Jedną z głównych cech algebry, a właściwie całej matematyki, jest stopień naukowy. Oczywiście w XXI wieku wszystkie obliczenia można przeprowadzić na kalkulatorze internetowym, ale lepiej nauczyć się robić to samemu dla rozwoju mózgu.

W tym artykule przyjrzymy się najbardziej ważne pytania dotyczące tej definicji. Mianowicie zrozumiemy, co to jest w ogóle i jakie są jego główne funkcje, jakie właściwości istnieją w matematyce.

Spójrzmy na przykłady, jak wyglądają obliczenia, jakie są podstawowe formuły. Przeanalizujemy główne rodzaje wielkości i ich różnice w stosunku do innych funkcji.

Rozumiem, jak rozwiązać za pomocą tej ilości różne zadania. Pokażemy na przykładach, jak podnieść do zera, irracjonalnie, negatywnie itp.

Kalkulator potęgowania online

Jaki jest stopień liczby

Co oznacza wyrażenie „podnieść liczbę do potęgi”?

Stopień n liczby a jest iloczynem czynników wielkości n razy z rzędu.

Matematycznie wygląda to tak:

a n = a * a * a * …a n .

Na przykład:

• 2 3 = 2 w trzecim kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 w kroku. dwa = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 w kroku. cztery = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 w 5 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 w 4 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Poniżej znajduje się tabela kwadratów i kostek od 1 do 10.

Tabela stopni od 1 do 10

Poniżej wyniki budowy liczby naturalne do mocy dodatnich - „od 1 do 100”.

Ch-lo	II stopnia	3 klasa
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Właściwości stopnia

Czym charakteryzuje się taka matematyczna funkcja? Spójrzmy na podstawowe właściwości.

Naukowcy ustalili, co następuje znaki charakterystyczne dla wszystkich stopni:

• an*am = (a) (n+m);
• an: am = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Sprawdźmy na przykładach:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Z drugiej strony 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Podobnie: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. W przeciwnym razie 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. A jeśli jest inaczej? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Jak widać, zasady działają.

Ale jak być? z dodawaniem i odejmowaniem? Wszystko jest proste. Wykonywane jest pierwsze potęgowanie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.

Spójrzmy na przykłady:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ale w tym przypadku musisz najpierw obliczyć dodatek, ponieważ w nawiasach znajdują się akcje: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Jak produkować obliczenia w bardziej skomplikowanych przypadkach? Kolejność jest taka sama:

• jeśli są nawiasy, musisz zacząć od nich;
• następnie potęgowanie;
• następnie wykonaj operacje mnożenia, dzielenia;
• po dodaniu odejmowanie.

Istnieją specyficzne właściwości, które nie są charakterystyczne dla wszystkich stopni:

1. Pierwiastek n-tego stopnia od liczby a do stopnia m zapiszemy jako: a m / n .
2. Podnosząc ułamek do potęgi: tej procedurze podlegają zarówno licznik, jak i jego mianownik.
3. Podczas budowania pracy różne liczby do potęgi, wyrażenie będzie odpowiadać iloczynowi tych liczb do danej potęgi. To znaczy: (a * b) n = a n * b n .
4. Podnosząc liczbę do potęgi ujemnej, musisz podzielić 1 przez liczbę w tym samym kroku, ale ze znakiem „+”.
5. Jeśli mianownik ułamka jest potęgą ujemną, to wyrażenie to będzie równe iloczynowi licznika i mianownika potęgi dodatniej.
6. Dowolna liczba do potęgi 0 = 1 i do kroku. 1 = do siebie.

Zasady te są ważne w indywidualnych przypadkach, omówimy je bardziej szczegółowo poniżej.

Stopień z ujemnym wykładnikiem

Co zrobić z ujemnym stopniem, czyli gdy wskaźnik jest ujemny?

Na podstawie właściwości 4 i 5(patrz punkt powyżej) okazuje się:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

I wzajemnie:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

A jeśli to ułamek?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Jest rozumiany jako stopień o wykładnikach równych liczbom całkowitym.

Rzeczy do zapamiętania:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Również, jeśli (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…to wynik będzie oznaczony znakiem „+”. Jeśli liczba ujemna podniesiony do dziwnej potęgi i na odwrót.

Ogólne właściwości i wszystko specyficzne cechy opisane powyżej są również dla nich charakterystyczne.

Stopień ułamkowy

Ten widok można zapisać jako schemat: A m / n. Czyta się go jako: pierwiastek n-tego stopnia liczby A do potęgi m.

Za pomocą wskaźnika ułamkowego możesz zrobić wszystko: zmniejszyć, rozłożyć na części, podnieść do innego stopnia itp.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Niech α będzie liczbą niewymierną i А ˃ 0.

Aby zrozumieć istotę stopnia za pomocą takiego wskaźnika, Spójrzmy na różne możliwe przypadki:

• A \u003d 1. Wynik będzie równy 1. Ponieważ istnieje aksjomat - 1 jest równe jednemu we wszystkich mocach;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 są liczbami wymiernymi;

• 0˂А˂1.

W tym przypadku odwrotnie: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 na takich samych warunkach jak w drugim akapicie.

Na przykład wykładnikiem jest liczba π. To jest racjonalne.

r 1 - w tym przypadku jest równy 3;

r 2 - będzie równe 4.

Wtedy, dla A = 1, 1 π = 1.

A = 2, to 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, następnie (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takie stopnie charakteryzują się wszystkimi operacjami matematycznymi i określonymi właściwościami opisanymi powyżej.

Wniosek

Podsumujmy – po co te wartości, jakie są zalety takich funkcji? Oczywiście przede wszystkim ułatwiają życie matematykom i programistom przy rozwiązywaniu przykładów, ponieważ pozwalają minimalizować obliczenia, zmniejszać algorytmy, systematyzować dane i wiele więcej.

Gdzie jeszcze ta wiedza może być przydatna? W każdej specjalizacji zawodowej: medycyna, farmakologia, stomatologia, budownictwo, technologia, inżynieria, projektowanie itp.

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule porozmawiamy o przekształcaniu wyrażeń za pomocą mocy. Najpierw skupimy się na przekształceniach wykonywanych na wszelkiego rodzaju wyrażeniach, w tym: wyrażenia mocy, takich jak otwieranie nawiasów, zmniejszanie podobnych terminów. A następnie przeanalizujemy przekształcenia związane konkretnie z wyrażeniami ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, używanie właściwości stopni itp.

Nawigacja po stronach.

Co to są Power Expressions?

Termin „wyrażenia mocy” praktycznie nie występuje w szkolnych podręcznikach do matematyki, ale często pojawia się w zbiorach zadań, specjalnie zaprojektowanych w celu przygotowania na przykład do egzaminu Unified State Examination i OGE. Po przeanalizowaniu zadań, w których wymagane jest wykonanie jakichkolwiek działań z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że wyrażenia potęgowe są rozumiane jako wyrażenia zawierające stopnie w swoich wpisach. Dlatego dla siebie możesz przyjąć następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi uprawnienia.

Przynieśmy przykłady wyrażeń mocy. Ponadto przedstawimy je według tego, jak kształtowały się poglądy na stopień wskaźnik naturalny do rzeczywistego wykładnika.

Jak wiadomo, najpierw poznajesz stopień liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby z wykładnikiem całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych o ujemnych potęgach całkowitych, takich jak: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

W klasach starszych wracają ponownie do stopni. Tam wprowadzany jest stopień z wykładnikiem wymiernym, co prowadzi do pojawienia się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , itp. Na koniec brane są pod uwagę stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażeniami je zawierającymi: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik, a są na przykład takie wyrażenia 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się zaczynają pojawiać się wyrażenia potęgujące i logarytmiczne, np. x 2 lgx −5 x lgx.

Tak więc ustaliliśmy pytanie, czym są wyrażenia mocy. Następnie dowiemy się, jak je przekształcić.

Główne typy przekształceń wyrażeń mocy

Za pomocą wyrażeń zaawansowanych można wykonywać dowolne podstawowe przekształcenia tożsamości wyrażeń. Na przykład możesz otworzyć nawiasy, wymienić wyrażenia numeryczne ich wartości, przynoszą podobne warunki itp. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania czynności. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 ·(4 2 −12) .

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością czynności najpierw wykonujemy czynności w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy potęgę 4 2 jej wartością 16 (patrz jeśli to konieczne), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4 . Mamy 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8 , po czym obliczamy iloczyn 8,4=32 . To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odpowiadać:

2 3 (4 2-12)=32.

Przykład.

Uprość wyrażenia mocy 3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7.

Rozwiązanie.

Oczywiście wyrażenie to zawiera podobne terminy 3 · a 4 · b − 7 i 2 · a 4 · b − 7 , i możemy je zredukować: .

Odpowiadać:

3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7 =5 za 4 b -7 -1.

Przykład.

Wyraź ekspresję z mocami jako produkt.

Rozwiązanie.

Aby poradzić sobie z zadaniem, można przedstawić liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie zastosować skróconą formułę mnożenia, różnicę kwadratów:

Odpowiadać:

Istnieje również szereg identycznych przekształceń związanych z wyrażeniami mocy. Następnie przeanalizujemy je.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawą i / lub wskaźnikiem są nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład zapiszmy (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Podczas pracy z takimi wyrażeniami można zastąpić zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie we wskaźniku identycznie równym wyrażeniem na DPV jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam regułami, możemy osobno przeliczyć podstawę stopnia, a osobno - wskaźnik. Oczywiste jest, że w wyniku tej transformacji otrzymuje się wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia z mocami lub osiągnąć inne cele, których potrzebujemy. Na przykład we wspomnianym wyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 7) 5−3,7 możesz wykonywać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli ci przejść do potęgi 4,1 1,3. A po otwarciu nawiasów i dodaniu wyrazów podobnych do podstawy stopnia (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe więcej prosta forma 2 (x+1) .

Korzystanie z właściwości zasilania

Jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń z uprawnieniami jest równość, która odzwierciedla. Przypomnijmy główne. Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s obowiązują następujące właściwości potęgowe:

• a r a s = r + s ;
• a r:a s = a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = ar s .

Zauważ, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb a i b mogą nie być tak surowe. Na przykład dla liczb naturalnych m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla dodatnich a , ale także dla ujemnych i dla a=0 .

W szkole główna uwaga w transformacji wyrażeń władzy skupia się właśnie na umiejętności wyboru odpowiedniej właściwości i jej prawidłowego zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na korzystanie z właściwości stopni bez ograniczeń. To samo dotyczy przekształceń wyrażeń zawierających zmienne w podstawach stopni – zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że bazy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na swobodne korzystanie z właściwości stopni. Ogólnie rzecz biorąc, musisz stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można zastosować jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ niedokładne użycie właściwości może prowadzić do zwężenia ODZ i innych problemów. Punkty te omówiono szczegółowo i z przykładami w artykule transformacja wyrażeń przy użyciu właściwości stopni. Tutaj ograniczamy się do kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyrażenie a 2,5 ·(a 2) -3:a -5,5 jako potęgę o podstawie a .

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) -3 o własność podniesienia potęgi do potęgi: (a 2) -3 =a 2 (-3) =a -6. W tym przypadku początkowe wyrażenie potęgowe przyjmie postać a 2.5 ·a -6:a -5.5 . Oczywiście pozostaje skorzystać z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, którą mamy
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a-3,5-(-5,5) =a 2 .

Odpowiadać:

2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d 2.

Właściwości potęgowe są używane podczas przekształcania wyrażeń potęgowych zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia mocy.

Rozwiązanie.

Równość (a·b) r =a r ·br , zastosowana od prawej do lewej, pozwala przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A kiedy mnożymy moce za pomocą te same podstawy wskaźniki sumują się: .

Można było dokonać przekształcenia pierwotnego wyrażenia w inny sposób:

Odpowiadać:

.

Przykład.

Mając wyrażenie potęgowe a 1.5 −a 0.5 −6 , wprowadź nową zmienną t=a 0.5 .

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako 0,5 3 i dalej na podstawie właściwości stopnia w stopniu (a r) s = a r s przyłożonej od prawej do lewej przekonwertować do postaci (a 0,5) 3 . W ten sposób, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t=a 0.5 , otrzymujemy t 3 −t−6 .

Odpowiadać:

t3 −t−6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać ułamki z potęgami lub reprezentują takie ułamki. Wszelkie podstawowe przekształcenia frakcji, które są nieodłącznie związane z dowolnymi frakcjami, mają pełne zastosowanie do takich frakcji. Oznacza to, że ułamki zawierające stopnie można zmniejszyć, zredukować do nowego mianownika, pracować osobno z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować powyższe słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość ekspresję mocy .

Rozwiązanie.

To wyrażenie mocy jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane po nim wyrażenie wykorzystując własności potęg, a w mianowniku przedstawiamy podobne terminy:

Zmieniamy również znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiadać:

.

Redukowanie ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się podobnie do redukcji ułamków wymiernych do nowego mianownika. Jednocześnie znajduje się również dodatkowy czynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia DPV. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy czynnik nie znikał dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Przenieś ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W tym przypadku dość łatwo jest zorientować się, jaki dodatkowy czynnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to mnożnik a 0,3, ponieważ 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Zwróć uwagę, że na zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) stopień a 0,3 nie zanika, dlatego mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danego ułamka przez ten dodatkowy czynnik:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, stwierdzamy, że

a pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę sześcianów i , czyli . I to jest nowy mianownik, do którego musimy wprowadzić pierwotny ułamek.

Więc znaleźliśmy dodatkowy czynnik. Wyrażenie nie znika w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x i y, dlatego możemy przez nie pomnożyć licznik i mianownik ułamka:

Odpowiadać:

a) , b) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających stopnie: licznik i mianownik są reprezentowane jako pewna liczba czynników, a te same czynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Zmniejsz ułamek: a) , b).

Rozwiązanie.

a) Najpierw licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co daje 15. Oczywiście możesz też zmniejszyć o x 0,5 +1 io . Oto, co mamy:

b) W tym przypadku te same czynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je zdobyć, musisz wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki według wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiadać:

a)

b) .

Redukcja ułamków do nowego mianownika i redukcja ułamków służy głównie do wykonywania operacji na ułamkach. Akcje wykonywane są według znanych reguł. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), a mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, łączymy je ze wspólnym mianownikiem, którym jest , a następnie odejmij liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwe jest zmniejszenie o potęgę x 1/2, po czym mamy .

Możesz również uprościć wyrażenie potęgowe w mianowniku, używając wzoru różnicy kwadratów: .

Odpowiadać:

Przykład.

Uprość ekspresję mocy .

Rozwiązanie.

Oczywiście ten ułamek można zmniejszyć o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Jasne jest, że z potęgami x trzeba zrobić coś jeszcze. Aby to zrobić, konwertujemy powstałą frakcję na produkt. Daje nam to możliwość skorzystania z właściwości dzielenia potęg o tych samych podstawach: . A pod koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.

Odpowiadać:

.

I dodajemy, że możliwe i w wielu przypadkach pożądane jest przeniesienie współczynników z ujemnymi wykładnikami z licznika na mianownik lub z mianownika na licznik poprzez zmianę znaku wykładnika. Takie przekształcenia często upraszczają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgowe można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, wraz ze stopniami z wykładnikami ułamkowymi, występują również pierwiastki. Aby przekonwertować takie wyrażenie na właściwy rodzaj, w większości przypadków wystarczy przejść tylko do korzeni lub tylko do potęg. Ale ponieważ wygodniej jest pracować ze stopniami, zwykle przechodzą od korzeni do stopni. Wskazane jest jednak przeprowadzenie takiego przejścia, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków stopniami bez konieczności dostępu do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów (omówiliśmy to szczegółowo w artykuł, przejście od pierwiastków do potęg i na odwrót Po zapoznaniu się ze stopniem z wykładnikiem wymiernym wprowadza się stopień ze wskaźnikiem irracjonalnym, co pozwala mówić o stopniu z dowolnym wskaźnikiem rzeczywistym. szkoła zaczyna się uczyć funkcja wykładnicza, który analitycznie podaje stopień, na podstawie którego znajduje się liczba, a we wskaźniku zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie stopnia, aw wykładniku - wyrażenia ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba wykonania przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przekształcenie wyrażeń wskazanego typu zwykle musi być wykonane przy rozwiązywaniu równania wykładnicze oraz wykładnicze nierówności , a te przekształcenia są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków opierają się na właściwościach stopnia i mają na celu przede wszystkim wprowadzenie nowej zmiennej w przyszłości. Równanie pozwoli nam je zademonstrować 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najpierw wykładniki, w których wykładnikach znajduje się suma jakiejś zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczba, są zastępowane przez iloczyny. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie strony równości są dzielone przez wyrażenie 7 2 x , które przyjmuje tylko dodatnie wartości zmiennej ODZ x dla pierwotnego równania (jest to standardowa technika rozwiązywania tego rodzaju równań, nie mówimy o tym to teraz, więc skup się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami ):

Teraz ułamki z potęgami są anulowane, co daje .

Ostatecznie iloraz potęg z tymi samymi wykładnikami zostaje zastąpiony potęgami ilorazów, co prowadzi do równania , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego

I. V. Boikov, L. D. Romanova Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu. Część 1. Penza 2003.

Rodzaj lekcji: lekcja generalizacji i systematyzacji wiedzy

Cele:

• edukacyjny- powtarzać definicję stopnia, zasady mnożenia i dzielenia stopni, podnosić stopień do stopnia, utrwalać umiejętność rozwiązywania przykładów zawierających stopnie,
• rozwój- rozwój logicznego myślenia uczniów, zainteresowanie przerabianym materiałem,
• edukować- kształtowanie odpowiedzialnego podejścia do uczenia się, kultury komunikacji, poczucia kolektywizmu.

Ekwipunek: komputer, projektor multimedialny, tablica interaktywna, prezentacja „Stopnie” do liczenia ustnego, karty zadań, materiały informacyjne.

Plan lekcji:

1. Organizowanie czasu.
2. Powtórzenie zasad
3. Liczenie słowne.
4. Odniesienie do historii.
5. Praca na tablicy.
6. Fizkultminutka.
7. Pracuj na tablicy interaktywnej.
8. Niezależna praca.
9. Praca domowa.
10. Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

Prezentacja tematu i celów lekcji.

Na poprzednich lekcjach odkryłeś cudowny świat stopni, nauczyli się mnożyć i dzielić stopnie, podnosić je do potęgi. Dziś musimy utrwalić zdobytą wiedzę, rozwiązując przykłady.

II. Powtórzenie zasad(doustnie)

1. Podaj definicję stopnia z naturalnym wskaźnikiem? (przez potęgę liczby a z wykładnikiem naturalnym większym niż 1 nazywamy iloczynem n mnożniki, z których każdy jest równy a.)
2. Jak pomnożyć dwie potęgi? (Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, musisz pozostawić tę samą podstawę i dodać wykładniki.)
3. Jak podzielić stopień na stopień? (Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, musisz pozostawić tę samą podstawę i odjąć wykładniki.)
4. Jak podnieść produkt do potęgi? (Aby podnieść produkt do potęgi, musisz podnieść każdy czynnik do tej potęgi)
5. Jak podnieść stopień do stopnia? (Aby podnieść potęgę do potęgi, musisz pozostawić tę samą podstawę i pomnożyć wykładniki)

III. Liczenie słowne(multimedialnie)

IV. Odniesienie do historii

Wszystkie problemy pochodzą z papirusu Ahmesa, który został napisany około 1650 roku p.n.e. mi. związane z praktyką budowlaną, wytyczeniem działek itp. Zadania pogrupowane są tematycznie. W większości są to zadania polegające na znalezieniu obszarów trójkąta, czworokątów i okręgu, różne działania z liczbami całkowitymi i ułamkami, podział proporcjonalny, znajdowanie stosunków, jest też podniesienie do różne stopnie, rozwiązanie równań pierwszego i drugiego stopnia z jedną niewiadomą.

Nie ma absolutnie żadnych wyjaśnień ani dowodów. Pożądany wynik jest podawany bezpośrednio lub podaje krótki algorytm jego obliczenia. Ten sposób prezentacji, typowy dla nauki krajów starożytnego Wschodu, sugeruje, że matematyka rozwijała się tam za pomocą uogólnień i przypuszczeń, które nie tworzyły żadnej ogólnej teorii. Jednak w papirusie znajduje się wiele dowodów na to, że egipscy matematycy byli w stanie wydobywać pierwiastki i wznosić się do potęgi, rozwiązywać równania, a nawet posiadali podstawy algebry.

V. Praca na tablicy

Znajdź wartość wyrażenia w sposób racjonalny:

Oblicz wartość wyrażenia:

VI. Minuta wychowania fizycznego

1. dla oczu
2. na szyję
3. dla rąk
4. dla tułowia
5. na nogi

VII. Rozwiązywanie problemów(z wyświetlaczem tablicy interaktywnej)

Czy pierwiastek równania jest liczbą dodatnią?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Niezależna praca

IX. Praca domowa

X. Podsumowanie lekcji

Analiza wyników, ogłoszenie ocen.

Zdobytą wiedzę o stopniach wykorzystamy do rozwiązywania równań, problemów w szkole średniej, a także często spotykanych na egzaminie.

I. Praca n czynniki, z których każdy jest równy a nazywa n-ta potęga liczby a i oznaczone an.

Przykłady. Napisz produkt jako stopień.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cm3; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Rozwiązanie.

1) mmmm=m 4, ponieważ z definicji stopnia iloczyn czterech czynników, z których każdy jest równy m, będzie czwarta potęga m.

2) aaabb=a3b2; 3) 5 5 5 5 ccc = 5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .

II. Operacja, za pomocą której znajduje się iloczyn kilku równych czynników, nazywa się potęgowaniem. Liczba podniesiona do potęgi nazywana jest podstawą potęgi. Liczba, która wskazuje, do jakiej potęgi podnosi się podstawa, nazywana jest wykładnikiem. Więc, an- stopień, a- podstawa stopnia n- wykładnik. Na przykład:

2 3 — to jest stopień. Numer 2 - podstawa stopnia, wykładnik jest równy 3 . Wartość stopnia 2 3 równa się 8, dlatego 2 3=2 2 2=8.

Przykłady. Napisz następujące wyrażenia bez wykładnika.

5) 4 3 ; 6) a3b2c3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Rozwiązanie.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. i 0 =1 Każda liczba (z wyjątkiem zera) do potęgi zerowej jest równa jeden. Na przykład 25 0 =1.
IV. a 1 = aKażda liczba do pierwszej potęgi jest sobie równa.

v. jestem∙ jakiś= jestem + n Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki zsumować.

Przykłady. Uproszczać:

9) a 3 a 7; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c2c0cc4.

Rozwiązanie.

9) 3 7=a1+3+7 =a11; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b2+3=1+b5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. jestem: jakiś= jestem - nPodczas dzielenia potęgi o tej samej podstawie podstawa pozostaje taka sama, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dywidendy.

Przykłady. Uproszczać:

12) 8: 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) 8: 3=a8-3 =a5; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7 ; czternaście ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (jestem) n= amni Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone.

Przykłady. Uproszczać:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a3) ​​4=a3 4 =a12; 16) (c 5) 2=c5 2 =c10.

Notatka, który, ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, następnie:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Podnosząc produkt do potęgi, każdy z czynników jest podnoszony do tej potęgi.

Przykłady. Uproszczać:

17) (2a2) 5; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .

Rozwiązanie.

17) (2a2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0,2 5) 6 = 1 6 = 1;

19) 0,25 2 40 2\u003d (0,25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

IX. Podnosząc ułamek do potęgi, zarówno licznik, jak i mianownik ułamka są podnoszone do tej potęgi.

Przykłady. Uproszczać:

Rozwiązanie.

Strona 1 z 1 1

Lekcja na ten temat: „Zasady mnożenia i dzielenia potęg z tymi samymi i różnymi wykładnikami. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Podręcznik do podręcznika Yu.N. Makarycheva Podręcznik do podręcznika A.G. Mordkovich

Cel lekcji: nauczyć się wykonywać operacje na potęgach liczby.

Na początek przypomnijmy pojęcie „potęgi liczby”. Wyrażenie takie jak $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ może być reprezentowane jako $a^n$.

Odwrotność też jest prawdziwa: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ta równość nazywana jest „rejestrowaniem stopnia jako iloczynu”. Pomoże nam ustalić, jak mnożyć i dzielić władzę.
Pamiętać:
a- podstawa stopnia.
n- wykładnik.
Jeśli n=1, co oznacza liczbę a wzięte raz i odpowiednio: $a^n= 1$.
Jeśli n=0, a następnie $a^0= 1$.

Dlaczego tak się dzieje, dowiemy się, gdy zapoznamy się z zasadami mnożenia i dzielenia potęgi.

zasady mnożenia

a) Jeśli potęgi o tej samej podstawie są mnożone.
Do $a^n * a^m$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Rysunek pokazuje, że liczba a wziąłem n+m razy, to $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Przykład.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ta właściwość jest wygodna w użyciu, aby uprościć pracę przy podnoszeniu liczby do dużej potęgi.
Przykład.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jeśli potęgi są pomnożone przez inną podstawę, ale ten sam wykładnik.
Do $a^n * b^n$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Jeśli zamienimy czynniki i policzymy powstałe pary, otrzymamy: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Czyli $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Przykład.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

zasady podziału

a) Podstawa stopnia jest taka sama, wykładniki są różne.
Rozważ podzielenie stopnia z większym wykładnikiem, dzieląc stopień przez mniejszy wykładnik.

Więc to jest konieczne $\frac(a^n)(a^m)$, gdzie n>m.

Stopnie zapisujemy jako ułamek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Dla wygody zapisujemy podział jako ułamek prosty.

Teraz zmniejszmy ułamek.

Okazuje się: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Oznacza, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ta właściwość pomoże wyjaśnić sytuację z podniesieniem liczby do potęgi zerowej. Załóżmy, że n=m, to $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Przykłady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Podstawy stopni są różne, wskaźniki są takie same.
Załóżmy, że potrzebujesz $\frac(a^n)( b^n)$. Potęgi liczb zapisujemy jako ułamek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Wyobraźmy sobie dla wygody.

Korzystając z właściwości ułamków, dzielimy dużą część na iloczyn małych, które otrzymujemy.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Odpowiednio: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Przykład.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.