Qarışıq kəsrin natural ədədə bölünməsi. Müxtəlif məxrəcli sadə və qarışıq kəsrlərin vurulması

) və məxrəcə görə məxrəc (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsrin çoxaldılması düsturu:

Misal üçün:

Numeratorların və məxrəclərin vurulmasına davam etməzdən əvvəl kəsrin azaldılmasının mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır. Kəsiri azaltmağı bacarsanız, hesablamalara davam etmək daha asan olacaq.

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi.

Natural ədədi əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Toplama vəziyyətində olduğu kimi, tam ədədi məxrəcdə vahid olan kəsrə çeviririk. Misal üçün:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
kəsrlərin say və məxrəclərini vurmaq;
fraksiyanı azaldır;
alınmasa düzgün fraksiya, sonra düzgün olmayan kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına gətirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmaq üçün ikinci üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Yuxarıdakı misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxsəviyyəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə olunur:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri çoxaltmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işdə ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Başınızdakı hesablamalara qarışmaqdansa, bir qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq daha yaxşıdır.

2. ilə tapşırıqlarda fərqli növlər fraksiyalar - adi kəsrlər formasına keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxmərtəbəli kəsr ifadələri 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi olanlar formasına gətiririk.

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Keçən dəfə kəsrləri toplama və çıxarma üsullarını öyrəndik ("Kəsrlərin toplanması və çıxılması" dərsinə baxın). Həmin hərəkətlərdə ən çətin məqam kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər ondan ibarətdir ki, bu əməliyyatlar toplama və çıxmadan daha sadədir. Başlamaq üçün düşünün ən sadə hal, fərqləndirilmiş tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca çoxaltmaq lazımdır. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinciyə vurmaq lazımdır.

Təyinat:

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmaya qədər azalır. Kəsiri çevirmək üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, bütün dərsi əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldılmış bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün hissəni ayırd etmək lazımdır. Ancaq vurma ilə dəqiq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz üsullar, maksimum amillər və ən kiçik ümumi çarpanlar yoxdur.

Tərifinə görə bizdə var:

Tam hissəli kəsrlərin və mənfi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərdə tam ədəd varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq vurulmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurma hüdudlarından çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

Artı dəfə minus mənfi verir;
İki mənfi bir təsdiq edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı, tam hissədən qurtulmaq tələb olunduqda rast gəlinirdi. Bir məhsul üçün bir anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

Mənfiləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. Həddindən artıq vəziyyətdə, bir mənfi sağ qala bilər - uyğunluğu tapmayan;
Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Sonuncu mənfi kəsilməyibsə, çünki bir cüt tapmadığı üçün onu vurma hüdudlarından çıxarırıq. Mənfi kəsr alırsınız.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara tərcümə edirik və sonra vurma hüdudlarından kənarda olan mənfi cəhətləri çıxarırıq. Qalanlar adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldılır. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırlatmaq istərdim ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrdən əvvəl gələn mənfi yalnız onun tam hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki nümunəyə aiddir).

Həmçinin diqqət yetirin mənfi ədədlər: Çoxaldıqda, onlar mötərizə içərisinə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Çoxalma çox zəhmət tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və tapşırığı asanlaşdırmaq üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və buna görə də kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda çarpanlar tamamilə azaldılıb. Bölmələr öz yerlərində qaldılar, ümumiyyətlə, buraxıla bilər. İkinci misalda tam azalma nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq heç bir halda fraksiyaları əlavə edib çıxararkən bu texnikadan istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv, kəsr əlavə edərkən cəmin ədədlərin hasilində deyil, kəsrin sayında görünməsi ilə əlaqədardır. Buna görə də, kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassə xüsusi olaraq ədədlərin vurulması ilə məşğul olur.

Sadəcə olaraq fraksiyaları azaltmaq üçün başqa səbəb yoxdur düzgün həlləvvəlki tapşırıq belə görünür:

Düzgün həll:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

§ 87. Kəsrlərin toplanması.

Kəsrlərin əlavə edilməsinin tam ədədlərin toplanması ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, bir neçə verilmiş ədədin (həddlərin) bütün vahidləri və termin vahidlərinin kəsrlərini ehtiva edən bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir.

Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirəcəyik:

1. İlə kəsrlərin əlavə edilməsi eyni məxrəclər.
2. İlə kəsrlərin əlavə edilməsi müxtəlif məxrəclər.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.

Məsələni nəzərdən keçirək: 1/5 + 2/5 .

AB seqmentini götürün (şəkil 17), onu vahid kimi götürün və 5 bərabər hissəyə bölün, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə, eyni CD seqmentinin hissəsinə bərabər olacaqdır. 2/5 AB-ə bərabər olacaq.

Rəsmdən görünür ki, AD seqmentini götürsək, onda 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti məhz AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu şərtləri və yaranan məbləği nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı şərtlərin payçılarının toplanması ilə alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buradan aşağıdakı qaydanı alırıq: Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və eyni məxrəci tərk etməlisiniz.

Məsələni nəzərdən keçirək:

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.

Fraksiyaları əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:

Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməzdi; daha aydınlıq üçün burada yazdıq.

Beləliklə, müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə çatdırmalı, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəcə imza atmalısınız.

Bir nümunə nəzərdən keçirin (uyğun fraksiyalar üzərində əlavə amillər yazacağıq):

3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

Rəqəmləri əlavə edək: 2 3/8 + 3 5/6.

Gəlin əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və yenidən yazaq:

İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edin:

§ 88. Kəsrlərin çıxılması.

Kəsrlərin çıxılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirək:

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.

Məsələni nəzərdən keçirək:

13 / 15 - 4 / 15

AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15-i, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.

13/15-dən 4/15-i çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:

Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buna görə də, eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün, çıxılanın payını minuendin payından çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.

Misal. 3/4 - 5/8

Əvvəlcə bu kəsrləri ən kiçik ortaq məxrəcə endirək:

Aralıq keçid 6/8 - 5/8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin gələcəkdə onu atlaya bilərsiniz.

Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə gətirməli, daha sonra azalanın payını kəsirdən çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə imza atmalısınız.

Məsələni nəzərdən keçirək:

3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

Misal. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuend və çıxarmanın kəsr hissələrini ən aşağı ortaq məxrəcə gətirək:

Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, azaldılmışın tam hissəsindən bir vahid götürməli, kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölməli və azaldılmışın kəsr hissəsinə əlavə etməlisiniz. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:

§ 89. Kəsrlərin vurulması.

Kəsrlərin vurulmasını öyrənərkən nəzərə alacağıq növbəti suallar:

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.

Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsirin (çoxluğun) tam ədədə (çoxalmaya) vurulması hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini tərtib etmək deməkdir.

Beləliklə, 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bu belə edilə bilər:

Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,

Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və kəsrin artması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün

və ya məxrəcini azaltmaqla , onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bir bölmə mümkündürsə.

Buradan qaydanı alırıq:

Kəsri tam ədədə vurmaq üçün payı bu tam ədədə vurmaq və məxrəci eyni qoymaq və ya mümkünsə, məxrəci bu ədədə bölmək, payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:

2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu tapşırıqların digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən bir hissə ilə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.

Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?

Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər olan məsafəni qət etməlidir. O, artıq həmin məsafənin 2/3-ni qət edib. Bu neçə kilometrdir?

Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4 hissəsi kərpic, qalanı taxtadır. Neçə kərpic ev var?

Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmaq üçün həll etməli olduğumuz çoxsaylı problemlərdən bəziləri buradadır. Onlar adətən verilmiş ədədin kəsirini tapmaq üçün problemlər adlanır.

Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Beləliklə, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:

Problem 2 həlli. Problemin mənası odur ki, 300 km-dən 2/3-ni tapmaq lazımdır. 300-ün ilk 1/3 hissəsini hesablayın; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:

300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).

300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün nəticədə alınan nisbəti ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:

100 x 2 = 200 (bu 300-dən 2/3-ə bərabərdir).

Problemin həlli 3. Burada 400-ün 3/4-ü olan kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,

400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).

400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:

100 x 3 = 300 (bu 400-ün 3/4-üdür).

Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:

Verilmiş ədədin bir hissəsinin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə əldə olunan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.

3. Tam ədədin kəsrə vurulması.

Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması eyni şərtlərin əlavə edilməsi kimi başa düşülməlidir (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.

Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.

İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, vurma ilə görüşəcəyik: 9 2/3. Tamamilə aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, bərabər ədədləri toplamaqla belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.

Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.

Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çarpan) kəsrə (çoxalmaya) vurmaq, çarpanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6-ya çatırıq.

Amma indi maraqlı və var vacib sual: niyə belə ilk baxışdan müxtəlif fəaliyyətlər cəmini necə tapmaq olar bərabər ədədlər və arifmetikada ədədin kəsrini tapmaq eyni sözü "vurma" adlanır?

Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (şərtlərlə ədədi bir neçə dəfə təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) eynicinsli suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya vəzifələrin bir və eyni hərəkətlə həll edildiyi mülahizələrindən çıxış edirik.

Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.

Eyni məsələni götürək, amma onda parça miqdarı kəsr rəqəmi ilə ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 3/4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.

Problemin mənasını dəyişmədən də içindəki rəqəmləri bir neçə dəfə dəyişə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.

Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?

Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:

Tərifə görə 50-dən 3/4-ü tapmalıyıq.Əvvəl 50-nin 1/4-ünü, sonra isə 3/4-ü tapırıq.

50-nin 1/4-ü 50/4-dür;

50-nin 3/4 hissəsidir.

Beləliklə.

Başqa bir misala nəzər salaq: 12 5/8 = ?

12-nin 1/8-i 12/8-dir,

12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.

Beləliklə,

Buradan qaydanı alırıq:

Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və verilmiş kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.

Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazırıq:

Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. kəsiklər, Misal üçün:

4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni kəsri kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (çoxaldan) çarpandakı kəsri tapmaq lazımdır.

Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.

Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?

Bir misal götürək: 3/4 çarpı 5/7. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapın

3/4-ün 1/7 hissəsi belə ifadə olunacaq:

5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

Beləliklə,

Başqa bir misal: 5/8 dəfə 4/9.

5/8-in 1/9-u ,

4/9 rəqəmləri 5/8-dir.

Beləliklə,

Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurub birinci hasilini hasilin, ikinci hasilini isə hasilin məxrəci etmək lazımdır.

Bu qaydada var ümumi görünüş belə yazmaq olar:

Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələri nəzərdən keçirin:

5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çarpın: 2 1/2 və 3 1/5. Onların hər birini düzgün olmayan kəsrə çeviririk və sonra yaranan fraksiyaları kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldacağıq:

Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:

6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən biz hər cür fraksiyalardan istifadə edirik. Ancaq yadda saxlamaq lazımdır ki, bir çox kəmiyyət onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölmələri qəbul edir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, bu "10 qəpik, ya da bir qəpik olacaq. Rublun dörddə birini, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) götürə bilərsiniz. Amma praktiki olaraq vermirlər. Məsələn, 2/7 rubl götürməyin, çünki rubl yeddiyə bölünmür.

Çəki üçün ölçü vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, onluq bölmələrə imkan verir, məsələn, 1/10 kq və ya 100 q. Və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/ kimi fraksiyaları 13 nadirdir.

Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıqdır və onluq bölmələrə imkan verir.

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzlüklər” bölgüsüdür. İnsan təcrübəsinin ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.

Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl təşkil edir. O, 1 rubl aşağı düşdü. 20 qəpik.

2. Əmanət kassaları il ərzində əmanətlərə qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini əmanətçilərə ödəyir.

Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.

3. Bir məktəbin məzunlarının sayı ümumi şagirdlərin 5/100-ünü təşkil edirdi.

NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird oxuyub, onlardan 60-ı məktəbi bitirib.

Ədədin yüzdə biri faiz adlanır..

"Faiz" sözü ondan götürülmüşdür latın kökü isə “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Bu ifadənin mənası əvvəlcə içərisində olmasından irəli gəlir qədim roma faiz borclunun borc verənə "hər yüz üçün" ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyirlər).

Məsələn, zavodun son bir ay ərzində istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-ni istehsal etdiyini söyləmək əvəzinə, belə deyəcəyik: zavod son bir ayda tullantıların bir faizini istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.

Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğin hər il 2 faizi həcmində vəsait ödəyir.

3. Bir məktəbin məzunlarının sayı məktəbdəki bütün şagirdlərin sayının 5 faizini təşkil edirdi.

Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % işarəsini yazmaq adətdir.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, % işarəsi adətən hesablamalarda yazılmır, o, problemin ifadəsində və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən, bu işarə ilə tam ədəd əvəzinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.

Göstərilən işarəli tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:

Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən işarə ilə tam ədəd yazmağa alışmalısınız:

7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması.

Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunun 30%-ni təşkil edir. Nə qədər ağcaqayın ağacı var idi?

Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsi idi və bu hissə 30/100 nisbətində ifadə edilir. Beləliklə, biz ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi ilə qarşılaşırıq. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirini tapmaq üçün tapşırıqlar ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).

Beləliklə, 200-ün 30% -i 60-a bərabərdir.

Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı lap əvvəldən etmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.

Tapşırıq 2. Düşərgədə 300 uşaq var idi müxtəlif yaşlar. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% idi. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?

Bu problemdə üç hesablama aparmaq lazımdır, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmaq lazımdır.

Beləliklə, burada üç dəfə ədədin bir hissəsini tapmaq lazım olacaq. Gəl edək:

1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?

2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?

3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?

Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Məsələnin şərtində verilən faizlərin cəminin 100 olmasına da diqqət yetirməlisiniz:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu onu deməyə əsas verir ümumi sayı düşərgədə olan uşaqlar 100% qəbul edildi.

3 a da cha 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzilə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

Bu məsələni həll etmək üçün 1200 ədədinin kəsirini 5 dəfə tapmaq lazımdır.Gəlin bunu edək.

1) Yemək üçün nə qədər pul xərclənir? Tapşırıqda deyilir ki, bu xərc bütün qazancların 65%-ni, yəni 1200 rəqəminin 65/100-ünü təşkil edir. Gəlin hesablama aparaq:

2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödənilib? Əvvəlki kimi mübahisə edərək, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:

3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?

4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənir?

5) İşçi nə qədər pul yığdı?

Doğrulama üçün bu 5 sualda olan nömrələri əlavə etmək faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% olaraq götürülür, problem bəyanatında verilən faizləri əlavə etməklə yoxlamaq asandır.

Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu tapşırıqlar müxtəlif məsələlərlə bağlı (məktəbə odun tədarükü, müxtəlif yaşda olan uşaqların sayı, fəhlə xərcləri) eyni şəkildə həll olunurdu. Bu, bütün tapşırıqlarda verilən nömrələrin bir neçə faizini tapmaq lazım olduğu üçün baş verdi.

§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.

Tam ədədlər bölməsində göstərildiyi kimi, bölmə iki amilin (dividend) hasilini (dividend) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilini nəzərə alaraq, başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.

Tam ədədin tam ədədə bölünməsini tam ədədlər bölməsində nəzərdən keçirdik. Biz orada iki bölgü halına rast gəldik: qalıqsız bölmə və ya "bütünlüklə" (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və qalıqda 1). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölən və tam ədədin məhsulu olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin hər hansı bir halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).

Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-nin 7-yə bərabər olacağı bir ədəd tapmaq deməkdir. Bu ədəd 7/12 kəsirdir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.

Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlə bərabər olan kəsr, məxrəc isə böləndir.

2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi.

6/7 kəsri 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; elə ikinci amil tapmaq tələb olunur ki, 3-ə vurulduqda verilmiş məhsul 6/7 versin. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımıza qoyulan vəzifə 6/7 fraksiyasını 3 dəfə azaltmaq idi.

Biz artıq bilirik ki, kəsrin kiçilməsi ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:

Bu halda 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.

Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:

Buna əsaslanaraq qaydanı qeyd edə bilərik: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(Əgər mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.

3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.

5-i 1/2-ə bölmək tələb olunsun, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5 verəcək ədəd tapılsın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir, və ədədi uyğun kəsrə vurarkən hasil çarpandan kiçik olmalıdır. Daha aydın olması üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , belə ki, x 1/2 \u003d 5.

Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2 ilə vurulduqda, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, naməlum ədədin 1/2-i. X 5 və tam ədəddir X iki dəfə çox, yəni 5 2 \u003d 10.

Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10

yoxlayaq:

Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunsun. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).

Şəkil 19

Bəzi vahidlərin 6-sına bərabər olan AB seqmenti çəkin və hər vahidi 3 bərabər hissəyə bölün. Hər bir vahiddə, bütün AB seqmentində üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrin köməyi ilə 18 əldə edilən 2 seqmenti birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr b vahidində 9 dəfə yer alır və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,

Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Aşağıdakı kimi mübahisə edəcəyik: 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunur, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab vermək tələb olunur. Əvvəlcə öyrənək: 1/3 neçə dəfədir 6-da var? Tam vahiddə - üçdə 3, 6 vahiddə - 6 dəfə çox, yəni 18 üçdə; bu ədədi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Deməli, 1/3 b vahidlərində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidlərində 18 dəfə deyil, yarısı qədərdir, yəni 18: 2 = 9 Buna görə də 6-nı 2/3-ə böləndə etdik aşağıdakı hərəkətlər:

Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili ədədə çevirərək, onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazırıq:

Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Qeyd edək ki, orada da eyni düstur alınıb.

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

3/4-ü 3/8-ə bölmək tələb olunsun. Bölmə nəticəsində əldə ediləcək ədədi nə ifadə edəcək? 3/8 kəsrinin 3/4 kəsrində neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün rəsm çəkək (şək. 20).

AB seqmentini götürün, vahid kimi götürün, 4 bərabər hissəyə bölün və 3 belə hissəni qeyd edin. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd ilkin seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdiririk, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər olan seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Beləliklə, bölmənin nəticəsi belə yazıla bilər:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 15/16-nı 3/32-yə bölmək tələb olunsun:

Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurulduqdan sonra 15/16-ya bərabər bir məhsul verəcək bir rəqəm tapmalıyıq. Hesablamaları belə yazaq:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 naməlum nömrə X 15/16 təşkil edin

1/32 naməlum nömrə X ,

32/32 nömrələr X makiyaj etmək.

Beləliklə,

Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurmaq, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmaq və birinci hasili say və kəsr etmək lazımdır. ikinci məxrəc.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları çevirmək lazımdır düzgün olmayan fraksiyalar, sonra yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölünməsi qaydalarına uyğun olaraq bölün. Məsələni nəzərdən keçirək:

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin:

İndi bölünək:

Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq bölmək lazımdır.

6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.

arasında müxtəlif vəzifələr kəsrlərdə bəzən elələri olur ki, orada naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiyməti verilir və bu ədədi tapmaq tələb olunur. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsirinin tapılması məsələsinə tərs olacaq; orada bir ədəd verilmişdir və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunur. Bu tip problemlərin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.

Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsini təşkil edir. Bu evdə neçə pəncərə var?

Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə daha çox pəncərə var, yəni.

Evin 150 pəncərəsi var idi.

Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da sexdəki ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?

Həll. Problemin vəziyyətindən görünür ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; bu o deməkdir ki, bu səhmin 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:

1500: 3 = 500 (bu, səhmin 1/8 hissəsidir).

Aydındır ki, bütün ehtiyat 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,

500 8 \u003d 4000 (kq).

Mağazada unun ilkin tədarükü 4000 kq olub.

Bu problemi nəzərdən keçirərək aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.

Ədədi kəsrinin verilmiş qiyməti ilə tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.

Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür məsələlər, xüsusilə sonuncudan yaxşı göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).

Ancaq kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.

Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:

Gələcəkdə bir ədədin kəsrinə görə tapılması məsələsini bir hərəkətdə - bölmədə həll edəcəyik.

7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Bu tapşırıqlarda bu rəqəmin bir neçə faizini bilməklə bir nömrə tapmalı olacaqsınız.

Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət kassasından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşdum? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)

Problemin mənası odur ki, müəyyən məbləğdə pul mənim tərəfimdən əmanət kassasına qoyulub və bir il orada yatıb. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. gəlir, bu da qoyduğum pulun 2/100 hissəsidir. Mən nə qədər pul qoymuşam?

Buna görə də, bu pulun iki şəkildə (rubl və fraksiya ilə) ifadə olunan hissəsini bilməklə, biz hələ məlum olmayan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı vəzifələr həll olunur:

Beləliklə, əmanət kassasına 3000 rubl qoyuldu.

Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq hazırlayaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?

Problemin vəziyyətindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq yığmaq lazımdır, onu da bilmirik. Problemin həlli bu rəqəmi tapmaqdan ibarət olacaq.

Bu cür vəzifələr bölmək yolu ilə həll olunur:

Belə ki, plana əsasən, 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.

Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq nə qədər yol getdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?

Problemin vəziyyətindən də görünür ki, Riqadan Moskvaya gedən yolun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:

§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.

2/3 kəsri götürün və payı məxrəcin yerinə düzəldin, 3/2 alırıq. Biz bir kəsr, bunun əksi var.

Verilmiş bir kəsrin əksini almaq üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Beləliklə, hər hansı bir kəsrin əksi olan bir kəsr əldə edə bilərik. Misal üçün:

3/4, tərs 4/3; 5/6 , tərs 6/5

Birincinin sayının ikincinin məxrəci və birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xassəsinə malik olan iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.

İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Bunun əksini axtarsaq, tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, payı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:

1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5

Qarşılıqlıları taparkən tam ədədlərlə də qarşılaşdığımızdan, gələcəkdə qarşılıqlılardan deyil, qarşılıqlılardan danışacağıq.

Tam ədədin əksini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll olunur: məxrəci payın yerinə qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədədin əksini əldə edə bilərsiniz, çünki hər hansı bir tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Buna görə də, 7-nin əksi 1/7 olacaq, çünki 7 \u003d 7/1; 10 nömrəsi üçün əksi 1/10-dur, çünki 10 = 10/1

Bu fikri başqa cür də ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Həqiqətən, 5 / 9 kəsirinin əksi olan bir ədəd yazmaq istəyirsinizsə, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.

İndi birini qeyd edək əmlak Bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı əks ədədlərin hasili birə bərabərdir. Həqiqətən:

Bu xassədən istifadə edərək, aşağıdakı şəkildə qarşılıqları tapa bilərik. 8-in əksini tapaq.

Hərflə işarə edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. Başqa bir ədəd tapaq, 7/12-nin tərsi, onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1:7 / 12 və ya X = 12 / 7 .

Biz burada kəsrlərin bölünməsi haqqında məlumatı bir az əlavə etmək üçün qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.

6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:

Ödəmək Xüsusi diqqət ifadəsinə və verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .

Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onda onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda nəticə eynidir. Beləliklə, deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividendləri bölənin əksinə vurmaqla əvəz edilə bilər.

Aşağıda verdiyimiz misallar bu qənaəti tam təsdiq edir.

Adi kəsr ədədləri ilk növbədə məktəbliləri 5-ci sinifdə qarşılayır və onları həyatları boyu müşayiət edir, çünki gündəlik həyatda çox vaxt hansısa obyekti tamamilə yox, ayrı-ayrılıqda nəzərdən keçirmək və ya istifadə etmək lazımdır. Bu mövzunun öyrənilməsinin başlanğıcı - paylaşın. Səhmlər bərabər hissələrdir bir obyektin bölündüyü. Axı, məsələn, bir məhsulun uzunluğunu və ya qiymətini tam ədəd kimi ifadə etmək həmişə mümkün deyil, hər hansı bir ölçünün hissələri və ya payları nəzərə alınmalıdır. “Əzmək” - hissələrə bölmək felindən əmələ gələn və ərəb kökləri olan VIII əsrdə rus dilində “kəsir” sözünün özü meydana çıxıb.

Fraksiyalı ifadələr uzun müddət riyaziyyatın ən çətin bölməsi hesab olunurdu. 17-ci əsrdə riyaziyyat üzrə ilk dərsliklər meydana çıxanda onlara “sınıq rəqəmlər” deyilirdi ki, bu da insanların anlayışında çox çətin görünürdü.

müasir görünüş hissələri üfüqi bir xətt ilə dəqiq ayrılmış sadə fraksiya qalıqları ilk dəfə Fibonaççiyə - Pizalı Leonardoya töhfə verdi. Yazıları 1202-ci ilə aiddir. Ancaq bu məqalənin məqsədi çoxalmanın necə baş verdiyini oxucuya sadə və aydın şəkildə izah etməkdir. qarışıq fraksiyalar müxtəlif məxrəclərlə.

Fərqli məxrəclərlə kəsrlərin vurulması

Əvvəlcə müəyyən etmək lazımdır fraksiyaların növləri:

düzgün;
səhv;
qarışıq.

Sonra, eyni məxrəcləri olan kəsr ədədlərinin necə vurulduğunu xatırlamaq lazımdır. Bu prosesin özünün qaydasını müstəqil şəkildə tərtib etmək asandır: sadə kəsrlərin eyni məxrəcləri ilə vurulmasının nəticəsi kəsr ifadəsidir, onun payı sayların hasilidir, məxrəc isə bu kəsrlərin məxrəclərinin məhsuludur. . Yəni, əslində, yeni məxrəc başlanğıcda mövcud olanlardan birinin kvadratıdır.

Çoxaldıqda müxtəlif məxrəcli sadə kəsrlər iki və ya daha çox amil üçün qayda dəyişmir:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Yeganə fərq ondadır formalaşan nömrə kəsr çubuğunun altında müxtəlif ədədlərin məhsulu və təbii ki, birinin kvadratı olacaqdır ədədi ifadə adını çəkmək mümkün deyil.

Nümunələrdən istifadə edərək müxtəlif məxrəcləri olan fraksiyaların vurulmasını nəzərdən keçirməyə dəyər:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Nümunələr kəsr ifadələrini azaltmaq yollarından istifadə edir. Siz məxrəcin nömrələri ilə yalnız payın nömrələrini azalda bilərsiniz; kəsr zolağından yuxarı və ya aşağıda bitişik faktorlar azaldıla bilməz.

Sadə kəsr ədədləri ilə yanaşı, qarışıq kəsr anlayışı da mövcuddur. Qarışıq ədəd tam və kəsr hissədən ibarətdir, yəni bu ədədlərin cəmidir:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çoxalma necə işləyir?

Baxış üçün bir neçə nümunə verilmişdir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Nümunədə ədədin vurma üsulundan istifadə olunur adi kəsr hissəsi, bu hərəkətin qaydasını düsturla yaza bilərsiniz:

a* b/c = a*b /c.

Əslində, belə bir hasil eyni kəsr qalıqlarının cəmidir və şərtlərin sayı bu natural ədədi göstərir. xüsusi hal:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Ədədin kəsr qalığına vurulmasının həlli üçün başqa bir variant var. Sadəcə məxrəci bu rəqəmə bölmək lazımdır:

d* e/f = e/f: d.

Məxrəc təbii ədədə qalıqsız və ya necə deyərlər, tam bölündükdə bu texnikadan istifadə etmək faydalıdır.

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin və məhsulu əvvəllər təsvir edilmiş şəkildə əldə edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu misal qarışıq fraksiyanı düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etmək üsulunu ehtiva edir, o, belə də göstərilə bilər. ümumi formula:

a bc = a*b+ c / c, burada yeni kəsrin məxrəci tam hissəni məxrəcə vurub onu ilkin kəsr qalığının payına əlavə etməklə əmələ gəlir və məxrəc eyni qalır.

Bu proses də işləyir arxa tərəf. Tam hissəni və kəsr qalığını seçmək üçün düzgün olmayan kəsrin payını məxrəcə “künc”lə bölmək lazımdır.

Düzgün olmayan fraksiyaların vurulması istehsal edir ənənəvi yol. Giriş bir kəsr xəttinin altına düşdükdə, lazım olduqda, bu üsuldan istifadə edərək rəqəmləri azaltmaq üçün kəsrləri azaltmalısınız və nəticəni hesablamaq daha asandır.

İnternetdə hətta mürəkkəb problemləri həll etmək üçün çoxlu köməkçilər var. riyaziyyat problemləri müxtəlif proqramlarda. Kifayət qədər sayda belə xidmətlər fraksiyaların vurulmasını hesablamaqda kömək edir müxtəlif nömrələr məxrəclərdə - fraksiyaların hesablanması üçün onlayn kalkulyatorlar. Onlar təkcə çoxalmağı deyil, həm də bütün digər sadə hesab əməliyyatlarını yerinə yetirməyi bacarırlar adi fraksiyalar və qarışıq nömrələr. Onunla işləmək çətin deyil, sayt səhifəsində müvafiq sahələr doldurulur, riyazi hərəkətin işarəsi seçilir və “hesabla” düyməsi sıxılır. Proqram avtomatik olaraq hesablanır.

Kəsir ədədlərlə hesab əməliyyatları mövzusu orta və yuxarı sinif şagirdlərinin bütün təhsili üçün aktualdır. Orta məktəbdə artıq ən sadə növləri nəzərə almırlar, amma tam kəsr ifadələri, lakin əvvəllər əldə edilmiş çevrilmə və hesablamalar qaydaları haqqında biliklər ilkin formada tətbiq edilir. Yaxşı öyrənilmiş əsas biliklər verir tam inamən yaxşı həllində çətin tapşırıqlar.

Sonda Lev Tolstoyun sözlərini xatırlatmaq məntiqlidir: “İnsan kəsirdir. Hesabını - öz məziyyətini artırmaq insanın ixtiyarında deyil, lakin hər kəs məxrəcini - özü haqqındakı fikrini azalda bilər və bu azalma ilə öz kamilliyinə yaxınlaşır.

Gec-tez məktəbdəki bütün uşaqlar fraksiyaları öyrənməyə başlayırlar: onların toplanması, bölünməsi, vurulması və hamısı mümkün tədbirlər, yalnız kəsrlərlə yerinə yetirmək mümkündür. Uşağa lazımi kömək göstərmək üçün valideynlər özləri tam ədədlərin fraksiyalara necə bölündüyünü unutmamalıdırlar, əks halda ona heç bir şəkildə kömək edə bilməyəcəksiniz, ancaq onu çaşdıracaqsınız. Bu hərəkəti xatırlamaq lazımdırsa, ancaq başınızdakı bütün məlumatları vahid bir qaydaya gətirə bilmirsinizsə, bu məqalə sizə kömək edəcək: bir ədədi kəsrlə bölməyi və illüstrativ nümunələrə baxmağı öyrənəcəksiniz.

Ədədi kəsrə necə bölmək olar

Nümunənizi qaralamaya yazın ki, qeydlər və ləkələr götürə biləsiniz. Unutmayın ki, tam ədəd hüceyrələr arasında, onların kəsişməsində və kəsr ədədlər arasında yazılır - hər biri öz xanasında.

IN bu üsul kəsri tərsinə çevirmək lazımdır, yəni məxrəci paya, payı isə məxrəcə yazmaq lazımdır.
Bölmə işarəsi vurmaya dəyişdirilməlidir.
İndi sadəcə olaraq artıq öyrənilmiş qaydalara uyğun olaraq vurma yerinə yetirməlisiniz: pay tam ədədlə vurulur və məxrəcə toxunulmur.

Təbii ki, belə bir hərəkət nəticəsində çox şey əldə edəcəksiniz böyük rəqəm hesablayıcıda. Bu vəziyyətdə kəsr buraxmaq mümkün deyil - müəllim sadəcə bu cavabı qəbul etməyəcək. Payı məxrəcə bölməklə kəsri azaldın. Yaranan tam ədədi xanaların ortasındakı kəsrin soluna yazın, qalanı isə yeni pay olacaq. Məxrəc dəyişməz olaraq qalır.

Bu alqoritm, hətta bir uşaq üçün də olduqca sadədir. Beş və ya altı dəfə tamamladıqdan sonra körpə proseduru xatırlayacaq və onu istənilən fraksiyaya tətbiq edə biləcək.

Ədədi ondalığa necə bölmək olar

Kəsrin başqa növləri də var - ondalıq. Onlara bölünmə tamamilə fərqli bir alqoritmə uyğun olaraq baş verir. Əgər belə bir nümunə ilə qarşılaşırsınızsa, təlimatları izləyin:

Əvvəlcə hər iki rəqəmi çevirin ondalıklar. Bunu etmək asandır: böləniniz artıq kəsr kimi göstərilib və siz bölünən natural ədədi vergüllə ayıraraq onluq kəsr alırsınız. Yəni dividend 5 rəqəmi idisə, 5.0-ın bir hissəsini alırsınız. Nömrəni onluq nöqtədən və bölücüdən sonra olduğu qədər rəqəmlə ayırmaq lazımdır.
Bundan sonra, hər iki onluq kəsrləri natural ədədlər etməlisiniz. Əvvəlcə bunu bir az çaşdırıcı tapa bilərsiniz, lakin bu, ən çox olanıdır sürətli yol bir neçə məşqdən sonra sizə saniyələr çəkəcək bölmə. 5.0-ın bir hissəsi 50 rəqəminə, 6.23-ün bir hissəsi 623-ə çevriləcəkdir.
Bölmə aparın. Rəqəmlər böyükdürsə və ya bölmə qalıq ilə baş verəcəksə, onu bir sütunda yerinə yetirin. Beləliklə, bu nümunənin bütün hərəkətlərini aydın şəkildə görəcəksiniz. Xüsusi olaraq vergül qoymağa ehtiyac yoxdur, çünki o, sütuna bölünmə prosesində özünü göstərəcəkdir.

Bu cür bölgü əvvəlcə çox çaşqın görünür, çünki dividend və bölücü kəsrə, sonra isə yenidən natural ədədlərə çevirmək lazımdır. Ancaq qısa bir məşqdən sonra dərhal bir-birinizə bölmək lazım olan nömrələri görməyə başlayacaqsınız.

Unutmayın ki, kəsrləri və tam ədədləri onlara düzgün bölmək bacarığı həyatda bir dəfədən çox faydalı ola bilər, buna görə də bu qaydaları bil və sadə prinsiplər uşağa ideal lazımdır ki, böyük siniflərdə onlar büdrəmə blokuna çevrilməsinlər, buna görə uşaq daha mürəkkəb problemləri həll edə bilmir.