Podział zwykłych ułamków o różnych mianownikach. Podział ułamków zwykłych: reguły, przykłady, rozwiązania


Ułamek to jedna lub więcej części całości, którą zwykle traktuje się jako jednostkę (1). Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, możesz wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne na ułamkach (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie), w tym celu musisz znać cechy pracy z ułamkami i rozróżniać ich typy. Istnieje kilka rodzajów ułamków zwykłych: dziesiętne i zwykłe lub proste. Każdy typ ułamków ma swoją specyfikę, ale gdy raz dokładnie zorientujesz się, jak sobie z nimi radzić, będziesz w stanie rozwiązać dowolne przykłady z ułamkami, ponieważ poznasz podstawowe zasady wykonywania obliczeń arytmetycznych z ułamkami. Spójrzmy na przykłady, jak podzielić ułamek przez liczbę całkowitą za pomocą różne rodzaje ułamki.

Jak podzielić ułamek prosty przez Liczba naturalna?
Wywoływane są zwykłe lub proste ułamki, zapisane w postaci takiego stosunku liczb, w którym dywidenda (licznik) jest wskazana na górze ułamka, a dzielnik (mianownik) ułamka jest wskazany poniżej. Jak podzielić taki ułamek przez liczbę całkowitą? Spójrzmy na przykład! Powiedzmy, że musimy podzielić 8/12 przez 2.


Aby to zrobić, musimy wykonać szereg czynności:
Tak więc, jeśli staniemy przed zadaniem podzielenia ułamka przez liczbę całkowitą, schemat rozwiązania będzie wyglądał mniej więcej tak:


Podobnie możesz podzielić dowolny zwykły (prosty) ułamek przez liczbę całkowitą.

Jak podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę całkowitą?
Ułamek dziesiętny to ułamek otrzymywany przez podzielenie jednostki na dziesięć, tysiąc itd. części. Operacje arytmetyczne na ułamkach dziesiętnych są dość proste.

Rozważ przykład, jak podzielić ułamek przez liczbę całkowitą. Powiedzmy, że musimy podzielić ułamek dziesiętny 0,925 przez liczbę naturalną 5.


Podsumowując, skupimy się na dwóch głównych punktach, które są ważne podczas wykonywania operacji dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę całkowitą:
  • oddzielić Ułamek dziesiętny podział na kolumnę stosuje się do liczby naturalnej;
  • przecinek jest umieszczany w prywatnej, gdy dzielenie całkowitej części dywidendy jest zakończone.
Stosując te proste zasady, zawsze możesz łatwo podzielić dowolny ułamek dziesiętny lub zwykły ułamek przez liczbę całkowitą. Treść lekcji

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:

  1. Dodawanie ułamków za pomocą te same mianowniki
  2. Dodawanie ułamków za pomocą różne mianowniki

Zacznijmy od dodania ułamków o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki zwykłe i . Dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2 Dodaj ułamki i .

Odpowiedź okazała się nie Prawidłowa frakcja. Jeśli nadejdzie koniec zadania, zwyczajowo pozbywa się niewłaściwych ułamków. Aby pozbyć się niewłaściwego ułamka, musisz zaznaczyć w nim całą część. W naszym przypadku część całkowita jest łatwo przydzielana - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

  1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład można dodawać ułamki, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można dodać od razu, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów na zredukowanie ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ reszta metod może wydawać się skomplikowana dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że poszukuje się pierwszego (LCM) z mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszej frakcji i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. Robią to samo z drugą frakcją - LCM dzieli się przez mianownik drugiej frakcji i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.

Następnie liczniki i mianowniki ułamków mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki, które miały różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają takie same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków i . Najpierw dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka i otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, wykonujemy małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisujemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

To samo robimy z drugą frakcją. Dzielimy LCM przez mianownik drugiej frakcji i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik drugiej ułamka to liczba 2. Podziel 6 przez 2, otrzymamy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Piszemy to do drugiej frakcji. Ponownie wykonujemy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

W ten sposób przykład się kończy. Aby dodać, okazuje się.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzę:

Redukcję ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając ułamki i do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Łącząc te kawałki, otrzymujemy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niepoprawny, więc wyróżniliśmy w nim część całkowitą. Rezultatem był (jedna cała pizza i kolejna szósta pizza).

Zauważ, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucje edukacyjne nie ma zwyczaju pisać w tak szczegółowy sposób. Musisz być w stanie szybko znaleźć LCM zarówno mianowników, jak i czynników dodatkowych do nich, a także szybko pomnożyć dodatkowe czynniki znalezione przez liczniki i mianowniki. Będąc w szkole musielibyśmy napisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeśli na pierwszych etapach nauki matematyki nie robi się szczegółowych notatek, to pytania tego rodzaju „Skąd się wzięła ta liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:

  1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
  2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji;
  3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
  4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
  5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jego część;

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z powyższych instrukcji.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 2. Podziel 12 przez 2, otrzymamy 6. Otrzymaliśmy pierwszy dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Mamy drugi dodatkowy czynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik trzeciego ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Mamy trzeci dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez swoje dodatkowe czynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez nasze dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. Pozostaje dodać te frakcje. Dodaj:

Dodatek nie zmieścił się w jednej linii, więc przenieśliśmy pozostałe wyrażenie do następnej linii. Jest to dozwolone w matematyce. Gdy wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest przenoszone do następnego wiersza i konieczne jest umieszczenie znaku równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugim wierszu wskazuje, że jest to kontynuacja wyrażenia, które było w pierwszym wierszu.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, to zaznacz w niej całą część

Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Podkreślamy:

Mam odpowiedź

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

  1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik taki sam.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Ponownie, od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka musisz odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

  1. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
  2. Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą frakcją, musisz wybrać w niej całą część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład ułamek można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają te same mianowniki. Ale ułamka nie można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajduje się na tej samej zasadzie, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który jest nadpisywany nad pierwszym ułamkiem. Podobnie, LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik, który jest nadpisywany nad drugim ułamkiem.

Ułamki są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o takich samych mianownikach. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:

Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu frakcji. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Teraz wróć do ułamków i

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Piszemy cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugą frakcją. LCM dzielimy przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiej ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

Mam odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, dostaniesz pizze.

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Redukcję ułamków i do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na te same frakcje (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Odcinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Frakcja opisuje te pięć kawałków.

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdź LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdej frakcji.

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla drugiej frakcji. Podziel LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik drugiej ułamka to liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla trzeciej frakcji. Podziel LCM przez mianownik trzeciej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik trzeciej ułamka to liczba 5. Podziel 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam odpowiadać, ale jest zbyt nieporęczne i brzydkie. Powinniśmy to ułatwić. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć ten ułamek.

Aby zmniejszyć ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez (gcd) liczby 20 i 30.

Tak więc znajdujemy NWD liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony NWD, czyli przez 10

Mam odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Wpis można rozumieć jako zabranie połowy 1 czasu. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli mnożnik i mnożnik zostaną zamienione, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie jest zapisane jako , iloczyn nadal będzie równy . Ponownie działa zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka:

Ten wpis można rozumieć jako zabranie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy jej połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako zajęcie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.

A jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik miejscami, otrzymamy wyrażenie. Będzie również równy 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizzy z czterech całych pizzy:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć w nim całą część.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .

Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Następnie ostateczne rozwiązanie przyjmie następującą postać:

Wyrażenie można rozumieć jako zabranie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Dostaniemy pizzę. Pamiętaj, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden plasterek tej pizzy i dwa, które wzięliśmy, będą miały te same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o tej samej wielkości pizzy. Dlatego wartość wyrażenia to

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale będzie dobrze, jeśli zostanie zmniejszona. Aby zmniejszyć ten ułamek, musisz podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik(gcd) numery 105 i 450.

Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi do NWD, którą teraz znaleźliśmy, czyli przez 15

Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka

Dowolna liczba całkowita może być reprezentowana jako ułamek. Na przykład liczba 5 może być reprezentowana jako . Z tego pięć nie zmieni swojego znaczenia, ponieważ wyrażenie oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiesz, jest równe pięciu:

Liczby odwrotne

Teraz zapoznamy się z interesujący temat w matematyce. Nazywa się to „odwrotnymi liczbami”.

Definicja. Odwróć do numerua jest liczbą, która po pomnożeniu przeza daje jednostkę.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej a numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która po pomnożeniu przez 5 daje jednostkę.

Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Zaprezentujmy pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóżmy sam ułamek, tylko odwrócony:

Jaki będzie tego wynik? Jeśli nadal będziemy rozwiązywać ten przykład, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.

Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz również znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo między dwa. Ile pizzy dostanie każda?

Widać, że po podzieleniu połowy pizzy uzyskano dwa równe kawałki, z których każdy składa się na pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Podział ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Odwrotności pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika.

Stosując tę ​​zasadę wypiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda to ułamek, a dzielnik to 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotność dzielnika 2 jest ułamkiem. Więc musisz pomnożyć przez

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają się z uczniami w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często trzeba rozważyć lub użyć jakiegoś przedmiotu nie w całości, ale w osobnych kawałkach. Początek badania tego tematu - udostępnij. Akcje są równe części na które podzielony jest obiekt. Przecież nie zawsze można wyrazić jako liczbę całkowitą np. długość lub cenę produktu, należy brać pod uwagę części lub udziały jakiejkolwiek miary. Utworzony od czasownika „zmiażdżyć” - podzielić na części i mający arabskie korzenie, w VIII wieku samo słowo „ułamek” pojawiło się w języku rosyjskim.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą sekcję matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „złamanymi liczbami”, co było bardzo trudne do wyświetlenia w zrozumieniu ludzi.

nowoczesny wygląd proste pozostałości ułamkowe, których części są dokładnie oddzielone linią poziomą, po raz pierwszy wniósł do Fibonacciego - Leonarda z Pizy. Jego pisma datowane są na 1202. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób następuje mnożenie mieszanych ułamków o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków o różnych mianownikach

Początkowo konieczne jest ustalenie odmiany frakcji:

  • prawidłowy;
  • zło;
  • mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak mnoży się liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu jest łatwa do sformułowania niezależnie: wynik mnożenia ułamki proste z tymi samymi mianownikami jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników danych ułamków. Oznacza to, że w rzeczywistości nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z istniejących początkowo.

Podczas mnożenia proste ułamki o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników zasada nie ulega zmianie:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że liczba utworzona pod słupkiem ułamkowym będzie iloczyn różnych liczb i oczywiście kwadratu jednego wyrażenie liczbowe nie da się tego nazwać.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach użyto sposobów redukcji wyrażeń ułamkowych. Można redukować tylko liczby w liczniku liczbami w mianowniku; sąsiednie współczynniki powyżej lub poniżej słupka ułamkowego nie mogą zostać zmniejszone.

Wraz z prostym liczby ułamkowe, istnieje pojęcie frakcji mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia jest kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę dla tej akcji możesz zapisać wzorem:

a * b/c = a*b /c.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inna opcja rozwiązania mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

d* mi/f = mi/f: re.

Ta technika jest przydatna, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, całkowicie.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i uzyskaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy sposobu przedstawienia ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego, można go również przedstawić jako ogólna formuła:

a bc = a*b+ c / c, gdzie mianownik nowego ułamka jest tworzony przez pomnożenie części całkowitej przez mianownik i dodanie jej do licznika oryginalnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby wybrać część całkowitą i resztę ułamkową, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik z „rogem”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkować konwencjonalny sposób. Gdy wpis znajduje się pod jedną linią ułamkową, w razie potrzeby należy zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby za pomocą tej metody i łatwiej jest obliczyć wynik.

W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet złożonych problemów. problemy matematyczne w różnych programach. Odpowiednia liczba takich usług oferuje swoją pomoc w liczeniu mnożenia ułamków z różne liczby w mianownikach – tzw. kalkulatory online do obliczania ułamków. Są w stanie nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne ze zwykłymi ułamkami i liczbami mieszanymi. Praca z nim nie jest trudna, odpowiednie pola są wypełniane na stronie witryny, wybierany jest znak działania matematycznego i naciskany jest „oblicz”. Program liczy się automatycznie.

Temat operacji arytmetycznych z liczbami ułamkowymi jest istotny w całej edukacji uczniów szkół średnich i starszych. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale cały wyrażenia ułamkowe , ale wcześniej uzyskana wiedza o regułach przekształceń i obliczeń stosowana jest w oryginalnej formie. Dobrze wyuczona podstawowa wiedza daje pełne zaufanie w najlepszym rozwiązaniu wymagające zadania.

Podsumowując, warto przytoczyć słowa Lwa Tołstoja, który napisał: „Człowiek to ułamek. Nie jest w mocy człowieka zwiększanie swojego licznika – własnych zasług, ale każdy może pomniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie i tym samym zbliżyć się do swojej doskonałości.

T rodzaj zajęć: ONZ (odkrywanie nowej wiedzy - według technologii działania metody nauczania).

Cele podstawowe:

  1. Wydedukuj metody dzielenia ułamka przez liczbę naturalną;
  2. Aby stworzyć umiejętność dzielenia ułamka przez liczbę naturalną;
  3. Powtórz i skonsoliduj podział frakcji;
  4. Trenuj umiejętność redukcji ułamków, analizowania i rozwiązywania problemów.

Materiał demonstracyjny sprzętu:

1. Zadania do aktualizacji wiedzy:

Porównaj wyrażenia:

Odniesienie:

2. Zadanie próbne (indywidualne).

1. Wykonaj podział:

2. Wykonaj podział bez wykonywania całego łańcucha obliczeń: .

Bibliografia:

  • Dzieląc ułamek przez liczbę naturalną, możesz pomnożyć mianownik przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

  • Jeśli licznik jest podzielny przez liczbę naturalną, to dzieląc ułamek przez tę liczbę, możesz podzielić licznik przez liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Podczas zajęć

I. Motywacja (samostanowienie) do działań edukacyjnych.

Cel sceny:

  1. Organizować aktualizację wymagań dla ucznia w ramach zajęć edukacyjnych („musi”);
  2. Organizuj zajęcia uczniów, aby ustalić ramy tematyczne („Mogę”);
  3. Stworzenie uczniowi warunków do wewnętrznej potrzeby włączenia się w działania edukacyjne („chcę”).

Organizacja proces edukacyjny na etapie I.

Witam! Cieszę się, że widzę was wszystkich na lekcji matematyki. Mam nadzieję, że to wzajemne.

Chłopaki, jaką nową wiedzę zdobyliście podczas ostatniej lekcji? (Podziel ułamki).

Prawidłowy. Co pomaga dzielić ułamki? (Reguła, właściwości).

Gdzie potrzebujemy tej wiedzy? (W przykładach równania, zadania).

Bardzo dobrze! Dobrze sobie poradziłeś na ostatniej lekcji. Czy chciałbyś już dziś odkryć nową wiedzę? (TAk).

Więc idź! A mottem lekcji jest stwierdzenie „Matematyki nie można się nauczyć, obserwując, jak robi to twój sąsiad!”.

II. Aktualizacja wiedzy i utrwalenie indywidualnej trudności w akcji próbnej.

Cel sceny:

  1. Zorganizować aktualizację poznanych metod działania, wystarczającą do zbudowania nowej wiedzy. Napraw te metody werbalnie (w mowie) i symbolicznie (standard) i uogólnij je;
  2. Organizować aktualizację operacji umysłowych i procesów poznawczych wystarczającą do budowania nowej wiedzy;
  3. motywowanie do akcji próbnej i jej niezależnej realizacji i uzasadnienia;
  4. Przedstaw indywidualne zadanie do akcji próbnej i przeanalizuj je w celu zidentyfikowania nowych treści edukacyjnych;
  5. Zorganizuj utrwalenie celu edukacyjnego i tematu lekcji;
  6. Zorganizuj wykonanie akcji próbnej i naprawienie trudności;
  7. Zorganizuj analizę otrzymanych odpowiedzi i odnotuj indywidualne trudności w wykonaniu czynności próbnej lub jej uzasadnieniu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie II.

Przede wszystkim za pomocą tabletów (pojedynczych tablic).

1. Porównaj wyrażenia:

(Te wyrażenia są równe)

Jakie ciekawe rzeczy zauważyłeś? (Licznik i mianownik dzielnej, licznik i mianownik dzielnika w każdym wyrażeniu powiększone o tę samą liczbę razy. Zatem dzielne i dzielniki w wyrażeniach są reprezentowane przez ułamki, które są sobie równe).

Znajdź znaczenie wyrażenia i zapisz je na tablecie. (2)

Jak zapisać tę liczbę jako ułamek?

Jak wykonałeś akcję podziału? (Dzieci wymawiają regułę, nauczyciel wywiesza litery na tablicy)

2. Oblicz i zapisz tylko wyniki:

3. Zsumuj swoje wyniki i zapisz swoją odpowiedź. (2)

Jak nazywa się numer uzyskany w zadaniu 3? (Naturalny)

Czy uważasz, że możesz podzielić ułamek przez liczbę naturalną? (Tak, spróbujemy)

Spróbuj tego.

4. Zadanie indywidualne (próbne).

Dokonaj podziału: (tylko przykład a)

Jakiej zasady użyłeś do dzielenia? (Zgodnie z zasadą dzielenia ułamka przez ułamek)

Teraz podziel ułamek przez liczbę naturalną w prosty sposób, bez wykonywania całego łańcucha obliczeń: (przykład b). Daję ci na to 3 sekundy.

Kto nie wykonał zadania w 3 sekundy?

Kto to zrobił? (Nie ma takich)

Czemu? (Nie znamy drogi)

Co dostałeś? (Trudność)

Jak myślisz, co zrobimy na zajęciach? (Podziel ułamki zwykłe przez liczby naturalne)

Zgadza się, otwórz zeszyty i zapisz temat lekcji „Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną”.

Dlaczego ten temat brzmi jak nowy, skoro już wiesz, jak dzielić ułamki? (Potrzebujesz nowego sposobu)

Prawidłowy. Dzisiaj opracujemy technikę, która upraszcza dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.

III. Identyfikacja lokalizacji i przyczyny trudności.

Cel sceny:

  1. Zorganizuj przywracanie zakończonych operacji i ustal (słownie i symbolicznie) miejsce - krok, operację, w której pojawiła się trudność;
  2. Uporządkowanie korelacji działań uczniów z zastosowaną metodą (algorytmem) i utrwaleniem w mowie zewnętrznej przyczyny trudności – tej konkretnej wiedzy, umiejętności lub zdolności, które nie wystarczają do rozwiązania początkowego problemu tego typu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie III.

Jakie zadanie musiałeś wykonać? (Podziel ułamek przez liczbę naturalną bez wykonywania całego łańcucha obliczeń)

Co sprawiło ci trudności? (Nie mogłem się zdecydować na Krótki czas szybki sposób)

Jaki jest cel naszej lekcji? (Odnaleźć szybki sposób dzielenie ułamka przez liczbę naturalną)

Co ci pomoże? (Już znana reguła dzielenia ułamków)

IV. Budowa projektu wyjścia z trudności.

Cel sceny:

  1. Wyjaśnienie celu projektu;
  2. Wybór metody (wyjaśnienie);
  3. Definicja funduszy (algorytm);
  4. Budowanie planu do osiągnięcia celu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie IV.

Wróćmy do przypadku testowego. Czy powiedziałeś, że dzieliłeś na zasadzie dzielenia ułamków? (TAk)

Aby to zrobić, zamień liczbę naturalną na ułamek? (TAk)

Jak myślisz, które kroki możesz pominąć?

(Łańcuch rozwiązań jest otwarty na tablicy:

Przeanalizuj i wyciągnij wnioski. (Krok 1)

Jeśli nie ma odpowiedzi, podsumowujemy poprzez pytania:

Gdzie podział się naturalny dzielnik? (do mianownika)

Czy zmienił się licznik? (Nie)

Jaki więc krok można „pominąć”? (Krok 1)

Plan działania:

  • Pomnóż mianownik ułamka przez liczbę naturalną.
  • Licznik się nie zmienia.
  • Otrzymujemy nową frakcję.

V. Realizacja zbudowanego projektu.

Cel sceny:

  1. Organizować interakcję komunikacyjną w celu realizacji skonstruowanego projektu mającego na celu przyswojenie brakującej wiedzy;
  2. Zorganizuj utrwalenie skonstruowanej metody działania w mowie i znakach (za pomocą standardu);
  3. Zorganizuj rozwiązanie pierwotnego problemu i zapisz pokonanie trudności;
  4. Zorganizuj wyjaśnienie ogólnego charakteru nowej wiedzy.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie V.

Teraz szybko uruchom przypadek testowy w nowy sposób.

Czy jesteś teraz w stanie szybko wykonać zadanie? (TAk)

Wyjaśnij, jak to zrobiłeś? (Dzieci mówią)

Oznacza to, że otrzymaliśmy nową wiedzę: regułę dzielenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardzo dobrze! Powiedz to parami.

Następnie jeden uczeń przemawia do klasy. Regułę-algorytm ustalamy werbalnie i w formie standardu na tablicy.

Teraz wprowadź oznaczenia liter i zapisz wzór na naszą regułę.

Uczeń pisze na tablicy wymawiając zasadę: dzieląc ułamek przez liczbę naturalną można pomnożyć mianownik przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.

(Każdy zapisuje wzór w zeszytach).

A teraz jeszcze raz przeanalizuj łańcuch rozwiązywania zadania próbnego, zwracając szczególną uwagę na odpowiedź. Co oni zrobili? (licznik ułamka 15 został podzielony (zmniejszony) przez liczbę 3)

Co to za numer? (Naturalny, dzielnik)

Jak więc inaczej podzielić ułamek przez liczbę naturalną? (Sprawdź: jeśli licznik ułamka jest podzielny przez tę liczbę naturalną, możesz podzielić licznik przez tę liczbę, zapisać wynik w liczniku nowego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian)

Napisz tę metodę w formie formuły. (Uczeń zapisuje regułę na tablicy. Każdy zapisuje wzór w zeszytach.)

Wróćmy do pierwszej metody. Czy można go użyć, jeśli a:n? (Tak to ogólny sposób)

A kiedy druga metoda jest wygodna w użyciu? (Gdy licznik ułamka jest podzielny przez liczbę naturalną bez reszty)

VI. Konsolidacja pierwotna z wymową w mowie zewnętrznej.

Cel sceny:

  1. Aby zorganizować przyswajanie przez dzieci nowej metody działania przy rozwiązywaniu typowych problemów z ich wymową w mowie zewnętrznej (frontalnie, w parach lub grupach).

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie VI.

Oblicz w nowy sposób:

  • nr 363 (a; d) - występuj przy tablicy, wypowiadając regułę.
  • nr 363 (d; f) - parami z czekiem na próbce.

VII. Samodzielna praca z autotestem zgodnie z normą.

Cel sceny:

  1. Zorganizować samodzielną realizację zadań przez uczniów dla nowego sposobu działania;
  2. Zorganizuj autotest oparty na porównaniu ze standardem;
  3. Zgodnie z wynikami wdrożenia niezależna praca zorganizować refleksję asymilacji nowego sposobu działania.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie VII.

Oblicz w nowy sposób:

  • nr 363 (b; c)

Studenci sprawdzają standard, zwracają uwagę na poprawność wykonania. Przyczyny błędów są analizowane i korygowane.

Nauczyciel pyta uczniów, którzy popełnili błędy, z jakiego powodu?

Na tym etapie ważne jest, aby każdy uczeń samodzielnie sprawdzał swoją pracę.

VIII. Włączenie do systemu wiedzy i powtórek.

Cel sceny:

  1. Zorganizuj identyfikację granic zastosowania nowej wiedzy;
  2. Organizuj powtarzanie treści edukacyjnych niezbędnych do zapewnienia znaczącej ciągłości.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie VIII.

  • Organizuj utrwalanie nierozwiązanych trudności na lekcji jako kierunek przyszłych działań edukacyjnych;
  • Organizuj dyskusję i nagrywanie prac domowych.

    • Organizacja procesu edukacyjnego na etapie IX.

    1. Dialog:

    Chłopaki, jaką nową wiedzę odkryliście dzisiaj? (Nauczyliśmy się w prosty sposób dzielić ułamek przez liczbę naturalną)

    Sformułuj ogólny sposób. (Mówią)

    W jaki sposób i w jakich przypadkach nadal możesz go używać? (Mówią)

    Jaka jest zaleta nowej metody?

    Czy osiągnęliśmy nasz cel lekcji? (TAk)

    Jakiej wiedzy wykorzystałeś, aby osiągnąć cel? (Mówią)

    Czy ci się udało?

    Jakie były trudności?

    2. Praca domowa: pkt 3.2.4.; nr 365 (l, n, o, p); nr 370.

    3. Nauczyciel: Cieszę się, że dzisiaj wszyscy byli aktywni, udało się znaleźć wyjście z trudności. A co najważniejsze, nie byli sąsiadami, gdy otwierano i konsolidowano nowy. Dzięki za lekcję dzieciaki!

    @ 2022 wowway.ru - Diety i odżywianie. Diagnostyka i analizy. Leki. Cholesterol. Miażdżyca