZ-də fasiləsiz olan funksiya yalnız arqument ODZ-nin köklərindən və qırılma nöqtələrindən keçdikdə işarəni dəyişə bilər.

Verilmiş y funksiyası öz ODZ-də davamlıdır, ODZ-ni göstərək:

Kökləri tapaq:

düyü. 1. Funksiyanın sabit işarəsinin intervalları

Hər bir interval üzrə funksiyanın işarəsini təyin etmək üçün intervala aid olan istənilən nöqtəni götürüb, onu funksiyaya əvəz edib işarəsini təyin etmək olar. Misal üçün:

İntervalda funksiyanın artı işarəsi var

İntervalda funksiyanın mənfi işarəsi var.

Bu, interval metodunun üstünlüyüdür: biz bir sınaq nöqtəsində işarəni təyin edirik və funksiyanın bütün seçilmiş intervalda eyni işarəyə sahib olacağı qənaətinə gəlirik.

1. Hər bir kökün yaxınlığında bir qrafik quraq. Xatırladaq ki, bu funksiyanın kökləri və:

düyü. 2. Köklərin yaxınlığındakı qrafik

2. Hər bir ODZ kəsilməzliyinə yaxın bir qrafik quraq. Xatırladaq ki, bu funksiyanın məxrəcinin kökləri və:

düyü. 3. ODZ-nin kəsilmə nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın qrafiki

Qurulmuş eskizə görə, bəzi intervallarda funksiyanın davranışının xarakterini təxmin edə bilərik.

düyü. 4. Funksiya qrafikinin eskizi

Aşağıdakı vacib vəzifəni nəzərdən keçirək - sonsuzluq nöqtələrinin yaxınlığında bir funksiyanın qrafikinin eskizini qurmaq, yəni. arqument artı və ya mənfi sonsuzluğa meyl etdikdə. Bu vəziyyətdə sabit şərtləri laqeyd etmək olar. Bizdə:

Bəzən bu faktın bu qeydini tapa bilərsiniz:

düyü. 5. Sonsuzluqda nöqtələrin yaxınlığında funksiyanın qrafikinin eskizi

Biz funksiyanın bütün tərif sahəsi üzrə təxmini davranışını əldə etdik; sonra törəmədən istifadə edərək konstruksiyanı dəqiqləşdirməliyik.

Misal 1 - funksiyanın qrafikini çəkin:

Arqument keçdikdə funksiyanın işarəni dəyişə biləcəyi üç nöqtəmiz var.

Funksiyanın törəməsini tapaq:

Gəlin təsvir edək:

düyü. 6. Məsələn 1 funksiyasının qrafikinin eskizi

Misal 2 - funksiyanın qrafikini çəkin:

Törəmə istifadə etmədən funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq.

Əvvəlcə verilmiş funksiyanı nəzərdən keçirək:

Arqument keçdikdə funksiyanın işarəni dəyişə biləcəyi bir nöqtəmiz var.

Qeyd edək ki, verilmiş funksiya təkdir.

Hər bir interval üzrə funksiyanın işarələrini təyin edirik. Ən sağdakı intervalda bir artı var, sonra işarə dəyişir, çünki kök birinci dərəcəyə malikdir.

İndi biz sonsuzluq nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq, yəni. arqument artı və ya mənfi sonsuzluğa meyl etdikdə. Bu vəziyyətdə sabit şərtləri laqeyd etmək olar. Bizdə:

Yuxarıdakı hərəkətləri yerinə yetirdikdən sonra biz artıq funksiyanın qrafikini təsəvvür edirik, lakin törəmədən istifadə edərək onu aydınlaşdırmalıyıq.

Funksiyanın törəməsini tapaq:

Törəmə sabit işarəli intervalları seçirik: at . ODZ burada. Beləliklə, bizdə törəmənin sabit işarəsinin üç intervalı və ilkin funksiyanın monotonluğunun üç bölməsi var. Hər bir interval üzrə törəmənin əlamətlərini müəyyən edək. Nə vaxt törəmə müsbətdir, funksiya artır; törəmə mənfi olduqda, funksiya azalır. Bu halda - minimum nöqtə, çünki törəmə işarəsi mənfidən artıya dəyişir; əksinə, maksimum nöqtə.