Düşünürəm ki, biz diferensial tənliklər kimi şərəfli riyazi alətin tarixindən başlamalıyıq. Bütün diferensial və inteqral hesablamalar kimi, bu tənliklər də 17-ci əsrin sonlarında Nyuton tərəfindən icad edilmişdir. O, bu xüsusi kəşfini o qədər vacib hesab etdi ki, hətta bu gün belə tərcümə edilə bilən bir mesajı şifrələdi: "Təbiətin bütün qanunları diferensial tənliklərlə təsvir edilmişdir." Bu, mübaliğə kimi görünə bilər, amma həqiqətdir. İstənilən fizikanın, kimyanın, biologiyanın qanunlarını bu tənliklərlə təsvir etmək olar.

Riyaziyyatçılar Eyler və Laqranj diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin inkişafına və yaradılmasına böyük töhfə vermişlər. Artıq 18-ci əsrdə onlar indi ali universitet kurslarında öyrəndiklərini kəşf etdilər və inkişaf etdirdilər.

Diferensial tənliklərin öyrənilməsində yeni mərhələ Henri Puankare sayəsində başladı. O, mürəkkəb dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi ilə birləşərək topologiyanın - kosmos və onun xassələri elminin təməlinə mühüm töhfə verən “diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsini” yaratdı.

Diferensial tənliklər nədir?

Çoxları bir ifadədən qorxur.Lakin bu yazıda adından göründüyü kimi əslində mürəkkəb olmayan bu çox faydalı riyazi aparatın bütün mahiyyətini ətraflı təsvir edəcəyik. Birinci dərəcəli diferensial tənliklər haqqında danışmağa başlamaq üçün əvvəlcə bu təriflə mahiyyətcə əlaqəli olan əsas anlayışlarla tanış olmalısınız. Və biz diferensialdan başlayacağıq.

Diferensial

Bir çox insanlar bu anlayışı məktəbdən bəri bilirlər. Bununla belə, gəlin buna daha yaxından nəzər salaq. Bir funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Biz onu o qədər artıra bilərik ki, onun istənilən seqmenti düz xətt şəklini alsın. Bir-birinə sonsuz yaxın olan iki nöqtəni götürək. Onların koordinatları (x və ya y) arasındakı fərq sonsuz kiçik olacaqdır. O, diferensial adlanır və dy (y-nin diferensialı) və dx (x-in diferensialı) işarələri ilə işarələnir. Diferensialın sonlu kəmiyyət olmadığını başa düşmək çox vacibdir və bu, onun mənası və əsas funksiyasıdır.

İndi biz diferensial tənlik anlayışını izah etməkdə bizə faydalı olacaq növbəti elementi nəzərdən keçirməliyik. Bu törəmədir.

törəmə

Yəqin ki, hamımız bu anlayışı məktəbdə eşitmişik. Törəmə funksiyanın artma və ya azalma sürətinə deyilir. Ancaq bu tərifdən çox şey anlaşılmaz olur. Gəlin törəməni diferensiallar vasitəsilə izah etməyə çalışaq. Bir-birindən minimum məsafədə olan iki nöqtəsi olan funksiyanın sonsuz kiçik seqmentinə qayıdaq. Lakin bu məsafədə belə funksiya müəyyən qədər dəyişməyi bacarır. Və bu dəyişikliyi təsvir etmək üçün onlar diferensialların nisbəti kimi yazıla bilən törəmə ilə çıxış etdilər: f(x)"=df/dx.

İndi törəmənin əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirməyə dəyər. Onlardan yalnız üçü var:

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi törəmələrin cəmi və ya fərqi kimi göstərilə bilər: (a+b)"=a"+b" və (a-b)"=a"-b".
2. İkinci xassə vurma ilə bağlıdır. Məhsulun törəməsi bir funksiyanın hasilinin və digər funksiyanın törəməsinin cəmidir: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Fərqin törəməsi aşağıdakı bərabərlik kimi yazıla bilər: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Bütün bu xassələr birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həlli yollarını tapmaq üçün bizim üçün faydalı olacaqdır.

Qismən törəmələr də var. Tutaq ki, x və y dəyişənlərindən asılı olan z funksiyamız var. Bu funksiyanın qismən törəməsini hesablamaq üçün, deyək ki, x-ə münasibətdə, y dəyişənini sabit kimi götürməli və sadəcə olaraq diferensiasiya etməliyik.

İnteqral

Digər vacib anlayış inteqraldır. Əslində, bu, törəmənin tam əksidir. Bir neçə növ inteqral var, lakin ən sadə diferensial tənlikləri həll etmək üçün bizə ən mənasız olanlar lazımdır.

Beləliklə, tutaq ki, f-nin x-dən bir qədər asılılığı var. Ondan inteqral alırıq və törəməsi ilkin funksiyaya bərabər olan F(x) funksiyasını (çox vaxt antitörəmə adlanır) alırıq. Beləliklə, F(x)"=f(x). Buradan da belə nəticə çıxır ki, törəmənin inteqralı ilkin funksiyaya bərabərdir.

Diferensial tənlikləri həll edərkən inteqralın mənasını və funksiyasını başa düşmək çox vacibdir, çünki həllini tapmaq üçün onları çox tez-tez götürməli olacaqsınız.

Tənliklər təbiətindən asılı olaraq dəyişir. Növbəti bölmədə birinci dərəcəli diferensial tənliklərin növlərinə baxacağıq, sonra isə onların həlli yollarını öyrənəcəyik.

Diferensial tənliklərin sinifləri

"Differlər" onlara daxil olan törəmələrin sırasına görə bölünür. Beləliklə, birinci, ikinci, üçüncü və daha çox sıra var. Onları da bir neçə sinfə bölmək olar: adi və qismən törəmələr.

Bu yazıda birinci dərəcəli adi diferensial tənliklərə baxacağıq. Biz də aşağıdakı bölmələrdə nümunələr və onların həlli yollarını müzakirə edəcəyik. Biz yalnız ODE-ləri nəzərdən keçirəcəyik, çünki bunlar ən çox yayılmış tənlik növləridir. Adi olanlar alt növlərə bölünür: ayrıla bilən dəyişənlərlə, homojen və heterojen. Sonra, onların bir-birindən necə fərqləndiyini öyrənəcək və onları necə həll edəcəyinizi öyrənəcəksiniz.

Bundan əlavə, bu tənliklər birləşdirilə bilər ki, birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemi ilə nəticələnək. Biz də bu cür sistemləri nəzərdən keçirəcəyik və onları necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik.

Niyə biz yalnız birinci sifarişi nəzərdən keçiririk? Çünki sadə bir şeydən başlamaq lazımdır və diferensial tənliklərlə bağlı hər şeyi bir məqalədə təsvir etmək sadəcə mümkün deyil.

Ayrılan tənliklər

Bunlar bəlkə də ən sadə birinci dərəcəli diferensial tənliklərdir. Bunlara aşağıdakı kimi yazıla bilən misallar daxildir: y"=f(x)*f(y). Bu tənliyi həll etmək üçün törəməni diferensialların nisbəti kimi təqdim etmək üçün düstur lazımdır: y"=dy/dx. Ondan istifadə edərək aşağıdakı tənliyi əldə edirik: dy/dx=f(x)*f(y). İndi standart misalların həlli metoduna keçə bilərik: dəyişənləri hissələrə böləcəyik, yəni y dəyişəni olan hər şeyi dy-nin yerləşdiyi hissəyə köçürəcəyik və x dəyişəni ilə də eyni şeyi edəcəyik. Hər iki tərəfdən inteqrallar alaraq həll olunan dy/f(y)=f(x)dx formasının tənliyini alırıq. İnteqral aldıqdan sonra təyin edilməli olan sabit haqqında unutmayın.

Hər hansı bir “diffure” həlli x-in y-dən (bizim vəziyyətimizdə) asılılığının funksiyasıdır və ya ədədi şərt varsa, nömrə şəklində cavabdır. Xüsusi bir nümunədən istifadə edərək bütün həll prosesinə baxaq:

Dəyişənləri müxtəlif istiqamətlərə köçürək:

İndi inteqralları götürək. Onların hamısını xüsusi inteqral cədvəlində tapmaq olar. Və əldə edirik:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Tələb olunarsa, “y”-ni “x” funksiyası kimi ifadə edə bilərik. İndi deyə bilərik ki, şərt göstərilmədikdə diferensial tənliyimiz həll olunur. Şərt müəyyən edilə bilər, məsələn, y(n/2)=e. Sonra sadəcə olaraq bu dəyişənlərin qiymətlərini həlldə əvəz edirik və sabitin qiymətini tapırıq. Bizim nümunəmizdə 1-dir.

Birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər

İndi daha çətin hissəyə keçək. Birinci dərəcəli bircinsli diferensial tənlikləri ümumi formada belə yazmaq olar: y"=z(x,y). Qeyd etmək lazımdır ki, iki dəyişənin sağ əl funksiyası bircinsdir və onu iki asılılığa bölmək olmaz. : x-də z və y-də z. Tənliyin homojen olub olmadığını yoxlayın kifayət qədər sadədir: x=k*x və y=k*y əvəzini edirik.İndi bütün k-ni ləğv edirik.Əgər bütün bu hərflər ləğv edilərsə , onda tənlik homojendir və siz onu təhlükəsiz həll etməyə başlaya bilərsiniz.İrəliyə baxaraq deyək: bu misalların həlli prinsipi də çox sadədir.

Əvəz etməliyik: y=t(x)*x, burada t x-dən də asılı olan müəyyən funksiyadır. Onda törəməni ifadə edə bilərik: y"=t"(x)*x+t. Bütün bunları ilkin tənliyimizlə əvəz edərək və sadələşdirərək, ayrıla bilən t və x dəyişənləri ilə nümunə alırıq. Onu həll edib t(x) asılılığını alırıq. Biz onu alanda sadəcə olaraq y=t(x)*x-i əvvəlki əvəzimizlə əvəz edirik. Onda y-nin x-dən asılılığını alırıq.

Daha aydın olması üçün bir misala baxaq: x*y"=y-x*e y/x .

Dəyişdirmə ilə yoxlanarkən hər şey azalır. Bu o deməkdir ki, tənlik həqiqətən homojendir. İndi haqqında danışdığımız başqa bir əvəz edirik: y=t(x)*x və y"=t"(x)*x+t(x). Sadələşdirildikdən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirik: t"(x)*x=-e t. Əldə olunan nümunəni ayrılmış dəyişənlərlə həll edirik və alırıq: e -t =ln(C*x). Bizə sadəcə əvəz etmək qalır. t y/x ilə (axı, əgər y =t*x, onda t=y/x) və biz cavabı alırıq: e -y/x =ln(x*C).

Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər

Başqa bir geniş mövzuya baxmağın vaxtı gəldi. Birinci dərəcəli qeyri-homogen diferensial tənlikləri təhlil edəcəyik. Onlar əvvəlki ikisindən nə ilə fərqlənir? Gəlin bunu anlayaq. Ümumi formada birinci tərtibli xətti diferensial tənlikləri aşağıdakı kimi yazmaq olar: y" + g(x)*y=z(x). z(x) və g(x) sabit kəmiyyətlər ola biləcəyini aydınlaşdırmağa dəyər.

İndi bir misal: y" - y*x=x 2 .

İki həll yolu var və biz hər ikisinə ardıcıllıqla baxacağıq. Birincisi, ixtiyari sabitlərin dəyişdirilməsi üsuludur.

Tənliyi bu şəkildə həll etmək üçün əvvəlcə sağ tərəfi sıfıra bərabərləşdirməli və hissələri köçürdükdən sonra aşağıdakı formanı alacaq nəticədə tənliyi həll etməlisiniz:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

İndi C 1 sabitini tapmalı olduğumuz v(x) funksiyası ilə əvəz etməliyik.

Törəməni əvəz edək:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Və bu ifadələri orijinal tənliklə əvəz edin:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Sol tərəfdə iki şərtin ləğv edildiyini görə bilərsiniz. Əgər hansısa misalda bu baş verməyibsə, deməli səhv bir şey etmisiniz. Davam edək:

v"*e x2/2 = x 2 .

İndi dəyişənləri ayırmağımız lazım olan adi tənliyi həll edirik:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

İnteqralı çıxarmaq üçün burada hissələr üzrə inteqrasiya tətbiq etməli olacağıq. Ancaq bu, məqaləmizin mövzusu deyil. Əgər maraqlanırsınızsa, bu cür hərəkətləri özünüz necə yerinə yetirəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Bu çətin deyil və kifayət qədər bacarıq və qayğı ilə çox vaxt çəkmir.

Qeyri-bircins tənliklərin həllinin ikinci üsuluna: Bernulli üsuluna keçək. Hansı yanaşmanın daha sürətli və asan olduğuna qərar vermək sizin ixtiyarınızdadır.

Deməli, bu üsuldan istifadə edərək tənliyi həll edərkən əvəzetmə aparmalıyıq: y=k*n. Burada k və n bəzi x-dən asılı funksiyalardır. Onda törəmə belə görünəcək: y"=k"*n+k*n". Hər iki əvəzetməni tənlikdə əvəz edirik:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Qruplaşdırma:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

İndi mötərizədə olanları sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır. İndi iki nəticə tənliyini birləşdirsək, həll edilməli olan birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemini alırıq:

Birinci bərabərliyi adi tənlik kimi həll edirik. Bunu etmək üçün dəyişənləri ayırmaq lazımdır:

İnteqralı götürüb alırıq: ln(n)=x 2 /2. Onda n-i ifadə etsək:

İndi alınan bərabərliyi sistemin ikinci tənliyinə əvəz edirik:

k"*e x2/2 =x 2 .

Və transformasiya edərək, birinci üsulda olduğu kimi eyni bərabərliyi əldə edirik:

dk=x 2 /e x2/2 .

Bundan sonrakı hərəkətləri də müzakirə etməyəcəyik. İlk növbədə birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin əhəmiyyətli çətinliklərə səbəb olduğunu söyləmək lazımdır. Bununla belə, mövzunu daha dərindən araşdırdıqca, daha yaxşı və daha yaxşı işləməyə başlayır.

Diferensial tənliklər harada istifadə olunur?

Diferensial tənliklər fizikada çox aktiv şəkildə istifadə olunur, çünki demək olar ki, bütün əsas qanunlar diferensial formada yazılır və gördüyümüz düsturlar bu tənliklərin həllidir. Kimyada onlar eyni səbəbdən istifadə olunur: fundamental qanunlar onların köməyi ilə əldə edilir. Biologiyada diferensial tənliklərdən yırtıcı və yırtıcı kimi sistemlərin davranışını modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Onlar, məsələn, mikroorqanizmlərin koloniyasının çoxalma modellərini yaratmaq üçün də istifadə edilə bilər.

Diferensial tənliklər sizə həyatda necə kömək edə bilər?

Bu sualın cavabı sadədir: heç də yox. Əgər siz alim və ya mühəndis deyilsinizsə, deməli, onların sizin üçün faydalı olma ehtimalı azdır. Ancaq ümumi inkişaf üçün diferensial tənliyin nə olduğunu və necə həll edildiyini bilmək zərər verməyəcəkdir. Və sonra oğul və ya qızın sualı "diferensial tənlik nədir?" sizi çaşdırmayacaq. Yaxşı, əgər alim və ya mühəndissinizsə, o zaman özünüz bu mövzunun hər hansı bir elmdə əhəmiyyətini başa düşürsünüz. Ancaq ən vacibi odur ki, indi "birinci dərəcəli diferensial tənliyi necə həll etmək olar?" hər zaman cavab verə bilərsiniz. Razılaşın, insanların anlamaqdan belə qorxduğu bir şeyi başa düşmək həmişə xoşdur.

Təhsildə əsas problemlər

Bu mövzunu başa düşməkdə əsas problem funksiyaların inteqrasiyası və diferensiallaşdırılması üzrə zəif bacarıqdır. Əgər siz törəmələr və inteqrallarda yaxşı deyilsinizsə, onda yəqin ki, daha çox öyrənməyə, müxtəlif inteqrasiya və diferensiallaşdırma üsullarını mənimsəməyə və yalnız bundan sonra məqalədə təsvir olunan materialı öyrənməyə başlamağa dəyər.

Bəzi insanlar dx-in daşına biləcəyini biləndə təəccüblənirlər, çünki əvvəllər (məktəbdə) dy/dx kəsirinin bölünməz olduğu bildirilirdi. Burada törəmə haqqında ədəbiyyatı oxumaq və bunun tənlikləri həll edərkən manipulyasiya edilə bilən sonsuz kiçik kəmiyyətlərin nisbəti olduğunu başa düşmək lazımdır.

Bir çox insanlar birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin çox vaxt alına bilməyən funksiya və ya inteqral olduğunu dərhal dərk etmir və bu yanlış təsəvvür onlara çoxlu problem yaradır.

Daha yaxşı başa düşmək üçün başqa nə öyrənə bilərsiniz?

Xüsusi dərsliklərlə, məsələn, qeyri-riyazi ixtisasların tələbələri üçün riyazi analizlə bağlı diferensial hesablama dünyasına daha da daxil olmağa başlamaq yaxşıdır. Sonra daha xüsusi ədəbiyyata keçə bilərsiniz.

Diferensial tənliklərə əlavə olaraq, inteqral tənliklərin də olduğunu söyləməyə dəyər, buna görə də hər zaman səy göstərməli və öyrənmək üçün bir şeyiniz olacaq.

Nəticə

Ümid edirik ki, bu məqaləni oxuduqdan sonra diferensial tənliklərin nə olduğu və onları necə düzgün həll etmək barədə bir fikriniz var.

İstənilən halda riyaziyyat bizə müəyyən mənada həyatda faydalı olacaq. Məntiqi və diqqəti inkişaf etdirir, onsuz hər bir insan əlsizdir.

Məsələn, funksiya
birinci ölçüsün homojen funksiyasıdır, çünki

üçüncü ölçüsün homojen funksiyasıdır, çünki

sıfır ölçüsünün homojen funksiyasıdır, çünki

, yəni.
.

Tərif 2. Birinci dərəcəli diferensial tənlik y" = f(x, y) funksiyası varsa homojen adlanır f(x, y) ilə bağlı sıfır ölçüsünün homojen funksiyasıdır x Və y ya da necə deyərlər f(x, y) sıfır dərəcənin homojen funksiyasıdır.

şəklində təmsil oluna bilər

(3.3) formasına çevrilə bilən diferensial tənlik kimi homojen tənliyi müəyyən etməyə imkan verir.

Yerdəyişmə
homojen tənliyi ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə endirir. Həqiqətən, əvəzetmədən sonra y =xz alırıq
,
Dəyişənləri ayıraraq və inteqrasiya edərək tapırıq:

,

Misal 1. Tənliyi həll edin.

Δ Güman edirik y =zx,
Bu ifadələri əvəz edin y Və dy bu tənliyə:
və ya
Dəyişənləri ayırırıq:
və inteqrasiya edin:
,

Əvəz olunur z haqqında , alırıq
.

Misal 2. Tənliyin ümumi həllini tapın.

Δ Bu tənlikdə P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy ikinci ölçüsün homojen funksiyalarıdır, ona görə də bu tənlik homojendir. şəklində təmsil oluna bilər
və yuxarıdakı kimi həll edin. Amma biz fərqli qeyd formasından istifadə edirik. qoyaq y = zx, harada dy = zdx + xdz. Bu ifadələri orijinal tənliyə əvəz edərək, əldə edəcəyik

dx+2 zxdz = 0 .

Dəyişənləri saymaqla ayırırıq

.

Gəlin bu tənliyin terminini terminə birləşdirək

, harada

yəni
. Əvvəlki funksiyaya qayıdırıq
ümumi həll yolu tapın


Misal 3 . Tənliyin ümumi həllini tapın
.

Δ Çevrilmələr zənciri: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Mühazirə 8.

4. Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər Birinci dərəcəli xətti diferensial tənlik formaya malikdir.

Burada tənliyin sağ tərəfi də adlanan sərbəst termindir. Bu formada xətti tənliyi aşağıda nəzərdən keçirəcəyik.

Əgər
0, onda (4.1a) tənliyi xətti qeyri-bərabər adlanır. Əgər
0 olarsa, tənlik formasını alır

və xətti homojen adlanır.

(4.1a) tənliyinin adı naməlum funksiya ilə izah olunur y və onun törəməsi onu xətti olaraq daxil edin, yəni. birinci dərəcədə.

Xətti homojen tənlikdə dəyişənlər ayrılır. Formada yenidən yazın
harada
və inteqrasiya edərək əldə edirik:
,olar.

Bölündükdə qərarı itiririk
. Bununla belə, fərz etsək, onu tapılmış həllər ailəsinə (4.3) daxil etmək olar İLƏ 0 qiymətini də qəbul edə bilər.

(4.1a) tənliyinin həlli üçün bir neçə üsul var. görə Bernoulli metodu, həlli iki funksiyanın hasili şəklində axtarılır X:

Bu funksiyalardan biri özbaşına seçilə bilər, çünki yalnız məhsuldur uv ilkin tənliyi təmin etməlidir, digəri (4.1a) tənliyinə əsasən təyin olunur.

Bərabərliyin hər iki tərəfini fərqləndirərək (4.4) tapırıq
.

Alınan ifadənin törəmə ilə əvəz edilməsi , eləcə də dəyəri saat tənliyinə (4.1a), alırıq
, və ya

olanlar. funksiya kimi v Homojen xətti tənliyin (4.6) həllini götürək:

(Burada C Yazmaq lazımdır, əks halda ümumi deyil, xüsusi bir həll alacaqsınız).

Beləliklə, (4.4) istifadə edilən əvəzetmə nəticəsində (4.1a) tənliyinin (4.6) və (4.7) ayrıla bilən dəyişənləri olan iki tənliyə çevrildiyini görürük.

Əvəz edən
Və v(x) düsturuna (4.4), nəhayət əldə edirik

,

.

Misal 1. Tənliyin ümumi həllini tapın

 Qoyaq
, Sonra
. Əvəzedici ifadələr Və orijinal tənliyə, alırıq
və ya
(*)

Əmsalını sıfıra bərabər təyin edək :

Əldə olunan tənlikdəki dəyişənləri ayırsaq, əldə edirik


(ixtiyari sabit C yazmırıq), buradan v= x. Dəyəri tapıldı v(*) tənliyinə əvəz edin:

,
,
.

Beləliklə,
ilkin tənliyin ümumi həlli.

Qeyd edək ki, (*) tənliyi ekvivalent formada yazıla bilər:

.

Funksiyanın təsadüfi seçilməsi u, amma yox v, inana bildik
. Bu həll yalnız əvəz etməklə nəzərə alınandan fərqlənir v haqqında u(və buna görə də u haqqında v), son dəyər saat eyni olduğu ortaya çıxır.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin həlli üçün alqoritm alırıq.

Əlavə olaraq qeyd edək ki, bəzən birinci dərəcəli tənlik əgər xətti olur saat müstəqil dəyişən hesab olunur və x- asılı, yəni. rolları dəyişdirin x Və y. Bu şərtlə edilə bilər x Və dx tənliyi xətti olaraq daxil edin.

Misal 2 . Tənliyi həll edin
.

Görünüşdə bu tənlik funksiyaya görə xətti deyil saat.

Ancaq nəzərə alsaq x funksiyası kimi saat, onda bunu nəzərə alaraq
, formasına gətirilə bilər

(4.1 b)

Əvəz olunur haqqında , alırıq
və ya
. Son tənliyin hər iki tərəfinin məhsula bölünməsi idi, gəlin onu formalaşdıraq

, və ya
. (**)

Burada P(y)=,
. Bu, ilə əlaqədar xətti tənlikdir x. Biz inanırıq
,
. Bu ifadələri (**) ilə əvəz edərək, alırıq

və ya
.

Gəlin v seçək ki,
,
, harada
;
. Növbəti bizdə
,
,
.

Çünki
, onda formada bu tənliyin ümumi həllinə gəlirik

.

Qeyd edək ki, (4.1a) tənliyində P(x) Və Q (x) yalnız funksiyalar şəklində daxil edilə bilməz x, həm də sabitlər: P= a,Q= b. Xətti tənlik

y= əvəzindən istifadə etməklə də həll edilə bilər uv və dəyişənlərin ayrılması:

;
.

Buradan
;
;
; Harada
. Özümüzü loqarifmdan azad edərək tənliyin ümumi həllini əldə edirik

(Burada
).

At b= 0 tənliyinin həllinə gəlirik

(eksponensial artım tənliyinə (2.4) baxın).
).

Əvvəlcə müvafiq homojen tənliyi (4.2) inteqrasiya edirik. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, onun həlli (4.3) formasına malikdir. amili nəzərə alacağıq İLƏ(4.3) funksiyası kimi X, yəni. əsasən dəyişən dəyişikliyi edir

haradan, inteqrasiya edərək, tapırıq

Qeyd edək ki, (4.14)-ə (həmçinin (4.9)) uyğun olaraq qeyri-homogen xətti tənliyin ümumi həlli müvafiq bircins tənliyin (4.3) ümumi həlli ilə qeyri-bərabər tənliyin müəyyən edilmiş xüsusi həllinin cəminə bərabərdir. ikinci termin (4.14)-də (və (4.9)-da) daxil edilmişdir.

Xüsusi tənlikləri həll edərkən, çətin düsturdan (4.14) istifadə etməkdənsə, yuxarıdakı hesablamaları təkrar etməlisiniz.

Baxılan tənliyə Laqranj metodunu tətbiq edək misal 1 :

.

Uyğun homojen tənliyi inteqrasiya edirik
.

Dəyişənləri ayıraraq, alırıq
və sonra
. İfadənin düsturla həlli y = Cx. Biz formada orijinal tənliyin həllini axtarırıq y = C(x)x. Bu ifadəni verilmiş tənliyə əvəz edərək, alırıq
;
;
,
. Orijinal tənliyin ümumi həlli formaya malikdir

.

Sonda qeyd edirik ki, Bernulli tənliyi xətti tənliyə endirilir

, ( )

şəklində yazıla bilər

.

Yerdəyişmə
xətti tənliyə endirir:

,
,
.

Bernoulli tənlikləri də yuxarıda göstərilən üsullarla həll edilə bilər.

Misal 3 . Tənliyin ümumi həllini tapın
.

 Çevrilmələr zənciri:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Homojen

Bu dərsdə biz sözdə baxacağıq birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər. İlə birlikdə ayrıla bilən tənliklər Və xətti qeyri-homogen tənliklər Bu tip uzaqdan idarəetmə diffuzorlar mövzusunda demək olar ki, hər hansı bir test işində tapılır. Səhifəyə bir axtarış motorundan gəlmisinizsə və ya diferensial tənlikləri başa düşməyinizə çox əmin deyilsinizsə, əvvəlcə mövzu ilə bağlı giriş dərsi ilə işləməyi şiddətlə tövsiyə edirəm - Birinci dərəcəli diferensial tənliklər. Fakt budur ki, homojen tənliklərin həlli üçün bir çox prinsiplər və istifadə olunan üsullar ayrıla bilən dəyişənləri olan ən sadə tənliklərlə tamamilə eyni olacaqdır.

Homojen diferensial tənliklər ilə digər diferensial tənliklər arasında fərq nədir? Bunu dərhal izah etməyin ən asan yolu xüsusi bir nümunədir.

Misal 1

Həll:
Nə Birincisi qərar verərkən təhlil edilməlidir hər hansı diferensial tənlik ilk sifariş? Əvvəla, yoxlamaq lazımdır ki, “məktəb” hərəkətlərindən istifadə edərək dəyişənləri dərhal ayırmaq mümkündürmü? Adətən bu təhlil zehni olaraq və ya qaralamada dəyişənləri ayırmağa cəhd etməklə aparılır.

Bu misalda dəyişənləri ayırmaq olmaz(şərtləri hissədən hissəyə atmağa, mötərizədə amilləri qaldırmağa cəhd edə bilərsiniz və s.). Yeri gəlmişkən, bu nümunədə dəyişənlərin bölünə bilməməsi çarpanın mövcudluğuna görə olduqca açıqdır.

Sual yaranır: bu diffuz problemi necə həll etmək olar?

Yoxlamaq lazımdır və Bu tənlik homojen deyilmi?? Doğrulama sadədir və yoxlama alqoritmi özü aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər:

Orijinal tənliyə:

əvəzinəəvəz edirik, əvəzinəəvəz edirik, törəməyə toxunmuruq:

Lambda hərfi şərti bir parametrdir və burada aşağıdakı rolu oynayır: əgər çevrilmələr nəticəsində BÜTÜN lambdaları “məhv etmək” və orijinal tənliyi əldə etmək mümkündürsə, bu diferensial tənlik homojendir.

Aydındır ki, lambdalar dərhal eksponentlə azalır:

İndi sağ tərəfdə lambdanı mötərizələrdən çıxarırıq:

və hər iki hissəni eyni lambda ilə bölün:

Nəticə olaraq Hamısı Lambdalar yuxu kimi, səhər dumanı kimi yoxa çıxdı və biz orijinal tənliyi əldə etdik.

Nəticə: Bu tənlik homojendir

Homojen diferensial tənliyi necə həll etmək olar?

Çox yaxşı xəbərim var. Mütləq bütün homojen tənliklər tək (!) standart əvəzetmə ilə həll edilə bilər.

"Oyun" funksiyası olmalıdır əvəz et iş bəzi funksiya (həmçinin “x” dən asılıdır) və "x":

Demək olar ki, həmişə qısaca yazırlar:

Belə bir əvəzetmə ilə törəmənin nəyə çevriləcəyini öyrənirik, məhsulun diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edirik. Əgər, onda:

Orijinal tənliyi əvəz edirik:

Belə bir əvəz nə verəcək? Bu dəyişdirmə və sadələşdirmələrdən sonra biz zəmanət verilir ayrıla bilən dəyişənlərlə tənlik alırıq. UNUTMAYIN ilk sevgi kimi :) və buna uyğun olaraq .

Əvəz etdikdən sonra maksimum sadələşdirmələr həyata keçiririk:

“x”dən asılı funksiya olduğundan onun törəməsi standart kəsr kimi yazıla bilər: .
Beləliklə:

Dəyişənləri ayırırıq, sol tərəfdə yalnız "te", sağ tərəfdə isə yalnız "x" toplamaq lazımdır:

Dəyişənlər ayrılıb, inteqrasiya edək:


Məqalədən mənim ilk texniki ipucuma görə Birinci dərəcəli diferensial tənliklər, bir çox hallarda loqarifm şəklində bir sabiti “formula etmək” məqsədəuyğundur.

Tənlik inteqrasiya edildikdən sonra yerinə yetirməliyik tərs dəyişdirmə, o da standart və unikaldır:
Əgər, onda
Bu halda:

20 haldan 18-19 halda homojen tənliyin həlli ümumi inteqral kimi yazılır..

Cavab:ümumi inteqral:

Niyə homojen tənliyin cavabı demək olar ki, həmişə ümumi inteqral şəklində verilir?
Əksər hallarda "oyunu" açıq şəkildə ifadə etmək (ümumi bir həll əldə etmək üçün) mümkün deyil və əgər mümkündürsə, çox vaxt ümumi həll çətin və yöndəmsiz olur.

Beləliklə, məsələn, nəzərdən keçirilən nümunədə ümumi inteqralın hər iki tərəfində loqarifmləri çəkməklə ümumi həll əldə edilə bilər:

- Yaxşı, hər şey qaydasındadır. Baxmayaraq ki, etiraf etməlisən, hələ də bir az əyridir.

Yeri gəlmişkən, bu nümunədə ümumi inteqralı kifayət qədər “ləyaqətlə” yazmadım. Bu səhv deyil, lakin “yaxşı” üslubda xatırladıram ki, ümumi inteqral adətən şəklində yazılır. Bunun üçün tənliyi inteqral etdikdən dərhal sonra heç bir loqarifm olmadan sabiti yazmaq lazımdır (burada qayda istisnadır!):

Və tərs əvəzetmədən sonra "klassik" formada ümumi inteqralı əldə edin:

Alınan cavab yoxlanıla bilər. Bunun üçün ümumi inteqralı diferensiallaşdırmaq, yəni tapmaq lazımdır dolaylı olaraq müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsi:

Tənliyin hər tərəfini aşağıdakılarla çarparaq fraksiyalardan xilas oluruq:

Orijinal diferensial tənlik alındı, bu da həllin düzgün tapıldığını bildirir.

Həmişə yoxlamaq məsləhətdir. Lakin homojen tənliklər xoşagəlməzdir ki, onların ümumi inteqrallarını yoxlamaq adətən çətindir - bu, çox, çox layiqli diferensiallaşdırma texnikası tələb edir. Baxılan nümunədə yoxlama zamanı ən sadə törəmələri tapmaq lazım deyildi (misal özü olduqca sadə olsa da). Yoxlaya bilsəniz, yoxlayın!

Aşağıdakı misal sizin öz başınıza həll etməyiniz üçündür - hərəkətlərin alqoritmi ilə rahatlaşasınız:

Misal 2

Tənliyi homojenliyə görə yoxlayın və onun ümumi inteqralını tapın.

Cavabı formada yazın, yoxlayın.

Burada da kifayət qədər sadə bir çek olduğu ortaya çıxdı.

İndi mövzunun əvvəlində qeyd olunan vəd edilmiş vacib məqam,
Qalın qara hərflərlə vurğulayacağam:

Transformasiyalar zamanı çarpanı "sıfırladıq" (sabit deyil)məxrəcə girin, o zaman həll yollarını itirmək RİSKİ!

Və əslində, ilk nümunədə bununla qarşılaşdıq diferensial tənliklər haqqında giriş dərsi. Tənliyin həlli prosesində "y" məxrəcdə olduğu ortaya çıxdı: , lakin, açıq-aydın, DE-nin həllidir və qeyri-bərabər çevrilmə (bölmə) nəticəsində onu itirmək üçün hər şans var! Başqa bir şey, sabitin sıfır qiymətində ümumi həllə daxil olmasıdır. Məxrəcdəki "X" hərfinin sıfırlanması da nəzərə alına bilməz, çünki orijinal diffuzoru qane etmir.

Eyni dərsin üçüncü tənliyi ilə bənzər bir hekayə, həlli zamanı məxrəcə "atdıq". Düzünü desək, burada yoxlamaq lazım idi ki, bu diffuzor həll yoludurmu? Axı, belədir! Ancaq hətta burada "hər şey yaxşı oldu", çünki bu funksiya ümumi inteqrala daxil edilmişdir at.

Və bu, tez-tez "ayrıla bilən" tənliklərlə işləyirsə, homojen və bəzi digər diffuzorlarla işləməyə bilər. Çox güman.

Bu dərsdə artıq həll edilmiş problemləri təhlil edək: in Nümunələr 1-2 X-in "sıfırlanması" da təhlükəsiz oldu, çünki və var və buna görə də dərhal aydın olur ki, bunun bir həll yolu ola bilməz. Bundan başqa, in Misal 2 məxrəcdə olduğu ortaya çıxdı və burada tənliyi açıq şəkildə təmin edən funksiyanı itirmək riski ilə üzləşdik. . Lakin, hətta burada da "keçdi", çünki... sabitin sıfır qiymətində ümumi inteqrala daxil oldu.

Ancaq təbii ki, mən məqsədyönlü şəkildə “xoşbəxt hadisələr” yaratmışam və praktikada bunların rastlaşacağı fakt deyil:

Misal 3

Diferensial tənliyi həll edin

Sadə bir misal deyilmi? ;-)

Həll: bu tənliyin homojenliyi göz qabağındadır, lakin yenə də - ilk addımda Dəyişənləri ayırmağın mümkün olub olmadığını HƏMİŞƏ yoxlayırıq. Çünki tənlik də homojendir, lakin içindəki dəyişənlər asanlıqla ayrılır. Bəli, bəziləri var!

"Ayrılabilirliyi" yoxladıqdan sonra biz əvəz edirik və tənliyi mümkün qədər sadələşdiririk:

Dəyişənləri ayırırıq, solda “te”, sağda isə “x” yığırıq:

Və burada STOP. Bölmə zamanı bir anda iki funksiyanı itirmək riskimiz var. olduğundan, bunlar funksiyalardır:

Birinci funksiya açıq-aydın tənliyin həllidir . İkincisini yoxlayırıq - onun törəməsini də diffuzorumuza əvəz edirik:

– düzgün bərabərlik əldə edilir, bu o deməkdir ki, funksiya həm də həlldir.

VƏ bu qərarları itirmək riskimiz var.

Bundan əlavə, məxrəc "X" oldu və buna görə də yoxlamağınızdan əmin olun, orijinal diferensial tənliyin həlli deyil. Xeyr deyil.

Bütün bunları qeyd edək və davam edək:

Deməliyəm ki, sol tərəfin inteqralı ilə bəxtim gətirdi, daha pis ola bilər.

Sağ tərəfdə bir loqarifm toplayırıq və qandalları atırıq:

İndi yalnız tərs əvəz:

Bütün şərtləri aşağıdakılarla çarpaq:

İndi yoxlamalısan - “təhlükəli” həllərin ümumi inteqrala daxil edilib-edilməməsi. Bəli, hər iki həll ümumi inteqrala sabitin sıfır qiymətində daxil edilmişdir: , ona görə də onların əlavə olaraq göstərilməsinə ehtiyac yoxdur. cavab:

ümumi inteqral:

İmtahan. Heç bir sınaq deyil, saf zövq :)

Orijinal diferensial tənlik alındı, bu da həllin düzgün tapıldığını bildirir.

Bunu özünüz həll etmək üçün:

Misal 4

Homojenlik testini yerinə yetirin və diferensial tənliyi həll edin

Ümumi inteqralı diferensiasiya yolu ilə yoxlayın.

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Daha bir neçə tipik nümunəyə baxaq:

Misal 5

Diferensial tənliyi həll edin

Həll Biz onu daha yığcam dizayn etməyə öyrəşəcəyik. Birincisi, zehni olaraq və ya bir qaralamada, dəyişənlərin burada ayrıla bilməyəcəyinə əmin oluruq, bundan sonra homojenlik üçün bir test keçiririk - bu, adətən son layihədə aparılmır. (xüsusi tələb olunmadıqda). Beləliklə, həll demək olar ki, həmişə girişlə başlayır: " Bu tənlik homojendir, əvəzini edək: ...».

Dəyişdirin və döyülmüş yolla gedirik:

Burada "X" əladır, amma kvadrat üçbucaq haqqında nə demək olar? Faktorlara parçalana bilmədiyi üçün: , onda biz həlləri mütləq itirmirik. Həmişə belə olacaqdı! Sol tərəfdəki tam kvadratı seçin və birləşdirin:

Burada sadələşdirmək üçün heç bir şey yoxdur və buna görə də tərs əvəz:

Cavab:ümumi inteqral:

Müstəqil həll üçün aşağıdakı nümunə:

Misal 6

Diferensial tənliyi həll edin

Bənzər tənliklər görünür, amma yox - böyük fərq;)

Və indi əyləncə başlayır! Əvvəlcə, hazır diferensiallarla homojen bir tənlik verilərsə nə edəcəyini anlayaq:

Misal 7

Diferensial tənliyi həll edin

Bu, çox maraqlı bir nümunədir, tam bir trillerdir!

Həll: əgər homojen tənlikdə hazır diferensiallar varsa, o zaman dəyişdirilmiş əvəzetmə ilə həll edilə bilər:

Ancaq belə bir əvəzetmədən istifadə etməyi məsləhət görmürəm, çünki bu, bir göz və gözə ehtiyacınız olan Çin diferensiallarının Böyük Səddinə çevriləcəkdir. Texniki nöqteyi-nəzərdən törəmənin "xırdalanmış" təyinatına keçmək daha sərfəlidir, bunun üçün tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölürük:

Və burada biz artıq "təhlükəli" bir dəyişiklik etdik! Sıfır diferensial oxa paralel düz xətlər ailəsinə uyğundur. Onlar bizim DU-nun kökləridirmi? Orijinal tənliyi əvəz edək:

Bu bərabərlik etibarlıdır, yəni böldükdə həlli itirmək riskinə düşsək, və biz onu itirdik- o vaxtdan artıq qane etmir nəticə tənliyi .

Qeyd etmək lazımdır ki, əgər biz ilkin olaraq tənliyi verilmişdir , onda kökdən söhbət getməzdi. Amma bizdə var və vaxtında tutduq.

Həllini standart bir dəyişdirmə ilə davam etdiririk:
:

Əvəz etdikdən sonra tənliyi mümkün qədər sadələşdiririk:

Dəyişənləri ayırırıq:

Və burada yenə STOP: bölməklə iki funksiyanı itirmək riskimiz var. olduğundan, bunlar funksiyalardır:

Aydındır ki, birinci funksiya tənliyin həllidir . İkincisini yoxlayırıq - onun törəməsini də əvəz edirik:

– alındı həqiqi bərabərlik, bu o deməkdir ki, funksiya həm də diferensial tənliyin həllidir.

Və böldükdə bu həlləri itirmək riski ilə üzləşirik. Bununla belə, onlar ümumi inteqrala daxil ola bilərlər. Amma onlar girməyə bilər

Gəlin bunu qeyd edək və hər iki hissəni birləşdirək:

Sol tərəfin inteqralı standart üsulla həll edilir tam kvadratı vurğulamaq, lakin diffuzorlarda istifadə etmək daha rahatdır qeyri-müəyyən əmsallar üsulu:

Qeyri-müəyyən əmsallar metodundan istifadə edərək, inteqranı elementar fraksiyaların cəminə genişləndiririk:


Beləliklə:

İnteqralların tapılması:

– biz yalnız loqarifmlər çəkdiyimiz üçün sabiti də loqarifmin altına itələyirik.

Əvəz etməzdən əvvəl yenidən sadələşdirilə bilən hər şeyi sadələşdirir:

Zəncirlərin yenidən qurulması:

Və tərs əvəz:

İndi "itirilmiş əşyalar" haqqında xatırlayaq: həll ümumi inteqrala daxil edilmişdi, lakin "kassa aparatının yanından uçdu", çünki məxrəc olduğu ortaya çıxdı. Buna görə də, cavabda ayrıca bir ifadə verilir və bəli - yeri gəlmişkən, aşağıda olduğu ortaya çıxan itirilmiş həlli unutma.

Cavab:ümumi inteqral: . Daha çox həll yolları:

Burada ümumi həlli ifadə etmək o qədər də çətin deyil:
, lakin bu, artıq bir nümayişdir.

Bununla belə, yoxlamaq üçün əlverişlidir. Törəməni tapaq:

və əvəz edir tənliyin sol tərəfinə:

– nəticədə tənliyin sağ tərəfi alındı ​​ki, bu da yoxlanılmalı idi.

İndi kökləri olan axtarış, bu da ümumi və çox məkrli bir haldır:

Misal 8

Diferensial tənliyi həll edin

Həll: Şifahi olaraq tənliyin homojen olduğundan əmin olun və ilk sevgini orijinal tənliklə əvəz edin:

Artıq burada bizi təhlükə gözləyir. Məsələ burasındadır və bu faktı gözdən itirmək çox asandır:

Xoşbəxt tanıtım!

Həll və cavablar:

Misal 2: Həll: Orijinal tənlikdə bu məqsədlə tənliyi homojenliyə görə yoxlayaq əvəzinəəvəz edək və əvəzinəəvəz edək:

Nəticədə, orijinal tənlik əldə edilir, bu isə bu DE-nin bircinsli olduğunu bildirir.

Bu yazıda homojen triqonometrik tənliklərin həlli üsulunu nəzərdən keçirəcəyik.

Homojen triqonometrik tənliklər hər hansı digər tipli homojen tənliklərlə eyni quruluşa malikdir. İkinci dərəcəli homojen tənliklərin həlli üsulunu xatırlatmaq istərdim:

Formanın homojen tənliklərini nəzərdən keçirək

Homojen tənliklərin fərqli xüsusiyyətləri:

a) bütün monomiallar eyni dərəcədədir;

b) sərbəst müddət sıfırdır,

c) tənlik iki fərqli əsaslı gücləri ehtiva edir.

Homojen tənliklər oxşar alqoritmdən istifadə etməklə həll edilir.

Bu tip tənliyi həll etmək üçün tənliyin hər iki tərəfini (bölmə və ya bölmək olar) ilə bölürük.

Diqqət! Tənliyin sağ və sol tərəflərini naməlum olan ifadə ilə bölərkən kökləri itirə bilərsiniz. Odur ki, tənliyin hər iki tərəfini böldüyümüz ifadənin köklərinin ilkin tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Əgər belədirsə, onda bu kökü yazırıq ki, sonra onu unutmayaq, sonra ifadəni buna bölürük.

Ümumiyyətlə, sağ tərəfində sıfır olan hər hansı bir tənliyi həll edərkən görüləcək ilk şey, tənliyin sol tərəfini hər hansı bir mövcud üsulla faktorlara ayırmağa çalışmaqdır. Və sonra hər bir amili sıfıra bərabərləşdirin. Bu halda biz mütləq kökləri itirməyəcəyik.

Beləliklə, tənliyin sol tərəfini diqqətlə ifadə termininə bölün. Biz əldə edirik:

İkinci və üçüncü kəsrlərin payını və məxrəcini azaldaq:

Əvəzedicini təqdim edək:

Kvadrat tənlik alırıq:

Kvadrat tənliyi həll edək, qiymətlərini tapaq və sonra ilkin naməluma qayıdaq.

Homojen triqonometrik tənlikləri həll edərkən bir neçə vacib şeyi yadda saxlamaq lazımdır:

1. Saxta termin əsas triqonometrik eynilikdən istifadə edərək sinus və kosinusun kvadratına çevrilə bilər:

2. Qoşa arqumentin sinusu və kosinusu ikinci dərəcəli monomiallardır - qoşa arqumentin sinusu asanlıqla sinus və kosinusun hasilinə, qoşa arqumentin kosinusu isə sinus və ya kosinusun kvadratına çevrilə bilər:

Homojen triqonometrik tənliklərin həllinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

1 . Tənliyi həll edək:

Bu, birinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliyin klassik nümunəsidir: hər bir monomialın dərəcəsi birə, kəsişmə müddəti sıfıra bərabərdir.

Tənliyin hər iki tərəfini -ə bölməzdən əvvəl, tənliyin köklərinin orijinal tənliyin kökləri olmadığını yoxlamaq lazımdır. Yoxlayırıq: əgər , onda başlıq="sin(x)0).">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Tənliyin hər iki tərəfini -ə bölək.

Biz əldə edirik:

, Harada

, Harada

Cavab: , Harada

2. Tənliyi həll edək:

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliyin nümunəsidir. Xatırlayırıq ki, tənliyin sol tərəfini faktorlara ayıra bilsək, bunu etmək məsləhətdir. Bu tənliyə qoya bilərik. Gəl edək:

Birinci tənliyin həlli: , burada

İkinci tənlik birinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir. Bunu həll etmək üçün tənliyin hər iki tərəfini bölün. Biz əldə edirik:

Cavab: , harada,

3. Tənliyi həll edək:

Bu tənliyi homojen etmək üçün onu məhsula çeviririk və 3 rəqəmini sinus və kosinusun kvadratlarının cəmi kimi təqdim edirik:

Bütün şərtləri sola köçürək, mötərizələri açıb oxşar şərtləri təqdim edək. Biz əldə edirik:

Sol tərəfi faktorlara ayıraq və hər əmsalı sıfıra bərabər təyin edək:

Cavab: , harada,

4 . Tənliyi həll edək:

Mötərizədə nə çıxara biləcəyimizi görürük. Gəl edək:

Hər bir amili sıfıra bərabərləşdirək:

Birinci tənliyin həlli:

İkinci əhali tənliyi ikinci dərəcəli klassik homojen tənlikdir. Tənliyin kökləri orijinal tənliyin kökləri deyil, ona görə də tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölürük:

Birinci tənliyin həlli:

İkinci tənliyin həlli.

1-ci dərəcəli bircinsli diferensial tənliyi həll etmək üçün u=y/x əvəzetməsindən istifadə edin, yəni u x-dən asılı olaraq yeni naməlum funksiyadır. Beləliklə, y=ux. Məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə edərək y’ törəməsini tapırıq: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (x’=1 olduğundan). Başqa qeyd forması üçün: dy = udx + xdu Əvəz etdikdən sonra tənliyi sadələşdiririk və ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə gəlirik.

1-ci dərəcəli homogen diferensial tənliklərin həlli nümunələri.

1) Tənliyi həll edin

Bu tənliyin homojen olduğunu yoxlayırıq (bax: Homojen tənliyi necə təyin etmək olar). Əmin olduqdan sonra u=y/x əvəzini edirik, ondan y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Əvəz edin: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabər olduğundan ln(ux)=lnu+lnx. Buradan

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Oxşar terminləri gətirdikdən sonra: u’x+u=u(1+lnu). İndi mötərizələri açın

u'x+u=u+ul·lnu. Hər iki tərəfdə u var, deməli u’x=ul·lnu. u x funksiyası olduğundan u’=du/dx. Gəlin əvəz edək

Ayrılan dəyişənləri olan bir tənlik əldə etdik. Dəyişənləri hər iki hissəni dx-ə vuraraq və x·ul·lnu-ya bölmək yolu ilə ayırırıq, bir şərtlə ki, hasil x·ul·lnu≠0

Gəlin inteqrasiya edək:

Sol tərəfdə bir cədvəl inteqralı var. Sağda - t=lnu əvəzini edirik, buradan dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Lakin biz artıq müzakirə etdik ki, belə tənliklərdə C əvəzinə ln│C│ götürmək daha əlverişlidir. Sonra

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Loqarifmlərin xassəsinə görə: ln│t│=ln│Сx│. Beləliklə, t=Cx. (şərtə görə, x>0). Əks əvəzetmənin vaxtı gəldi: lnu=Cx. Və daha bir tərs əvəz:

Loqarifmlərin xassəsinə görə:

Bu tənliyin ümumi inteqralıdır.

Biz x·ul·lnu≠0 (və buna görə də x≠0,u≠0, lnu≠0, haradan u≠1) hasilinin vəziyyətini xatırlayırıq. Lakin şərtdən x≠0, u≠1 qalır, deməli, x≠y. Aydındır ki, y=x (x>0) ümumi həllə daxil edilir.

2) y(1)=2 ilkin şərtlərini ödəyən y’=x/y+y/x tənliyinin qismən inteqralını tapın.

Birincisi, biz bu tənliyin homojen olduğunu yoxlayırıq (baxmayaraq ki, y/x və x/y terminlərinin mövcudluğu bunu dolayısı ilə göstərir). Sonra u=y/x əvəzini edirik, ondan y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Alınan ifadələri tənlikdə əvəz edirik:

u'x+u=1/u+u. Sadələşdirək:

u'x=1/u. u x funksiyası olduğundan u’=du/dx:

Ayrılan dəyişənləri olan bir tənlik əldə etdik. Dəyişənləri ayırmaq üçün hər iki tərəfi dx və u ilə vurub x-ə bölürük (x≠0 şərtlə, deməli, u≠0 da, yəni həll itkisi yoxdur).

Gəlin inteqrasiya edək:

və hər iki tərəfdə cədvəlli inteqrallar olduğu üçün dərhal alırıq

Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk:

Bu tənliyin ümumi inteqralıdır. İlkin y(1)=2 şərtindən istifadə edirik, yəni nəticədə y=2, x=1 əvəz edirik:

3) Homojen tənliyin ümumi inteqralını tapın:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Əvəzetmə u=y/x, haradan y=ux, dy=xdu+udx. Əvəz edək:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Mötərizədə x² çıxarırıq və hər iki hissəni ona bölürük (x≠0 şərti ilə):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Mötərizələri açın və sadələşdirin:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Şərtləri du və dx ilə qruplaşdırırıq:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Mötərizədə ümumi amilləri çıxaraq:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Dəyişənləri ayırırıq:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Bunun üçün tənliyin hər iki tərəfini xu(u²+1)≠0-a bölürük (buna uyğun olaraq x≠0 tələblərini əlavə edirik (artıq qeyd olunub), u≠0):

Gəlin inteqrasiya edək:

Tənliyin sağ tərəfində cədvəlli inteqral var və sol tərəfdəki rasional kəsri sadə amillərə parçalayırıq:

(yaxud ikinci inteqralda diferensial işarəni əvəz etmək əvəzinə t=1+u², dt=2udu - kimin xoşuna gəlirsə, hansı üsul daha yaxşıdır) əvəzini etmək mümkün idi). Biz əldə edirik:

Loqarifmlərin xüsusiyyətlərinə görə:

Ters dəyişdirmə

u≠0 şərtini xatırlayırıq. Beləliklə, y≠0. C=0 y=0 olduqda, bu o deməkdir ki, məhlul itkisi yoxdur və y=0 ümumi inteqrala daxil edilir.

Şərh

Termini solda x ilə tərk etsəniz, fərqli formada yazılmış bir həll əldə edə bilərsiniz:

Bu halda inteqral əyrinin həndəsi mənası mərkəzləri Oy oxunda olan və başlanğıcdan keçən dairələr ailəsidir.

Özünü test tapşırıqları:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Tənliyin homojen olduğunu yoxlayırıq, bundan sonra u=y/x əvəzini edirik, buradan y=ux, dy=xdu+udx. Şərtlə əvəz edin: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Tənliyin hər iki tərəfini x²≠0-a bölsək, alırıq: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Beləliklə, dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Sadələşdirsək, bizdə var: dx-xudu=0. Beləliklə, xudu=dx, udu=dx/x. Gəlin hər iki hissəni birləşdirək: