Rozwiązanie Ax bx c. Równania kwadratowe - przykłady z rozwiązaniami, cechami i wzorami
Pracujmy z równania kwadratowe. To bardzo popularne równania! W samym ogólna perspektywa równanie kwadratowe wygląda następująco:
Na przykład:
Tutaj A =1; B = 3; C = -4
Tutaj A =2; B = -0,5; C = 2,2
Tutaj A =-3; B = 6; C = -18
Cóż, rozumiesz...
Jak rozwiązywać równania kwadratowe? Jeśli masz przed sobą równanie kwadratowe w tej formie, wszystko jest proste. Zapamiętajmy magiczne słowo dyskryminujący . Rzadko się zdarza, żeby licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „rozwiązujemy poprzez dyskryminację” budzi pewność i pewność. Ponieważ od dyskryminującego nie trzeba oczekiwać sztuczek! Jest prosty i bezproblemowy w użyciu. Zatem wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco:
Wyrażenie pod znakiem pierwiastka to jedno dyskryminujący. Jak widać, aby znaleźć X, używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równania kwadratowego. Po prostu ostrożnie zamień wartości a, b i c To jest wzór, który obliczamy. Zastąpmy z własnymi znakami! Na przykład dla pierwszego równania A =1; B = 3; C= -4. Tutaj to zapisujemy:
Przykład jest prawie rozwiązany:
To wszystko.
Jakie przypadki są możliwe przy użyciu tej formuły? Są tylko trzy przypadki.
1. Wyróżnik jest dodatni. Oznacza to, że można z niego wyodrębnić korzeń. To, czy korzeń zostanie usunięty dobrze, czy źle, to inna kwestia. Ważne jest to, co w zasadzie zostało wydobyte. Zatem twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.
2. Dyskryminator wynosi zero. Wtedy masz jedno rozwiązanie. Ściśle mówiąc, nie jest to jeden korzeń, ale dwa identyczne. Odgrywa to jednak rolę w przypadku nierówności, gdzie przeanalizujemy tę kwestię bardziej szczegółowo.
3. Wyróżnik jest ujemny. Nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Cóż, OK. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.
Wszystko jest bardzo proste. I co, myślisz, że nie da się popełnić błędu? No właśnie, jak...
Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie się pomylić?), ale z podstawieniem wartości ujemne we wzorze na obliczenie pierwiastków. Pomocne jest tutaj szczegółowe zapisanie wzoru z konkretnymi liczbami. W przypadku problemów z obliczeniami, Zrób to!
Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:
Tutaj a = -6; b = -5; c = -1
Załóżmy, że wiesz, że rzadko otrzymujesz odpowiedzi za pierwszym razem.
Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie około 30 sekund i liczbę błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, ze wszystkimi nawiasami i znakami:
Wydaje się, że pisanie z taką starannością jest niezwykle trudne. Ale tylko tak się wydaje. Spróbuj. Cóż, albo wybierz. Co jest lepsze, szybko czy dobrze? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie już potrzeby tak dokładnego zapisywania wszystkiego. To się okaże samoistnie. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki opisane poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów można rozwiązać łatwo i bez błędów!
Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez dyskryminację, którą zapamiętaliśmy. Albo się nauczyli, co też jest dobre. Wiesz, jak poprawnie określić a, b i c. Czy wiesz jak? uważnie podstaw je do wzoru głównego i uważnie policz wynik. Czy rozumiesz to słowo kluczowe Tutaj - uważnie?
Jednak równania kwadratowe często wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:
Ten niekompletne równania kwadratowe . Można je również rozwiązać za pomocą dyskryminatora. Musisz tylko poprawnie zrozumieć, czym są tutaj równe. a, b i c.
Czy już to wymyśliłeś? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; A C? W ogóle nie istnieje! Cóż, tak, to prawda. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zamiast tego wstaw zero do wzoru C, i odniesiemy sukces. To samo z drugim przykładem. Tylko, że u nas nie ma zera Z, A B !
Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie prościej. Bez jakiejkolwiek dyskryminacji. Rozważmy pierwsze niekompletne równanie. Co możesz zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyjmijmy to.
I co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz mi? OK, w takim razie wymyśl dwie liczby niezerowe, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Otóż to...
Dlatego śmiało możemy napisać: x = 0, Lub x = 4
Wszystko. Będą to pierwiastki naszego równania. Obydwa się nadają. Podstawiając którekolwiek z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać rozwiązanie jest znacznie prostsze niż użycie dyskryminatora.
Drugie równanie można również rozwiązać w prosty sposób. Przesuń 9 do prawa strona. Otrzymujemy:
Pozostaje tylko wyodrębnić pierwiastek z 9 i to wszystko. Okaże się:
Oraz dwa korzenie . x = +3 i x = -3.
W ten sposób rozwiązuje się wszystkie niepełne równania kwadratowe. Albo umieszczając X poza nawiasami, albo po prostu przesuwając liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te techniki. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek X, co jest w jakiś sposób niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma nic do wyjmowania z nawiasów...
Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które wynikają z nieuwagi... Dla których później staje się to bolesne i obraźliwe...
Pierwsze spotkanie. Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego i doprowadź je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymamy następujące równanie:
Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:
I jeszcze raz: nie spiesz się! Minus przed kwadratem X może naprawdę Cię zdenerwować. Łatwo zapomnieć... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:
Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu. Zdecyduj sam. Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1.
Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie bój się, wszystko wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Te. ten, którego użyliśmy do zapisania wzoru na pierwiastek. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1, sprawdzenie korzeni jest łatwe. Wystarczy je pomnożyć. Rezultatem powinien być wolny członek, tj. w naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2, ale -2! Wolny Członek ze swoim znakiem
. Jeśli to nie zadziała, oznacza to, że już gdzieś schrzaniłeś. Poszukaj błędu. Jeśli to zadziała, musisz dodać korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Współczynnik powinien być B Z naprzeciwko
znajomy. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik B, który jest przed X, jest równy -1. Zatem wszystko się zgadza!
Szkoda, że jest to takie proste tylko dla przykładów, gdzie x kwadrat jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Błędów będzie coraz mniej.
Recepcja trzecia. Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w poprzedniej sekcji. Podczas pracy z ułamkami z jakiegoś powodu wkradają się błędy...
Swoją drogą obiecałem uprościć zły przykład garścią minusów. Proszę! Tutaj jest.
Aby nie pomylić minusów, mnożymy równanie przez -1. Otrzymujemy:
To wszystko! Rozwiązywanie to przyjemność!
Podsumujmy zatem temat.
1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je Prawidłowy.
2. Jeśli przed kwadratem X znajduje się współczynnik ujemny, eliminujemy go, mnożąc całe równanie przez -1.
3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.
4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik wynosi jeden, rozwiązanie można łatwo zweryfikować, korzystając z twierdzenia Viety. Zrób to!
Równania ułamkowe. OZ.
Nadal doskonalimy równania. Wiemy już, jak pracować z równaniami liniowymi i kwadratowymi. Pozostał ostatni widok - równania ułamkowe. Lub nazywa się je również znacznie bardziej szanowanie - frakcyjny równania racjonalne . To jest to samo.
Równania ułamkowe.
Jak sama nazwa wskazuje, równania te koniecznie zawierają ułamki. Ale nie tylko ułamki, ale ułamki, które je mają nieznane w mianowniku. Przynajmniej w jednym. Na przykład:
Przypomnę, że jeśli mianowniki to tylko liczby, są to równania liniowe.
Jak zdecydować równania ułamkowe? Przede wszystkim pozbądź się ułamków! Następnie równanie najczęściej zmienia się w liniowe lub kwadratowe. I wtedy wiemy, co robić... W niektórych przypadkach może to przekształcić się w tożsamość, na przykład 5=5 lub nieprawidłowe wyrażenie, na przykład 7=2. Ale to rzadko się zdarza. Wspomnę o tym poniżej.
Ale jak pozbyć się ułamków!? Bardzo prosta. Stosowanie tych samych identycznych przekształceń.
Musimy pomnożyć całe równanie przez to samo wyrażenie. Aby wszystkie mianowniki zostały zmniejszone! Wszystko od razu stanie się łatwiejsze. Wyjaśnię to na przykładzie. Musimy rozwiązać równanie:
Jak cię uczono w szkole podstawowej? Przesuwamy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika itp. Zapomnij jak straszny sen! To właśnie musisz zrobić, gdy dodajesz lub odejmujesz. wyrażenia ułamkowe. Albo pracujesz z nierównościami. A w równaniach natychmiast mnożymy obie strony przez wyrażenie, które da nam możliwość zredukowania wszystkich mianowników (tj. w istocie przez wspólny mianownik). A co to za wyrażenie?
Po lewej stronie zmniejszenie mianownika wymaga pomnożenia przez x+2. A po prawej stronie wymagane jest pomnożenie przez 2. Oznacza to, że równanie należy pomnożyć przez 2(x+2). Zwielokrotniać:
Jest to powszechne mnożenie ułamków zwykłych, ale opiszę je szczegółowo:
Pamiętaj, że jeszcze nie otwieram wspornika (x + 2)! Zatem w całości napiszę:
Po lewej stronie całkowicie się kurczy (x+2), a po prawej 2. To było to, czego potrzebowaliśmy! Po redukcji otrzymujemy liniowy równanie:
I każdy może rozwiązać to równanie! x = 2.
Rozwiążmy inny przykład, trochę bardziej skomplikowany:
Jeśli pamiętamy, że 3 = 3/1 i 2x = 2x/ 1, możemy napisać:
I znowu pozbywamy się tego, czego tak naprawdę nie lubimy - ułamków.
Widzimy, że aby zmniejszyć mianownik przez X, musimy pomnożyć ułamek przez (x – 2). A kilka nie jest dla nas przeszkodą. Cóż, pomnóżmy. Wszystko lewa strona I Wszystko prawa strona:
Znowu nawiasy (x – 2) Nie ujawniam. Pracuję ze wspornikiem jako całością, jakby był jedną liczbą! Należy to zawsze robić, w przeciwnym razie nic nie zostanie zmniejszone.
Z poczuciem głębokiej satysfakcji redukujemy (x – 2) i otrzymujemy równanie bez ułamków, za pomocą linijki!
Teraz otwórzmy nawiasy:
Przynosimy podobne, przesuwamy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:
Klasyczne równanie kwadratowe. Ale minus przed nami nie jest dobry. Zawsze możesz się go pozbyć, mnożąc lub dzieląc przez -1. Ale jeśli przyjrzysz się bliżej przykładowi, zauważysz, że najlepiej jest podzielić to równanie przez -2! Za jednym zamachem minus zniknie, a kursy staną się atrakcyjniejsze! Podziel przez -2. Po lewej stronie - wyraz po wyrazie, a po prawej - wystarczy podzielić zero przez -2, zero i otrzymamy:
Rozwiązujemy poprzez dyskryminator i sprawdzamy korzystając z twierdzenia Viety. Dostajemy x = 1 i x = 3. Dwa korzenie.
Jak widać, w pierwszym przypadku równanie po przekształceniu stało się liniowe, tutaj jednak stało się kwadratowe. Zdarza się, że po pozbyciu się ułamków wszystkie X zostają zredukowane. Coś pozostaje, jak 5=5. To znaczy, że x może być wszystkim. Cokolwiek to jest, nadal będzie zmniejszone. I to się sprawdzi czysta prawda, 5=5. Ale po pozbyciu się ułamków może okazać się całkowicie nieprawdziwe, jak 2=7. A to oznacza, że żadnych rozwiązań! Każde X okazuje się nieprawdziwe.
Realizowany główna droga rozwiązania równania ułamkowe? To proste i logiczne. Zmieniamy oryginalne wyrażenie, aby wszystko, co nam się nie podoba, zniknęło. Albo przeszkadza. W tym przypadku są to ułamki. Zrobimy to samo ze wszystkimi rodzajami złożone przykłady z logarytmami, sinusami i innymi okropnościami. My Zawsze Pozbądźmy się tego wszystkiego.
Musimy jednak zmienić oryginalne wyrażenie w wymaganym kierunku zgodnie z zasadami, tak... którego opanowanie jest przygotowaniem do Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Więc to opanujemy.
Teraz dowiemy się, jak ominąć jeden z nich główne zasadzki na jednolitym egzaminie państwowym! Ale najpierw zobaczmy, czy wpadniesz w to, czy nie?
Spójrzmy na prosty przykład:
Sprawa jest już znana, mnożymy obie strony przez (x – 2), otrzymujemy:
Przypominam, w nawiasach (x – 2) Pracujemy jakby z jednym, integralnym wyrazem!
Tutaj już nie napisałem jedynki w mianownikach, to niegodne... I nie rysowałem nawiasów w mianownikach, z wyjątkiem x – 2 nie ma nic, nie musisz rysować. Skróćmy:
Otwórz nawiasy, przesuń wszystko w lewo i podaj podobne:
Rozwiązujemy, sprawdzamy, otrzymujemy dwa pierwiastki. x = 2 I x = 3. Świetnie.
Załóżmy, że zadanie mówi o zapisaniu pierwiastka lub ich sumy, jeśli jest więcej niż jeden pierwiastek. Co będziemy pisać?
Jeśli zdecydujesz, że odpowiedź brzmi 5, ty wpadli w zasadzkę. A zadanie nie zostanie Ci zaliczone. Pracowali na próżno... Prawidłowa odpowiedź to 3.
O co chodzi?! I próbujesz sprawdzić. Zastąp wartości nieznanego oryginalny przykład. A jeśli o godz x = 3 wszystko będzie cudownie rosły, otrzymamy 9 = 9, a potem kiedy x = 2 To będzie dzielenie przez zero! Czego absolutnie nie możesz zrobić. Oznacza x = 2 nie jest rozwiązaniem i nie jest brane pod uwagę w odpowiedzi. Jest to tak zwany korzeń zewnętrzny lub dodatkowy. Po prostu to odrzucamy. Końcowy korzeń jest jeden. x = 3.
Jak to?! – Słyszę oburzone okrzyki. Uczono nas, że równanie można pomnożyć przez wyrażenie! Ten transformacja tożsamości!
Tak, identyczne. Pod małym warunkiem - wyrażenie, za pomocą którego mnożymy (dzielimy) - różny od zera. A x – 2 Na x = 2 równa się zeru! Więc wszystko jest sprawiedliwe.
I co teraz mogę zrobić?! Nie mnożysz przez wyrażenie? Czy powinienem sprawdzać za każdym razem? Znowu nie jest jasne!
Spokojnie! Nie panikować!
W tej trudnej sytuacji wybawią nas trzy magiczne litery. Wiem, o czym myślisz. Prawidłowy! Ten OZ . Obszar Dopuszczalnych Wartości.
Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.
Używając dyskryminatora, rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe w celu rozwiązywania niekompletnych równania kwadratowe skorzystaj z innych metod, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.
Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Aby więc rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musimy obliczyć dyskryminator D.
D = b 2 – 4ac.
W zależności od wartości wyróżnika zapiszemy odpowiedź.
Jeśli dyskryminator liczba ujemna(D< 0),то корней нет.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x = (-b)/2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D > 0),
wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.
Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.
re = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpowiedź: 2.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.
re = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpowiedź: brak korzeni.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpowiedź: – 3,5; 1.
Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.
Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian postaci standardowej
A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że
a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).
Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (na pierwszym miejscu powinien znajdować się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.
Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym współczynnik na drugim członie jest parzysty (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów podanych na schemacie na rysunku 2.
Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .
Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu 
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.
Przykład. Rozwiązać równanie
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3
Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu jest liczbą parzystą, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe 
równania rysunek 3.
re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.
Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Więcej w prosty sposób. Aby to zrobić, usuń z nawiasów. Otrzymasz: z(аz + b) = 0. Czynniki można zapisać: z=0 i az + b = 0, ponieważ oba mogą dać zero. W zapisie az + b = 0 drugi przesuwamy w prawo z innym znakiem. Stąd otrzymujemy z1 = 0 i z2 = -b/a. To są korzenie oryginału.
Jeśli istnieje niekompletne równanie w postaci az² + c = 0, w tym przypadku można je znaleźć po prostu przesuwając wolny wyraz na prawą stronę równania. Zmień także jego znak. Wynikiem będzie az² = -с. Ekspresowe z² = -c/a. Weź pierwiastek i zapisz dwa rozwiązania - pierwiastek kwadratowy dodatni i ujemny.
notatka
Jeśli w równaniu występują współczynniki ułamkowe, należy pomnożyć całe równanie przez odpowiedni współczynnik, aby pozbyć się ułamków.
Wiedza o rozwiązywaniu równań kwadratowych jest konieczna zarówno dla uczniów, jak i studentów, czasami może to pomóc również osobie dorosłej zwyczajne życie. Istnieje kilka konkretnych metod rozwiązania.
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Równanie kwadratowe postaci a*x^2+b*x+c=0. Współczynnik x jest pożądaną zmienną, a, b, c są współczynnikami numerycznymi. Pamiętaj, że znak „+” może zmienić się na znak „-”.Aby rozwiązać to równanie, należy skorzystać z twierdzenia Viety lub znaleźć dyskryminator. Najpopularniejszą metodą jest znalezienie dyskryminatora, ponieważ dla niektórych wartości a, b, c nie można zastosować twierdzenia Viety.
Aby znaleźć dyskryminator (D), należy zapisać wzór D=b^2 - 4*a*c. Wartość D może być większa, mniejsza lub równa zeru. Jeśli D jest większe lub mniejsze od zera, to będą dwa pierwiastki, jeśli D = 0, to pozostaje tylko jeden pierwiastek, możemy powiedzieć, że D w tym przypadku ma dwa równoważne pierwiastki. Podstaw znane współczynniki a, b, c do wzoru i oblicz wartość.
Po znalezieniu dyskryminatora użyj wzorów, aby znaleźć x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdzie sqrt jest funkcją oznaczającą ekstrakt pierwiastek kwadratowy z podany numer. Po obliczeniu tych wyrażeń znajdziesz dwa pierwiastki swojego równania, po czym równanie uważa się za rozwiązane.
Jeśli D jest mniejsze od zera, to nadal ma pierwiastki. Ta sekcja praktycznie nie jest nauczana w szkole. Studenci powinni mieć świadomość, że pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna. Pozbywają się tego, podkreślając część urojoną, to znaczy -1 pod pierwiastkiem jest zawsze równe elementowi urojonemu „i”, który jest mnożony przez pierwiastek o tej samej liczbie dodatniej. Np. jeśli D=sqrt(-20) to po przekształceniu wychodzi D=sqrt(20)*i. Po tej transformacji rozwiązanie równania sprowadza się do tego samego znalezienia pierwiastków, jak opisano powyżej.
Twierdzenie Viety polega na wybraniu wartości x(1) i x(2). Stosowane są dwa identyczne równania: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=ń. I bardzo ważny punkt jest znakiem przed współczynnikiem b, pamiętajmy, że ten znak jest przeciwny do znaku w równaniu. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że obliczenie x(1) i x(2) jest bardzo proste, ale przy rozwiązywaniu staniesz przed faktem, że będziesz musiał wybrać liczby.
Elementy rozwiązywania równań kwadratowych
Zgodnie z prawami matematyki niektóre można rozłożyć na czynniki: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jeśli udało Ci się w podobny sposób przekształcić to równanie kwadratowe za pomocą wzorów matematycznych, to śmiało zapisz odpowiedź. x(1) i x(2) będą równe sąsiednim współczynnikom w nawiasach, ale z przeciwnym znakiem.Nie zapomnij również o niekompletnych równaniach kwadratowych. Być może brakuje Ci niektórych terminów; jeśli tak, to wszystkie jego współczynniki są po prostu równe zeru. Jeśli przed x^2 lub x nie ma nic, wówczas współczynniki a i b są równe 1.
Wiadomo, że jest to szczególna wersja osi równości 2 + bx + c = o, gdzie a, b i c są rzeczywistymi współczynnikami dla nieznanego x oraz gdzie a ≠ o, a b i c będą zerami - jednocześnie lub osobno. Na przykład c = o, b ≠ o lub odwrotnie. Prawie zapamiętaliśmy definicję równania kwadratowego.
Trójmian drugiego stopnia wynosi zero. Jego pierwszy współczynnik a ≠ o, b i c może przyjmować dowolne wartości. Wartość zmiennej x będzie wtedy taka, gdy podstawienie zamieni ją w poprawną równość liczbową. Skupmy się na pierwiastkach rzeczywistych, chociaż równania mogą być również rozwiązaniami. Zwyczajowo nazywa się równanie zupełnym, w którym żaden ze współczynników nie jest równy o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Rozwiążmy przykład. 2x 2 -9x-5 = och, znajdujemy
D = 81+40 = 121,
D jest dodatnie, co oznacza, że istnieją pierwiastki, x 1 = (9+√121):4 = 5, a drugie x 2 = (9-√121):4 = -o,5. Sprawdzenie pomoże upewnić się, że są one prawidłowe.
Oto krok po kroku rozwiązanie równania kwadratowego
Za pomocą dyskryminatora można rozwiązać dowolne równanie, po lewej stronie którego znany jest trójmian kwadratowy dla a ≠ o. W naszym przykładzie. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)
Spójrzmy, jakie są niekompletne równania drugi stopień
- topór 2 +in = o. Termin wolny, współczynnik c przy x 0, jest tutaj równy zero, w ≠ o.
Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe tego typu? Wyjmijmy x z nawiasów. Przypomnijmy sobie, kiedy iloczyn dwóch czynników jest równy zero.
x(ax+b) = o, może to mieć miejsce, gdy x = o lub gdy ax+b = o.
Po rozwiązaniu drugiego mamy x = -в/а.
W rezultacie mamy pierwiastki x 1 = 0, zgodnie z obliczeniami x 2 = -b/a. - Teraz współczynnik x jest równy o, a c nie jest równe (≠) o.
x 2 + c = o. Przesuńmy c na prawą stronę równości, otrzymamy x 2 = -с. To równanie ma pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy -c jest liczbą dodatnią (c ‹ o),
x 1 jest wtedy równe odpowiednio √(-c), x 2 wynosi -√(-c). W przeciwnym razie równanie nie ma w ogóle pierwiastków. - Ostatnia opcja: b = c = o, czyli topór 2 = o. Naturalnie takie proste równanie ma jeden pierwiastek, x = o.
Specjalne przypadki
Przyjrzeliśmy się, jak rozwiązać niekompletne równanie kwadratowe, a teraz weźmy dowolne typy.
- W pełnym równaniu kwadratowym drugi współczynnik x jest liczbą parzystą.
Niech k = o,5b. Mamy wzory na obliczenie wyróżnika i pierwiastka.
D/4 = k 2 - ac, pierwiastki oblicza się jako x 1,2 = (-k±√(D/4))/a dla D › o.
x = -k/a przy D = o.
Nie ma pierwiastków dla D ‹ o. - Dane są równania kwadratowe, gdy współczynnik x kwadrat jest równy 1, zwykle zapisuje się je x 2 + рх + q = o. Wszystkie powyższe wzory mają do nich zastosowanie, ale obliczenia są nieco prostsze.
Przykład, x 2 -4x-9 = 0. Oblicz D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13. - Ponadto łatwo zastosować się do podanych. Mówi, że suma pierwiastków równania jest równa -p, drugi współczynnik z minusem (czyli znak przeciwny), a iloczyn tych samych pierwiastków będzie. być równe q, członowi swobodnemu. Zobacz, jak łatwo byłoby słownie wyznaczyć pierwiastki tego równania. Dla współczynników niezredukowanych (dla wszystkich współczynników różnych od zera) twierdzenie to można zastosować w następujący sposób: suma x 1 + x 2 równa się -b/a, iloczyn x 1 · x 2 równa się c/a.
Suma członu wolnego c i pierwszego współczynnika a jest równa współczynnikowi b. W tej sytuacji równanie ma co najmniej jeden pierwiastek (łatwy do udowodnienia), pierwszy z konieczności jest równy -1, a drugi -c/a, jeśli istnieje. Możesz sam sprawdzić jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe. Bułka z masłem. Współczynniki mogą pozostawać ze sobą w określonych relacjach
- x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
- Suma wszystkich współczynników jest równa o.
Pierwiastkami takiego równania są 1 i c/a. Przykład, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.
Istnieje wiele innych sposobów rozwiązywania różnych równań drugiego stopnia. Oto na przykład metoda wyodrębnienia pełnego kwadratu z danego wielomianu. Istnieje kilka metod graficznych. Kiedy często będziesz miał do czynienia z takimi przykładami, nauczysz się je „klikać” jak nasiona, bo wszystkie metody przychodzą Ci na myśl automatycznie.
Tylko. Według formuł i jasnych, prostych zasad. Na pierwszym etapie
należy doprowadzić dane równanie do postaci standardowej, tj. do formularza:
Jeśli równanie zostało już Ci podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu. Najważniejsze jest, aby zrobić to dobrze
wyznaczyć wszystkie współczynniki, A, B I C.
Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.
Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć X, musimy
Używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równanie kwadratowe. Po prostu ostrożnie go włóż
wartości a, b i c Obliczamy według tego wzoru. Zastępujemy przez ich oznaki!
Na przykład, w równaniu:
A =1; B = 3; C = -4.
Podstawiamy wartości i piszemy:
Przykład jest prawie rozwiązany:
To jest odpowiedź.
Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b I Z. A raczej z substytucją
wartości ujemne do wzoru na obliczanie pierwiastków. Tutaj na ratunek przychodzi szczegółowy zapis formuły
z konkretnymi liczbami. Jeśli masz problemy z obliczeniami, zrób to!
Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:
Tutaj A = -6; B = -5; C = -1
Opisujemy wszystko szczegółowo, dokładnie, nie pomijając niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:
Równania kwadratowe często wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:
Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.
Pierwsze spotkanie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.
Co to znaczy?
Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymamy następujące równanie:
Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c.
Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:
Pozbądź się minusa. Jak? Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:
Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu.
Zdecyduj sam. Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1.
Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Przez Twierdzenie Viety.
Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik
x 2 +bx+c=0,
Następniex 1 x 2 = ok
x 1 + x 2 =−B
Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a≠1:
x2+Bx+C=0,
podzielić całe równanie przez A:
→ 
→
Gdzie x 1 I X 2 - pierwiastki równania.
Recepcja trzecia. Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać
równanie ze wspólnym mianownikiem.
Wniosek. Praktyczne wskazówki:
1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je Prawidłowy.
2. Jeśli przed kwadratem X znajduje się współczynnik ujemny, eliminujemy go, mnożąc wszystko
równania przez -1.
3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiednie
czynnik.
4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić