Düzgün olmayan kəsri natural ədədə bölün. Kəsrlərlə hərəkətlər
Riyaziyyat kursundan müxtəlif tapşırıqları həll etmək üçün fizika kəsrləri bölmək məcburiyyətindədir. Bu riyazi hərəkəti yerinə yetirmək üçün müəyyən qaydaları bilsəniz, bunu etmək çox asandır.
Kəsrlərin bölünməsi qaydasını formalaşdırmağa keçməzdən əvvəl bəzi riyazi terminləri xatırlayaq:
- Kəsirin yuxarı hissəsi pay, aşağı hissəsi isə məxrəc adlanır.
- Bölmə zamanı ədədlər belə adlanır: dividend: bölən \u003d hissə
Kəsrləri necə bölmək olar: sadə kəsrlər
İki sadə fraksiyanı bölmək üçün dividendləri bölənin əksi ilə çarpın. Bu kəsr ters çevrilmiş kəsr də adlanır, çünki o, say və məxrəci dəyişdirməklə alınır. Misal üçün:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Kəsrləri necə bölmək olar: qarışıq kəsrlər
Qarışıq fraksiyaları bölmək məcburiyyətindəyiksə, burada da hər şey olduqca sadə və aydındır. Əvvəlcə qarışıq kəsri adi düzgün olmayan kəsrə çevirin. Bunun üçün belə bir kəsrin məxrəcini tam ədədə vururuq və əldə olunan hasildə payı əlavə edirik. Nəticədə, biz qarışıq kəsrin yeni payını aldıq və onun məxrəci dəyişməz qalacaq. Kəsrlərin sonrakı bölünməsi sadə kəsrlərin bölünməsi ilə eyni şəkildə aparılacaqdır. Misal üçün:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Kəsiri ədədə necə bölmək olar
Sadə kəsri ədədə bölmək üçün sonuncu kəsr kimi yazılmalıdır (düzgün olmayan). Bunu etmək çox asandır: bu nömrə paylayıcının yerinə yazılır və belə bir kəsrin məxrəci birə bərabərdir. Sonrakı bölmə adi şəkildə həyata keçirilir. Buna bir misalla baxaq:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Onluqları necə bölmək olar
Çox vaxt böyüklər, lazım gələrsə, kalkulyatorun köməyi olmadan tam və ya onluq kəsri onluq kəsrə bölməkdə çətinlik çəkirlər.
Beləliklə, onluq kəsrləri bölmək üçün sadəcə böləndə vergülü keçmək və ona diqqət yetirməyi dayandırmaq lazımdır. Bölünəndə vergül bölənin kəsr hissəsində olduğu qədər simvol sağa köçürülməlidir, lazım olduqda sıfırlar əlavə edilməlidir. Və sonra tam ədədə adi bölmə həyata keçirilir. Bunu daha aydın etmək üçün aşağıdakı misalı götürək.
§ 87. Kəsrlərin toplanması.
Kəsrlərin əlavə edilməsinin tam ədədlərin əlavə edilməsi ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, bir neçə verilmiş ədədin (hədlərin) bütün vahidləri və vahidlərin kəsrlərini ehtiva edən bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir.
Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirəcəyik:
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.
Bir nümunə nəzərdən keçirin: 1 / 5 + 2 / 5 .
AB seqmentini götürək (şəkil 17), onu vahid kimi götürüb 5 bərabər hissəyə bölək, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə, eyni seqmentin hissəsinə bərabər olacaq. CD 2/5 AB-yə bərabər olacaq.
Rəsmdən görünür ki, AD seqmentini götürsək, onda 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu şərtləri və yaranan məbləği nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı şərtlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.
Buradan aşağıdakı qaydanı alırıq: Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və eyni məxrəci tərk etməlisiniz.
Məsələni nəzərdən keçirək:
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
Kesrləri əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:
Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməzdi; daha aydınlıq üçün burada yazdıq.
Beləliklə, müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə çatdırmalı, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəcə imza atmalısınız.
Bir nümunə nəzərdən keçirin (uyğun fraksiyalar üzərində əlavə amillər yazacağıq):
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.
Rəqəmləri əlavə edək: 2 3/8 + 3 5/6.
Gəlin əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və onları yenidən yazaq:
İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edin:
§ 88. Kəsrlərin çıxılması.
Kəsrlərin çıxarılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirək:
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.
Məsələni nəzərdən keçirək:
13 / 15 - 4 / 15
AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsi, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.
13/15-dən 4/15-i çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:
Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.
Odur ki, eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün minuendin payından çıxılanın payını çıxmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
Misal. 3/4 - 5/8
Əvvəlcə bu kəsrləri ən kiçik ortaq məxrəcə endirək:
Aralıq keçid 6/8 - 5/8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin gələcəkdə onu atlaya bilərsiniz.
Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə gətirməli, daha sonra azalanın payını kəsirdən çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ortaq məxrəcə imza atmalısınız.
Məsələni nəzərdən keçirək:
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.
Misal. 10 3/4 - 7 2/3.
Minuend və çıxarmanın kəsr hissələrini ən aşağı ortaq məxrəcə gətirək:
Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, azaldılmışın tam hissəsindən bir vahid götürməli, kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölməli və azaldılmışın kəsr hissəsinə əlavə etməlisiniz. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:
§ 89. Kəsrlərin vurulması.
Kəsrlərin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:
1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (vurğacı) tam ədədə (amillə) vurmaq, hər bir hədd çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini təşkil etmək deməkdir.
Beləliklə, 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bu belə edilə bilər:
Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan fraksiyaların əlavə edilməsinə endirilmişdir. Nəticədə,
Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və fraksiyanın artması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün
yaxud onun məxrəcini azaltmaqla 
, onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bir bölmə mümkündürsə.
Buradan qaydanı alırıq:
Kəsri tam ədədə vurmaq üçün payı bu tam ədədə vurmaq və eyni məxrəci tərk etmək və ya mümkünsə, məxrəci bu ədədə bölmək, payı dəyişməz qoymaq lazımdır.
Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu tapşırıqların digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən fraksiya ilə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.
Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?
Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər olan məsafəni qət etməlidir. O, artıq həmin məsafənin 2/3 hissəsini qət edib. Bu neçə kilometrdir?
Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4-ü kərpic, qalanı taxtadır. Neçə kərpic ev var?
Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmaq üçün həll etməli olduğumuz çoxsaylı problemlərdən bəziləri buradadır. Onlara adətən verilmiş ədədin kəsirini tapmaq üçün problemlər deyilir.
Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Beləliklə, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:
Problem 2 həlli. Problemin mənası odur ki, 300 km-dən 2/3-ni tapmaq lazımdır. 300-ün ilk 1/3 hissəsini hesablayın; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:
300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).
300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün nəticədə alınan nisbəti ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:
100 x 2 = 200 (bu, 300-dən 2/3-ə bərabərdir).
Problemin həlli 3. Burada 400-dən 3/4-ə bərabər olan kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,
400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).
400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:
100 x 3 = 300 (bu 400-dən 3/4-ə bərabərdir).
Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:
Verilmiş ədəddən kəsrin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə yaranan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması eyni şərtlərin əlavə edilməsi kimi başa düşülməlidir (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.
Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.
İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, vurma ilə görüşəcəyik: 9 2 / 3. Tamamilə aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, bərabər ədədləri toplamaqla belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.
Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.
Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çarpan) kəsrə (çoxalmaya) vurmaq, çarpanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.
Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki bənddə belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6-ya çatırıq.
Ancaq indi maraqlı və vacib bir sual yaranır: niyə bərabər ədədlərin cəmini tapmaq və ədədin kəsrini tapmaq kimi fərqli görünən hərəkətlər hesabda eyni “vurma” sözü adlanır?
Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (rəqəmi şərtlərlə bir neçə dəfə təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) homojen suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya vəzifələrin bir və eyni hərəkətlə həll edildiyi mülahizələrindən çıxış edirik.
Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?
Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.
Eyni məsələni götürək, amma onda parça miqdarı kəsr rəqəmi ilə ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 3/4 m-i nə qədər olacaq?
Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.
Problemin mənasını dəyişmədən də içindəki rəqəmləri bir neçə dəfə dəyişə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.
Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.
Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?
Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:
Tərifə görə 50-dən 3/4-ü tapmalıyıq.Əvvəl 50-nin 1/4-ünü, sonra isə 3/4-ü tapırıq.
50-nin 1/4-ü 50/4-dür;
50-nin 3/4 hissəsidir.
Nəticədə.
Başqa bir misala nəzər salaq: 12 5/8 = ?
12-dən 1/8-i 12/8-dir,
12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.
Nəticədə,
Buradan qaydanı alırıq:
Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili ədədə çevirmək və verilmiş kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.
Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazırıq:
Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.
Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. kəsiklər, misal üçün:
4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni kəsri kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (çoxaldan) çarpandakı kəsri tapmaq lazımdır.
Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.
Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?
Bir misal götürək: 3/4 çarpı 5/7. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7 tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapın
3/4-ün 1/7 hissəsi belə ifadə olunacaq:
5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:
Bu minvalla,
Başqa bir misal: 5/8 dəfə 4/9.
5/8-in 1/9-u ,
4/9 rəqəmləri 5/8-dir.
Bu minvalla, 
Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:
Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurub birinci hasili hasil, ikinci hasilini isə hasilin məxrəci etmək lazımdır.
Bu qaydanı ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar:
Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələri nəzərdən keçirin:
5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çarpın: 2 1/2 və 3 1/5. Onların hər birini düzgün olmayan kəsrə çeviririk və sonra yaranan fraksiyaları bir kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldacağıq:
Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.
Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:
6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən hər cür fraksiyalardan istifadə edirik. Ancaq yadda saxlamaq lazımdır ki, bir çox kəmiyyət onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölmələri qəbul edir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, bu, "10 qəpik, ya da qrivna olacaq. Rublun dörddə birini, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) götürə bilərsiniz. Amma praktiki olaraq almırlar. Məsələn, 2/7 rubl götürməyin, çünki rubl yeddiyə bölünmür.
Çəki ölçü vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, onluq bölmələrə imkan verir, məsələn, 1/10 kq və ya 100 q. Və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/ kimi fraksiyaları 13 nadirdir.
Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.
Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzlüklər” bölgüsüdür. İnsan təcrübəsinin ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.
1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.
Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl təşkil edir. O, 1 rubl aşağı düşdü. 20 qəpik.
2. Əmanət kassaları əmanətlərə qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini il ərzində əmanətçilərə ödəyir.
Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.
3. Bir məktəbin məzunlarının sayı ümumi şagirdlərin 5/100 hissəsini təşkil edirdi.
NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird oxuyub, onlardan 60-ı məktəbi bitirib.
Ədədin yüzdə biri faiz adlanır..
"Faiz" sözü latın dilindən götürülmüşdür və onun kökü "cent" yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Bu ifadənin mənası ondan irəli gəlir ki, əvvəlcə qədim Romada faiz borclunun borc verənə “hər yüz üçün” ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyirlər).
Məsələn, zavodun son bir ayda istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-ni istehsal etdiyini söyləmək əvəzinə, belə deyəcəyik: zavod son bir ayda tullantıların bir faizini istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.
Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:
1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.
2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğin hər il 2 faizi həcmində vəsait ödəyir.
3. Bir məktəbin məzunlarının sayı məktəbdəki bütün şagirdlərin sayının 5 faizini təşkil edirdi.
Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % işarəsini yazmaq adətdir.
Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, % işarəsi adətən hesablamalarda yazılmır, o, problemin ifadəsində və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən bu işarə ilə tam ədəd əvəzinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.
Göstərilən işarəli tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:
Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən işarə ilə tam ədəd yazmağa alışmalısınız:
7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması.
Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunun 30%-ni təşkil edir. Orada nə qədər ağcaqayın ağacı var idi?
Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsi idi və bu hissə 30/100 nisbətində ifadə edilir. Beləliklə, biz ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi ilə qarşılaşırıq. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirini tapmaq üçün tapşırıqlar ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).
Beləliklə, 200-ün 30% -i 60-a bərabərdir.
Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı lap əvvəldən etmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.
Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% idi. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?
Bu problemdə üç hesablama aparmaq lazımdır, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmaq lazımdır.
Beləliklə, burada üç dəfə ədədin bir hissəsini tapmaq lazım olacaq. Gəl edək:
1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?
2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?
3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?
Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:
63 + 183 + 54 = 300
Məsələnin şərtində verilən faizlərin cəminin 100 olmasına da diqqət yetirməlisiniz:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu, düşərgədə uşaqların ümumi sayının 100% kimi götürüldüyünü deməyə əsas verir.
3 a da cha 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzilə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?
Bu məsələni həll etmək üçün 1200 ədədinin kəsirini 5 dəfə tapmaq lazımdır.Gəlin bunu edək.
1) Yemək üçün nə qədər pul xərclənir? Tapşırıqda deyilir ki, bu xərc bütün qazancların 65%-ni, yəni 1200 rəqəminin 65/100-ünü təşkil edir. Gəlin hesablama aparaq:
2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödənilib? Əvvəlki kimi mübahisə edərək, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:
3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?
4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənir?
5) İşçi nə qədər pul yığdı?
Doğrulama üçün bu 5 sualda olan nömrələri əlavə etmək faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% olaraq götürülür, problem bəyanatında verilən faizləri əlavə etməklə yoxlamaq asandır.
Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu tapşırıqlar müxtəlif məsələlərə (məktəb üçün odun tədarükü, müxtəlif yaşda olan uşaqların sayı, fəhlə xərcləri) aid idi. Bu, bütün tapşırıqlarda verilən nömrələrin bir neçə faizini tapmaq lazım olduğu üçün baş verdi.
§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.
Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:
1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.
Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
Tam ədədlər bölməsində qeyd olunduğu kimi, bölmə iki amilin (dividend) hasilini (dividend) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilini nəzərə alaraq, başqa bir amilin tapılmasından ibarət hərəkətdir.
Tam ədədin tam ədədə bölünməsini tam ədədlər bölməsində nəzərdən keçirdik. Biz orada iki bölgü halına rast gəldik: qalıqsız bölmə və ya "bütünlüklə" (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və qalıqda 1). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölən və tam ədədin məhsulu olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin hər hansı bir halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).
Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-nin 7-yə bərabər olacağı bir ədəd tapmaq deməkdir. Bu ədəd 7/12 kəsirdir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.
Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlə bərabər olan kəsr, məxrəc isə böləndir.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi.
6/7 kəsri 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; elə ikinci əmsal tapmaq tələb olunur ki, 3-ə vurulduqda verilmiş məhsul 6/7 versin. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımıza qoyulan vəzifə 6/7 fraksiyasını 3 dəfə azaltmaq idi.
Biz artıq bilirik ki, kəsrin kiçilməsi ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:
Bu halda 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.
Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:
Buna əsaslanaraq qaydanı qeyd edə bilərik: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(Əgər mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
5-i 1/2-yə bölmək tələb olunsun, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5 verəcək ədəd tapılsın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir, və ədədi uyğun kəsrə vurarkən hasil çarpandan kiçik olmalıdır. Daha aydın olması üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , belə ki, x 1/2 \u003d 5.
Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2 ilə vurulduqda, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, naməlum ədədin 1/2-i. X 5 və tam ədəddir X iki dəfə çox, yəni 5 2 \u003d 10.
Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10
yoxlayaq: 
Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunsun. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).
Şəkil 19
Bəzi vahidlərin 6-sına bərabər olan AB seqmenti çəkin və hər vahidi 3 bərabər hissəyə bölün. Hər bir vahiddə, bütün AB seqmentində üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrin köməyi ilə 18 əldə edilən 2 seqmenti birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr b vahidində 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Nəticədə,
Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Aşağıdakı kimi mübahisə edəcəyik: 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunur, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab vermək tələb olunur. Əvvəlcə öyrənək: 1/3 neçə dəfədir 6-da var? Tam vahiddə - üçdə 3, 6 vahiddə - 6 dəfə çox, yəni 18 üçdə; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Deməli, 1/3 b vahidlərində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidlərində 18 deyil, yarısı qədər, yəni 18: 2 = 9 olur. Beləliklə, 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:
Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək, onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.
Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:
Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Qeyd edək ki, eyni düstur orada da alınıb.
Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
3/4-ü 3/8-ə bölmək tələb olunsun. Bölmə nəticəsində əldə ediləcək ədədi nə ifadə edəcək? Bu, 3/4 kəsrində 3/8 kəsirinin neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün bir rəsm çəkək (şək. 20).
AB seqmentini götürün, vahid kimi götürün, 4 bərabər hissəyə bölün və 3 belə hissəni qeyd edin. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd ilkin seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdiririk, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər olan seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Beləliklə, bölmənin nəticəsi belə yazıla bilər:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 15/16-nı 3/32-ə bölmək tələb olunsun:
Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurduqdan sonra 15/16-ya bərabər bir məhsul verəcək bir rəqəm tapmalıyıq. Hesablamaları belə yazaq:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 naməlum nömrə X 15/16 təşkil edin
1/32 naməlum nömrə X ,
32/32 ədəd X makiyaj etmək.
Nəticədə,
Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmalı və birinci hasilini pay və kəsrə çevirməlisən. ikinci məxrəc.
Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:
Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək, sonra isə yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölünmə qaydalarına uyğun bölmək lazımdır. Məsələni nəzərdən keçirək:
Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin:
İndi bölünək:
Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq bölmək lazımdır.
6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.
Kəsrlərlə bağlı müxtəlif tapşırıqlar arasında bəzən naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiymətinin verildiyi və bu ədədi tapmaq tələb olunan tapşırıqlar var. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsirinin tapılması məsələsinə tərs olacaq; orada bir ədəd verilmişdir və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunur. Bu tip problemlərin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.
Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir. Bu evdə neçə pəncərə var?
Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə daha çox pəncərə var, yəni.
Evin 150 pəncərəsi var idi.
Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da sexdəki ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?
Həll. Problemin vəziyyətindən də görünür ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; bu o deməkdir ki, bu ehtiyatın 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:
1500: 3 = 500 (bu, səhmin 1/8 hissəsidir).
Aydındır ki, bütün ehtiyat 8 dəfə çox olacaq. Nəticədə,
500 8 \u003d 4,000 (kq).
Mağazada unun ilkin tədarükü 4000 kq olub.
Bu problemi nəzərdən keçirərək aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.
Ədədi kəsrinin verilmiş qiyməti ilə tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.
Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür məsələlər, xüsusilə sonuncudan yaxşı göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).
Ancaq kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.
Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:
Gələcəkdə bir ədədin kəsrinə görə tapılması məsələsini bir hərəkətdə - bölmədə həll edəcəyik.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.
Bu tapşırıqlarda, bu rəqəmin bir neçə faizini bilməklə bir nömrə tapmaq lazımdır.
Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət kassasından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətlərə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşdum? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)
Problemin mənası odur ki, müəyyən məbləğdə pul mənim tərəfimdən əmanət kassasına qoyulub və bir il orada yatıb. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. gəlir, bu da qoyduğum pulun 2/100 hissəsidir. Mən nə qədər pul qoymuşam?
Buna görə də, bu pulun iki şəkildə (rubl və fraksiya ilə) ifadə olunan hissəsini bilməklə, biz hələ məlum olmayan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı vəzifələr həll olunur:
Beləliklə, əmanət kassasına 3000 rubl qoyuldu.
Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq hazırlayaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?
Problemin vəziyyətindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq yığmaq lazımdır, onu da bilmirik. Problemin həlli bu rəqəmi tapmaqdan ibarət olacaq.
Bu cür vəzifələr bölmək yolu ilə həll olunur:
Belə ki, plana əsasən, 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.
Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq nə qədər yol getdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?
Problemin vəziyyətindən də görünür ki, Riqadan Moskvaya gedən yolun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:
§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.
2/3 kəsri götürün və payı məxrəcin yerinə uyğunlaşdırın, 3/2 alırıq. Bizdə bunun əksi olan bir kəsr var.
Verilmiş bir kəsrin əksini almaq üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla hər hansı bir kəsrin əksi olan kəsr əldə edə bilərik. Misal üçün:
3/4, tərs 4/3; 5/6 , tərs 6/5
Birincinin payının ikincinin məxrəci və birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xassəsinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.
İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Bunun əksini axtarsaq, tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, sayı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:
1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5
Qarşılıqlıları taparkən tam ədədlərlə də qarşılaşdığımız üçün gələcəkdə qarşılıqlılardan deyil, qarşılıqlılardan danışacağıq.
Tam ədədin əksini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll olunur: məxrəci payın yerinə qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədədin əksini əldə edə bilərsiniz, çünki hər hansı bir tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Buna görə də, 7-nin əksi 1/7 olacaq, çünki 7 \u003d 7/1; 10 nömrəsi üçün əksi 1/10-dur, çünki 10 = 10/1
Bu fikri başqa cür də ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Həqiqətən, əgər siz 5/9-un əksi olan bir ədəd yazmaq istəyirsinizsə, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.
İndi birini qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir. Həqiqətən:
Bu xassədən istifadə edərək, aşağıdakı şəkildə qarşılıqları tapa bilərik. 8-in əksini tapaq.
Onu hərflə işarə edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. Başqa bir ədəd tapaq, 7/12-nin tərsi, onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1:7 / 12 və ya X = 12 / 7 .
Biz burada kəsrlərin bölünməsi haqqında məlumatı bir az əlavə etmək üçün qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.
6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:
İfadəyə xüsusi diqqət yetirin və onu verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .
Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onda onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölmək və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda nəticə eynidir. Beləliklə, deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividendləri bölənin əksinə vurmaqla əvəz edilə bilər.
Aşağıda verdiyimiz misallar bu qənaəti tam təsdiq edir.
Kəsr bütövün bir və ya bir neçə hissəsidir, adətən vahid (1) kimi qəbul edilir. Natural ədədlərdə olduğu kimi, siz kəsrlərlə (toplama, çıxma, bölmə, vurma) bütün əsas hesab əməliyyatlarını yerinə yetirə bilərsiniz, bunun üçün kəsrlərlə işləməyin xüsusiyyətlərini bilmək və onların növlərini ayırd etmək lazımdır. Kəsrin bir neçə növü var: onluq və adi və ya sadə. Hər bir fraksiya növünün özünəməxsus xüsusiyyətləri var, lakin bir dəfə onlarla necə davranacağınızı hərtərəfli başa düşdükdən sonra, kəsrlərlə arifmetik hesablamaların aparılmasının əsas prinsiplərini bildiyiniz üçün kəsrlərlə istənilən nümunələri həll edə biləcəksiniz. Müxtəlif növ kəsrlərdən istifadə edərək kəsri tam ədədə bölmək nümunələrinə baxaq.
Kəsri natural ədədə necə bölmək olar?Adi və ya sadə kəsrlərə, hissənin yuxarı hissəsində dividend (numerator) və fraksiyanın bölən (məxrəc) aşağıda göstərildiyi ədədlərin belə bir nisbəti kimi yazılmış kəsrlər deyilir. Belə bir kəsri tam ədədə necə bölmək olar? Bir nümunəyə baxaq! Tutaq ki, 8/12-ni 2-yə bölmək lazımdır.
Bunu etmək üçün bir sıra hərəkətləri yerinə yetirməliyik:
Beləliklə, bir kəsri tam ədədə bölmək vəzifəsi ilə qarşılaşsaq, həll sxemi belə görünəcəkdir: 
Eynilə, istənilən adi (sadə) kəsri tam ədədə bölmək olar.
Onluğu tam ədədə necə bölmək olar?
Onluq kəsr vahidi on, min və s. hissələrə bölmək yolu ilə əldə edilən kəsrdir. Onluq kəsrlərlə arifmetik əməliyyatlar olduqca sadədir.
Kəsri tam ədədə bölmək nümunəsini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, 0,925 onluq kəsrini 5 natural ədədinə bölmək lazımdır.
Xülasə edərək, ondalık kəsrlərin tam ədədə bölünməsi əməliyyatını yerinə yetirərkən vacib olan iki əsas məqama diqqət yetirəcəyik: - onluq kəsri natural ədədə bölmək üçün sütuna bölmədən istifadə olunur;
- dividendlərin tam hissəsinin bölünməsi başa çatdıqda şəxsi yerə vergül qoyulur.
Adi kəsr ədədləri məktəbliləri ilk dəfə 5-ci sinifdə qarşılayır və onları həyatları boyu müşayiət edir, çünki gündəlik həyatda çox vaxt hansısa obyekti tamamilə yox, ayrı-ayrılıqda nəzərdən keçirmək və ya istifadə etmək lazımdır. Bu mövzunun öyrənilməsinin başlanğıcı - paylaşın. Səhmlər bərabər hissələrdir bir obyektin bölündüyü. Axı, məsələn, bir məhsulun uzunluğunu və ya qiymətini tam ədəd kimi ifadə etmək həmişə mümkün deyil, hər hansı bir ölçünün hissələri və ya payları nəzərə alınmalıdır. “Əzmək” - hissələrə bölmək felindən əmələ gələn və ərəb kökləri olan VIII əsrdə rus dilində “kəsir” sözünün özü meydana çıxıb.
Fraksiyalı ifadələr çoxdan riyaziyyatın ən çətin bölməsi hesab olunurdu. 17-ci əsrdə riyaziyyat üzrə ilk dərsliklər meydana çıxanda onlara “sınıq rəqəmlər” deyilirdi ki, bu da insanların anlayışında çox çətin görünürdü.
Hissələri üfüqi bir xətt ilə dəqiq ayrılmış sadə fraksiya qalıqlarının müasir forması ilk dəfə Fibonaççi - Pizalı Leonardo tərəfindən irəli sürülmüşdür. Yazıları 1202-ci ilə aiddir. Ancaq bu məqalənin məqsədi oxucuya müxtəlif məxrəcləri olan qarışıq fraksiyaların vurulmasının necə baş verdiyini sadə və aydın şəkildə izah etməkdir.
Fərqli məxrəclərlə kəsrlərin vurulması
Əvvəlcə müəyyən etmək lazımdır fraksiyaların növləri:
- düzgün;
- səhv;
- qarışıq.
Sonra, eyni məxrəcləri olan kəsr ədədlərinin necə vurulduğunu xatırlamaq lazımdır. Bu prosesin öz qaydasını müstəqil şəkildə tərtib etmək asandır: sadə kəsrlərin eyni məxrəcləri ilə vurulmasının nəticəsi kəsr ifadəsidir, onun payı sayların hasilidir, məxrəc isə bu kəsrlərin məxrəclərinin məhsuludur. . Yəni, əslində, yeni məxrəc ilkin olaraq mövcud olanlardan birinin kvadratıdır.
Çoxaldıqda müxtəlif məxrəcli sadə kəsrlər iki və ya daha çox amil üçün qayda dəyişmir:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Yeganə fərq ondadır ki, kəsr zolağının altında formalaşan ədəd müxtəlif ədədlərin hasili olacaq və təbii olaraq onu bir ədədi ifadənin kvadratı adlandırmaq olmaz.
Nümunələrdən istifadə edərək müxtəlif məxrəcləri olan fraksiyaların vurulmasını nəzərdən keçirməyə dəyər:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Nümunələr kəsr ifadələrini azaltmaq yollarından istifadə edir. Siz məxrəcin nömrələri ilə yalnız payın nömrələrini azalda bilərsiniz; kəsr zolağından yuxarı və ya aşağıda bitişik faktorlar azaldıla bilməz.
Sadə kəsr ədədləri ilə yanaşı, qarışıq kəsr anlayışı da mövcuddur. Qarışıq ədəd tam və kəsr hissədən ibarətdir, yəni bu ədədlərin cəmidir:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Çoxalma necə işləyir?
Bir neçə nümunə nəzərdən keçirmək üçün verilmişdir.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Nümunədə bir ədədin vurulması istifadə olunur adi kəsr hissəsi, bu hərəkətin qaydasını düsturla yaza bilərsiniz:
a * b/c = a*b /c.
Əslində, belə bir hasil eyni kəsr qalıqlarının cəmidir və şərtlərin sayı bu natural ədədi göstərir. Xüsusi hal:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Ədədin kəsr qalığına vurulmasının həlli üçün başqa bir variant var. Sadəcə məxrəci bu rəqəmə bölmək lazımdır:
d* e/f = e/f: d.
Məxrəc təbii ədədə qalıqsız və ya necə deyərlər, tam bölündükdə bu texnikadan istifadə etmək faydalıdır.
Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin və məhsulu əvvəllər təsvir edilmiş şəkildə əldə edin:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Bu misal qarışıq fraksiyanı düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etmək üsulunu ehtiva edir, o, ümumi düstur kimi də göstərilə bilər:
a bc = a*b+ c / c, burada yeni kəsrin məxrəci tam hissəni məxrəcə vurub onu ilkin kəsr qalığının payına əlavə etməklə əmələ gəlir və məxrəc eyni qalır.
Bu proses də tərsinə işləyir. Tam hissəni və kəsr qalığını seçmək üçün düzgün olmayan kəsrin payını məxrəcə “künc”lə bölmək lazımdır.
Düzgün olmayan fraksiyaların vurulması adi qaydada istehsal olunur. Giriş bir kəsr xəttinin altına düşdükdə, lazım olduqda, bu üsuldan istifadə edərək rəqəmləri azaltmaq üçün kəsrləri azaltmalısınız və nəticəni hesablamaq daha asandır.
Müxtəlif proqram variasiyalarında hətta mürəkkəb riyazi problemləri həll etmək üçün İnternetdə çoxlu köməkçilər var. Kifayət qədər sayda bu cür xidmətlər məxrəclərdə müxtəlif nömrələri olan fraksiyaların vurulmasını hesablamaqda kömək edir - fraksiyaların hesablanması üçün onlayn kalkulyatorlar. Onlar nəinki çoxalmağa, həm də adi kəsrlər və qarışıq ədədlərlə bütün digər sadə hesab əməliyyatlarını yerinə yetirə bilirlər. Onunla işləmək çətin deyil, sayt səhifəsində müvafiq sahələr doldurulur, riyazi hərəkətin işarəsi seçilir və “hesabla” düyməsi sıxılır. Proqram avtomatik olaraq hesablanır.
Kəsir ədədlərlə hesab əməliyyatları mövzusu orta və yuxarı sinif şagirdlərinin bütün təhsili üçün aktualdır. Orta məktəbdə artıq ən sadə növləri nəzərə almırlar, amma tam kəsr ifadələri, lakin əvvəllər əldə edilmiş çevrilmə və hesablamalar qaydaları haqqında biliklər ilkin formada tətbiq edilir. Yaxşı öyrənilmiş əsas biliklər ən mürəkkəb vəzifələrin uğurla həllinə tam inam verir.
Sonda Lev Tolstoyun sözlərini xatırlatmaq məntiqlidir: “İnsan kəsirdir. Sayını - öz məziyyətlərini artırmaq insanın ixtiyarında deyil, lakin hər kəs məxrəcini - özü haqqındakı fikrini azalda bilər və bu azalma ilə öz kamilliyinə yaxınlaşır.
Bölmədir. Bu yazıda biz danışacağıq adi kəsrlərin bölünməsi. Əvvəlcə adi kəsrlərin bölünməsi qaydasını verəcəyik və kəsrlərin bölünməsi nümunələrinə baxacağıq. Sonra, adi kəsri natural ədədə, ədədi isə kəsrə bölməyə diqqət yetirəcəyik. Nəhayət, adi kəsrin qarışıq ədədə bölünməsinin necə aparıldığını nəzərdən keçirək.
Səhifə naviqasiyası.
Adi kəsrin adi kəsrə bölünməsi
Məlumdur ki, bölmə vurmanın tərsidir (bax: bölmə ilə vurma arasındakı əlaqə). Yəni bölgü məhsul və digər amil məlum olduqda naməlum amilin tapılmasını nəzərdə tutur. Adi fraksiyaları bölərkən eyni bölmə hissi qorunur.
Adi kəsrlərin bölünməsi nümunələrinə nəzər salın.
Qeyd edək ki, fraksiyaların azaldılması və düzgün olmayan kəsrdən tam hissənin seçilməsi haqqında unutmamalıyıq.
Adi kəsrin natural ədədə bölünməsi
Dərhal verəcəyik kəsri natural ədədə bölmə qaydası: a / b kəsrini natural n ədədinə bölmək üçün payı eyni qoyub, məxrəci n-ə vurmaq lazımdır, yəni .
Bu bölmə qaydası bilavasitə adi kəsrlər üçün bölmə qaydasından irəli gəlir. Həqiqətən də natural ədədin kəsr kimi təqdim edilməsi aşağıdakı bərabərliklərə gətirib çıxarır 
.
Kəsri ədədə bölmək nümunəsini nəzərdən keçirək.
Misal.
16/45 kəsrini 12 natural ədədinə bölün.
Həll.
Kəsiri ədədə bölmə qaydası ilə bizdə var 
. Gəlin azalma edək: . Bu bölmə tamamlandı.
Cavab:
.
Natural ədədin adi kəsrə bölünməsi
Kəsrlərin bölünməsi qaydası oxşardır natural ədədin ümumi kəsrə bölünməsi qaydası: natural n ədədini adi a/b kəsrə bölmək üçün n ədədini a/b kəsrinin əksinə vurmaq lazımdır.
Səsli qaydaya görə, , və natural ədədi adi kəsrə vurma qaydası onu yenidən formada yazmağa imkan verir.
Məsələni nəzərdən keçirək.
Misal.
25 natural ədədini 15/28 kəsrinə bölün.
Həll.
Bölmədən vurmağa keçək, bizdə var 
. Tam hissənin kiçilməsi və seçilməsindən sonra alırıq.
Cavab:
.
Adi kəsrin qarışıq ədədə bölünməsi
Adi kəsrin qarışıq ədədə bölünməsi adi fraksiyaların bölünməsinə asanlıqla endirilir. Bunu etmək üçün kifayətdir