Bir neçə fraksiyanın əlavə edilməsi. Müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması (əsas qaydalar, ən sadə hallar)

Bu dərsdə biz cəbri kəsrlərin əlavə və çıxılmasını nəzərdən keçirəcəyik müxtəlif məxrəclər. Biz artıq müxtəlif məxrəcləri olan ümumi kəsrləri necə toplamaq və çıxmaq lazım olduğunu bilirik. Bunun üçün kəsrləri ortaq məxrəcə endirmək lazımdır. Belə çıxır ki, cəbri kəsrlər eyni qaydalara əməl edirlər. Eyni zamanda, cəbri kəsrləri ortaq məxrəcə necə azaltmağı artıq bilirik. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxarılması 8-ci sinif kursunun ən vacib və çətin mövzularından biridir. Üstəlik, bu mövzu gələcəkdə öyrənəcəyiniz cəbr kursunun bir çox mövzularında tapılacaqdır. Dərs çərçivəsində biz müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını öyrənəcək, həmçinin bir sıra tipik nümunələri təhlil edəcəyik.

Adi kəsrlər üçün ən sadə nümunəni nəzərdən keçirək.

Misal 1 Kəsrlər əlavə edin: .

Həll:

Kəsrlərin əlavə edilməsi qaydasını xatırlayın. Başlamaq üçün kəsrləri ümumi məxrəcə endirmək lazımdır. Adi kəsrlərin ortaq məxrəci belədir ən az ümumi çoxluq(LCM) orijinal məxrəclərin.

Tərif

Ən azı natural ədəd, eyni zamanda ədədlərə bölünən və .

LCM-i tapmaq üçün məxrəcləri əsas amillərə bölmək və sonra hər iki məxrəcin genişlənməsinə daxil olan bütün əsas amilləri seçmək lazımdır.

; . Onda ədədlərin LCM-inə iki 2 və iki 3 daxil edilməlidir: .

Ümumi məxrəci tapdıqdan sonra kəsrlərin hər biri üçün əlavə əmsal tapmaq lazımdır (əslində ümumi məxrəci müvafiq kəsrin məxrəcinə bölmək).

Sonra hər bir fraksiya yaranan əlavə əmsala vurulur. Fraksiyalar əldə edilir eyni məxrəclər, əvvəlki dərslərdə öyrəndiyimiz əlavə və çıxma.

Biz əldə edirik: .

Cavab:.

İndi fərqli məxrəcləri olan cəbri fraksiyaların əlavə edilməsini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə məxrəcləri ədədlər olan kəsrləri nəzərdən keçirin.

Misal 2 Kəsrlər əlavə edin: .

Həll:

Həll alqoritmi əvvəlki nümunəyə tamamilə bənzəyir. Bu kəsrlər üçün ortaq məxrəc tapmaq asandır: və onların hər biri üçün əlavə amillər.

.

Cavab:.

Beləliklə, formalaşdıraq müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin əlavə və çıxılması alqoritmi:

1. Kəsrin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.

2. Kəsirin hər biri üçün əlavə əmsalları tapın (ümumi məxrəci bu kəsrin məxrəcinə bölmək yolu ilə).

3. Sayları müvafiq əlavə amillərlə çarpın.

4. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarından istifadə edərək kəsrləri əlavə edin və ya çıxın.

İndi məxrəcində hərfi ifadələr olan kəsrlərlə bir nümunəyə baxaq.

Misal 3 Kəsrlər əlavə edin: .

Həll:

Hər iki məxrəcdə hərfi ifadələr eyni olduğundan, siz ədədlər üçün ortaq məxrəc tapmalısınız. Son ortaq məxrəc belə görünəcək: . Beləliklə, bu nümunənin həlli:

Cavab:.

Misal 4 Kəsrləri çıxarın: .

Həll:

Əgər ümumi məxrəci seçərkən “aldada” bilmirsinizsə (onu faktorlara ayıra və ya qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edə bilməzsiniz), onda hər iki fraksiyanın məxrəclərinin hasilini ortaq məxrəc kimi götürməlisiniz.

Cavab:.

Ümumiyyətlə, belə misalları həll edərkən ən çətin məsələ ortaq məxrəci tapmaqdır.

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 5 Sadələşdirin: .

Həll:

Ortaq məxrəci taparkən əvvəlcə ilkin fraksiyaların məxrəclərini faktorlara ayırmağa çalışmaq lazımdır (ortaq məxrəci sadələşdirmək üçün).

Bu xüsusi halda:

Onda ortaq məxrəci müəyyən etmək asandır: .

Əlavə amilləri müəyyənləşdiririk və bu nümunəni həll edirik:

Cavab:.

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını düzəldəcəyik.

Misal 6 Sadələşdirin: .

Həll:

Cavab:.

Misal 7 Sadələşdirin: .

Həll:

.

Cavab:.

İndi iki deyil, üç fraksiyanın əlavə olunduğu bir nümunəyə nəzər salaq (hər şeydən sonra daha çox fraksiya üçün toplama və çıxma qaydaları eyni qalır).

Misal 8 Sadələşdirin: .

Nömrəni və məxrəci tapın. Kəsr iki ədəddən ibarətdir: xəttin üstündəki ədədə pay, xəttin altındakı ədədə isə məxrəc deyilir. Məxrəc bütövün parçalandığı hissələrin ümumi sayını, paylayıcı isə belə hissələrin hesab edilən sayını göstərir.

• Məsələn, ½ kəsrində pay 1, məxrəc isə 2-dir.

Məxrəci təyin edin.Əgər iki və ya daha çox kəsr ortaq məxrəcə malikdirsə, belə kəsrlər xəttin altında eyni ədədə malikdir, yəni bu halda bəzi tam eyni sayda hissələrə bölünür. Ortaq məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çox asandır, çünki ümumi kəsrin məxrəci əlavə olunan kəsrlərinkinə bərabər olacaqdır. Misal üçün:

• 3/5 və 2/5 kəsrlərinin ortaq məxrəci 5 var.
• 3/8, 5/8, 17/8 kəsrlərinin ortaq məxrəci 8 var.

Tələbənin başa düşməsi ən çətin olanlardan bəziləri müxtəlif hərəkətlər sadə kəsrlərlə. Bu onunla bağlıdır ki, uşaqlar üçün hələ də mücərrəd düşünmək çətindir və fraksiyalar, əslində, onlar üçün belə görünür. Buna görə də, materialı təqdim edərkən müəllimlər tez-tez bənzətmələrə əl atırlar və kəsrlərin çıxma və əlavə edilməsini barmaqlarda hərfi mənada izah edirlər. Baxmayaraq ki, məktəb riyaziyyatının heç bir dərsi qaydalar və təriflər olmadan keçə bilməz.

Əsas anlayışlar

Hər hansı bir işə başlamazdan əvvəl bir neçə əsas tərif və qaydaları öyrənmək məsləhətdir. Əvvəlcə fraksiyanın nə olduğunu başa düşmək vacibdir. Bununla vahidin bir və ya bir neçə fraksiyasını təmsil edən ədəd nəzərdə tutulur. Məsələn, bir çörəyi 8 hissəyə kəsib onlardan 3 dilim boşqaba qoysanız, onda 3/8 kəsir olacaq. Üstəlik, bu yazıda sadə bir kəsr olacaq, burada xəttin üstündəki nömrə pay, aşağıda isə məxrəcdir. Amma 0,375 kimi yazılsa, artıq olacaq onluq.

Bundan əlavə, sadə fraksiyalar nizamlı, düzgün olmayan və qarışıq bölünür. Birinciyə, payı məxrəcdən kiçik olanların hamısı daxildir. Əksinə, məxrəc saydan kiçik olarsa, o, artıq düzgün olmayan kəsr olacaqdır. Düzgün olanın qarşısında tam ədəd varsa, qarışıq ədədlərdən danışırlar. Beləliklə, 1/2 kəsr düzgündür, lakin 7/2 deyil. Və bu formada yazsanız: 3 1/2, o zaman qarışıq olacaq.

Fraksiyaların əlavə edilməsinin nə olduğunu başa düşməyi asanlaşdırmaq və onu asanlıqla yerinə yetirmək üçün onun mahiyyətini aşağıda xatırlamaq da vacibdir. Əgər pay və məxrəc eyni ədədə vurulursa, onda kəsr dəyişməyəcək. Adi və digər fraksiyalarla ən sadə hərəkətləri yerinə yetirməyə imkan verən bu xüsusiyyətdir. Əslində, bu o deməkdir ki, 1/15 və 3/45, əslində, eyni rəqəmdir.

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Bu hərəkəti yerinə yetirmək adətən çox çətinlik yaratmır. Bu halda kəsrlərin əlavə edilməsi tam ədədlərlə oxşar hərəkətə çox bənzəyir. Məxrəc dəyişməz qalır və saylar sadəcə bir araya toplanır. Məsələn, 2/7 və 3/7 kəsrlərini əlavə etmək lazımdırsa, notebookda məktəb probleminin həlli belə olacaq:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Bundan əlavə, kəsrlərin bu əlavəsi baxımından izah edilə bilər sadə misal. Adi bir alma götürün və məsələn, 8 hissəyə kəsin. Əvvəlcə 3 hissəni ayrıca düzün, sonra onlara daha 2 hissə əlavə edin və nəticədə bütöv almanın 5/8 hissəsi fincanda yatacaq. Arifmetik məsələnin özü aşağıda göstərildiyi kimi yazılır:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Ancaq tez-tez birlikdə əlavə etməli olduğunuz daha çətin vəzifələr var, məsələn, 5/9 və 3/5. Fraksiyalarla hərəkətlərdə ilk çətinliklər burada yaranır. Axı, belə nömrələri əlavə etmək əlavə bilik tələb edəcəkdir. İndi onların əsas əmlakını tam olaraq geri çağırmalı olacaqsınız. Nümunədən kəsrləri əlavə etmək üçün əvvəlcə onları bir ortaq məxrəcə endirmək lazımdır. Bunu etmək üçün, sadəcə olaraq, 9 və 5-i öz aralarında çoxaltmaq, "5" payını müvafiq olaraq 5-ə və "3"ü 9-a vurmaq lazımdır. Beləliklə, belə fraksiyalar artıq əlavə olunur: 25/45 və 27/45. İndi yalnız sayları əlavə etmək və 52/45 cavabını almaq qalır. Bir kağız parçasında bir nümunə belə görünür:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Lakin bu cür məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi həmişə xəttin altındakı ədədlərin sadə şəkildə vurulmasını tələb etmir. Əvvəlcə ən aşağı ortaq məxrəci axtarın. Məsələn, 2/3 və 5/6 fraksiyalarına gəldikdə. Onlar üçün bu, 6 rəqəmi olacaq. Amma cavab həmişə aydın deyil. Bu vəziyyətdə, iki ədədin ən az ümumi çoxluğunu (qısaldılmış LCM) tapmaq qaydasını xatırlatmağa dəyər.

İki tam ədədin ən az ümumi faktoru kimi başa düşülür. Onu tapmaq üçün hər birini əsas amillərə ayırın. İndi hər nömrədə ən azı bir dəfə görünənləri yazın. Onları birlikdə vurun və eyni məxrəci alın. Əslində, hər şey bir az daha sadə görünür.

Məsələn, 4/15 və 1/6 fraksiyalarını əlavə etməlisiniz. Beləliklə, 15 sadə rəqəmləri 3 və 5, altı isə iki və üçü vurmaqla əldə edilir. Bu o deməkdir ki, onlar üçün LCM 5 x 3 x 2 \u003d 30 olacaq. İndi 30-u birinci fraksiyanın məxrəcinə bölərək onun paylayıcısı üçün bir əmsal alırıq - 2. İkinci fraksiya üçün isə bu rəqəm olacaq. 5. Beləliklə, 8/30 və 5/30 adi kəsrləri əlavə etmək və 13/30-da cavab almaq qalır. Hər şey son dərəcə sadədir. Notebookunuzda bu tapşırığı belə yazmalısınız:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Qarışıq ədədlərin toplanması

İndi sadə fraksiyaların əlavə edilməsində bütün əsas fəndləri bilərək, daha mürəkkəb nümunələrdə gücünüzü sınaya bilərsiniz. Və bunlar qarışıq rəqəmlər olacaq, hansı ki, bu cür bir kəsiri nəzərdə tuturlar: 2 2/3. Burada tam hissə uyğun kəsrdən əvvəl yazılır. Və çoxları bu cür nömrələrlə hərəkətlər edərkən çaşqın olurlar. Əslində burada da eyni qaydalar tətbiq olunur.

Qarışıq ədədləri bir araya toplamaq üçün bütün hissələri ayrıca əlavə edin və düzgün fraksiyalar. Və sonra bu 2 nəticə artıq yekunlaşdırılır. Praktikada hər şey daha sadədir, sadəcə bir az məşq etmək lazımdır. Məsələn, bir problemdə aşağıdakı qarışıq nömrələri əlavə etməlisiniz: 1 1/3 və 4 2/5 . Bunu etmək üçün əvvəlcə 5 almaq üçün 1 və 4-ü əlavə edin. Daha sonra ən kiçik ortaq məxrəc texnikasından istifadə edərək 1/3 və 2/5 əlavə edin. Qərar 11/15 olacaq. Və son cavab 5 11/15-dir. Məktəb dəftərində bu daha qısa görünəcək:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Onluqların əlavə edilməsi

Adi kəsrlərlə yanaşı, ondalıq kəsrlər də var. Yeri gəlmişkən, onlar həyatda daha çox rast gəlinir. Məsələn, bir mağazada qiymət tez-tez belə görünür: 20,3 rubl. Bu eyni fraksiyadır. Əlbəttə ki, bunları qatlamaq adi olanlardan daha asandır. Prinsipcə, sadəcə olaraq 2 adi nömrə əlavə etməlisiniz, ən başlıcası doğru yer vergül qoyun. Burada çətinliklər yaranır.

Məsələn, belə 2,5 və 0,56 əlavə etmək lazımdır. Bunu düzgün etmək üçün sonunda birinciyə sıfır əlavə etməlisiniz və hər şey qaydasında olacaq.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Bilmək lazımdır ki, istənilən onluq kəsr sadə kəsrə çevrilə bilər, lakin hər sadə kəsr onluq kəsr kimi yazıla bilməz. Beləliklə, nümunəmizdən 2.5 = 2 1/2 və 0.56 = 14/25. Ancaq 1/6 kimi bir kəsr yalnız təxminən 0,16667-yə bərabər olacaqdır. Eyni vəziyyət digər oxşar nömrələrlə də olacaq - 2/7, 1/9 və s.

Nəticə

Bir çox məktəbli, fraksiyalarla hərəkətlərin praktik tərəfini başa düşmür, bu mövzuya diqqətsiz yanaşır. Lakin, bu əsas bilik daha çox fındıq kimi basın imkan verəcək mürəkkəb nümunələr loqarifmlər və törəmələrin tapılması ilə. Buna görə də, sonradan əsəbləşərək dirsəklərinizi dişləməmək üçün fraksiyalarla hərəkətləri yaxşı başa düşməyə dəyər. Axı orta məktəbdə oxuyan müəllimin artıq keçilmiş bu mövzuya qayıtması çətin ki. Hər bir orta məktəb şagirdi belə məşqləri yerinə yetirməyi bacarmalıdır.

Kəsr ifadələri uşaq üçün anlamaq çətindir. İnsanların çoxu çətinlik çəkir. "Tam ədədlərlə kəsrlərin əlavə edilməsi" mövzusunu öyrənərkən uşaq tapşırığı həll etməkdə çətinlik çəkərək stupora düşür. Bir çox misallarda hər hansı bir hərəkəti yerinə yetirməzdən əvvəl bir sıra hesablamalar aparılmalıdır. Məsələn, fraksiyaları çevirin və ya düzgün olmayan kəsi düzgün birinə çevirin.

Uşağa aydın şəkildə izah edin. Üç alma götürün, onlardan ikisi bütöv, üçüncüsü isə 4 hissəyə kəsiləcək. Kəsilmiş almadan bir dilim ayırın və qalan üçünü iki tam meyvənin yanına qoyun. Bir tərəfdən ¼ alma, digər tərəfdən 2 ¾ alma alırıq. Onları birləşdirsək, üç tam alma alırıq. Gəlin 2 ¾ almanı ¼ azaltmağa çalışaq, yəni daha bir dilim çıxarın, 2 2/4 alma alırıq.

Tam ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə hərəkətlərə daha yaxından nəzər salaq:

Əvvəlcə hesablama qaydasını xatırlayaq kəsr ifadələri ortaq məxrəclə:

İlk baxışdan hər şey asan və sadədir. Lakin bu, yalnız çevrilmə tələb etməyən ifadələrə aiddir.

Məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin qiymətini necə tapmaq olar

Bəzi tapşırıqlarda məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin qiymətini tapmaq lazımdır. Xüsusi bir halı nəzərdən keçirək:
3 2/7+6 1/3

Bu ifadənin qiymətini tapın, bunun üçün iki fraksiya üçün ortaq məxrəc tapırıq.

7 və 3 nömrələri üçün bu 21-dir. Tam hissələri eyni qoyuruq və kəsr hissələrini 21-ə endiririk, bunun üçün birinci kəsri 3-ə, ikincini 7-yə vururuq:
6/21+7/21, unutmayın ki, bütün hissələr çevrilməyə məruz qalmır. Nəticədə bir məxrəcli iki kəsr alırıq və onların cəmini hesablayırıq:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Əgər əlavənin nəticəsi artıq tam hissəyə malik olan düzgün olmayan kəsrdirsə?
2 1/3+3 2/3
Bu halda, tam hissələri və kəsr hissələri əlavə edirik, alırıq:
5 3/3, bildiyiniz kimi, 3/3 birdir, ona görə də 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Cəmi tapmaqla hər şey aydındır, çıxma əməliyyatını təhlil edək:

Deyilənlərdən hərəkət qaydasına əməl olunur qarışıq nömrələr bu kimi səslənir:

• Əgər kəsr ifadəsindən tam ədədi çıxarmaq lazımdırsa, ikinci ədədi kəsr kimi göstərmək lazım deyil, yalnız tam ədədlərlə işləmək kifayətdir.

İfadələrin dəyərini özümüz hesablamağa çalışaq:

Gəlin "m" hərfi altında olan nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

4 5/11-2 8/11, birinci kəsrin payı ikincidən kiçikdir. Bunu etmək üçün birinci kəsirdən bir tam ədəd alırıq, alırıq:
3 5/11+11/11=3 tam 16/11, birinci kəsirdən ikincini çıxarın:
3 16/11-2 8/11=1 tam 8/11

• Tapşırığı yerinə yetirərkən diqqətli olun, bütün hissəni vurğulayaraq düzgün olmayan fraksiyaları qarışıq olanlara çevirməyi unutmayın. Bunun üçün payın dəyərini məxrəcin dəyərinə bölmək lazımdır, sonra baş verənlər tam hissənin yerini tutur, qalan hissə pay olacaq, məsələn:

19/4=4 ¾, yoxlayın: 4*4+3=19, məxrəcdə 4 dəyişməz qalır.

Ümumiləşdirin:

Kəsrlərlə bağlı tapşırığa keçməzdən əvvəl onun hansı ifadə olduğunu, həllin düzgün olması üçün kəsr üzərində hansı çevrilmələrin aparılmalı olduğunu təhlil etmək lazımdır. Daha rasional həll yolları axtarın. Çətin yola getməyin. Bütün hərəkətləri planlaşdırın, əvvəlcə qaralama versiyada qərar verin, sonra məktəb dəftərinə köçürün.

Kəsr ifadələri həll edərkən çaşqınlığa yol verməmək üçün ardıcıllıq qaydasına riayət etmək lazımdır. Hər şeyi diqqətlə, tələsmədən qərar verin.