Znajdź licznik i mianownik. Ułamek składa się z dwóch liczb: liczba nad kreską nazywana jest licznikiem, a liczba pod kreską nazywana jest mianownikiem. Mianownik wskazuje całkowitą liczbę części, na które dzieli się całość, a licznik jest rozważaną liczbą takich części.

• Na przykład w ułamku ½ licznik to 1, a mianownik to 2.

Wyznacz mianownik. Jeśli dwa lub więcej ułamków ma wspólny mianownik, to ułamki te mają tę samą liczbę pod linią, to znaczy w tym przypadku pewna całość jest podzielona na taką samą liczbę części. Dodawanie ułamków ze wspólnym mianownikiem jest bardzo łatwe, ponieważ mianownik całego ułamka będzie taki sam jak mianownik dodawanych ułamków. Na przykład:

• Ułamki 3/5 i 2/5 mają wspólny mianownik 5.
• Ułamki 3/8, 5/8, 17/8 mają wspólny mianownik 8.

Określ liczniki. Aby dodać ułamki o wspólnym mianowniku, dodaj ich liczniki i wynik wpisz nad mianownikiem dodanych ułamków.

• Ułamki 3/5 i 2/5 mają liczniki 3 i 2.
• Ułamki 3/8, 5/8, 17/8 mają liczniki 3, 5, 17.

Dodaj liczniki. W zadaniu 3/5 + 2/5 dodaj liczniki 3 + 2 = 5. W zadaniu 3/8 + 5/8 + 17/8 dodaj liczniki 3 + 5 + 17 = 25.

Zapisz sumę. Pamiętaj, że dodając ułamki ze wspólnym mianownikiem, pozostaje on bez zmian - dodawane są tylko liczniki.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

W razie potrzeby przekształć ułamek. Czasami ułamek można zapisać jako liczbę całkowitą, a nie zwykłą lub Ułamek dziesiętny. Na przykład ułamek 5/5 łatwo zamienia się w 1, ponieważ każdy ułamek, którego licznik jest równy mianownikowi, wynosi 1. Wyobraź sobie ciasto podzielone na trzy części. Jeśli zjesz wszystkie trzy części, zjesz cały (jeden) placek.

• Każdy ułamek wspólny można przekonwertować na dziesiętny; Aby to zrobić, podziel licznik przez mianownik. Na przykład ułamek 5/8 można zapisać w następujący sposób: 5 ÷ 8 = 0,625.

Uprość ułamek, jeśli to możliwe. Uproszczony ułamek to ułamek, którego licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika.

• Weźmy na przykład ułamek 3/6. Tutaj zarówno licznik, jak i mianownik mają wspólny dzielnik, równe 3, czyli licznik i mianownik są całkowicie podzielne przez 3. Dlatego ułamek 3/6 można zapisać w następujący sposób: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

W razie potrzeby zamień ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany (liczba mieszana). Na ułamek niewłaściwy licznik jest większy niż mianownik, na przykład 25/8 (ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika). Ułamek niewłaściwy można zamienić na ułamek mieszany, który składa się z części całkowitej (czyli liczby całkowitej) i części ułamkowej (czyli ułamka właściwego). Aby zamienić ułamek niewłaściwy, taki jak 25/8, na liczbę mieszaną, wykonaj następujące kroki:

• Podziel licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik; zapisz niepełny iloraz (całą odpowiedź). W naszym przykładzie: 25 ÷ 8 = 3 plus reszta. W tym przypadku cała odpowiedź jest częścią całkowitą liczby mieszanej.
• Znajdź resztę. W naszym przykładzie: 8 x 3 = 24; odejmij wynik od pierwotnego licznika: 25 - 24 \u003d 1, czyli reszta to 1. W tym przypadku reszta jest licznikiem części ułamkowej liczby mieszanej.
• Napisz ułamek mieszany. Mianownik się nie zmienia (czyli jest równy mianownikowi ułamka niewłaściwego), więc 25/8 = 3 1/8.

Dodawanie i odejmowanie ułamków za pomocą same mianowniki
Dodawanie i odejmowanie ułamków za pomocą różne mianowniki
Koncepcja NOC
Sprowadzanie ułamków do tego samego mianownika
Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

1 Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian, na przykład:

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian, na przykład:

Aby dodać ułamki mieszane, musisz osobno dodać ich części całkowite, a następnie dodać ich części ułamkowe i wynik zapisać jako ułamek mieszany,

Jeżeli podczas dodawania części ułamkowych otrzymamy ułamek niewłaściwy, wybieramy z niego część całkowitą i dodajemy ją do części całkowitej, np.:

2 Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Aby dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw doprowadzić je do tego samego mianownika, a następnie postępować zgodnie ze wskazówkami na początku tego artykułu. Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Dla licznika każdego z ułamków dodatkowe czynniki znajdują się poprzez podzielenie LCM przez mianownik tego ułamka. Przyjrzymy się przykładowi później, gdy dowiemy się, czym jest LCM.

3 Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb (LCM) to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez obie te liczby bez reszty. Czasami NOC można odebrać ustnie, ale częściej, zwłaszcza podczas pracy z duże liczby, musisz znaleźć LCM na piśmie, korzystając z następującego algorytmu:

Aby znaleźć LCM kilku liczb, potrzebujesz:

1. Rozłóż te liczby na czynniki pierwsze
2. Weź największą ekspansję i zapisz te liczby jako iloczyn
3. Wybierz w innych rozwinięciach liczby, które nie występują w największym rozwinięciu (lub występują w nim mniejszą liczbę razy) i dodaj je do produktu.
4. Pomnóż wszystkie liczby w produkcie, to będzie LCM.

Na przykład znajdźmy LCM liczb 28 i 21:

4Sprowadzanie ułamków zwykłych do tego samego mianownika

Wróćmy do dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Kiedy sprowadzamy ułamki do tego samego mianownika, równego LCM obu mianowników, musimy pomnożyć liczniki tych ułamków przez dodatkowe mnożniki. Możesz je znaleźć, dzieląc LCM przez mianownik odpowiedniego ułamka, na przykład:

Zatem, aby sprowadzić ułamki do tego samego wykładnika, musisz najpierw znaleźć LCM (to znaczy najmniejsza liczba, która jest podzielna przez oba mianowniki) mianowników tych ułamków, a następnie wstaw dodatkowe czynniki do liczników ułamków. Możesz je znaleźć, dzieląc wspólny mianownik (LCD) przez mianownik odpowiedniego ułamka. Następnie musisz pomnożyć licznik każdego ułamka przez dodatkowy czynnik i umieścić LCM jako mianownik.

5Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

Aby dodać liczbę całkowitą i ułamek, wystarczy dodać tę liczbę przed ułamkiem, a otrzymasz na przykład ułamek mieszany.

W tej lekcji zajmiemy się dodawaniem i odejmowaniem. ułamki algebraiczne z różnymi mianownikami. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach to jeden z najważniejszych i najtrudniejszych tematów na kursie ósmej klasy. Co więcej, ten temat będzie można znaleźć w wielu tematach kursu algebry, którego będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów.

Rozważać najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Zapamiętaj zasadę dodawania ułamków. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) pierwotnych mianowników.

Definicja

Najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez liczby i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybrać wszystkie czynniki pierwsze, które wchodzą w rozwinięcie obu mianowników.

; . Wtedy LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika konieczne jest, aby każdy z ułamków znalazł dodatkowy czynnik (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez wynikowy dodatkowy czynnik. Otrzymujemy ułamki o tych samych mianownikach, których nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw rozważ ułamki, których mianownikami są liczby.

Przykład 2 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik dla tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

Formułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (dzieląc wspólny mianownik przez mianownik tego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe czynniki.

4. Dodaj lub odejmij ułamki, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, w których mianowniku występują wyrażenia literalne.

Przykład 3 Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia dosłowne w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Rozwiązaniem tego przykładu jest więc:

Odpowiedź:.

Przykład 4 Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów mnożenia), musisz wziąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najtrudniejszym zadaniem jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Szukając wspólnego mianownika, musisz najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (aby uprościć wspólny mianownik).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Teraz naprawimy zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7 Uproszczać: .

Rozwiązanie:

.

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodaje się nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla większej liczby ułamków pozostają takie same).

Przykład 8 Uproszczać: .

Kalkulator online.
Ocena wyrażenia za pomocą ułamki.
Mnożenie, odejmowanie, dzielenie, dodawanie i zmniejszanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach.

Z tym kalkulatorem online jest to możliwe mnożyć, odejmować, dzielić, dodawać i zmniejszać ułamki liczbowe o różnych mianownikach.

Program działa z poprawnymi, niewłaściwymi i mieszanymi ułamkami liczbowymi.

Ten program (kalkulator online) może:
- dodaj ułamki mieszane o różnych mianownikach
- Odejmij ułamki mieszane o różnych mianownikach
- podzielić ułamki mieszane o różnych mianownikach
- Mnożenie ułamków mieszanych o różnych mianownikach
- sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika
- Zamień ułamki mieszane na niewłaściwe
- skróć ułamki

Możesz również wprowadzić nie wyrażenie z ułamkami, ale jeden pojedynczy ułamek.
W takim przypadku ułamek zostanie zmniejszony, a część całkowita zostanie wybrana z wyniku.

Kalkulator online do obliczania wyrażeń z ułamkami liczbowymi nie tylko daje odpowiedź na problem, ale daje szczegółowe rozwiązanie z wyjaśnieniami, tj. wyświetla proces znajdowania rozwiązania.

Ten program może być przydatny dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do praca kontrolna i egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem, rodzice kontrolują rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa matematyka czy algebra? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz realizować swoje własny trening i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, przy jednoczesnym podniesieniu poziomu wykształcenia w zakresie zadań do rozwiązania.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wyrażeń z ułamkami numerycznymi, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wyrażeń z ułamkami numerycznymi

Tylko liczba całkowita może działać jako licznik, mianownik i część całkowita ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Podczas wprowadzania ułamka liczbowego licznik jest oddzielony od mianownika znakiem dzielenia: /
Wejście: -2/3 + 7/5
Wynik: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Część całkowita jest oddzielona od ułamka znakiem ampersand: &
Wejście: -1&2/3 * 5&8/3
Wynik: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Dzielenie ułamków rozpoczynamy dwukropkiem: :
Wejście: -9&37/12: -3&5/14
Wynik: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Pamiętaj, że nie możesz dzielić przez zero!

Podczas wprowadzania wyrażeń zawierających ułamki numeryczne można używać nawiasów okrągłych.
Wejście: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Wynik: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Wprowadź wyrażenie z ułamkami numerycznymi.

Oblicz

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w przeglądarce.
JavaScript musi być włączony, aby rozwiązanie się pojawiło.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.

Ponieważ Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sek...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, wtedy możesz napisać o tym w formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż jakie zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Ułamki zwykłe. Dzielenie z resztą

Jeśli musimy podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest podzielne przez 4, tj. pozostaje reszta z dzielenia. Mówi się, że w takich przypadkach dzielenie z resztą, a rozwiązanie zapisuje się następująco:
497: 4 = 124 (1 reszta).

Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywamy tak samo jak w dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Wynik dzielenia przy dzieleniu z resztą nazywa się niekompletny prywatny. W naszym przypadku ta liczba to 124. I wreszcie ostatnia składowa, której nie ma w zwykłym podziale, to reszta. Gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez inną. bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta to 1.

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, to sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.

Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest użyć równości
za \u003d b * n + r,
gdzie a to dywidenda, b to dzielnik, n to iloraz częściowy, r to reszta.

Iloraz podziału liczby naturalne można zapisać w postaci ułamka.

Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.

Ponieważ licznikiem ułamka jest dzielna, a mianownikiem dzielnik, uważają, że prosta ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie jako ułamek bez użycia znaku „:”.

Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać jako ułamek \(\frac(m)(n) \), gdzie licznik m to dzielna, a mianownik n to dzielnik:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Następujące zasady są prawidłowe:

Aby uzyskać ułamek \(\frac(m)(n) \), musisz podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.

Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n) \), musisz podzielić liczbę m przez liczbę n.

Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i pomnożyć wynik przez licznik ułamka wyrażającego tę część.

Aby znaleźć całość przez jej część, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i pomnożyć wynik przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.

Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (oprócz zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (oprócz zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się podstawowa własność ułamka.

Dwie ostatnie transformacje są nazywane redukcja frakcji.

Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas taka akcja jest wywoływana sprowadzenie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

Ułamki właściwe i niewłaściwe. liczby mieszane

Wiesz już, że ułamek można uzyskać dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4) \) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach z poprzedniej sekcji ułamki były używane do oznaczania części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że ​​część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5) \) lub \(\frac(8)(5) \)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się takie ułamki, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Pozostałe ułamki, czyli ułamki, w których licznik jest mniejszy od mianownika, nazywamy ułamki właściwe.

Jak wiesz, każdy zwykły ułamek, zarówno właściwy, jak i niewłaściwy, można uznać za wynik dzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, inaczej niż w języku potocznym, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że ​​zrobiliśmy coś źle, a jedynie, że ułamek ten ma licznik większy lub równy swojemu mianownikowi.

Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to takie ułamki nazywamy mieszanymi.

Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.

Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b) \) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jeśli licznik ułamka \(\frac(a)(b) \) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Zauważ, że druga reguła jest również ważna, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.

Akcje z ułamkami. Dodawanie ułamków.

Na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych, można wykonywać operacje arytmetyczne. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Łatwo jest dodawać ułamki o tych samych mianownikach. Znajdź na przykład sumę \(\frac(2)(7) \) i \(\frac(3)(7) \). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

Za pomocą liter regułę dodawania ułamków o tych samych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jeśli chcesz dodać ułamki o różnych mianownikach, musisz je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

W przypadku ułamków zwykłych, a także liczb naturalnych, obowiązują przemienne i asocjacyjne właściwości dodawania.

Dodatek frakcji mieszanych

Nagrania takie jak \(2\frac(2)(3) \) są nazywane frakcje mieszane. Nazywa się numer 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3) \) to jego część ułamkowa. Wpis \(2\frac(2)(3) \) jest czytany w następujący sposób: „dwie i dwie trzecie”.

Dzielenie liczby 8 przez liczbę 3 daje dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3) \) i \(2\frac(2)(3) \). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3) \) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3) \). W takich przypadkach mówią, że z ułamka niewłaściwego wyróżnił całość.

Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)

Odejmowanie liczb ułamkowych, a także naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie innej liczby od jednej liczby oznacza znalezienie liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian.

Używając liter, ta zasada jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Mnożenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz pomnożyć ich liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.

Za pomocą liter regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Korzystając ze sformułowanej reguły, można pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy.

Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez skrócenie ułamka i podkreślenie części całkowitej ułamka niewłaściwego.

W przypadku ułamków zwykłych, a także liczb naturalnych, obowiązują przemienne i asocjacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia w odniesieniu do dodawania.

Dzielenie ułamków

Weź ułamek \(\frac(2)(3) \) i „odwróć” go, zamieniając licznik i mianownik. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2) \). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\ frac(2)(3) \).

Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2) \), to otrzymamy oryginalny ułamek \(\frac(2)(3) \). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3) \) i \(\frac(3)(2) \) nazywane są wzajemnie odwrotne.

Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac(18)(7) \) są wzajemnie odwrotne.

Za pomocą liter ułamki wzajemnie odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

Jest jasne, że iloczyn odwrotności ułamków wynosi 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Używając ułamków odwrotnych, dzielenie ułamków można sprowadzić do mnożenia.

Reguła dzielenia ułamka przez ułamek:
Aby podzielić jeden ułamek przez inny, musisz pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Ułamki mieszane są takie same jak proste ułamki można odjąć. Aby odjąć liczby mieszane ułamków zwykłych, musisz znać kilka zasad odejmowania. Przestudiujmy te zasady na przykładach.

Odejmowanie ułamków mieszanych o tych samych mianownikach.

Rozważmy przykład z warunkiem, że liczba całkowita i część ułamkowa do zmniejszenia są większe niż odpowiednio liczba całkowita i część ułamkowa do odjęcia. W takich warunkach odejmowanie odbywa się oddzielnie. Część całkowita jest odejmowana od części całkowitej, a część ułamkowa od części ułamkowej.

Rozważ przykład:

Odejmij ułamki mieszane \(5\frac(3)(7)\) i \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\frac(2)(7)\)

Poprawność odejmowania sprawdza się przez dodanie. Sprawdźmy odejmowanie:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\frac(3)(7)\)

Rozważmy przykład z warunkiem, że ułamkowa część miniendu jest odpowiednio mniejsza niż ułamkowa część odejmowanej części. W tym przypadku pożyczamy jedynkę od liczby całkowitej w miniendzie.

Rozważ przykład:

Odejmij ułamki mieszane \(6\frac(1)(4)\) i \(3\frac(3)(4)\).

Zredukowany \(6\frac(1)(4)\) ma mniejszą część ułamkową niż część ułamkowa odjętego \(3\frac(3)(4)\). To znaczy \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3 \frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Następny przykład:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Odejmowanie ułamka mieszanego od liczby całkowitej.

Przykład: \(3-1\frac(2)(5)\)

Zredukowana 3 nie ma części ułamkowej, więc nie możemy od razu odjąć. Weźmy część całkowitą jednostki y 3, a następnie wykonajmy odejmowanie. Jednostkę zapisujemy jako \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5)(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Odejmowanie ułamków mieszanych o różnych mianownikach.

Rozważmy przykład z warunkiem, że części ułamkowe miniendu i odejmowanej części mają różne mianowniki. Konieczne jest sprowadzenie do wspólnego mianownika, a następnie wykonanie odejmowania.

Odejmij dwa ułamki mieszane \(2\frac(2)(3)\) i \(1\frac(1)(4)\) o różnych mianownikach.

Wspólny mianownik to 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4))-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12) = 1\frac( 5)(1 2)\)

Powiązane pytania:
Jak odjąć ułamki mieszane? Jak rozwiązywać ułamki mieszane?
Odpowiedź: musisz zdecydować, do jakiego typu należy wyrażenie i zastosować algorytm rozwiązania zgodnie z typem wyrażenia. Odejmij liczbę całkowitą od części całkowitej, odejmij część ułamkową od części ułamkowej.

Jak odjąć ułamek od liczby całkowitej? Jak odjąć ułamek od liczby całkowitej?
Odpowiedź: musisz wziąć jednostkę z liczby całkowitej i zapisać tę jednostkę jako ułamek

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

a następnie odejmij całość od całości, odejmij część ułamkową od części ułamkowej. Przykład:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7)(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Przykład 1:
Odejmij właściwy ułamek od jednego: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Rozwiązanie:
a) Przedstawmy jednostkę jako ułamek o mianowniku 33. Otrzymujemy \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Przedstawmy jednostkę jako ułamek o mianowniku 7. Otrzymujemy \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7)\)

Przykład nr 2:
Odejmij ułamek mieszany od liczby całkowitej: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Rozwiązanie:
a) Weźmy 21 jednostek od liczby całkowitej i zapiszmy to tak: \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)(5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Weźmy 1 od liczby całkowitej 2 i zapiszmy to tak: \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)(3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Przykład nr 3:
Odejmij liczbę całkowitą od ułamka mieszanego: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Przykład 4:
Od ułamka mieszanego odejmij właściwy ułamek: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Przykład 5:
Oblicz \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) (2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))-3\frac (6) (16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21)(16)))-3\frac (3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(align)\)