Redukcja ułamków algebraicznych. Redukcja ułamków. Co to znaczy skrócić ułamek?
Wiemy już, że licznik i mianownik ułamka można pomnożyć i podzielić przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Rozważmy trzy podejścia:
Podejdź do jednego.
Aby zmniejszyć, podziel licznik i mianownik przez wspólny dzielnik. Spójrzmy na przykłady:
Skróćmy:
Na podanych przykładach od razu widzimy, które dzielniki przyjąć do redukcji. Proces jest prosty – przechodzimy przez 2,3,4,5 i tak dalej. W większości przykładów kursów szkolnych to wystarczy. Ale jeśli jest to ułamek:
Tutaj proces wybierania dzielników może zająć dużo czasu ;). Oczywiście takie przykłady są poza szkolnym programem nauczania, ale trzeba umieć sobie z nimi poradzić. Poniżej przyjrzymy się, jak to się robi. Na razie wróćmy do procesu downsizingu.
Jak omówiono powyżej, aby zmniejszyć ułamek, podzieliliśmy go przez ustalone wspólne dzielniki. Wszystko się zgadza! Wystarczy dodać znaki podzielności liczb:
- jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 2.
- jeśli liczba z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, to sama liczba jest podzielna przez 4.
— jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3. Na przykład 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dwanaście jest podzielne przez 3, więc 123031 jest podzielne przez 3.
- jeśli na końcu liczby jest 5 lub 0, to liczba ta jest podzielna przez 5.
— jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9. Przykładowo 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osiemnaście jest podzielne przez 9, co oznacza, że 623032 jest podzielne przez 9.
Drugie podejście.
Krótko mówiąc, cała akcja sprowadza się do rozłożenia licznika i mianownika na czynniki, a następnie sprowadzenia równych współczynników w liczniku i mianowniku (podejście to jest konsekwencją podejścia pierwszego):
Wizualnie, aby uniknąć nieporozumień i błędów, równe współczynniki są po prostu przekreślane. Pytanie - jak rozłożyć liczbę na czynniki? Konieczne jest określenie wszystkich dzielników poprzez wyszukiwanie. To osobny temat, nie jest skomplikowany, poszukaj informacji w podręczniku lub w Internecie. Nie napotkasz żadnych większych problemów z faktoringiem liczb występujących w ułamkach szkolnych.
Formalnie zasadę redukcji można zapisać w następujący sposób:
Podejdź do trójki.
Oto najciekawsza rzecz dla zaawansowanych i tych, którzy chcą nimi zostać. Skróćmy ułamek 143/273. Spróbuj sam! No właśnie, jak to się szybko stało? Nowy wygląd!
Odwracamy to (zmieniamy miejsca licznika i mianownika). Podziel powstały ułamek narożnikiem i przekonwertuj go na pomieszane numery, czyli wybieramy całą część:
To już jest łatwiejsze. Widzimy, że licznik i mianownik można zmniejszyć o 13:
Teraz nie zapomnij ponownie zawrócić ułamka, zapiszmy cały łańcuch:
Zaznaczone - zajmuje mniej czasu niż przeszukiwanie i sprawdzanie dzielników. Wróćmy do naszych dwóch przykładów:
Pierwszy. Dzielimy narożnikiem (nie na kalkulatorze), otrzymujemy:
Ten ułamek jest oczywiście prostszy, ale redukcja znów stanowi problem. Teraz osobno analizujemy frakcję 1273/1463 i odwracamy ją:
Tutaj jest łatwiej. Możemy rozważyć dzielnik taki jak 19. Reszta się nie nadaje, to jasne: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurra! Zapiszmy:
Następny przykład. Skróćmy 88179/2717.
Dzielimy, otrzymujemy:
Osobno analizujemy frakcję 1235/2717 i odwracamy ją:
Możemy rozważyć dzielnik taki jak 13 (do 13 nie jest odpowiednie):
Licznik 247:13=19 Mianownik 1235:13=95
*W trakcie procesu zobaczyliśmy kolejny dzielnik równy 19. Okazuje się, że:
Teraz zapisujemy oryginalną liczbę:
I nie ma znaczenia, co jest większe w ułamku - licznik czy mianownik, jeśli jest to mianownik, wówczas odwracamy go i postępujemy zgodnie z opisem. W ten sposób możemy zredukować dowolny ułamek; trzecie podejście można nazwać uniwersalnym.
Oczywiście dwa omówione powyżej przykłady nie są prostymi przykładami. Wypróbujmy tę technologię na „prostych” ułamkach, które już rozważaliśmy:
Dwa kwartały.
Siedemdziesiąt dwa lata sześćdziesiąte. Licznik jest większy od mianownika, nie ma potrzeby odwracania go:
Oczywiście do takich zastosowano trzecie podejście proste przykłady tylko jako alternatywa. Metoda, jak już powiedziano, jest uniwersalna, ale nie wygodna i poprawna dla wszystkich ułamków, zwłaszcza prostych.
Różnorodność ułamków jest ogromna. Ważne jest, abyś rozumiał zasady. Surowe zasady po prostu nie da się pracować z ułamkami. Przyjrzeliśmy się, zorientowaliśmy się, jak wygodniej byłoby działać, i ruszyliśmy dalej. Wraz z praktyką przyjdą umiejętności i rozłupujesz je jak nasiona.
Wniosek:
Jeśli widzisz wspólny dzielnik licznika i mianownika, użyj ich, aby zmniejszyć.
Jeśli wiesz, jak szybko rozłożyć liczbę na czynniki, rozłóż licznik i mianownik, a następnie zmniejsz.
Jeśli nie możesz określić wspólnego dzielnika, zastosuj trzecie podejście.
*Aby redukować ułamki, ważne jest opanowanie zasad redukcji, zrozumienie podstawowych właściwości ułamka, znajomość podejść do rozwiązywania i zachowanie szczególnej ostrożności podczas wykonywania obliczeń.
I pamiętaj! Zwyczajowo redukuje się ułamek aż do zatrzymania, to znaczy redukuje go tak długo, jak istnieje wspólny dzielnik.
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
Dzieci w szkole uczą się zasad zmniejszania ułamków zwykłych w szóstej klasie. W tym artykule najpierw powiemy Ci, co oznacza to działanie, a następnie wyjaśnimy, jak zamienić ułamek redukowalny na ułamek nieredukowalny. Następnym punktem będą zasady redukcji ułamków, a potem stopniowo przejdziemy do przykładów.
Co to znaczy „zmniejszyć ułamek”?
Więc wszyscy to wiemy zwykłe ułamki dzielą się na dwie grupy: redukowalne i nieredukowalne. Już z nazw można zrozumieć, że te, które są skurczalne, są skurczone, a te, które są nieredukowalne, nie są skurczone.
- Skracanie ułamka oznacza dzielenie jego mianownika i licznika przez ich (inny niż jeden) dodatni dzielnik. Wynikiem jest oczywiście nowy ułamek z mniejszym mianownikiem i licznikiem. Powstały ułamek będzie równy ułamkowi pierwotnemu.
Warto zauważyć, że w książkach matematycznych z zadaniem „zmniejsz ułamek” oznacza to, że musisz zredukować pierwotny ułamek do tej nieredukowalnej formy. Jeśli porozmawiamy w prostych słowach, to dzielenie mianownika i licznika przez ich największy wspólny dzielnik jest redukcją.
Jak skrócić ułamek. Zasady redukcji ułamków (stopień 6)
Zatem obowiązują tu tylko dwie zasady.
- Pierwszą zasadą skracania ułamków jest znalezienie największego wspólnego dzielnika mianownika i licznika ułamka.
- Druga zasada: podziel mianownik i licznik przez największy wspólny dzielnik, ostatecznie otrzymując ułamek nieredukowalny.
Jak skrócić ułamek niewłaściwy?
Zasady skracania ułamków zwykłych są identyczne z zasadami skracania ułamków niewłaściwych.
Aby skrócić ułamek niewłaściwy, należy najpierw rozłożyć mianownik i licznik na czynniki pierwsze, a dopiero potem zredukować czynniki wspólne.
Redukcja frakcji mieszanych
Zasady redukcji ułamków dotyczą także redukcji ułamków mieszanych. Jest tylko mała różnica: nie możemy dotykać całej części, ale zmniejszymy ułamek lub zamienimy ułamek zmieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie zmniejszymy go i ponownie zamienimy na ułamek właściwy.
Istnieją dwa sposoby redukcji ułamków mieszanych.
Po pierwsze: zapisz część ułamkową na czynniki pierwsze, a następnie zostaw całą część w spokoju.
Drugi sposób: najpierw zamień go na ułamek niewłaściwy, zapisz go na czynniki zwykłe, a następnie skróć ułamek. Uzyskany już ułamek niewłaściwy zamień na właściwy.
Przykłady można zobaczyć na zdjęciu powyżej.
Mamy nadzieję, że udało nam się pomóc Państwu i Waszym dzieciom. Przecież często są nieuważni na zajęciach, więc muszą intensywniej uczyć się sami w domu.
Kalkulator online działa zmniejszenie ułamki algebraiczne zgodnie z zasadą redukcji ułamków: zastąpienie ułamka pierwotnego ułamkiem równym, ale o mniejszym liczniku i mianowniku, tj. Równoczesne dzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny największy wspólny czynnik (NWD). Wyświetla się także kalkulator szczegółowe rozwiązanie, co pomoże Ci zrozumieć kolejność redukcji.
Dany:
Rozwiązanie:
Przeprowadzanie redukcji frakcji
sprawdzenie możliwości przeprowadzenia redukcji ułamków algebraicznych
1) Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka
wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka algebraicznego
2) Skrócenie licznika i mianownika ułamka
skracanie licznika i mianownika ułamka algebraicznego
3) Wybór całej części ułamka
oddzielanie całej części ułamka algebraicznego
4) Zamiana ułamka algebraicznego na ułamek dziesiętny
zamiana ułamka algebraicznego na dziesiętny
Pomoc przy tworzeniu strony internetowej projektu
Szanowny Gościu.
Jeśli nie udało Ci się znaleźć tego, czego szukałeś, koniecznie napisz o tym w komentarzach, czego aktualnie brakuje na stronie. Pomoże nam to zrozumieć, w jakim kierunku musimy pójść dalej, a inni odwiedzający wkrótce będą mogli otrzymać niezbędne materiały.
Jeśli strona okazała się dla Ciebie przydatna, przekaż ją na rzecz projektu tylko 2 ₽ i będziemy wiedzieć, że zmierzamy we właściwym kierunku.
Dziękuję za zatrzymanie się!
I. Procedura redukcji ułamka algebraicznego za pomocą kalkulatora online:
- Aby skrócić ułamek algebraiczny, wprowadź wartości licznika i mianownika ułamka w odpowiednich polach. Jeśli ułamek jest mieszany, wypełnij także pole odpowiadające całej części ułamka. Jeśli ułamek jest prosty, pozostaw całe pole części puste.
- Aby określić ułamek ujemny, umieść znak minus na całej części ułamka.
- W zależności od określonego ułamka algebraicznego automatycznie wykonywana jest następująca sekwencja działań:
- wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka;
- skrócenie licznika i mianownika ułamka przez gcd;
- podświetlanie całej części ułamka, jeśli licznik ułamka końcowego jest większy od mianownika.
- zamiana końcowego ułamka algebraicznego na ułamek dziesiętny zaokrąglone do najbliższej setnej.
II. Na przykład:
Ułamek to liczba składająca się z jednej lub większej liczby części (ułamków) jednostki. Ułamek zwykły(ułamek prosty) zapisuje się jako dwie liczby (licznik ułamka i mianownik ułamka) oddzielone poziomą kreską (kreską ułamkową) wskazującą znak dzielenia. Licznik ułamka to liczba znajdująca się nad linią ułamkową. Licznik pokazuje, ile udziałów oddano z całości. Mianownikiem ułamka jest liczba znajdująca się poniżej linii ułamkowej. Mianownik pokazuje, na ile równych części podzielona jest całość. Ułamek prosty to ułamek, który nie ma części całkowitej. Ułamek prosty może być właściwy lub niewłaściwy. Ułamek właściwy to ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, zatem ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od jedności. Przykład ułamków właściwych: 8/7, 11/19, 16/17. Ułamek niewłaściwy to ułamek, którego licznik jest większy lub równy mianownikowi, więc ułamek niewłaściwy jest zawsze większy lub równy jedności. Przykład ułamków niewłaściwych: 7/6, 8/7, 13/13. ułamek mieszany to liczba zawierająca liczbę całkowitą i ułamek właściwy i oznaczająca sumę tej liczby całkowitej i ułamka właściwego. Każdy ułamek mieszany można zamienić na ułamek niewłaściwy. Przykład ułamków mieszanych: 1¼, 2½, 4¾.
III. Notatka:
- Podświetlony blok danych źródłowych żółty , przydzielony pośredni blok obliczeniowy niebieski , blok rozwiązania jest podświetlony na zielono.
- Aby dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki zwykłe lub mieszane, skorzystaj z kalkulatora ułamków online ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Ułamki zwykłe i ich redukcja to kolejny temat, który rozpoczyna się w piątej klasie. Tutaj kształtuje się podstawa tego działania, a następnie umiejętności te są wciągane nitką do wyższej matematyki. Jeśli uczeń nie rozumie, może mieć problemy z algebrą. Dlatego lepiej raz na zawsze zrozumieć kilka zasad. I pamiętaj też o jednym zakazie i nigdy go nie łam.
Ułamek i jego redukcja
Każdy uczeń wie, o co chodzi. Dowolne dwie cyfry znajdujące się pomiędzy linią poziomą są natychmiast postrzegane jako ułamek. Jednak nie wszyscy rozumieją, że może nim stać się dowolna liczba. Jeśli jest to liczba całkowita, zawsze można ją podzielić przez jeden, a wtedy otrzymasz ułamek niewłaściwy. Ale o tym później.
Początek jest zawsze prosty. Najpierw musisz dowiedzieć się, jak zmniejszyć ułamek właściwy. To znaczy taki, którego licznik jest mniejszy niż mianownik. Aby to zrobić, musisz pamiętać o podstawowej właściwości ułamka. Stwierdza, że mnożąc (i dzieląc) jednocześnie licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymuje się ułamek równoważny.
Czynności podziału, które są wykonywane w tej nieruchomości i skutkują redukcją. Czyli maksymalnie uprościć sprawę. Ułamek można skrócić, jeśli nad i pod prostą znajdują się wspólne czynniki. Kiedy ich już nie ma, redukcja jest niemożliwa. I mówią, że ten ułamek jest nieredukowalny.
Dwie drogi
1.Redukcja krok po kroku. Wykorzystuje metodę estymacji, w której obie liczby są dzielone przez minimalny wspólny współczynnik zauważony przez ucznia. Jeśli po pierwszym skurczu będzie jasne, że to nie koniec, wówczas podział trwa. Dopóki ułamek nie stanie się nieredukowalny.
2. Znajdowanie największego wspólnego dzielnika licznika i mianownika. Jest to najbardziej racjonalny sposób na redukcję ułamków. Polega na rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki pierwsze. Spośród nich musisz następnie wybrać wszystkie te same. Ich iloczyn da największy wspólny współczynnik, o który zmniejszy się ułamek.
Obie te metody są równoważne. Uczeń jest zachęcany do ich opanowania i korzystania z tego, który mu się najbardziej podoba.
A co jeśli istnieją litery oraz operacje dodawania i odejmowania?
Pierwsza część pytania jest mniej więcej jasna. Litery można skracać podobnie jak cyfry. Najważniejsze jest to, że działają jako mnożniki. Ale wiele osób ma problemy z tym drugim.
Ważne do zapamiętania! Redukować można tylko liczby będące czynnikami. Jeżeli są to sumy, to jest to niemożliwe.
Aby zrozumieć, jak zmniejszać ułamki formy wyrażenie algebraiczne, musisz poznać tę zasadę. Najpierw wyraź licznik i mianownik jako iloczyn. Następnie możesz zmniejszyć, jeśli pojawią się wspólne czynniki. Aby przedstawić to w postaci mnożników, przydatne są następujące techniki:
- grupowanie;
- nawias;
- zastosowanie skróconych tożsamości mnożenia.
Co więcej, ta druga metoda umożliwia natychmiastowe otrzymanie wyrazów w postaci mnożników. Dlatego należy go zawsze stosować, jeśli widoczny jest znany wzór.
Ale to jeszcze nie jest straszne, potem pojawiają się zadania ze stopniami i korzeniami. Wtedy trzeba nabrać odwagi i poznać kilka nowych zasad.
Wyrażenie ze stopniem
Frakcja. Licznik i mianownik stanowią iloczyn. Są litery i cyfry. Są one również podnoszone do potęgi, która również składa się z terminów lub czynników. Jest się czego bać.
Aby zrozumieć, jak redukować ułamki za pomocą potęg, musisz nauczyć się dwóch rzeczy:
- jeśli wykładnik zawiera sumę, to można go rozłożyć na czynniki, których potęgami będą pierwotne wyrazy;
- jeśli różnica, to dywidenda i dzielnik, pierwszy będzie miał odjemną do potęgi, drugi będzie miał odejmowanie.
Po wykonaniu tych kroków widoczne będą łączne mnożniki. W takich przykładach nie ma potrzeby obliczania wszystkich potęg. Wystarczy po prostu zmniejszyć stopnie o tych samych wykładnikach i podstawach.
Aby w końcu opanować redukcję ułamków za pomocą potęg, trzeba dużo ćwiczyć. Po kilku podobnych przykładach działania zostaną wykonane automatycznie.
Co się stanie, jeśli wyrażenie zawiera pierwiastek?
Można go również skrócić. Tylko jeszcze raz, zgodnie z zasadami. Co więcej, wszystko, co opisano powyżej, jest prawdą. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli pytanie brzmi, jak zmniejszyć ułamek za pomocą pierwiastków, musisz podzielić.
Można go również podzielić na wyrażenia irracjonalne. Oznacza to, że jeśli licznik i mianownik mają identyczne współczynniki, ujęte pod znakiem pierwiastka, to można je bezpiecznie zmniejszyć. Uprości to wyrażenie i zakończy zadanie.
Jeśli po redukcji irracjonalność pozostanie poniżej linii ułamkowej, musisz się jej pozbyć. Innymi słowy, pomnóż przez to licznik i mianownik. Jeśli po tej operacji pojawią się wspólne czynniki, należy je ponownie zmniejszyć.
To chyba wszystko o tym, jak redukować ułamki zwykłe. Zasad jest kilka, ale zakaz jest jeden. Nigdy nie skracaj terminów!
Opiera się to na ich podstawowej właściwości: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, wówczas otrzymany zostanie ułamek równy.
Możesz jedynie zmniejszyć mnożniki!
Członków wielomianów nie można skracać!
Aby skrócić ułamek algebraiczny, należy najpierw rozłożyć na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku.
Spójrzmy na przykłady redukujących ułamków.
W liczniku i mianowniku ułamka znajdują się jednomiany. Oni reprezentują praca(liczby, zmienne i ich potęgi), mnożniki możemy zmniejszyć.
Liczby redukujemy przez ich największy wspólny dzielnik, czyli przez największa liczba, przez który dzieli się każdą z tych liczb. Dla 24 i 36 jest to 12. Po redukcji z 24 zostaje 2, a z 36 3.
Stopnie zmniejszamy o stopień z najniższym indeksem. Skracanie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik i odjęcie wykładników.
a² i a⁷ są zredukowane do a². W tym przypadku jedynka pozostaje w liczniku a² (1 piszemy tylko w przypadku, gdy po redukcji nie ma już innych czynników. Z 24 zostają 2, więc z a² nie zapisujemy 1). Z a⁷ po redukcji pozostaje a⁵.
b i b są zmniejszane o b; powstałe jednostki nie są zapisywane.
c³º i c⁵ są skracane do c⁵. Z c³º pozostaje c²⁵, z c⁵ jeden (nie piszemy tego). Zatem,
Licznik i mianownik tego ułamka algebraicznego są wielomianami. Nie można anulować wyrazów wielomianów! (nie można zmniejszyć np. 8x² i 2x!). Aby zmniejszyć ten ułamek, potrzebujesz . Licznik ma wspólny dzielnik 4x. Wyjmijmy to z nawiasów:
Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik (2x-3). Zmniejszamy ułamek o ten współczynnik. W liczniku otrzymaliśmy 4x, w mianowniku - 1. Zgodnie z 1 właściwością ułamków algebraicznych ułamek jest równy 4x.
Możesz jedynie redukować współczynniki (nie możesz zmniejszać tego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka należy rozłożyć na czynniki.
Licznik to pełny kwadrat sumy, mianownik to różnica kwadratów. Po rozłożeniu za pomocą skróconych wzorów na mnożenie otrzymujemy:
Zmniejszamy ułamek o (5x+1) (w tym celu skreślamy dwójkę w liczniku jako wykładnik, pozostawiając (5x+1)² (5x+1)):
Licznik ma wspólny dzielnik równy 2, usuńmy go z nawiasów. Mianownik to wzór na różnicę sześcianów:
W wyniku rozwinięcia licznik i mianownik otrzymały ten sam współczynnik (9+3a+a²). Skracamy przez to ułamek:
Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym i usuń wspólny współczynnik x² z pierwszych nawiasów. Rozkładamy mianownik korzystając ze wzoru na sumę kostek:
W liczniku bierzemy wspólny czynnik (x+2) z nawiasów:
Zmniejsz ułamek o (x+2):
