Potęgowanie, reguły, przykłady. Potęgowanie

Kontynuując rozmowę o stopniu liczby, logiczne jest zajęcie się znalezieniem wartości stopnia. Ten proces został nazwany potęgowanie. W tym artykule po prostu zbadamy, jak odbywa się potęgowanie, dotykając wszystkich możliwych wykładników - naturalnych, całkowitych, racjonalnych i irracjonalnych. I zgodnie z tradycją szczegółowo rozważymy rozwiązania przykładów podnoszenia liczb w różnym stopniu.

Nawigacja po stronach.

Co oznacza „potęgowanie”?

Zacznijmy od wyjaśnienia, co nazywa się potęgowaniem. Oto odpowiednia definicja.

Definicja.

Potęgowanie jest znalezienie wartości potęgi liczby.

Zatem znalezienie wartości potęgi a z wykładnikiem r i podniesienie liczby a do potęgi r to to samo. Na przykład, jeśli zadaniem jest „oblicz wartość potęgi (0,5) 5”, to można je przeformułować w następujący sposób: „Podnieś liczbę 0,5 do potęgi 5”.

Teraz możesz przejść bezpośrednio do reguł, według których odbywa się potęgowanie.

Podnoszenie liczby do naturalnej siły

W praktyce równość na podstawie jest zwykle stosowana w postaci . Oznacza to, że podnosząc liczbę a do potęgi ułamkowej m / n, najpierw wyodrębnia się pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, po czym wynik jest podnoszony do potęgi całkowitej m.

Rozważ rozwiązania przykładów podnoszenia do potęgi ułamkowej.

Przykład.

Oblicz wartość stopnia.

Rozwiązanie.

Pokazujemy dwa rozwiązania.

Pierwszy sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Obliczamy wartość stopnia pod znakiem pierwiastka, po czym wyodrębniamy pierwiastek sześcienny: .

Drugi sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i na podstawie właściwości pierwiastków, równości są prawdziwe . Teraz wyodrębnij korzeń Na koniec podnosimy do potęgi całkowitej .

Oczywiście otrzymane wyniki podniesienia do potęgi ułamkowej pokrywają się.

Odpowiadać:

Zwróć uwagę, że wykładnik ułamkowy może być zapisany jako ułamek dziesiętny lub liczba mieszana, w takich przypadkach należy go zastąpić odpowiednim ułamkiem zwykłym, a następnie wykonać potęgowanie.

Przykład.

Oblicz (44,89) 2.5 .

Rozwiązanie.

Piszemy wykładnik w postaci zwykłego ułamka (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): . Teraz podbijamy do potęgi ułamkowej:

Odpowiadać:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Należy również powiedzieć, że podnoszenie liczb do potęg wymiernych jest dość pracochłonnym procesem (zwłaszcza, gdy licznik i mianownik wykładnika ułamkowego są dość duże), który zwykle przeprowadza się przy użyciu technologii komputerowej.

Na zakończenie tego akapitu zajmiemy się konstruowaniem liczby zero do potęgi ułamkowej. Ułamkowemu stopniowi zera postaci nadaliśmy następujące znaczenie: bo mamy , natomiast zero do potęgi m/n nie jest zdefiniowane. Tak więc zero do dodatniej potęgi ułamkowej to zero, na przykład . A zero w ułamkowej potędze ujemnej nie ma sensu, na przykład wyrażenia i 0-4,3 nie mają sensu.

Wznoszenie do irracjonalnej potęgi

Czasami konieczne jest ustalenie wartości stopnia liczby z niewymiernym wykładnikiem. W takim przypadku ze względów praktycznych zwykle wystarczy uzyskać wartość stopnia do określonego znaku. Od razu zauważamy, że w praktyce wartość ta jest obliczana za pomocą technologii obliczeń elektronicznych, ponieważ ręczne podnoszenie do nieracjonalnej potęgi wymaga dużej liczby kłopotliwych obliczeń. Niemniej jednak opiszemy ogólnie istotę działań.

Aby uzyskać przybliżoną wartość wykładnika a z wykładnikiem niewymiernym, pobierane jest przybliżenie dziesiętne wykładnika i obliczana jest wartość wykładnika. Ta wartość jest przybliżoną wartością stopnia liczby a z niewymiernym wykładnikiem. Im dokładniejsze zostanie początkowe przybliżenie dziesiętne liczby, tym dokładniejsza zostanie uzyskana wartość stopnia na końcu.

Jako przykład obliczmy przybliżoną wartość potęgi 2 1.174367... . Przyjmijmy następujące przybliżenie dziesiętne wskaźnika irracjonalnego: . Teraz podnosimy 2 do potęgi wymiernej 1,17 (istotę tego procesu opisaliśmy w poprzednim akapicie), otrzymujemy 2 1,17 ≈ 2,250116 . W ten sposób, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jeśli weźmiemy dokładniejsze przybliżenie dziesiętne niewymiernego wykładnika, na przykład , otrzymamy dokładniejszą wartość oryginalnego stopnia: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki Zh na 5 komórek. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 7 komórek. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 9 komórek. instytucje edukacyjne.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Wykładnik służy do ułatwienia napisania operacji samodzielnego mnożenia liczby. Na przykład zamiast pisać, możesz pisać 4 5 (\displaystyle 4^(5))(wyjaśnienie takiego przejścia znajduje się w pierwszej części tego artykułu). Moce ułatwiają pisanie długich lub złożonych wyrażeń lub równań; ponadto, potęgi są łatwo dodawane i odejmowane, co prowadzi do uproszczenia wyrażenia lub równania (na przykład 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notatka: jeśli potrzebujesz rozwiązać równanie wykładnicze (w takim równaniu niewiadoma jest w wykładniku), przeczytaj.

Kroki

Rozwiązywanie prostych problemów z uprawnieniami

Pomnóż podstawę wykładnika przez samą liczbę razy równą wykładnikowi. Jeśli musisz rozwiązać problem z wykładnikami ręcznie, przepisz wykładnik jako operację mnożenia, w której podstawa wykładnika jest mnożona przez siebie. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień 3 4 (\displaystyle 3^(4)). W tym przypadku podstawa stopnia 3 musi zostać pomnożona przez siebie 4 razy: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Oto inne przykłady:

Najpierw pomnóż pierwsze dwie liczby. Na przykład, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nie martw się – proces kalkulacji nie jest tak skomplikowany, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Najpierw pomnóż pierwsze dwie czwórki, a następnie zastąp je wynikiem. Lubię to:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnóż wynik (16 w naszym przykładzie) przez następną liczbę. Każdy kolejny wynik wzrośnie proporcjonalnie. W naszym przykładzie pomnóż 16 przez 4. W ten sposób:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Kontynuuj pomnożenie wyniku pomnożenia pierwszych dwóch liczb przez następną liczbę, aż otrzymasz ostateczną odpowiedź. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze dwie liczby, a następnie pomnóż wynik przez następną liczbę w sekwencji. Ta metoda jest ważna dla każdego stopnia. W naszym przykładzie powinieneś otrzymać: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Rozwiąż następujące problemy. Sprawdź swoją odpowiedź za pomocą kalkulatora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulatorze poszukaj klucza oznaczonego „exp” lub „ x n (\displaystyle x^(n))” lub „^”. Za pomocą tego klucza podniesiesz liczbę do potęgi. Praktycznie niemożliwe jest ręczne obliczenie stopnia z dużym wykładnikiem (na przykład stopień 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ale kalkulator bez problemu poradzi sobie z tym zadaniem. W systemie Windows 7 standardowy kalkulator można przełączyć w tryb inżynierski; w tym celu kliknij „Widok” -\u003e „Inżynieria”. Aby przejść do trybu normalnego, kliknij „Widok” -\u003e „Normalny”.

   • Sprawdź otrzymaną odpowiedź za pomocą wyszukiwarki (Google lub Yandex). Używając klawisza „^” na klawiaturze komputera wprowadź wyrażenie do wyszukiwarki, która natychmiast wyświetli poprawną odpowiedź (i ewentualnie zaproponuje podobne wyrażenia do przestudiowania).

   Dodawanie, odejmowanie, mnożenie potęgi

   1. Możesz dodawać i odejmować moce tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę. Jeśli chcesz dodać potęgi o tych samych podstawach i wykładnikach, możesz zastąpić operację dodawania operacją mnożenia. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pamiętaj, że stopień 4 5 (\displaystyle 4^(5)) można przedstawić jako 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); zatem, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdzie 1+1 =2). Oznacza to, że policz liczbę podobnych stopni, a następnie pomnóż taki stopień i tę liczbę. W naszym przykładzie podnieś 4 do potęgi piątej, a następnie pomnóż wynik przez 2. Pamiętaj, że operację dodawania można zastąpić operacją mnożenia, na przykład 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Oto inne przykłady:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są dodawane (podstawa się nie zmienia). Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). W takim przypadku wystarczy dodać wskaźniki, pozostawiając bazę bez zmian. W ten sposób, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Oto wizualne wyjaśnienie tej zasady:

      Przy podnoszeniu potęgi do potęgi wykładniki są mnożone. Na przykład otrzymał stopień naukowy. Ponieważ wykładniki są mnożone, to (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Znaczenie tej zasady jest takie, że pomnażasz moc (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na siebie pięć razy. Lubię to:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Ponieważ podstawa jest taka sama, wykładniki po prostu sumują się: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Wykładnik z wykładnikiem ujemnym należy zamienić na ułamek (na potęgę odwrotną). Nie ma znaczenia, jeśli nie wiesz, co to jest wzajemność. Jeśli otrzymasz dyplom z ujemnym wykładnikiem, na przykład, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), wpisz tę potęgę w mianowniku ułamka (wstaw 1 w licznik) i ustaw dodatni wykładnik. W naszym przykładzie: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Oto inne przykłady:

      Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane (podstawa się nie zmienia). Operacja dzielenia jest przeciwieństwem operacji mnożenia. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Odejmij wykładnik w mianowniku od wykładnika w liczniku (nie zmieniaj podstawy). W ten sposób, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stopień w mianowniku można zapisać w następujący sposób: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Pamiętaj, że ułamek to liczba (potęga, wyrażenie) z ujemnym wykładnikiem.

   4. Poniżej znajduje się kilka wyrażeń, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać problemy z zasilaniem. Powyższe wyrażenia obejmują materiał prezentowany w tej sekcji. Aby zobaczyć odpowiedź, wystarczy zaznaczyć puste miejsce po znaku równości.

   Rozwiązywanie problemów z wykładnikami ułamkowymi

   Stopień z wykładnikiem ułamkowym (na przykład ) jest konwertowany na operację wyodrębniania pierwiastka. W naszym przykładzie: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nie ma znaczenia, jaka liczba znajduje się w mianowniku wykładnika ułamkowego. Na przykład, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) jest czwartym pierwiastkiem „x” x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jeśli wykładnik jest ułamkiem niewłaściwym, to taki wykładnik można rozłożyć na dwie potęgi, aby uprościć rozwiązanie problemu. Nie ma w tym nic skomplikowanego - pamiętaj tylko o zasadzie mnożenia potęgi. Na przykład otrzymał stopień naukowy. Zamień ten wykładnik na pierwiastek, którego wykładnik jest równy mianownikowi wykładnika ułamkowego, a następnie podnieś ten pierwiastek do wykładnika równego licznikowi wykładnika ułamkowego. Aby to zrobić, pamiętaj, że 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). W naszym przykładzie:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Niektóre kalkulatory mają przycisk do obliczania wykładników (najpierw musisz wprowadzić podstawę, następnie nacisnąć przycisk, a następnie wprowadzić wykładnik). Jest oznaczony jako ^ lub x^y.
   3. Pamiętaj, że dowolna liczba jest równa pierwszej potędze, na przykład 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Co więcej, każda liczba pomnożona lub podzielona przez jeden jest sobie równa, na przykład 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) oraz 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Wiedz, że stopień 0 0 nie istnieje (taki stopień nie ma rozwiązania). Kiedy spróbujesz rozwiązać taki stopień na kalkulatorze lub na komputerze, otrzymasz błąd. Pamiętaj jednak, że dowolna liczba do potęgi zera jest równa 1, na przykład 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. W matematyce wyższej, która operuje liczbami urojonymi: e a ja x = c o s a x + ja s ja n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), gdzie i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e jest stałą w przybliżeniu równą 2,7; a jest dowolną stałą. Dowód tej równości można znaleźć w każdym podręczniku matematyki wyższej.

   Ostrzeżenia

   • Wraz ze wzrostem wykładnika jego wartość znacznie wzrasta. Dlatego jeśli odpowiedź wydaje Ci się błędna, w rzeczywistości może okazać się prawdziwa. Możesz to sprawdzić, wykreślając dowolną funkcję wykładniczą, taką jak 2 x .

Liczba podniesiona do potęgi zadzwoń pod numer, który jest kilkakrotnie przez siebie pomnożony.

Potęga liczby o wartości ujemnej (jakiś) można zdefiniować w taki sam sposób, jak określa się stopień tej samej liczby z dodatnim wykładnikiem (jakiś) . Wymaga to jednak również dodatkowej definicji. Formuła jest zdefiniowana jako:

jakiś = (1 / za n)

Właściwości ujemnych wartości potęg liczb są podobne do potęg z dodatnim wykładnikiem. Reprezentowane równanie a m / n = m-n może być uczciwa jak

« Nigdzie, tak jak w matematyce, klarowność i dokładność wniosku nie pozwala na ucieczkę od odpowiedzi poprzez mówienie wokół pytania.».

A. D. Aleksandrow

w n jeszcze m , jak również m jeszcze n . Spójrzmy na przykład: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Najpierw musisz określić liczbę, która jest definicją stopnia. b=a(-n) . W tym przykładzie -n jest wskaźnikiem stopnia b - pożądana wartość liczbowa, a - podstawa stopnia jako naturalna wartość liczbowa. Następnie określ moduł, czyli bezwzględną wartość liczby ujemnej, która pełni rolę wykładnika. Oblicz stopień podanej liczby w stosunku do liczby bezwzględnej jako wskaźnika. Wartość stopnia znajduje się dzieląc jeden przez wynikową liczbę.

Ryż. jeden

Rozważ potęgę liczby z ujemnym wykładnikiem ułamkowym. Wyobraź sobie, że liczba a jest dowolną liczbą dodatnią, liczby n oraz m - liczby całkowite. Zgodnie z definicją a , który jest podniesiony do potęgi - równa się jedynce podzielonej przez tę samą liczbę z dodatnim stopniem (rys. 1). Gdy potęgą liczby jest ułamek, to w takich przypadkach używane są tylko liczby z dodatnimi wykładnikami.

Warto pamiętaćże zero nigdy nie może być wykładnikiem liczby (zasada dzielenia przez zero).

Rozpowszechnienie takiej koncepcji jako liczby zapoczątkowało takie manipulacje, jak obliczenia pomiarowe, a także rozwój matematyki jako nauki. Wprowadzenie wartości ujemnych było spowodowane rozwojem algebry, która dawała ogólne rozwiązania problemów arytmetycznych, niezależnie od ich konkretnego znaczenia i początkowych danych liczbowych. W Indiach, w VI-XI wieku, ujemne wartości liczb były systematycznie używane przy rozwiązywaniu problemów i były interpretowane w taki sam sposób, jak dzisiaj. W nauce europejskiej liczby ujemne zaczęły być szeroko stosowane dzięki R. Descartesowi, który podał geometryczną interpretację liczb ujemnych jako kierunków segmentów. To Kartezjusz zasugerował, aby liczba podniesiona do potęgi była przedstawiana jako dwupiętrowa formuła jakiś .

W jednym z poprzednich artykułów wspomnieliśmy już o stopniu liczby. Dziś postaramy się nawigować w procesie odnajdywania jego znaczenia. Mówiąc naukowo, dowiemy się, jak prawidłowo eksponować. Zrozumiemy, jak przebiega ten proces, dotykając jednocześnie wszystkich możliwych wykładników: naturalnego, irracjonalnego, racjonalnego, całościowego.

Przyjrzyjmy się więc bliżej rozwiązaniom przykładów i dowiedzmy się, co to oznacza:

1. Definicja pojęcia.
2. Wychowanie do sztuki negatywnej.
3. Cały wynik.
4. Podnoszenie liczby do irracjonalnej potęgi.

Oto definicja, która dokładnie oddaje znaczenie: „Podniesienie do potęgi jest definicją wartości stopnia liczby”.

W związku z powyższym konstrukcja liczby a w art. r oraz proces znajdowania wartości stopnia a z wykładnikiem r to pojęcia identyczne. Na przykład, jeśli zadaniem jest obliczenie wartości stopnia (0,6) 6 ″, można go uprościć do wyrażenia „Podnieś liczbę 0,6 do potęgi 6”.

Następnie możesz przejść bezpośrednio do zasad budowy.

Wznoszenie do negatywnej mocy

Dla jasności powinieneś zwrócić uwagę na następujący łańcuch wyrażeń:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 w minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 w minus 2 krokach.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0.00001=1*10 do minus 4 stopni.

Dzięki tym przykładom wyraźnie widać możliwość natychmiastowego obliczenia 10 na dowolną ujemną moc. W tym celu wystarczy po prostu przesunąć składową dziesiętną:

• 10 do -1 stopnia - przed jednostką 1 zero;
• w -3 - trzy zera przed jednym;
• -9 to 9 zer i tak dalej.

Zgodnie z tym schematem łatwo jest również zrozumieć, ile będzie 10 minus 5 łyżek. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Jak podnieść liczbę do naturalnej siły

Przywołując definicję, bierzemy pod uwagę, że liczba naturalna a w art. n równa się iloczynowi n czynników, z których każdy jest równy a. Zilustrujmy: (a * a * ... a) n, gdzie n jest liczbą pomnożonych liczb. W związku z tym, aby podnieść a do n, należy obliczyć iloczyn postaci: a * a * ... i podzielić przez n razy.

Stąd staje się oczywiste, że erekcja w sztuce przyrodniczej. polega na umiejętności wykonywania mnożenia(ten materiał jest omówiony w rozdziale o mnożeniu liczb rzeczywistych). Spójrzmy na problem:

Podnieś -2 do czwartej łyżki.

Mamy do czynienia z naturalnym wskaźnikiem. W związku z tym przebieg rozstrzygnięcia będzie następujący: (-2) w art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Teraz pozostaje tylko wykonać mnożenie liczb całkowitych: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Dostajemy 16.

Odpowiedz na zadanie:

(-2) w art. 4=16.

Przykład:

Oblicz wartość: trzy przecinek dwa siódme do kwadratu.

Ten przykład jest równy następującemu iloczynowi: trzy przecinek dwa siódmy razy trzy przecinek dwa siódmy. Pamiętając, jak przebiega mnożenie liczb mieszanych, uzupełniamy konstrukcję:

• 3 całe 2 siódme pomnożone przez siebie;
• równa się 23 siódme razy 23 siódme;
• równa się 529 czterdzieści dziewiątych;
• zmniejszamy i otrzymujemy 10 trzydzieści dziewięć czterdzieści dziewiątych.

Odpowiadać: 10 39/49

W odniesieniu do kwestii podniesienia do wskaźnika nieracjonalnego należy zauważyć, że obliczenia zaczynają być prowadzone po zakończeniu wstępnego zaokrąglania podstawy stopnia do pewnej rangi, która pozwoliłaby na uzyskanie wartości o danej precyzja. Na przykład musimy podnieść do kwadratu liczbę P (pi).

Zaczynamy od zaokrąglenia P do setnych i otrzymujemy:

P do kwadratu \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Jeśli jednak zmniejszymy P do dziesięciotysięcznych, otrzymamy P = 3,14159. Wtedy kwadrat otrzymuje zupełnie inną liczbę: 9.8695877281.

Należy tutaj zauważyć, że w wielu problemach nie ma potrzeby podnoszenia liczb niewymiernych do potęgi. Z reguły odpowiedź jest wprowadzana albo w postaci stopnia, na przykład pierwiastka z 6 do potęgi 3, albo, jeśli wyrażenie na to pozwala, przeprowadza się jego transformację: pierwiastek z 5 do 7 stopni \u003d 125 pierwiastka z 5.

Jak podnieść liczbę do potęgi całkowitej

Ta manipulacja algebraiczna jest odpowiednia weź pod uwagę w następujących przypadkach:

• dla liczb całkowitych;
• dla wskaźnika zerowego;
• dla dodatniej liczby całkowitej.

Ponieważ prawie wszystkie dodatnie liczby całkowite pokrywają się z masą liczb naturalnych, ustawienie jej na dodatnią potęgę całkowitą jest tym samym procesem, co ustawienie jej w art. naturalny. Opisaliśmy ten proces w poprzednim akapicie.

Porozmawiajmy teraz o obliczeniu art. zero. Dowiedzieliśmy się już powyżej, że potęgę zerową liczby a można wyznaczyć dla dowolnej niezerowej a (rzeczywistej), natomiast a w st. 0 będzie równe 1.

W związku z tym konstrukcja dowolnej liczby rzeczywistej do zera sztuki. da jeden.

Na przykład 10 w st.0=1, (-3,65)0=1 i 0 w st. 0 nie można określić.

Aby uzupełnić potęgowanie do potęgi całkowitej, pozostaje zdecydować się na opcje dla ujemnych wartości całkowitych. Pamiętamy, że art. od a z wykładnikiem całkowitym -z zostanie zdefiniowany jako ułamek. W mianowniku ułamka znajduje się art. z dodatnią liczbą całkowitą, której wartość nauczyliśmy się już znajdować. Teraz pozostaje tylko rozważyć przykład konstrukcji.

Przykład:

Oblicz wartość liczby 2 do sześcianu z ujemną liczbą całkowitą.

Proces rozwiązania:

Zgodnie z definicją stopnia ze wskaźnikiem ujemnym oznaczamy: dwa na minus 3 łyżki. równa się jeden do dwóch do potęgi trzeciej.

Mianownik jest obliczany po prostu: dwa do sześcianu;

3 = 2*2*2=8.

Odpowiadać: dwa do minus 3 łyżki. = jedna ósma.

Jak wiecie, w matematyce są nie tylko liczby dodatnie, ale także ujemne. Jeśli znajomość stopni dodatnich zaczyna się od określenia pola kwadratu, to przy ujemnych wszystko jest nieco bardziej skomplikowane.

Powinno to być znane:

1. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej jest mnożeniem liczby (pojęcie liczby i liczby w artykule będą uważane za równoważne) przez samą siebie w takiej ilości, jak wykładnik (w dalszej części użyjemy wskaźnika słownego w równolegle i prosto). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Ogólnie wygląda to tak: m^n = m*m*m*…*m (n razy).
2. Należy pamiętać, że gdy liczba ujemna zostanie podniesiona do potęgi naturalnej, stanie się dodatnia, jeśli wykładnik jest parzysty.
3. Podniesienie liczby do wykładnika 0 daje jednostkę, pod warunkiem, że nie jest ona równa zero. Zero do potęgi zera jest uważane za nieokreślone. 17^0 = 1.
4. Wyciągnięcie pierwiastka pewnego stopnia z liczby nazywamy znalezieniem liczby, która po podniesieniu do odpowiedniego wskaźnika da pożądaną wartość. Zatem pierwiastek sześcienny z 125 to 5, ponieważ 5^3 = 125.
5. Jeśli chcesz podnieść liczbę do dodatniej potęgi ułamkowej, musisz podnieść liczbę do mianownika i wyciągnąć z niej pierwiastek licznika. 6^5/7 = siódmy pierwiastek z 6*6*6*6*6.
6. Jeśli chcesz podnieść liczbę do ujemnego wykładnika, musisz znaleźć odwrotność tej. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Podnoszenie liczby do ujemnego modulo mocy od zera do jedynki

Po pierwsze musimy pamiętać co to jest moduł. Jest to odległość na linii współrzędnych od wybranej przez nas wartości do początku (zero linii współrzędnych). Z definicji nigdy nie może być ujemna.

Wartość większa od zera

Przy wartości cyfry w zakresie od zera do jednego wskaźnik ujemny daje wzrost samej cyfry. Dzieje się tak, ponieważ mianownik maleje, pozostając dodatnim.

Spójrzmy na przykłady:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Co więcej, im większy moduł wskaźnika, tym aktywniej rośnie liczba. Ponieważ mianownik dąży do zera, sam ułamek ma tendencję do plus nieskończoność.

Wartość mniejsza od zera

Teraz spójrzmy, jak podnieść do potęgi ujemnej, jeśli liczba jest mniejsza od zera. Zasada jest taka sama jak w poprzedniej części, ale tutaj znak wykładnika ma znaczenie.

Ponownie spójrzmy na przykłady:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

W tym przypadku widzimy, że moduł nadal się rozwija, ale znak zależy od tego, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty.

Należy zauważyć, że jeśli zbudujemy jednostkę, zawsze pozostanie ona sobą. Jeśli musisz podnieść liczbę minus jeden, to przy parzystym wykładniku zmieni się w jeden, przy nieparzystym pozostanie minus jeden.

Podnoszenie do ujemnej potęgi całkowitej, jeśli moduł jest większy niż jeden

Dla cyfr, których moduł jest większy niż jeden, mają swoje własne cechy działania. Przede wszystkim musisz zamienić całą część ułamka na licznik, czyli zamienić go na ułamek niewłaściwy. Jeśli mamy ułamek dziesiętny, to należy go przekonwertować na zwykły. Odbywa się to w następujący sposób:

• 6 liczb całkowitych 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Teraz zastanów się, jak w tych warunkach podnieść liczbę do potęgi ujemnej. Już z powyższego możemy założyć, czego powinniśmy się spodziewać po wyniku obliczeń. Ponieważ podwójny ułamek jest odwracany podczas uproszczeń, moduł cyfry będzie się zmniejszał tym szybciej, im większy jest moduł wskaźnika.

Najpierw rozważ sytuację, w której podana liczba jest dodatnia.

Przede wszystkim staje się jasne, że wynik końcowy będzie większy od zera, ponieważ podzielenie dwóch pozytywów zawsze daje wynik pozytywny. Ponownie spójrzmy na przykłady, jak to się robi:

• 6 liczb całkowitych 1/20 do minus piątej potęgi = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Jak widać, działania nie powodują szczególnych trudności, a wszystkie nasze wstępne założenia okazały się prawdziwe.

Teraz przechodzimy do przypadku cyfry ujemnej.

Na początek możemy założyć, że jeśli wskaźnik jest parzysty, to wynik będzie dodatni, jeśli wskaźnik jest nieparzysty, to wynik będzie ujemny. Wszystkie nasze poprzednie obliczenia w tej części będą teraz uważane za ważne. Przyjrzyjmy się raz jeszcze przykładom:

• -3 liczba całkowita 1/2 do minus szóstej potęgi = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

W ten sposób całe nasze rozumowanie okazało się poprawne.

Podbicie w przypadku ujemnego wykładnika ułamkowego

Tutaj trzeba pamiętać, że taka erekcja istnieje wyciągnięcie pierwiastka stopnia mianownika z liczby w stopniu licznika. Całe nasze wcześniejsze rozumowanie pozostaje prawdziwe również tym razem. Wyjaśnijmy nasze działania na przykładzie:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

W takim przypadku należy pamiętać, że wydobycie wysokopoziomowych korzeni jest możliwe tylko w specjalnie dobranej formie i najprawdopodobniej nie będzie można pozbyć się znaku radykalnego (pierwiastek kwadratowy, korzeń sześcienny, i tak dalej) z dokładnymi obliczeniami.

Niemniej jednak, po szczegółowym przestudiowaniu poprzednich rozdziałów, nie należy spodziewać się trudności w obliczeniach szkolnych.

Należy zauważyć, że opis tego rozdziału obejmuje również: erekcja z celowo irracjonalnym wykładnikiem, na przykład, jeśli wskaźnik to minus PI. Musisz działać zgodnie z opisanymi powyżej zasadami. Jednak obliczenia w takich przypadkach stają się tak skomplikowane, że mogą to zrobić tylko potężne komputery elektroniczne.

Wniosek

Akcja, którą badaliśmy to jeden z najtrudniejszych problemów matematyki(zwłaszcza w przypadku wartości ułamkowo racjonalnej lub irracjonalnej). Jednak po dokładnym przestudiowaniu tej instrukcji i krok po kroku, możesz nauczyć się robić to w pełni automatycznie, bez żadnych problemów.