Mnożenie ułamków o tym samym mianowniku. Sporządzanie układu równań

Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz znać proste zasady. Przeanalizujemy teraz te zasady szczegółowo.

Mnożenie ułamka przez ułamek.

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.

$\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\$

Rozważ przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.

$\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ razy 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$

Ułamek $\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\$ został zmniejszony o 3.

Mnożenie ułamka przez liczbę.

Zacznijmy od reguły dowolna liczba może być reprezentowana jako ułamek $\bf n = \frac(n)(1)$ .

Użyjmy tej reguły do mnożenia.

$5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\$

Niewłaściwy ułamek $\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\$ przeliczone na ułamek mieszany.

Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, pomnóż liczbę przez licznik i pozostaw mianownik bez zmian. Przykład:

$\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\$ $\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\$

Mnożenie ułamków mieszanych.

Aby pomnożyć ułamki mieszane, należy najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie zastosować regułę mnożenia. Licznik mnoży się przez licznik, mianownik mnoży się przez mianownik.

Przykład:
$2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\$

Mnożenie odwrotności ułamków i liczb.

Ułamek $\bf \frac(a)(b)$ jest odwrotnością ułamka $\bf \frac(b)(a)$, pod warunkiem, że a≠0,b≠0.
Ułamki $\bf \frac(a)(b)$ i $\bf \frac(b)(a)$ nazywane są odwrotnościami. Iloczyn frakcji odwrotnych wynosi 1.
$\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\$

Przykład:
$\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\$

Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: iloczyn zwykłych ułamków to mnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby otrzymać iloczyn ułamków mieszanych, należy je przeliczyć na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.

Jak pomnożyć ułamki o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy mianowniki ułamków są takie same, czy różne, mnożenie następuje zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.

Jak pomnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: w pierwszej kolejności należy zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn zgodnie z zasadami mnożenia.

Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: Mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

Przykład 1:
Oblicz iloczyn: a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)$ b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Rozwiązanie:
a) $\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ $
b) $\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( czerwony) (5))(3 \times \color(czerwony) (5) \times 13) = \frac(4)(39)$

Przykład #2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) $3 \times \frac(17)(23)$ b) $\frac(2)(3) \times 11$

Rozwiązanie:
a) $3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\$
b) $\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)$

Przykład #3:
Napisz odwrotność $\frac(1)(3)$?
Odpowiedź: $\frac(3)(1) = 3$

Przykład #4:
Oblicz iloczyn dwóch ułamków odwrotnych: a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)$

Rozwiązanie:
a) $\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1$

Przykład #5:
Czy ułamki wzajemnie odwrotne mogą być:
a) obie frakcje właściwe;
b) jednocześnie ułamki niewłaściwe;
c) liczby naturalne jednocześnie?

Rozwiązanie:
a) Użyjmy przykładu, aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie. Ułamek $\frac(2)(3)$ jest prawidłowy, jego odwrotność będzie równa $\frac(3)(2)$ - ułamek niewłaściwy. Odpowiedź: nie.

b) w prawie wszystkich wyliczeniach ułamków warunek ten nie jest spełniony, ale są liczby, które spełniają warunek bycia jednocześnie ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to $\frac(3)(3)$ , jego odwrotność to $\frac(3)(3)$. Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.

c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3, .... Jeśli weźmiemy liczbę $3 = \frac(3)(1)$, to jej odwrotnością będzie $\frac(1)(3)$. Ułamek $\frac(1)(3)$ nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejdziemy przez wszystkie liczby, odwrotność jest zawsze ułamkiem, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, to jej odwrotność będzie $\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1$. Liczba 1 jest liczbą naturalną. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli liczba ta wynosi 1.

Przykład #6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) $4 \times 2\frac(4)(5)$ b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Rozwiązanie:
a) $4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ $
b) $1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)$

Przykład nr 7:
Czy dwie odwrotności mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi?

Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany $1\frac(1)(2)$, znajdźmy jego odwrotność, w tym celu tłumaczymy go na ułamek niewłaściwy $1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) $ . Jego odwrotność będzie równa $\frac(2)(3)$ . Ułamek $\frac(2)(3)$ jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa wzajemnie odwrotne ułamki nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.

W gimnazjum i liceum uczniowie studiowali temat „Ułamki”. Pojęcie to jest jednak znacznie szersze niż podane w procesie uczenia się. Dzisiaj pojęcie ułamka spotyka się dość często i nie każdy może obliczyć dowolne wyrażenie, na przykład mnożenie ułamków.

Co to jest ułamek?

Historycznie zdarzało się, że liczby ułamkowe pojawiały się ze względu na potrzebę mierzenia. Jak pokazuje praktyka, często pojawiają się przykłady określania długości odcinka, objętości prostokąta prostokątnego.

Początkowo studenci zapoznają się z taką koncepcją, jaką jest udział. Na przykład, jeśli podzielisz arbuza na 8 części, każda otrzyma jedną ósmą arbuza. Ta jedna część ósemki nazywana jest akcją.

Udział równy ½ dowolnej wartości nazywa się połową; ⅓ - trzeci; ¼ - jedna czwarta. Wpisy takie jak 5/8, 4/5, 2/4 są nazywane ułamkami wspólnymi. Zwykły ułamek dzieli się na licznik i mianownik. Pomiędzy nimi znajduje się linia ułamkowa lub linia ułamkowa. Pręt ułamkowy można narysować jako linię poziomą lub ukośną. W tym przypadku oznacza znak podziału.

Mianownik reprezentuje, ile równych udziałów dzieli wartość, na którą dzieli się obiekt; a licznikiem jest, ile równych udziałów zostało pobranych. Licznik jest zapisany nad kreską ułamkową, mianownik poniżej.

Najwygodniej jest pokazać zwykłe ułamki na promieniu współrzędnych. Jeśli pojedynczy segment jest podzielony na 4 równe części, każda część jest oznaczona literą łacińską, dzięki czemu można uzyskać doskonałą pomoc wizualną. Tak więc punkt A pokazuje udział równy 1/4 całego segmentu jednostki, a punkt B oznacza 2/8 tego segmentu.

Odmiany frakcji

Ułamki to liczby wspólne, dziesiętne i mieszane. Ponadto ułamki można podzielić na właściwe i niewłaściwe. Ta klasyfikacja jest bardziej odpowiednia dla zwykłych frakcji.

Prawidłowy ułamek to liczba, której licznik jest mniejszy niż mianownik. W związku z tym ułamek niewłaściwy to liczba, której licznik jest większy niż mianownik. Drugi rodzaj jest zwykle zapisywany jako liczba mieszana. Takie wyrażenie składa się z części całkowitej i części ułamkowej. Na przykład 1½. 1 - część całkowita, ½ - ułamkowa. Jeśli jednak musisz dokonać pewnych manipulacji wyrażeniem (dzielenie lub mnożenie ułamków, zmniejszanie lub konwertowanie), liczba mieszana jest konwertowana na ułamek niewłaściwy.

Prawidłowe wyrażenie ułamkowe jest zawsze mniejsze niż jeden, a niepoprawne jest zawsze większe lub równe 1.

Jeśli chodzi o to wyrażenie, rozumieją rekord, w którym reprezentowana jest dowolna liczba, której mianownik wyrażenia ułamkowego może być wyrażony przez jeden z kilkoma zerami. Jeśli ułamek jest poprawny, część całkowita w zapisie dziesiętnym będzie wynosić zero.

Aby zapisać ułamek dziesiętny, musisz najpierw napisać część całkowitą, oddzielić ją od części ułamkowej przecinkiem, a następnie napisać wyrażenie ułamkowe. Należy pamiętać, że po przecinku licznik musi zawierać tyle znaków numerycznych, ile jest zer w mianowniku.

Przykład. Reprezentuj ułamek 7 21 / 1000 w notacji dziesiętnej.

Algorytm zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną i odwrotnie

Błędem jest zapisanie ułamka niewłaściwego w odpowiedzi na problem, więc należy go przeliczyć na liczbę mieszaną:

podziel licznik przez istniejący mianownik;
w konkretnym przykładzie niepełny iloraz jest liczbą całkowitą;
a reszta jest licznikiem części ułamkowej, przy czym mianownik pozostaje niezmieniony.

Przykład. Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną: 47 / 5 .

Rozwiązanie. 47:5. Niepełny iloraz to 9, reszta = 2. Stąd 47/5 = 9 2/5.

Czasami trzeba przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy. Następnie musisz użyć następującego algorytmu:

część całkowita jest mnożona przez mianownik wyrażenia ułamkowego;
powstały produkt jest dodawany do licznika;
wynik jest zapisywany w liczniku, mianownik pozostaje bez zmian.

Przykład. Wyraź liczbę w postaci mieszanej jako ułamek niewłaściwy: 9 8 / 10 .

Rozwiązanie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 to licznik.

Odpowiadać: 98 / 10.

Mnożenie ułamków zwykłych

Możesz wykonywać różne operacje algebraiczne na zwykłych ułamkach. Aby pomnożyć dwie liczby, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Ponadto mnożenie ułamków o różnych mianownikach nie różni się od iloczynu liczb ułamkowych o tych samych mianownikach.

Zdarza się, że po znalezieniu wyniku musisz zmniejszyć ułamek. Konieczne jest maksymalne uproszczenie wynikowego wyrażenia. Oczywiście nie można powiedzieć, że ułamek niewłaściwy w odpowiedzi jest błędem, ale też trudno nazwać to poprawną odpowiedzią.

Przykład. Znajdź iloczyn dwóch zwykłych frakcji: ½ i 20/18.

Jak widać na przykładzie, po znalezieniu produktu uzyskuje się redukowalny zapis ułamkowy. Zarówno licznik, jak i mianownik w tym przypadku są podzielne przez 4, a wynikiem jest odpowiedź 5/9.

Mnożenie ułamków dziesiętnych

Iloczyn ułamków dziesiętnych różni się zasadniczo od iloczynu zwykłych ułamków. Tak więc mnożenie ułamków wygląda następująco:

dwa ułamki dziesiętne muszą być zapisane pod sobą, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej po prawej stronie znajdowały się jedna pod drugą;
liczby pisane trzeba pomnożyć, mimo przecinków, czyli jako liczby naturalne;
policz liczbę cyfr po przecinku w każdej z liczb;
w wyniku uzyskanym po mnożeniu należy policzyć po prawej stronie tyle znaków cyfrowych, ile zawiera suma w obu czynnikach po przecinku i wstawić znak rozdzielający;
jeśli w produkcie jest mniej cyfr, to należy przed nimi zapisać tyle zer, aby pokryć tę liczbę, wstawić przecinek i przypisać część całkowitą równą zero.

Przykład. Oblicz iloczyn dwóch miejsc po przecinku: 2,25 i 3,6.

Rozwiązanie.

Mnożenie ułamków mieszanych

Aby obliczyć iloczyn dwóch ułamków mieszanych, musisz użyć reguły mnożenia ułamków:

konwertuj liczby mieszane na ułamki niewłaściwe;
znajdź iloczyn liczników;
znajdź iloczyn mianowników;
zapisz wynik;
uprościć wyrażenie tak bardzo, jak to możliwe.

Przykład. Znajdź iloczyn 4½ i 6 2 / 5.

Mnożenie liczby przez ułamek (ułamki przez liczbę)

Oprócz znalezienia iloczynu dwóch ułamków, liczb mieszanych, istnieją zadania, w których musisz pomnożyć przez ułamek.

Aby znaleźć iloczyn ułamka dziesiętnego i liczby naturalnej, potrzebujesz:

wpisz liczbę pod ułamkiem, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej po prawej stronie znajdowały się jedna nad drugą;
znajdź pracę, pomimo przecinka;
w otrzymanym wyniku oddziel część całkowitą od części ułamkowej za pomocą przecinka, licząc po prawej stronie liczbę znaków po przecinku w ułamku.

Aby pomnożyć zwykły ułamek przez liczbę, należy znaleźć iloczyn licznika i czynnika naturalnego. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem redukowalnym, należy go przekonwertować.

Przykład. Oblicz iloczyn 5/8 i 12.

Rozwiązanie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odpowiadać: 7 1 / 2.

Jak widać z poprzedniego przykładu, konieczne było zredukowanie otrzymanego wyniku i przekształcenie niepoprawnego wyrażenia ułamkowego na liczbę mieszaną.

Mnożenie ułamków dotyczy również znalezienia iloczynu liczby w postaci mieszanej i czynnika naturalnego. Aby pomnożyć te dwie liczby, należy pomnożyć część całkowitą współczynnika mieszanego przez liczbę, pomnożyć licznik przez tę samą wartość i pozostawić mianownik bez zmian. Jeśli to konieczne, musisz maksymalnie uprościć wynik.

Przykład. Znajdź produkt 9 5 / 6 i 9.

Rozwiązanie. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9)/6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Odpowiadać: 88 1 / 2.

Mnożenie przez współczynniki 10, 100, 1000 lub 0,1; 0,01; 0,001

Poniższa zasada wynika z poprzedniego paragrafu. Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, 10000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle cyfr, ile jest zer w mnożniku po jedynce.

Przykład 1. Znajdź iloczyn 0,065 i 1000.

Rozwiązanie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odpowiadać: 65.

Przykład 2. Znajdź iloczyn 3,9 i 1000.

Rozwiązanie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odpowiadać: 3900.

Jeśli potrzebujesz pomnożyć liczbę naturalną i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., należy przesunąć przecinek w lewo w wynikowym iloczynie o tyle cyfr, ile jest zer przed jedynką. Jeśli to konieczne, przed liczbą naturalną zapisywana jest wystarczająca liczba zer.

Przykład 1. Znajdź iloczyn 56 i 0,01.

Rozwiązanie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odpowiadać: 0,56.

Przykład 2. Znajdź iloczyn 4 i 0,001.

Rozwiązanie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odpowiadać: 0,004.

Tak więc znalezienie iloczynu różnych ułamków nie powinno powodować trudności, z wyjątkiem być może obliczenia wyniku; W takim przypadku po prostu nie możesz obejść się bez kalkulatora.

Rozważymy mnożenie zwykłych ułamków na kilka możliwych sposobów.

Mnożenie ułamka przez ułamek

To najprostszy przypadek, w którym musisz skorzystać z następujących zasady mnożenia ułamków.

Do pomnóż ułamek przez ułamek, niezbędny:

pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i zapisz ich iloczyn w liczniku nowego ułamka;
pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i zapisz ich iloczyn w mianowniku nowego ułamka;

Przed pomnożeniem liczników i mianowników sprawdź, czy można zmniejszyć ułamki. Zmniejszenie ułamków w obliczeniach znacznie ułatwi Twoje obliczenia.

Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Do frakcji pomnóż przez liczbę naturalną musisz pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik ułamka bez zmian.

Jeśli wynikiem mnożenia jest ułamek niewłaściwy, nie zapomnij zamienić go na liczbę mieszaną, czyli wybrać całą część.

Mnożenie liczb mieszanych

Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Inny sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną

Czasami w obliczeniach wygodniej jest użyć innej metody mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę.

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

Jak widać na przykładzie, ta wersja reguły jest wygodniejsza w użyciu, jeśli mianownik ułamka jest podzielny bez reszty przez liczbę naturalną.

Akcje z ułamkami

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Zacznijmy od dodania ułamków o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki zwykłe i . Dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2 Dodaj ułamki i .

Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Jeśli nadejdzie koniec zadania, zwyczajowo pozbywa się niewłaściwych ułamków. Aby pozbyć się niewłaściwego ułamka, musisz zaznaczyć w nim całą część. W naszym przypadku część całkowita jest łatwo przydzielana - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik;
Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą frakcją, musisz wybrać w niej całą część.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład można dodawać ułamki, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można dodać od razu, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów na zredukowanie ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ reszta metod może wydawać się skomplikowana dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że najpierw poszukuje się najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszej frakcji i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. Robią to samo z drugą frakcją - NOC dzieli się przez mianownik drugiej frakcji i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.

Następnie liczniki i mianowniki ułamków mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki, które miały różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają takie same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki i

Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków i . Najpierw dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka i otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, wykonujemy małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisujemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

To samo robimy z drugą frakcją. Dzielimy LCM przez mianownik drugiej frakcji i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik drugiej ułamka to liczba 2. Podziel 6 przez 2, otrzymamy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Piszemy to do drugiej frakcji. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

W ten sposób przykład się kończy. Aby dodać, okazuje się.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzę:

Redukcję ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając ułamki i do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Łącząc te kawałki, otrzymujemy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niepoprawny, więc wyróżniliśmy w nim część całkowitą. Rezultatem był (jedna cała pizza i kolejna szósta pizza).

Zauważ, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie ma zwyczaju pisania w tak szczegółowy sposób. Musisz być w stanie szybko znaleźć LCM zarówno mianowników, jak i czynników dodatkowych do nich, a także szybko pomnożyć dodatkowe czynniki znalezione przez liczniki i mianowniki. Będąc w szkole musielibyśmy napisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeśli na pierwszych etapach nauki matematyki nie robi się szczegółowych notatek, to pytania tego rodzaju „Skąd się wzięła ta liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:

Znajdź LCM mianowników ułamków;
Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji;
Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jego część;

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z powyższego diagramu.

Krok 1. Znajdź LCM dla mianowników ułamków

Znajdujemy LCM dla mianowników obu frakcji. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4. Musisz znaleźć LCM dla tych liczb:

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 2. Podziel 12 przez 2, otrzymamy 6. Otrzymaliśmy pierwszy dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Mamy drugi dodatkowy czynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik trzeciego ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Mamy trzeci dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez swoje dodatkowe czynniki

Liczniki i mianowniki mnożymy przez nasze dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. Pozostaje dodać te frakcje. Dodaj:

Dodatek nie zmieścił się w jednej linii, więc przenieśliśmy pozostałe wyrażenie do następnej linii. W matematyce jest to dozwolone. Gdy wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest przenoszone do następnego wiersza i konieczne jest umieszczenie znaku równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugim wierszu wskazuje, że jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszego wiersza.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz jego część całkowitą

Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Podkreślamy:

Mam odpowiedź

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik taki sam.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, konieczne jest odjęcie licznika drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawienie mianownika bez zmian. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Ponownie, od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka i pozostaw mianownik taki sam:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka musisz odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Jeśli przykład jest kompletny, zwyczajowo pozbywa się ułamka niewłaściwego. Pozbądźmy się złego ułamka w odpowiedzi. Aby to zrobić, wybierz całą jego część:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik taki sam;

Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą frakcją, musisz wybrać całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład ułamek można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają te same mianowniki. Ale ułamka nie można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajduje się zgodnie z tą samą zasadą, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który jest nadpisywany nad pierwszym ułamkiem. Podobnie, LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik, który jest nadpisywany nad drugim ułamkiem.

Ułamki są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o takich samych mianownikach. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu frakcji. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Teraz wróć do ułamków i

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Piszemy cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugą frakcją. LCM dzielimy przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiej ułamka to liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Na drugim ułamku zapisujemy trójkę:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

Mam odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, dostaniesz pizze.

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Redukcję ułamków i do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na te same frakcje (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Odcinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Frakcja opisuje te pięć kawałków.

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdź LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdej frakcji.

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla drugiej frakcji. Podziel LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik drugiej ułamka to liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla trzeciej frakcji. Podziel LCM przez mianownik trzeciej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik trzeciej ułamka to liczba 5. Podziel 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam odpowiadać, ale jest zbyt nieporęczne i brzydkie. Powinniśmy uczynić to prostszym i bardziej estetycznym. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć ten ułamek. Przypomnijmy, że redukcja ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.

Aby poprawnie zmniejszyć ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 20 i 30.

Nie myl GCD z NOC. Najczęstszy błąd popełniany przez wielu początkujących. NWD jest największym wspólnym dzielnikiem. Znajdujemy to do redukcji frakcji.

A LCM jest najmniejszą wspólną wielokrotnością. Znajdujemy go, aby sprowadzić ułamki do tego samego (wspólnego) mianownika.

Teraz znajdziemy największy wspólny dzielnik (gcd) liczb 20 i 30.

Tak więc znajdujemy NWD dla liczb 20 i 30:

NPK (20 i 30) = 10

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 10:

Mam ładną odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Wpis można rozumieć jako zabranie połowy 1 czasu. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli mnożnik i mnożnik zostaną zamienione, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie jest zapisane jako , iloczyn nadal będzie równy . Ponownie działa zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka:

Ten wpis można rozumieć jako zabranie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy jej połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Wyrażenie można rozumieć jako zajęcie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.

A jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik miejscami, otrzymamy wyrażenie. Będzie również równy 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizzy z czterech całych pizzy:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć w nim całą część.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .

Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Następnie ostateczne rozwiązanie przyjmie następującą postać:

Wyrażenie można rozumieć jako zabranie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Dostaniemy pizzę. Pamiętaj, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden plasterek tej pizzy i dwa, które wzięliśmy, będą miały te same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o tej samej wielkości pizzy. Dlatego wartość wyrażenia to

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale będzie dobrze, jeśli zostanie zmniejszona. Aby zmniejszyć ten ułamek, należy go podzielić przez gcd licznika i mianownika. Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:

GCD dla (105 i 150) wynosi 15

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi do NWD:

Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka

Dowolna liczba całkowita może być reprezentowana jako ułamek. Na przykład liczba 5 może być reprezentowana jako . Z tego pięć nie zmieni swojego znaczenia, ponieważ wyrażenie oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiesz, jest równe pięciu:

Liczby odwrotne

Teraz zapoznamy się z bardzo ciekawym tematem z matematyki. Nazywa się to „odwrotnymi liczbami”.

Definicja. Odwróć do numeru a jest liczbą, która po pomnożeniu przez a daje jednostkę.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej a numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która po pomnożeniu przez 5 daje jednostkę.

Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Zaprezentujmy pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóż sam ułamek, tylko odwrócony:

Jaki będzie tego wynik? Jeśli nadal będziemy rozwiązywać ten przykład, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.

Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.

odwrotność 3 to ułamek
odwrotność 4 to ułamek

Możesz również znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.

Mnożenie ułamków zwykłych

Rozważ przykład.

Niech na talerzu będzie $\frac(1)(3)$ część jabłka. Musimy znaleźć jego część $\frac(1)(2)$. Wymagana część jest wynikiem mnożenia ułamków $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Wynik mnożenia dwóch wspólnych ułamków jest wspólnym ułamkiem.

Mnożenie dwóch wspólnych ułamków

Zasada mnożenia zwykłych ułamków:

Wynikiem pomnożenia ułamka przez ułamek jest ułamek, którego licznik jest równy iloczynowi liczników pomnożonych ułamków, a mianownik jest równy iloczynowi mianowników:

Przykład 1

Pomnóż zwykłe ułamki $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Rozwiązanie.

Wykorzystajmy zasadę mnożenia zwykłych ułamków:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Odpowiadać:$\frac(15)(77)$

Jeżeli w wyniku mnożenia ułamków otrzymuje się ułamek skasowalny lub niewłaściwy, to konieczne jest jego uproszczenie.

Przykład 2

Pomnóż ułamki $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Rozwiązanie.

Używamy reguły do mnożenia zwykłych ułamków:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

W rezultacie otrzymaliśmy ułamek redukowalny (na podstawie dzielenia przez 3$. Podziel licznik i mianownik ułamka przez 3$, otrzymamy:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Krótkie rozwiązanie:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Odpowiadać:$\frac(1)(24).$

Mnożąc ułamki, możesz zmniejszyć liczniki i mianowniki, aby znaleźć ich iloczyn. W tym przypadku licznik i mianownik ułamka są rozkładane na czynniki proste, po czym czynniki powtarzalne są redukowane i znajduje się wynik.

Przykład 3

Oblicz iloczyn ułamków $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Rozwiązanie.

Użyjmy wzoru na mnożenie zwykłych ułamków:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Oczywiście licznik i mianownik zawierają liczby, które można pomniejszyć parami o liczby 2$, 3$ i 5$. Rozkładamy licznik i mianownik na proste czynniki i dokonujemy redukcji:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Odpowiadać:$\frac(1)(20).$

Przy mnożeniu ułamków można zastosować prawo przemienności:

Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Zasada mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę naturalną:

Wynikiem pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną jest ułamek, w którym licznik jest równy iloczynowi licznika pomnożonego ułamka przez liczbę naturalną, a mianownik jest równy mianownikowi pomnożonego ułamka:

gdzie $\frac(a)(b)$ jest ułamkiem wspólnym, $n$ jest liczbą naturalną.

Przykład 4

Pomnóż ułamek $\frac(3)(17)$ przez $4$.

Rozwiązanie.

Wykorzystajmy zasadę mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę naturalną:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Odpowiadać:$\frac(12)(17).$

Nie zapomnij o sprawdzeniu wyniku mnożenia pod kątem kurczliwości ułamka lub ułamka niewłaściwego.

Przykład 5

Pomnóż ułamek $\frac(7)(15)$ przez $3$.

Rozwiązanie.

Użyjmy wzoru na pomnożenie ułamka przez liczbę naturalną:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Na podstawie kryterium dzielenia przez liczbę $3$) można określić, że uzyskany ułamek można zmniejszyć:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Wynikiem jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całą część:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Krótkie rozwiązanie:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Możliwe było również zmniejszenie ułamków poprzez zastąpienie liczb w liczniku i mianowniku ich rozwinięciami na czynniki pierwsze. W takim przypadku rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Odpowiadać:$1\frac(2)(5).$

Mnożąc ułamek przez liczbę naturalną, możesz użyć prawa przemienności:

Podział ułamków zwykłych

Operacja dzielenia jest odwrotnością mnożenia, a jej wynikiem jest ułamek, przez który trzeba pomnożyć znany ułamek, aby otrzymać znany iloczyn dwóch ułamków.

Podział dwóch wspólnych frakcji

Zasada dzielenia zwykłych ułamków: Oczywiście licznik i mianownik otrzymanego ułamka można rozłożyć na proste czynniki i zredukować:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

W rezultacie otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy, z którego wybieramy część całkowitą:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Odpowiadać:$1\frac(5)(9).$

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2 Dodaj ułamki i .

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład można dodawać ułamki, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można dodać od razu, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów na zredukowanie ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ reszta metod może wydawać się skomplikowana dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że poszukuje się pierwszego (LCM) z mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszej frakcji i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. Robią to samo z drugą frakcją - NOC dzieli się przez mianownik drugiej frakcji i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.

Przykład 1. Dodaj ułamki i

LCM (2 i 3) = 6

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Piszemy to do drugiej frakcji. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

W ten sposób przykład się kończy. Aby dodać, okazuje się.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzę:

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:

Znajdź LCM mianowników ułamków;
Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji;
Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jego część;

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z powyższych instrukcji.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez swoje dodatkowe czynniki

Liczniki i mianowniki mnożymy przez nasze dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. Pozostaje dodać te frakcje. Dodaj:

Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, to zaznacz w niej całą część

Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Podkreślamy:

Mam odpowiedź

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Ponownie odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka musisz odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą frakcją, musisz wybrać w niej całą część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:

Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu frakcji. Mianownik pierwszej ułamka to 3, a mianownik drugiej ułamka to 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Teraz wróć do ułamków i

To samo robimy z drugą frakcją. LCM dzielimy przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiej ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Mam odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, dostaniesz pizze.

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdź LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdej frakcji.

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam odpowiadać, ale jest zbyt nieporęczne i brzydkie. Powinniśmy to ułatwić. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć tę frakcję.

Aby zmniejszyć ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez (gcd) liczby 20 i 30.

Tak więc znajdujemy NWD liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony NWD, czyli przez 10

Mam odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Wpis można rozumieć jako zabranie połowy 1 czasu. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę

Ten wpis można rozumieć jako zabranie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy jej połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako zajęcie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.

A jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik miejscami, otrzymamy wyrażenie. Będzie również równy 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizzy z czterech całych pizzy:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć w nim całą część.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .

Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Następnie ostateczne rozwiązanie przyjmie następującą postać:

Wyrażenie można rozumieć jako zabranie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Dostaniemy pizzę. Pamiętaj, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden plasterek tej pizzy i dwa, które wzięliśmy, będą miały te same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o tej samej wielkości pizzy. Dlatego wartość wyrażenia to

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale będzie dobrze, jeśli zostanie zmniejszona. Aby zmniejszyć ten ułamek, musisz podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWP) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi do NWD, którą teraz znaleźliśmy, czyli przez 15

Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka

Liczby odwrotne

Teraz zapoznamy się z bardzo ciekawym tematem z matematyki. Nazywa się to „odwrotnymi liczbami”.

Definicja. Odwróć do numerua jest liczbą, która po pomnożeniu przeza daje jednostkę.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej a numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która po pomnożeniu przez 5 daje jednostkę.

Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Zaprezentujmy pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóżmy sam ułamek, tylko odwrócony:

Jaki będzie tego wynik? Jeśli nadal będziemy rozwiązywać ten przykład, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.

Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz również znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo między dwa. Ile pizzy dostanie każdy?

Widać, że po podzieleniu połowy pizzy uzyskano dwa równe kawałki, z których każdy składa się na pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Podział ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Odwrotności pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika.

Stosując tę zasadę wypiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda to ułamek, a dzielnik to 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotność dzielnika 2 jest ułamkiem. Więc musisz pomnożyć przez