Svojstva logaritma i eksponenta. Prirodni logaritam i broj e. Izrazi kroz kompleksne brojeve

Uopšte nije loše, zar ne? Dok matematičari traže riječi kako bi vam dali dugu, zbunjujuću definiciju, pogledajmo pobliže ovu jednostavnu i jasnu definiciju.

Broj e znači rast

Broj e označava kontinuirani rast. Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, e x nam omogućava da povežemo kamatu i vrijeme: 3 godine sa 100% rasta isto je kao 1 godina sa 300%, pod pretpostavkom "složene kamate".

Možete zamijeniti bilo koje vrijednosti procenta i vremena (50% za 4 godine), ali je bolje postaviti postotak kao 100% radi pogodnosti (ispada 100% za 2 godine). Prelaskom na 100%, možemo se fokusirati isključivo na vremensku komponentu:

e x = e posto * vrijeme = e 1,0 * vrijeme = e vrijeme

Očigledno e x znači:

koliko će moj doprinos rasti nakon x jedinica vremena (pod pretpostavkom 100% kontinuiranog rasta).
na primjer, nakon 3 vremenska intervala dobiću e 3 = 20,08 puta više „stvari“.

e x je faktor skaliranja koji pokazuje na koji nivo ćemo narasti za vrijeme x.

Prirodni logaritam znači vrijeme

Prirodni logaritam je inverz od e, fensi termin za suprotnost. Govoreći o hirovima; na latinskom se zove logarithmus naturali, otuda i skraćenica ln.

I šta znači ova inverzija ili suprotnost?

e x nam omogućava da zamijenimo vrijeme i dobijemo rast.
ln(x) nam omogućava da uzmemo rast ili prihod i saznamo vrijeme koje je potrebno da ga generišemo.

Na primjer:

e 3 je 20.08. Nakon tri vremenska perioda, imaćemo 20,08 puta više nego što smo počeli.
ln(08/20) bi bilo otprilike 3. Ako ste zainteresovani za rast od 20,08 puta, trebat će vam 3 vremenska perioda (opet, uz pretpostavku 100% kontinuiranog rasta).

Još čitate? Prirodni logaritam pokazuje vrijeme potrebno da se postigne željeni nivo.

Ovaj nestandardni logaritamski broj

Jeste li prošli kroz logaritme - čudna su stvorenja. Kako su uspjeli da množenje pretvore u sabiranje? Šta je sa deljenjem na oduzimanje? Hajde da pogledamo.

Čemu je jednako ln(1)? Intuitivno, pitanje je: koliko dugo trebam čekati da dobijem 1x više od onoga što imam?

Zero. Zero. Ne sve. Već ga imate jednom. Nije potrebno dugo da se pređe sa nivoa 1 na nivo 1.

ln(1) = 0

Dobro, šta je sa razlomkom? Koliko će nam vremena trebati da nam ostane 1/2 raspoložive količine? Znamo da sa 100% kontinuiranog rasta, ln(2) znači vrijeme koje je potrebno da se udvostruči. Ako vratimo vrijeme unazad(tj. sačekajte negativno vrijeme), tada ćemo dobiti polovinu onoga što imamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logično, zar ne? Ako se vratimo (vrijeme unazad) na 0,693 sekunde, naći ćemo polovinu raspoložive količine. Općenito, možete preokrenuti razlomak i uzeti negativnu vrijednost: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To znači da ako se vratimo u prošlost na 1,09 puta, naći ćemo samo trećinu trenutnog broja.

Dobro, šta je sa logaritmom negativnog broja? Koliko je vremena potrebno da se kolonija bakterija "naraste" od 1 do -3?

Ovo je nemoguće! Ne možete dobiti negativan broj bakterija, zar ne? Možete dobiti maksimum (er...minimum) od nule, ali nema šanse da dobijete negativan broj od ovih malih stvorenja. Negativan broj bakterija jednostavno nema smisla.

ln(negativan broj) = nedefinisano

"Nedefinirano" znači da ne postoji vrijeme koje bi trebalo čekati da dobije negativnu vrijednost.

Logaritamsko množenje je jednostavno smiješno

Koliko će vremena trebati da poraste četiri puta? Naravno, možete samo uzeti ln(4). Ali ovo je previše jednostavno, idemo drugim putem.

Možete zamisliti četvorostruki rast kao udvostručavanje (zahteva ln(2) jedinice vremena) i zatim ponovno udvostručavanje (zahteva još ln(2) jedinice vremena):

Vrijeme da se poveća 4 puta = ln(4) = Vrijeme da se udvostruči i onda ponovo udvostruči = ln(2) + ln(2)

Zanimljivo. Svaka stopa rasta, recimo 20, može se smatrati udvostručenjem odmah nakon povećanja od 10x. Ili rast za 4 puta, a zatim za 5 puta. Ili utrostručiti, a zatim povećati za 6.666 puta. Vidite uzorak?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritam A puta B je log(A) + log(B). Ovaj odnos odmah ima smisla kada se posmatra u smislu rasta.

Ako ste zainteresovani za rast od 30x, možete sačekati ln(30) u jednoj sednici, ili sačekati ln(3) za utrostručenje, a zatim još jedan ln(10) za 10x. Krajnji rezultat je isti, tako da naravno vrijeme mora ostati konstantno (i ostaje).

Šta je sa podjelom? Konkretno, ln(5/3) znači: koliko će vremena trebati da naraste 5 puta, a zatim dobijete 1/3 od toga?

Odlično, rast od 5 puta je ln(5). Povećanje od 1/3 puta će trajati -ln(3) jedinica vremena. dakle,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

To znači: pustite da poraste 5 puta, a zatim se „vratite u prošlost“ do tačke u kojoj ostaje samo trećina te količine, tako da ćete dobiti 5/3 rasta. Generalno, ispada

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Nadam se da vam čudna aritmetika logaritama počinje imati smisla: množenje stopa rasta postaje zbrajanje vremenskih jedinica rasta, a dijeljenje oduzimanje vremenskih jedinica. Ne morate pamtiti pravila, pokušajte ih razumjeti.

Korištenje prirodnog logaritma za proizvoljan rast

Pa, naravno,” kažete, “ovo je sve dobro ako je rast 100%, ali šta je sa 5% koje dobijem?”

Nema problema. "Vrijeme" koje izračunavamo pomoću ln() je zapravo kombinacija kamatne stope i vremena, isto X iz jednačine e x. Upravo smo odlučili postaviti postotak na 100% radi jednostavnosti, ali slobodno možemo koristiti bilo koje brojeve.

Recimo da želimo postići rast od 30x: uzmimo ln(30) i dobijemo 3,4 To znači:

e x = visina
e 3,4 = 30

Očigledno, ova jednadžba znači "100% povrata tokom 3,4 godine daje 30x rast." Ovu jednačinu možemo napisati na sljedeći način:

e x = e stopa*vrijeme
e 100% * 3,4 godine = 30

Možemo mijenjati vrijednosti "bet" i "time", sve dok opklada * vrijeme ostaje 3.4. Na primjer, ako nas zanima rast od 30x, koliko ćemo morati čekati uz kamatnu stopu od 5%?

ln(30) = 3.4
stopa * vrijeme = 3.4
0,05 * vrijeme = 3,4
vrijeme = 3,4 / 0,05 = 68 godina

Razmišljam ovako: "ln(30) = 3,4, tako da će za rast od 100% trebati 3,4 godine. Ako udvostručim stopu rasta, potrebno vrijeme će se prepoloviti."

100% za 3,4 godine = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% za 1,7 godina = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% za 6,8 godina = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% preko 68 godina = .05 * 68 = 3.4.

Odlično, zar ne? Prirodni logaritam se može koristiti sa bilo kojom kamatnom stopom i vremenom jer njihov proizvod ostaje konstantan. Možete pomicati vrijednosti varijabli koliko god želite.

Sjajan primjer: Pravilo sedamdeset dva

Pravilo sedamdeset i dva je matematička tehnika koja vam omogućava da procijenite koliko će vremena trebati da se vaš novac udvostruči. Sada ćemo to zaključiti (da!), a štaviše, pokušat ćemo razumjeti njegovu suštinu.

Koliko će vam vremena trebati da udvostručite svoj novac uz 100% kamatu na godišnjem nivou?

Ups. Koristili smo prirodni logaritam za slučaj kontinuiranog rasta, a sada govorite o godišnjem kompaundiranju? Ne bi li ova formula postala neprikladna za takav slučaj? Da, hoće, ali za realne kamatne stope kao što su 5%, 6% ili čak 15%, razlika između godišnjeg kompaundiranja i kontinuiranog rasta će biti mala. Dakle, gruba procjena funkcionira, ovaj, otprilike, pa ćemo se pretvarati da imamo potpuno kontinuirano obračunavanje.

Sada je pitanje jednostavno: Koliko brzo možete da se udvostručite sa 100% rastom? ln(2) = 0,693. Potrebno je 0,693 jedinice vremena (godine u našem slučaju) da udvostručimo naš iznos uz kontinuirano povećanje od 100%.

Dakle, šta ako kamatna stopa nije 100%, već recimo 5% ili 10%?

Lako! Budući da je ulog * vrijeme = 0,693, udvostručit ćemo iznos:

stopa * vrijeme = 0,693
vrijeme = 0,693 / opklada

Ispada da ako je rast 10%, biće potrebno 0,693 / 0,10 = 6,93 godina da se udvostruči.

Da bismo pojednostavili proračune, pomnožimo obje strane sa 100, tada možemo reći "10" umjesto "0,10":

vrijeme za udvostručenje = 69,3 / opklada, gdje je opklada izražena u postocima.

Sada je vrijeme da se udvostruči po stopi od 5%, 69,3 / 5 = 13,86 godina. Međutim, 69,3 nije najpogodnija dividenda. Odaberimo bliski broj, 72, koji je zgodno podijeliti sa 2, 3, 4, 6, 8 i drugim brojevima.

vrijeme za udvostručenje = 72 / opklada

što je pravilo od sedamdeset dva. Sve je pokriveno.

Ako trebate pronaći vremena da utrostručite, možete koristiti ln(3) ~ 109,8 i dobiti

vrijeme za utrostručenje = 110 / opklada

Što je još jedno korisno pravilo. "Pravilo 72" se odnosi na rast kamatnih stopa, rast populacije, bakterijske kulture i sve što raste eksponencijalno.

Šta je sledeće?

Nadamo se da prirodni logaritam sada ima smisla za vas - on pokazuje vrijeme potrebno da bilo koji broj raste eksponencijalno. Mislim da se to naziva prirodnim jer je e univerzalna mjera rasta, tako da se ln može smatrati univerzalnim načinom određivanja koliko dugo je potrebno da raste.

Svaki put kada vidite ln(x), sjetite se "vrijeme koje je potrebno da poraste X puta". U narednom članku opisat ću e i ln zajedno kako bi svježi miris matematike ispunio zrak.

Dodatak: Prirodni logaritam od e

Brzi kviz: šta je ln(e)?

matematički robot će reći: budući da su definirani kao inverzni jedni drugima, očito je da je ln(e) = 1.
osoba koja razumije: ln(e) je broj puta koji je potreban da poraste "e" puta (oko 2.718). Međutim, sam broj e je mjera rasta za faktor 1, tako da je ln(e) = 1.

Razmišljaj jasno.

9. septembra 2013

Lekcija i prezentacija na temu: "Prirodni logaritmi. Osnova prirodnog logaritma. Logaritam prirodnog broja"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9-11 razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Šta je prirodni logaritam

Ljudi, na prošloj lekciji smo naučili novi, poseban broj - e. Danas ćemo nastaviti raditi sa ovim brojem.
Proučavali smo logaritme i znamo da osnova logaritma može biti mnogo brojeva koji su veći od 0. Danas ćemo pogledati i logaritam čija je osnova broj e. Takav logaritam se obično naziva prirodni logaritam. Ima svoju notaciju: $\ln(n)$ je prirodni logaritam. Ovaj unos je ekvivalentan unosu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija su inverzne, tada je prirodni logaritam inverzni funkciji: $y=e^x$.
Inverzne funkcije su simetrične u odnosu na pravu liniju $y=x$.
Nacrtajmo prirodni logaritam crtanjem eksponencijalne funkcije u odnosu na pravu liniju $y=x$.

Vrijedi napomenuti da je ugao nagiba tangente na graf funkcije $y=e^x$ u tački (0;1) 45°. Tada će i ugao nagiba tangente na graf prirodnog logaritma u tački (1;0) biti jednak 45°. Obje ove tangente će biti paralelne pravoj $y=x$. Hajde da dijagramiramo tangente:

Svojstva funkcije $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se u cijelom domenu definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, nije ograničeno odozdo.
5. Ne postoji najveća vrijednost, nema minimalna vrijednost.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno prema gore.
9. Svugdje se može razlikovati.

U toku više matematike to se dokazuje derivacija inverzne funkcije je inverzna od izvoda date funkcije.
Nema puno smisla ulaziti u dokaz, hajde da napišemo formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Primjer.
Izračunajte vrijednost izvoda funkcije: $y=\ln(2x-7)$ u tački $x=4$.
Rješenje.
Općenito, naša funkcija je predstavljena funkcijom $y=f(kx+m)$; možemo izračunati izvode takvih funkcija.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj tački: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.

Primjer.
Nacrtajte tangentu na graf funkcije $y=ln(x)$ u tački $h=e$.
Rješenje.
Dobro se sjećamo jednačine tangente na graf funkcije u tački $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Uzastopno izračunavamo tražene vrijednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentna jednadžba u tački $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nacrtajmo prirodni logaritam i tangentu.

Primjer.
Ispitajte funkciju monotonosti i ekstrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Rješenje.
Područje definicije funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Nađimo derivaciju date funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Izvod postoji za sve x iz domena definicije, tada nema kritičnih tačaka. Nađimo stacionarne tačke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Tačka $h=-1$ ne pripada domenu definicije. Tada imamo jednu stacionarnu tačku $x=1$. Nađimo intervale povećanja i smanjenja:

Tačka $x=1$ je minimalna tačka, zatim $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: Funkcija se smanjuje na segmentu (0;1], funkcija raste na zraku $)