Jak rozwiązać równanie z ułamkami o różnych. Rozwiązywanie równań na liczbach całkowitych i ułamkowo wymiernych

Do tej pory rozwiązywaliśmy tylko równania całkowitoliczbowe w odniesieniu do niewiadomego, czyli takie, w których mianowniki (jeśli istnieją) nie zawierały niewiadomej.

Często trzeba rozwiązywać równania, które zawierają niewiadome w mianownikach: takie równania nazywane są ułamkami.

Aby rozwiązać to równanie, mnożymy obie jego strony przez wielomian zawierający niewiadomą. Czy nowe równanie będzie równoważne danemu? Aby odpowiedzieć na pytanie, rozwiążmy to równanie.

Mnożąc obie strony przez , otrzymujemy:

Rozwiązując to równanie pierwszego stopnia, znajdujemy:

Zatem równanie (2) ma jeden pierwiastek

Podstawiając go do równania (1), otrzymujemy:

Stąd też jest pierwiastkiem równania (1).

Równanie (1) nie ma innych pierwiastków. W naszym przykładzie widać to na przykład z faktu, że w równaniu (1)

Jak nieznany dzielnik musi być równy dzielnej 1 podzielonej przez iloraz 2, czyli

Zatem równania (1) i (2) mają jeden pierwiastek, a więc są równoważne.

2. Teraz rozwiązujemy następujące równanie:

Najprostszy wspólny mianownik: ; pomnóż przez niego wszystkie wyrazy równania:

Po redukcji otrzymujemy:

Rozwińmy nawiasy:

Wprowadzając podobne terminy, mamy:

Rozwiązując to równanie, znajdujemy:

Podstawiając do równania (1) otrzymujemy:

Po lewej stronie otrzymaliśmy wyrażenia, które nie mają sensu.

Stąd pierwiastek równania (1) nie jest. Oznacza to, że równania (1) i nie są równoważne.

W tym przypadku mówimy, że równanie (1) uzyskało pierwiastek obcy.

Porównajmy rozwiązanie równania (1) z rozwiązaniem równań, które rozważaliśmy wcześniej (patrz § 51). Rozwiązując to równanie, musieliśmy wykonać dwie takie operacje, których wcześniej nie widziano: po pierwsze pomnożyliśmy obie strony równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (wspólny mianownik), a po drugie zmniejszyliśmy ułamki algebraiczne o czynniki zawierające nieznane.

Porównując równanie (1) z równaniem (2) widzimy, że nie wszystkie wartości x ważne dla równania (2) są prawidłowe dla równania (1).

To liczby 1 i 3 nie są dopuszczalnymi wartościami niewiadomej dla równania (1) i w wyniku przekształcenia stały się dopuszczalne dla równania (2). Jedna z tych liczb okazała się rozwiązaniem równania (2), ale oczywiście nie może być rozwiązaniem równania (1). Równanie (1) nie ma rozwiązań.

Ten przykład pokazuje, że gdy obie strony równania są pomnożone przez czynnik zawierający niewiadomą i kiedy ułamki algebraiczne można otrzymać równanie, które nie jest równoważne podanemu, a mianowicie: mogą pojawić się obce pierwiastki.

Stąd wyciągamy następujący wniosek. Rozwiązując równanie zawierające niewiadomą w mianowniku, otrzymane pierwiastki muszą być sprawdzone przez podstawienie do oryginalnego równania. Korzenie obce należy wyrzucić.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. W piątej klasie uczniowie matematyki studiują sporo nowych tematów, z których jednym będą równania ułamkowe. Dla wielu to wystarczy. trudny temat, w którym rodzice powinni pomóc swoim dzieciom zrozumieć, a jeśli rodzice zapomnieli matematyki, zawsze mogą skorzystać programy online, rozwiązywanie równań. Korzystając z przykładu, możesz szybko zrozumieć algorytm rozwiązywania równań z ułamkami i pomóc dziecku.

Poniżej, dla jasności, rozwiążemy prosty ułamek równanie liniowe następujący formularz:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Aby rozwiązać tego rodzaju równanie, konieczne jest wyznaczenie NOZ i pomnożenie lewej i prawa strona równania:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

To da nam proste równanie liniowe, ponieważ zarówno wspólny mianownik, jak i mianownik każdego członu ułamkowego znoszą się:

Przenieśmy terminy z nieznanego do lewa strona:

Podzielmy lewą i prawą część przez -7:

Z otrzymanego wyniku można wyróżnić część całkowitą, która będzie końcowym wynikiem rozwiązania tego równania ułamkowego:

Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą ułamków online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz również obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Równania zawierające zmienną w mianowniku można rozwiązać na dwa sposoby:

Redukcja ułamków do wspólnego mianownika

Korzystanie z podstawowej własności proporcji

Niezależnie od wybranej metody, po znalezieniu pierwiastków równania należy ze znalezionych wartości wybrać wartości akceptowalne, czyli takie, które nie zmieniają mianownika na $0.

1 sposób. Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Przykład 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Rozwiązanie:

1. Przenieś ułamek z prawej strony równania w lewo

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Aby zrobić to poprawnie, pamiętamy, że przy przenoszeniu elementów do innej części równania znak przed wyrażeniami zmienia się na przeciwny. Jeśli więc po prawej stronie był znak „+” przed ułamkiem, to po lewej stronie będzie przed nim znak „-”, a po lewej stronie otrzymamy różnicę ułamków.

2. Teraz zauważamy, że ułamki mają różne mianowniki, co oznacza, że aby nadrobić różnicę, konieczne jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem będzie iloczyn wielomianów w mianownikach pierwotnych ułamków: $(2x-1)(x+3)$

Aby otrzymać identyczne wyrażenie, licznik i mianownik pierwszego ułamka należy pomnożyć przez wielomian $(x+3)$, a drugiego przez wielomian $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Wykonajmy transformację w liczniku pierwszego ułamka - pomnożymy wielomiany. Przypomnij sobie, że w tym celu należy pomnożyć pierwszy składnik pierwszego wielomianu, pomnożyć przez każdy składnik drugiego wielomianu, a następnie pomnożyć drugi składnik pierwszego wielomianu przez każdy składnik drugiego wielomianu i dodać wyniki

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Podobne terminy przedstawiamy w otrzymanym wyrażeniu

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Wykonaj podobną transformację w liczniku drugiego ułamka - pomnożymy wielomiany

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Wtedy równanie przyjmie postać:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Teraz ułamki z ten sam mianownik, więc możesz wykonać odejmowanie. Przypomnijmy, że odejmując ułamki o tym samym mianowniku od licznika pierwszego ułamka, należy odjąć licznik drugiego ułamka, pozostawiając mianownik taki sam

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Przekształćmy wyrażenie w liczniku. Aby otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „-”, wszystkie znaki przed terminami w nawiasach muszą być odwrócone

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Przedstawiamy podobne terminy

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Wtedy ułamek przyjmie formę

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Ułamek jest równy 0 zł, jeśli jego licznikiem jest 0. Dlatego zrównujemy licznik ułamka z 0 zł.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Rozwiążmy równanie liniowe:

4. Wypróbujmy korzenie. Oznacza to, że konieczne jest sprawdzenie, czy mianowniki pierwotnych ułamków zmieniają się na $0$ po znalezieniu pierwiastków.

Ustawiamy warunek, że mianowniki nie są równe 0 zł

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Oznacza to, że dozwolone są wszystkie wartości zmiennych, z wyjątkiem $-3$ i 0,5$.

Znaleziony przez nas pierwiastek jest prawidłową wartością, więc można go bezpiecznie uznać za pierwiastek równania. Gdyby znaleziony korzeń nie był prawidłową wartością, wówczas taki korzeń byłby obcy i oczywiście nie zostałby uwzględniony w odpowiedzi.

Odpowiadać:$-0,2.$

Teraz możemy napisać algorytm rozwiązywania równania, które zawiera zmienną w mianowniku

Algorytm rozwiązywania równania zawierającego zmienną w mianowniku

Przenieś wszystkie elementy z prawej strony równania na lewą. Aby uzyskać identyczne równanie, należy zmienić wszystkie znaki przed wyrażeniami po prawej stronie na przeciwne

Jeśli po lewej stronie otrzymamy wyrażenie z różne mianowniki, następnie przenosimy je do ogólnej, używając głównej właściwości ułamka. Wykonaj przekształcenia przy użyciu identycznych przekształceń i uzyskaj końcowy ułamek równy 0 $.

Zrównaj licznik do $0$ i znajdź pierwiastki wynikowego równania.

Wypróbujmy korzenie, tj. znajdź prawidłowe wartości zmiennych, które nie zmieniają mianownika na $0$.

2 sposób. Korzystanie z podstawowej własności proporcji

Główną właściwością proporcji jest to, że produkt ekstremalni członkowie proporcja jest równa iloczynowi wyrazów środkowych.

Przykład 2

Używamy tej właściwości do rozwiązania tego zadania

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Znajdźmy i zrównajmy iloczyn skrajnych i środkowych członków proporcji.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Rozwiązując otrzymane równanie, znajdujemy pierwiastki oryginału

2. Znajdźmy dopuszczalne wartości zmiennej.

Z poprzedniego rozwiązania (pierwszy sposób) stwierdziliśmy już, że dozwolone są dowolne wartości z wyjątkiem $-3$ i 0,5$.

Następnie, po ustaleniu, że znaleziony korzeń jest poprawną wartością, odkryliśmy, że korzeniem będzie $-0,2 $.

Same równania z ułamkami nie są trudne i bardzo interesujące. Rozważ rodzaje równań ułamkowych i sposoby ich rozwiązywania.

Jak rozwiązywać równania z ułamkami - x w liczniku

Jeśli podano równanie ułamkowe, w którym w liczniku znajduje się niewiadoma, rozwiązanie nie wymaga dodatkowych warunków i jest rozwiązane bez zbędnych kłopotów. Ogólna forma takie równanie to x/a + b = c, gdzie x jest niewiadomą, a, b i c są liczbami zwykłymi.

Znajdź x: x/5 + 10 = 70.

Aby rozwiązać równanie, musisz pozbyć się ułamków. Pomnóż każdy wyraz równania przez 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x i 5 są zmniejszone, 10 i 70 są mnożone przez 5 i otrzymujemy: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Znajdź x: x/5 + x/10 = 90.

Ten przykład jest nieco bardziej skomplikowaną wersją pierwszego. Są tu dwa rozwiązania.

Opcja 1: Pozbądź się ułamków, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez większy mianownik, czyli przez 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
Opcja 2: Sumuj lewa strona równania. x/5 + x/10 = 90. Wspólnym mianownikiem jest 10. Podziel 10 przez 5, pomnóż przez x, otrzymamy 2x. 10 podzielone przez 10, pomnożone przez x, otrzymujemy x: 2x+x/10 = 90. Stąd 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Często są równania ułamkowe, w których x są w różne strony znak równości. W takiej sytuacji konieczne jest przeniesienie wszystkich ułamków z x w jednym kierunku, a liczb w drugim.

Znajdź x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
Przesuń 2x/5 w prawo z przeciwnym znakiem: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Zmniejszamy 5x/5 i otrzymujemy: x = 130.

Jak rozwiązać równanie z ułamkami - x w mianowniku

Ten typ równań ułamkowych wymaga napisania dodatkowych warunków. Wskazanie tych warunków jest obowiązkową i integralną częścią Dobra decyzja. Nie przypisując ich, ryzykujesz, ponieważ odpowiedź (nawet jeśli jest poprawna) może po prostu nie zostać zaliczona.

Ogólna postać równań ułamkowych, gdzie x jest w mianowniku, to: a/x + b = c, gdzie x jest niewiadomą, a, b, c są liczbami zwykłymi. Zauważ, że x może nie być liczbą. Na przykład x nie może wynosić zero, ponieważ nie można dzielić przez 0. To jest właśnie dodatkowy warunek, który musimy sprecyzować. Nazywa się to zakresem dopuszczalnych wartości, w skrócie ODZ.

Znajdź x: 15/x + 18 = 21.

Natychmiast zapisujemy ODZ dla x: x ≠ 0. Teraz, gdy wskazany jest ODZ, rozwiązujemy równanie za pomocą schemat standardowy pozbycie się frakcji. Wszystkie wyrazy równania mnożymy przez x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Często zdarzają się równania, w których mianownik zawiera nie tylko x, ale także inną operację z nim związaną, taką jak dodawanie lub odejmowanie.

Znajdź x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Wiemy już, że mianownik nie może być równy zero, co oznacza x-3 ≠ 0. Przenosimy -3 na prawą stronę, zmieniając znak „-” na „+” i otrzymujemy, że x ≠ 3. ODZ wynosi wskazany.

Rozwiąż równanie, pomnóż wszystko przez x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Przesuń x w prawo, liczby w lewo: 24 = 3x => x = 8.

Instrukcja

Być może najbardziej oczywistym punktem jest tutaj oczywiście… Ułamki numeryczne nie stwarzają żadnego zagrożenia (równania ułamkowe, w których wszystkie mianowniki zawierają tylko liczby, będą generalnie liniowe), ale jeśli w mianowniku jest zmienna, należy to wziąć pod uwagę i przepisać. Po pierwsze jest tak, że x, który zmienia mianownik na 0, nie może być i na ogół należy osobno zarejestrować fakt, że x nie może być równe tej liczbie. Nawet jeśli ci się uda, że przy podstawieniu do licznika wszystko idealnie się zbiega i spełnia warunki. Po drugie, nie możemy pomnożyć jednej lub obu stron równania przez równe zero.

Następnie takie równanie sprowadza się do przeniesienia wszystkich jego wyrazów na lewą stronę tak, aby po prawej stronie pozostało 0.

Konieczne jest sprowadzenie wszystkich terminów do wspólnego mianownika, mnożąc w razie potrzeby liczniki przez brakujące wyrażenia.
Następnie rozwiązujemy zwykłe równanie zapisane w liczniku. Możemy wziąć wspólne czynniki z nawiasów, zastosować skrócone mnożenie, podać podobne, obliczyć pierwiastki równanie kwadratowe poprzez dyskryminację itp.

Wynik powinien być faktoryzacji w postaci iloczynu nawiasów (x-(i-ty pierwiastek)). Może to również obejmować wielomiany, które nie mają pierwiastków, na przykład trójmian kwadratowy z dyskryminacją mniejszą od zera (chyba że w zadaniu występują tylko pierwiastki rzeczywiste, jak to najczęściej się zdarza).
Pamiętaj, aby faktoryzować i mianownik z położenia nawiasów, które są już zawarte w liczniku. Jeśli mianownik zawiera wyrażenia typu (x-(liczba)), to redukując do wspólnego mianownika, lepiej nie mnożyć zawartych w nim nawiasów „z przodu”, ale pozostawić je w postaci iloczynu oryginalne proste wyrażenia.
Te same nawiasy w liczniku i mianowniku można skrócić, wpisując, jak wspomniano powyżej, warunki na x.
Odpowiedź zapisujemy w nawiasach klamrowych, jako zbiór wartości x lub po prostu przez wyliczenie: x1=..., x2=... itd.

Źródła:

Ułamkowe równania wymierne

Coś, czego nie można obejść się w fizyce, matematyce, chemii. Najmniej. Poznajemy podstawy ich rozwiązania.

Instrukcja

W najbardziej ogólnej i najprostszej klasyfikacji można ją podzielić według liczby zawartych w nich zmiennych oraz według stopnia, w jakim te zmienne się znajdują.

Rozwiąż równanie wszystkie jego pierwiastki lub udowodnij, że nie istnieją.

Każde równanie ma co najwyżej P pierwiastków, gdzie P jest maksimum danego równania.

Ale niektóre z tych korzeni mogą się pokrywać. Na przykład równanie x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, gdzie ^ jest ikoną potęgowania, składa się do kwadratu wyrażenia (x + 1), czyli do iloczynu dwóch identycznych nawiasów, z których każdy daje x = - 1 jako rozwiązanie.

Jeśli w równaniu jest tylko jedna niewiadoma, oznacza to, że będziesz w stanie jednoznacznie znaleźć jej pierwiastki (rzeczywiste lub złożone).

Aby to zrobić, najprawdopodobniej będziesz potrzebować różnych przekształceń: skróconego mnożenia, obliczania dyskryminatora i pierwiastków równania kwadratowego, przenoszenia członów z jednej części na drugą, redukcji do wspólnego mianownika, mnożenia obu części równania przez to samo wyrażenie, do kwadratu i tak dalej.

Transformacje, które nie wpływają na pierwiastki równania, są identyczne. Służą do uproszczenia procesu rozwiązywania równania.

Również zamiast tradycyjnej metody analitycznej można skorzystać z metody graficznej i zapisać to równanie w postaci , a następnie przeprowadzić jego badanie.

Jeśli w równaniu jest więcej niż jedna niewiadoma, będziesz w stanie wyrazić tylko jedną z nich w kategoriach drugiej, pokazując w ten sposób zestaw rozwiązań. Takimi są na przykład równania z parametrami, w których występuje nieznany x i parametr a. Rozwiązanie równania parametrycznego oznacza, że wszystkie a wyrażają x przez a, to znaczy uwzględniają wszystkie możliwe przypadki.

Jeśli równanie zawiera pochodne lub różniczki niewiadomych (patrz rysunek), gratulacje, to jest równanie różniczkowe, a tutaj nie można się obejść bez wyższej matematyki).

Źródła:

Transformacje tożsamości

Aby rozwiązać problem za pomocą ułamki, musisz nauczyć się z nimi robić arytmetykę. Mogą być dziesiętne, ale są najczęściej używane frakcje naturalne z licznikiem i mianownikiem. Dopiero wtedy możesz przejść do rozwiązań. problemy matematyczne z wartościami ułamkowymi.

Będziesz potrzebować

- kalkulator;
- znajomość właściwości frakcji;
- Umiejętność pracy z ułamkami.

Instrukcja

Ułamek to zapis dzielenia jednej liczby przez drugą. Często nie da się tego zrobić całkowicie i dlatego ta akcja pozostaje „niedokończona”. Liczba podzielna (znajdująca się powyżej lub przed znakiem ułamka) nazywana jest licznikiem, a druga liczba (pod lub za znakiem ułamka) nazywana jest mianownikiem. Jeśli licznik jest większy niż mianownik, ułamek nazywa się ułamkiem niewłaściwym i można z niego wyodrębnić część całkowitą. Jeśli licznik jest mniejszy niż mianownik, to taki ułamek nazywa się właściwym, a jego część całkowita wynosi 0.

Zadania są podzielone na kilka typów. Określ, który z nich jest zadaniem. Najprostsza opcja- znalezienie ułamka liczby wyrażonego jako ułamek. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez ułamek. Na przykład przywieziono 8 ton ziemniaków. W pierwszym tygodniu sprzedano 3/4 jego całości. Ile ziemniaków zostało? Aby rozwiązać ten problem, pomnóż liczbę 8 przez 3/4. Okaże się 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Jeśli chcesz znaleźć liczbę przez jej część, pomnóż znaną część liczby przez odwrotność ułamka, który pokazuje, jaka część tej części jest w liczbie. Na przykład 8 na 1/3 ogólnej liczby studentów. Ile w ? Ponieważ 8 osób to część stanowiąca 1/3 całości, znajdź odwrotność, która wynosi 3/1 lub tylko 3. Następnie uzyskaj liczbę uczniów w klasie 8∙3=24 uczniów.

Kiedy chcesz znaleźć część liczby, która jest jedną liczbą od drugiej, podziel liczbę reprezentującą tę część przez liczbę całkowitą. Na przykład, jeśli odległość wynosi 300 km, a samochód przejechał 200 km, ile z tego będzie pochodzić z całej podróży? Podziel część ścieżki 200 przez pełną ścieżkę 300, po zmniejszeniu ułamka otrzymasz wynik. 200/300=2/3.

Aby znaleźć część nieznanego ułamka liczby, gdy jest znana, weź liczbę całkowitą jako umowną jednostkę i odejmij od niej znany ułamek. Na przykład, jeśli 4/7 lekcji już minęło, czy zostało jeszcze? Weź całą lekcję jako konwencjonalną jednostkę i odejmij od niej 4/7. Uzyskaj 1-4/7=7/7-4/7=3/7.