Jak rozwiązać złożone równanie kwadratowe. Definicja i przykłady niekompletnych równań kwadratowych

Opis bibliograficzny: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metody rozwiązywania równań kwadratowych // Młody naukowiec. 2016. №6.1. S. 17-20.02.2019).

Nasz projekt poświęcony jest sposobom rozwiązywania równań kwadratowych. Cel projektu: nauczenie rozwiązywania równań kwadratowych w sposób nieuwzględniony w szkolnym programie nauczania. Zadanie: znajdź wszystkie możliwe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych i naucz się ich używać samodzielnie oraz zapoznaj kolegów z klasy z tymi metodami.

Czym są „równania kwadratowe”?

Równanie kwadratowe- równanie postaci topór2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c- kilka liczb ( 0), x- nieznany.

Liczby a, b, c nazywane są współczynnikami równania kwadratowego.

a nazywa się pierwszym współczynnikiem;
b jest nazywany drugim współczynnikiem;
c - wolny członek.

A kto pierwszy „wymyślił” równania kwadratowe?

Niektóre techniki algebraiczne do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane już 4000 lat temu w starożytnym Babilonie. Znalezione starożytne babilońskie gliniane tabliczki, datowane gdzieś między 1800 a 1600 pne, są najwcześniejszymi dowodami badania równań kwadratowych. Te same tabliczki zawierają metody rozwiązywania niektórych typów równań kwadratowych.

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w czasach starożytnych była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem astronomii i sama matematyka.

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione do tej pory teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich odnalezienia. Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Matematycy babilońscy z około IV wieku p.n.e. zastosował metodę dopełnienia kwadratowego do rozwiązywania równań z pierwiastkami dodatnimi. Około 300 p.n.e. Euclid wymyślił bardziej ogólną metodę rozwiązania geometrycznego. Pierwszym matematykiem, który znalazł rozwiązania równania z ujemnymi pierwiastkami w postaci wzoru algebraicznego, był indyjski naukowiec. Brahmagupta(Indie, VII wne).

Brahmagupta nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ax2 + bx = c, a>0

W tym równaniu współczynniki mogą być ujemne. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmie chwałę na publicznych zebraniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

W traktacie algebraicznym Al-Chwarizmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. ax2 + c = bx.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax2.

Dla Al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy na przykład zauważyć, że rozwiązując niepełne równanie kwadratowe pierwszego typu, Al-Khwarizmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę zera rozwiązanie, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych zadaniach praktycznych nie ma to znaczenia. Rozwiązując kompletne równania kwadratowe, Al-Khwarizmi określa zasady ich rozwiązywania na konkretnych przykładach liczbowych, a następnie ich dowodach geometrycznych.

Formy rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy opisane w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202. włoski matematyk Leonard Fibonacci. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych.

Książka ta przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z tej księgi zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XIV-XVII wieku. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do pojedynczej postaci kanonicznej x2 + bx = c ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c, została sformułowana w Europie w 1544 roku. M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli jeden z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz pozytywnych i negatywnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracy Girard, Kartezjusz, Newton i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

Rozważ kilka sposobów rozwiązywania równań kwadratowych.

Standardowe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych z programu szkolnego:

Faktoryzacja lewej strony równania.
Pełnokwadratowa metoda selekcji.
Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru.
Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego.
Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Przyjrzyjmy się bardziej szczegółowo rozwiązaniu zredukowanych i niezredukowanych równań kwadratowych przy użyciu twierdzenia Viety.

Przypomnijmy, że aby rozwiązać dane równania kwadratowe, wystarczy znaleźć dwie liczby takie, których iloczyn jest równy członowi wolnemu, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku.

Przykład.x 2 -5x+6=0

Musisz znaleźć liczby, których iloczyn to 6, a suma to 5. Te liczby to 3 i 2.

Odpowiedź: x 1 =2,x 2 =3.

Ale możesz użyć tej metody dla równań, w których pierwszy współczynnik nie jest równy jeden.

Przykład.3x 2 +2x-5=0

Bierzemy pierwszy współczynnik i mnożymy go przez wyraz wolny: x 2 +2x-15=0

Pierwiastkami tego równania będą liczby, których iloczyn to - 15, a suma to - 2. Liczby te to 5 i 3. Aby znaleźć pierwiastki pierwotnego równania, dzielimy uzyskane pierwiastki przez pierwszy współczynnik.

Odpowiedź: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia”.

Rozważ równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0, gdzie a≠0.

Mnożąc obie jego części przez a, otrzymujemy równanie a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Niech ax = y, skąd x = y/a; wtedy dochodzimy do równania y 2 + przez + ac = 0, które jest równoważne danemu. Znajdujemy jego pierwiastki w 1 i 2, używając twierdzenia Vieta.

Ostatecznie otrzymujemy x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Dzięki tej metodzie współczynnik a jest mnożony przez wolny człon, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się to metodą „przeniesienia”. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Przykład.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Przenieśmy” współczynnik 2 do wyrazu wolnego i dokonując zamiany otrzymujemy równanie y 2 – 11y + 30 = 0.

Zgodnie z odwrotnym twierdzeniem Viety

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpowiedź: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Własności współczynników równania kwadratowego.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jeśli a + b + c \u003d 0 (tj. suma współczynników równania wynosi zero), to x 1 \u003d 1.

2. Jeśli a - b + c \u003d 0 lub b \u003d a + c, to x 1 \u003d - 1.

Przykład.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ponieważ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), to x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpowiedź: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Przykład.132x 2 + 247x + 115 = 0

Dlatego a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), następnie x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpowiedź: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Istnieją inne właściwości współczynników równania kwadratowego. ale ich użycie jest bardziej skomplikowane.

8. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu.

Rys 1. Nomogram

To stara i obecnie zapomniana metoda rozwiązywania równań kwadratowych, umieszczona na s. 83 zbioru: Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.

Tabela XXII. Nomogram do rozwiązywania równań z2 + pz + q = 0. Ten nomogram pozwala, bez rozwiązywania równania kwadratowego, wyznaczyć pierwiastki równania na podstawie jego współczynników.

Skala krzywoliniowa nomogramu zbudowana jest według wzorów (ryc. 1):

Zarozumiały OS = p, ED = q, OE = a(wszystkie w cm), z rys. 1 podobieństwo trójkątów SAN oraz CDF otrzymujemy proporcję

stąd po podstawieniach i uproszczeniach następuje równanie z 2 + pz + q = 0, i list z oznacza etykietę dowolnego punktu na zakrzywionej skali.

Ryż. 2 Rozwiązywanie równania kwadratowego za pomocą nomogramu

Przykłady.

1) Dla równania z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje pierwiastki z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odpowiedź: 8,0; 1.0.

2) Rozwiąż równanie za pomocą nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podziel współczynniki tego równania przez 2, otrzymujemy równanie z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje pierwiastki z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odpowiedź: 4; 0,5.

9. Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykład.X 2 + 10x = 39.

W oryginale problem ten jest sformułowany w następujący sposób: „Kwadrat i dziesięć pierwiastków równa się 39”.

Rozważ kwadrat o boku x, prostokąty są zbudowane na jego bokach tak, aby drugi bok każdego z nich miał 2,5, zatem powierzchnia każdego z nich wynosi 2,5x. Wynikowa liczba jest następnie uzupełniana o nowy kwadrat ABCD, uzupełniając cztery równe kwadraty w rogach, bok każdego z nich wynosi 2,5, a pole wynosi 6,25

Ryż. 3 Graficzny sposób rozwiązania równania x 2 + 10x = 39

Pole S kwadratu ABCD można przedstawić jako sumę pól: pierwotnego kwadratu x 2, czterech prostokątów (4 ∙ 2,5x = 10x) i czterech dołączonych kwadratów (6,25 ∙ 4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zastępując x 2 + 10x liczbą 39 otrzymujemy, że S \u003d 39 + 25 \u003d 64, co oznacza, że bok kwadratu ABCD, tj. odcinek AB \u003d 8. Dla żądanego boku x pierwotnego kwadratu otrzymujemy

10. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta.

Twierdzenie Bezouta. Reszta po podzieleniu wielomianu P(x) przez dwumian x - α jest równa P(α) (czyli wartość P(x) przy x = α).

Jeżeli liczba α jest pierwiastkiem wielomianu P(x), to wielomian ten jest podzielny przez x -α bez reszty.

Przykład.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podziel P(x) przez (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 lub x-3=0, x=3; Odpowiedź: x1 =2, x2 =3.

Wniosek: Zdolność do szybkiego i racjonalnego rozwiązywania równań kwadratowych jest po prostu niezbędna do rozwiązywania bardziej złożonych równań, na przykład ułamkowych równań wymiernych, równań wyższych mocy, równań dwukwadratowych oraz w licealnych równaniach trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych. Po przestudiowaniu wszystkich znalezionych metod rozwiązywania równań kwadratowych, możemy doradzić kolegom z klasy, oprócz standardowych metod, rozwiązywanie metodą transferu (6) i rozwiązywanie równań według właściwości współczynników (7), ponieważ są one bardziej dostępne do zrozumienia .

Literatura:

Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.
Algebra klasa 8: podręcznik do klasy 8. ogólne wykształcenie instytucje Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. wyd. S. A. Telyakovsky 15th ed., poprawione. - M.: Oświecenie, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Przewodnik dla nauczycieli. / Wyd. V.N. Młodszy. - M.: Oświecenie, 1964.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dyskryminator pozwala rozwiązywać dowolne równania kwadratowe za pomocą ogólnego wzoru, który ma następującą postać:

Wzór na dyskryminację zależy od stopnia wielomianu. Powyższy wzór nadaje się do rozwiązywania równań kwadratowych o następującej postaci:

Wyróżnik ma następujące właściwości, które musisz znać:

* „D” wynosi 0, gdy wielomian ma wiele pierwiastków (równe pierwiastki);

* „D” jest wielomianem symetrycznym w odniesieniu do pierwiastków wielomianu, a zatem jest wielomianem w swoich współczynnikach; co więcej, współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, niezależnie od rozszerzenia, w którym bierze się pierwiastki.

Załóżmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe o następującej postaci:

1 równanie

Zgodnie ze wzorem mamy:

Ponieważ \, to równanie ma 2 pierwiastki. Zdefiniujmy je:

Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą dyskryminującego solvera online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz też obejrzeć film instruktażowy i dowiedzieć się, jak rozwiązywać równanie na naszej stronie internetowej, a jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Zadania na równanie kwadratowe są badane zarówno w szkolnym programie nauczania, jak i na uniwersytetach. Są rozumiane jako równania postaci a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdzie x- zmienna, a,b,c – stałe; a<>0 . Problem polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Geometryczne znaczenie równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe to parabola. Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego to punkty przecięcia paraboli z osią x. Wynika z tego, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią x. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z rozgałęzieniami do góry lub dolnej z rozgałęzieniami w dół. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki złożone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wół. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a zawarte w nim równanie kwadratowe uzyskuje swoją minimalną lub maksymalną wartość. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest ciekawszy w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na podstawie analizy współczynników przy potęgach zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące rozmieszczenia paraboli.

1) Jeśli współczynnik a jest większy od zera, to parabola jest skierowana w górę, jeśli jest ujemna, gałęzie paraboli skierowane są w dół.

2) Jeśli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeśli przyjmuje wartość ujemną, to w prawej.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej stronie, dodaj b ^ 2 w obu częściach i wykonaj transformację

Stąd znajdujemy

Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego

Dyskryminator jest wartością wyrażenia pierwiastkowego. Jeśli jest dodatni, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone za pomocą wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa pokrywające się pierwiastki), które łatwo wyprowadzić z powyższego wzoru dla D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak, aby zbadać rozwiązania równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się według wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważ dwa pierwiastki równania kwadratowego i skonstruuj na ich podstawie równanie kwadratowe.Samo twierdzenie Vieta łatwo wynika z notacji: jeśli mamy równanie kwadratowe o postaci wtedy suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p, wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi wolnemu q. Wzór na powyższe będzie wyglądał tak: Jeśli stała a w równaniu klasycznym jest niezerowa, to musisz przez nią podzielić całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Vieta.

Harmonogram równania kwadratowego na czynniki

Niech postawimy sobie zadanie: rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki. Aby to wykonać, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego.Ten problem zostanie rozwiązany.

Zadania dla równania kwadratowego

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i zastąp je we wzorze na dyskryminację

Pierwiastek tej wartości to 14, łatwo ją znaleźć za pomocą kalkulatora, lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często mogą być znaleźć w takich zadaniach.
Znaleziona wartość jest podstawiona do wzoru na pierwiastek

i dostajemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2+x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, wypisz współczynniki i znajdź wyróżnik

Korzystając ze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Określ dyskryminator

Mamy przypadek, gdy korzenie się pokrywają. Obliczamy wartości pierwiastków według wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, w których występują małe współczynniki dla x, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Vieta. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku otrzymujemy, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z korzeni jest ujemny. Mamy następującą możliwą parę rozwiązań(-3;2), (3;-2) . Biorąc pod uwagę pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania to

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a powierzchnia 77 cm2.

Rozwiązanie: połowa obwodu prostokąta jest równa sumie sąsiednich boków. Oznaczmy x - większy bok, a następnie 18-x to jego mniejszy bok. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi tych długości:
x(18x)=77;
lub
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Znajdź wyróżnik równania

Obliczamy pierwiastki równania

Jeśli x=11, następnie 18x=7 , odwrotnie jest również prawdziwe (jeśli x=7, to 21-x=9).

Zadanie 6. Faktoryzuj równanie kwadratowe 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Oblicz pierwiastki równania, w tym celu znajdujemy wyróżnik

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastków i obliczamy

Stosujemy wzór na rozwinięcie równania kwadratowego o pierwiastki

Rozwijając nawiasy otrzymujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Dla jakich wartości parametru a , czy równanie (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma rozwiązania. Następnie wykorzystujemy fakt, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Wypisujemy wyróżnik

uprościć i przyrównać do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie jest łatwe do uzyskania przy pomocy twierdzenia Vieta. Suma pierwiastków to 7, a ich iloczyn to 12. Poprzez proste wyliczenie ustalamy, że liczby 3.4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a = 3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a = 4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru a , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden korzeń?

Rozwiązanie: Najpierw rozważ punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0, równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0 .
Oblicz dyskryminator

i znajdź wartości, dla których jest to pozytywne

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. Po drugie, znajdujemy wyróżnik i pierwiastki równania

Zdefiniujmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Tak więc poza przedziałem (-3; 1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o kropce a=0 co należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma w sobie jeden pierwiastek.
W rezultacie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunek problemu

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, postaraj się samemu poradzić sobie z zadaniami i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Przestudiuj dobrze wzory do rozwiązywania równań kwadratowych, są one dość często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

Niepełne równanie kwadratowe różni się od klasycznych (pełnych) równań tym, że jego współczynniki lub wyraz wolny są równe zeru. Wykresem takich funkcji są parabole. W zależności od ogólnego wyglądu dzielą się na 3 grupy. Zasady rozwiązywania wszystkich typów równań są takie same.

Nie ma nic trudnego w określeniu typu wielomianu niepełnego. Najlepiej rozważyć główne różnice w przykładowych przykładach:

Jeśli b = 0, to równanie to ax 2 + c = 0.
Jeśli c = 0, to wyrażenie ax 2 + bx = 0 powinno zostać rozwiązane.
Jeśli b = 0 i c = 0, to wielomian staje się równością typu ax 2 = 0.

Ten ostatni przypadek jest bardziej teoretyczną możliwością i nigdy nie występuje w testach wiedzy, ponieważ jedyną prawdziwą wartością x w wyrażeniu jest zero. W przyszłości zostaną rozważone metody i przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych 1) i 2) typów.

Ogólny algorytm znajdowania zmiennych i przykładów z rozwiązaniem

Niezależnie od rodzaju równania, algorytm rozwiązania sprowadza się do następujących kroków:

Sprowadź wyrażenie do formy dogodnej do wyszukiwania korzeni.
Dokonuj obliczeń.
Zapisz odpowiedź.

Niekompletne równania najłatwiej rozwiązać, rozkładając lewą stronę na czynniki i pozostawiając zero po prawej stronie. Zatem wzór na niepełne równanie kwadratowe do znajdowania pierwiastków sprowadza się do obliczenia wartości x dla każdego z czynników.

Możesz nauczyć się rozwiązywać tylko w praktyce, więc rozważmy konkretny przykład znajdowania pierwiastków niepełnego równania:

Jak widać, w tym przypadku b = 0. Rozkładamy lewą stronę na czynniki i otrzymujemy wyrażenie:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Oczywiście iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Podobne wymagania spełniają wartości zmiennej x1 = 0,5 i (lub) x2 = -0,5.

Aby łatwo i szybko poradzić sobie z zadaniem rozłożenia trójmianu kwadratowego na czynniki, należy pamiętać o następującym wzorze:

Jeśli w wyrażeniu nie ma wolnego terminu, zadanie jest znacznie uproszczone. Wystarczy tylko znaleźć i usunąć wspólny mianownik. Dla jasności rozważmy przykład rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych postaci ax2 + bx = 0.

Wyjmijmy zmienną x z nawiasów i uzyskajmy następujące wyrażenie:

x (x + 3) = 0.

Na podstawie logiki wnioskujemy, że x1 = 0 i x2 = -3.

Tradycyjny sposób rozwiązywania i niekompletne równania kwadratowe

Co się stanie, jeśli zastosujemy wzór na dyskryminację i spróbujemy znaleźć pierwiastki wielomianu o współczynnikach równych zero? Weźmy przykład ze zbioru typowych zadań do ujednoliconego egzaminu państwowego z matematyki w 2017 roku, rozwiążemy go za pomocą standardowych formuł i metody faktoryzacji.

7x 2 - 3x = 0.

Oblicz wartość wyróżnika: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Okazuje się, że wielomian ma dwa pierwiastki:

Teraz rozwiąż równanie, rozkładając na czynniki i porównaj wyniki.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Jak widać, obie metody dają ten sam wynik, ale drugi sposób rozwiązania równania okazał się znacznie łatwiejszy i szybszy.

Twierdzenie Viety

Ale co zrobić z ukochanym twierdzeniem Vieta? Czy tę metodę można zastosować z niepełnym trójmianem? Spróbujmy zrozumieć aspekty sprowadzania niekompletnych równań do postaci klasycznej ax2 + bx + c = 0.

W rzeczywistości możliwe jest zastosowanie w tym przypadku twierdzenia Viety. Konieczne jest jedynie sprowadzenie wyrażenia do ogólnej postaci, zastępując brakujące terminy zerem.

Na przykład przy b = 0 i a = 1, aby wyeliminować możliwość pomyłki, zadanie należy zapisać w postaci: ax2 + 0 + c = 0. Następnie stosunek sumy i iloczynu pierwiastków i czynniki wielomianu można wyrazić w następujący sposób:

Obliczenia teoretyczne pomagają zapoznać się z istotą zagadnienia i zawsze wymagają rozwoju umiejętności rozwiązywania konkretnych problemów. Wróćmy ponownie do podręcznika typowych zadań do egzaminu i znajdź odpowiedni przykład:

Wyrażenie zapisujemy w formie dogodnej do zastosowania twierdzenia Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Następnym krokiem jest stworzenie systemu warunków:

Oczywiście pierwiastki wielomianu kwadratowego będą wynosić x 1 \u003d 4 i x 2 \u003d -4.

Teraz przećwiczmy sprowadzanie równania do ogólnej postaci. Weźmy następujący przykład: 1/4× x 2 – 1 = 0

Aby zastosować twierdzenie Vieta do wyrażenia, musisz pozbyć się ułamka. Pomnóż lewą i prawą stronę przez 4 i spójrz na wynik: x2– 4 = 0. Otrzymana równość jest gotowa do rozwiązania przez twierdzenie Vieta, ale o wiele łatwiej i szybciej jest uzyskać odpowiedź po prostu przesuwając c = 4 po prawej stronie równania: x2 = 4.

Podsumowując, należy stwierdzić, że najlepszym sposobem rozwiązywania niepełnych równań jest faktoryzacja, która jest najprostszą i najszybszą metodą. Jeśli napotkasz trudności w procesie wyszukiwania korzeni, możesz odwołać się do tradycyjnej metody wyszukiwania korzeni poprzez dyskryminator.

Tylko. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie

konieczne jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz robić pierwszego etapu. Najważniejsza rzecz ma rację

określić wszystkie współczynniki a, b oraz c.

Wzór do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Tych. kursy od równanie kwadratowe. Wystarczy ostrożnie włożyć

wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąp przez ich oznaki!

Na przykład, w równaniu:

a =1; b = 3; c = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to mylenie ze znakami wartości a, b oraz Z. Raczej z podstawieniem

wartości ujemne we wzorze do obliczania korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowa formuła

z określonymi numerami. Jeśli są problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; c = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie gubiąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązywanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

Pozbądź się minusa. Jak? Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Za pomocą Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x2+bx+c=0,

następniex 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym A≠1:

x 2 +bx+c=0,

podziel całe równanie przez a:

→ →

gdzie x 1 oraz x 2 - pierwiastki równania.

Odbiór trzeci. Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie na wspólny mianownik.

Wniosek. Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je prawo.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc wszystko

równania dla -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą