Wykres Y x2 4. Tworzenie wykresu funkcji online

Wybieramy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie i wykreślamy wartości argumentu na osi odciętej X, a na osi y - wartości funkcji y = f(x).

Wykres funkcji y = f(x) wywoływany jest zbiór wszystkich punktów, dla których odcięte należą do dziedziny funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Innymi słowy, wykres funkcji y \u003d f (x) to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, współrzędne X, w które spełniają relację y = f(x).

Na ryc. 45 i 46 to wykresy funkcji y = 2x + 1 oraz y \u003d x 2 - 2x.

Ściśle mówiąc, należy odróżnić wykres funkcji (której dokładną matematyczną definicję podano powyżej) od wykreślonej krzywej, która zawsze daje tylko mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie cały wykres, a tylko jego część, znajdującą się w końcowych częściach płaszczyzny). Jednak w dalszej części będziemy zwykle odnosić się do „wykresu” zamiast „szkicu wykresu”.

Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli punkt x = a należy do zakresu funkcji y = f(x), a następnie znaleźć numer fa)(czyli wartości funkcji w punkcie x = a) powinien to zrobić. Potrzebujesz kropki z odciętą x = a narysuj linię prostą równoległą do osi y; ta linia przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie z definicji wykresu równa fa)(Rys. 47).

Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x korzystając z wykresu (rys. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Wykres funkcji wizualnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę ryc. 46 jasne jest, że funkcja y \u003d x 2 - 2x przyjmuje wartości dodatnie, kiedy X< 0 i w x > 2, ujemna - przy 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x akceptuje w x = 1.

Aby wykreślić funkcję f(x) musisz znaleźć wszystkie punkty samolotu, współrzędne X,w które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków jest to niemożliwe, ponieważ takich punktów jest nieskończenie wiele. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda kreślenia wielopunktowego. Polega na tym, że argument X podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i utwórz tabelę zawierającą wybrane wartości funkcji.

Tabela wygląda tak:

Po skompilowaniu takiej tabeli możemy nakreślić kilka punktów wykresu funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty płynną linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).

Należy jednak zauważyć, że metoda kreślenia wielopunktowego jest bardzo zawodna. W rzeczywistości zachowanie wykresu pomiędzy zaznaczonymi punktami i jego zachowanie poza segmentem pomiędzy pobranymi punktami skrajnymi pozostaje nieznane.

Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:

Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.

Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazana na Rys. 48 linią przerywaną). Czy ten wniosek można uznać za wiarygodny? O ile nie istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno uznać go za wiarygodny. wiarygodny.

Aby uzasadnić nasze twierdzenie, rozważ funkcję

Z obliczeń wynika, że wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 są właśnie opisane w powyższej tabeli. Jednak wykres tej funkcji wcale nie jest linią prostą (pokazano to na rys. 49). Innym przykładem jest funkcja y = x + l + sinx; jego znaczenie jest również opisane w powyższej tabeli.

Te przykłady pokazują, że w swojej „czystej” postaci metoda kreślenia wielopunktowego jest zawodna. Dlatego, aby wykreślić daną funkcję, z reguły postępuj w następujący sposób. Najpierw badane są właściwości tej funkcji, za pomocą których można skonstruować szkic wykresu. Następnie, obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustawionych właściwości funkcji), znajdują się odpowiednie punkty wykresu. I na koniec krzywa jest rysowana przez skonstruowane punkty przy użyciu właściwości tej funkcji.

Niektóre (najprostsze i najczęściej używane) właściwości funkcji używanych do znajdowania szkicu wykresu rozważymy później, a teraz przeanalizujemy niektóre powszechnie stosowane metody wykreślania wykresów.

Wykres funkcji y = |f(x)|.

Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - podana funkcja. Przypomnij sobie, jak to się robi. Z definicji bezwzględnej wartości liczby można napisać

Oznacza to, że wykres funkcji y=|f(x)| można uzyskać z wykresu, funkcje y = f(x) w następujący sposób: wszystkie punkty wykresu funkcji y = f(x), którego rzędne nie są ujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej, zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x), mając ujemne współrzędne, należy skonstruować odpowiadające im punkty wykresu funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), który leży poniżej osi X, powinien być odbity symetrycznie wokół osi X).

Przykład 2 Wykreśl funkcję y = |x|.

Bierzemy wykres funkcji y = x(ryc. 50, a) i część tego wykresu z X< 0 (leży pod osią) X) jest symetrycznie odbita wokół osi X. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).

Przykład 3. Wykreśl funkcję y = |x 2 - 2x|.

Najpierw wykreślamy funkcję y = x 2 - 2x. Wykres tej funkcji to parabola, której gałęzie są skierowane w górę, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś odciętych w punktach 0 i 2. W przedziale (0; 2 ) funkcja przyjmuje wartości ujemne, dlatego to ta część wykresu odbija się symetrycznie względem osi x. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y \u003d |x 2 -2x |, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x

Wykres funkcji y = f(x) + g(x)

Rozważ problem wykreślenia funkcji y = f(x) + g(x). jeśli podane są wykresy funkcji y = f(x) oraz y = g(x).

Zauważ, że dziedzina funkcji y = |f(x) + g(x)| jest zbiorem wszystkich tych wartości x, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) i y = g(x), tj. ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcji f(x ) i g(x).

Niech punkty (x 0, r 1) oraz (x 0, r 2) odpowiednio należą do wykresów funkcji y = f(x) oraz y = g(x), czyli tak 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Wtedy punkt (x0;. y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(dla f(x 0) + g(x 0) = y 1+rok2). i dowolny punkt wykresu funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). oraz y = g(x) zastępując każdy punkt ( xn, y 1) funkcja grafiki y = f(x) kropka (xn, y 1 + y 2), gdzie y 2 = g(x n), czyli przesuwając każdy punkt ( x n, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi w według kwoty y 1 \u003d g (x n). W takim przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty. X n, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) oraz y = g(x).

Ta metoda wykreślania wykresu funkcji y = f(x) + g(x) nazywa się dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) oraz y = g(x)

Przykład 4. Na rysunku metodą dodawania wykresów konstruowany jest wykres funkcji
y=x+sinx.

Podczas kreślenia funkcji y=x+sinx założyliśmy, że f(x) = x, a g(x) = sinx. Aby zbudować wykres funkcji, wybieramy punkty z odciętymi -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx obliczymy w wybranych punktach i umieścimy wyniki w tabeli.

W złotym wieku technologii informatycznych niewiele osób kupi papier milimetrowy i poświęci wiele godzin na rysowanie funkcji lub arbitralnego zestawu danych. Po co to robić, skoro można wykreślić funkcję online. Ponadto, prawie niemożliwe i trudne jest obliczenie milionów wartości wyrażeń do prawidłowego wyświetlania, a mimo wszelkich wysiłków otrzymasz linię przerywaną, a nie krzywą. Dlatego komputer w tym przypadku jest niezbędnym asystentem.

Co to jest wykres funkcji

Funkcja to reguła, zgodnie z którą każdy element jednego zestawu jest powiązany z jakimś elementem innego zestawu, na przykład wyrażenie y = 2x + 1 ustanawia połączenie między zestawami wszystkich wartości x i wszystkich wartości y, dlatego , to jest funkcja. W związku z tym wykres funkcji będzie nazywany zbiorem punktów, których współrzędne spełniają dane wyrażenie.

Na rysunku widzimy wykres funkcji y=x. Jest to linia prosta, a każdy z jej punktów ma swoje współrzędne na osi X i na osi Tak. Na podstawie definicji, jeśli podstawimy współrzędną X jakiś punkt w tym równaniu, to otrzymujemy współrzędną tego punktu na osi Tak.

Usługi wykreślania wykresów funkcji online

Rozważ kilka popularnych i najlepszych usług, które pozwalają szybko narysować wykres funkcji.

Otwiera listę najpopularniejszych usług, które umożliwiają wykreślenie wykresu funkcji za pomocą równania online. Umath zawiera tylko niezbędne narzędzia, takie jak powiększanie, poruszanie się wzdłuż płaszczyzny współrzędnych i wyświetlanie współrzędnych punktu, w który wskazuje mysz.

Instrukcja:

Wpisz swoje równanie w polu po znaku „=”.
Naciśnij przycisk „Wykres budowy”.

Jak widać, wszystko jest niezwykle proste i przystępne, składnia do pisania złożonych funkcji matematycznych: z modułem, trygonometrycznym, wykładniczym - jest podana tuż pod wykresem. W razie potrzeby można również ustawić równanie metodą parametryczną lub zbudować wykresy w biegunowym układzie współrzędnych.

Yotx posiada wszystkie funkcje poprzedniej usługi, ale jednocześnie zawiera tak ciekawe innowacje jak tworzenie interwału wyświetlania funkcji, możliwość budowania wykresu z danych tabelarycznych, a także wyświetlanie tabeli z całymi rozwiązaniami.

Instrukcja:

Wybierz żądaną metodę harmonogramu.
Wprowadź równanie.
Ustaw interwał.
Naciśnij przycisk "Budować".

Dla tych, którzy są zbyt leniwi, aby dowiedzieć się, jak zapisać określone funkcje, ta pozycja przedstawia usługę z możliwością wybrania tego, czego potrzebujesz z listy, jednym kliknięciem myszy.

Instrukcja:

Znajdź potrzebną funkcję z listy.
Kliknij go lewym przyciskiem myszy
W razie potrzeby wprowadź współczynniki w polu "Funkcjonować:".
Naciśnij przycisk "Budować".

W zakresie wizualizacji istnieje możliwość zmiany koloru wykresu, a także jego ukrycia lub całkowitego usunięcia.

Desmos to zdecydowanie najbardziej zaawansowana usługa do budowania równań online. Przesuwając kursor z wciśniętym lewym przyciskiem myszy na wykresie, można szczegółowo zobaczyć wszystkie rozwiązania równania z dokładnością 0,001. Wbudowana klawiatura umożliwia szybkie pisanie stopni i ułamków. Najważniejszym plusem jest możliwość zapisania równania w dowolnym stanie, bez dochodzenia do postaci: y = f(x).

Instrukcja:

W lewej kolumnie kliknij prawym przyciskiem myszy wolny wiersz.
W lewym dolnym rogu kliknij ikonę klawiatury.
W wyświetlonym panelu wpisz żądane równanie (aby wpisać nazwy funkcji, przejdź do sekcji „A B C”).
Wykres jest budowany w czasie rzeczywistym.

Wizualizacja jest po prostu idealna, adaptacyjna, widać, że projektanci pracowali nad aplikacją. Z plusów można zauważyć ogromne bogactwo możliwości, których rozwój można zobaczyć w menu w lewym górnym rogu.

Istnieje wiele witryn do kreślenia funkcji, ale każdy może wybrać dla siebie w oparciu o wymaganą funkcjonalność i osobiste preferencje. Lista najlepszych została stworzona, aby sprostać wymaganiom każdego matematyka, zarówno młodego, jak i starszego. Powodzenia w zrozumieniu „królowej nauk”!

Funkcja y=x^2 nazywana jest funkcją kwadratową. Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Ogólny widok paraboli pokazano na poniższym rysunku.

funkcja kwadratowa

Rys 1. Ogólny widok paraboli

Jak widać na wykresie, jest symetryczna względem osi Oy. Oś Oy nazywana jest osią symetrii paraboli. Oznacza to, że jeśli narysujesz linię prostą równoległą do osi Wół powyżej tej osi na wykresie. Następnie przecina parabolę w dwóch punktach. Odległość od tych punktów do osi y będzie taka sama.

Oś symetrii dzieli wykres paraboli na dwie części. Te części nazywane są gałęziami paraboli. A punkt paraboli leżący na osi symetrii nazywa się wierzchołkiem paraboli. Oznacza to, że oś symetrii przechodzi przez szczyt paraboli. Współrzędne tego punktu to (0;0).

Podstawowe własności funkcji kwadratowej

1. Dla x=0, y=0 i y>0 dla x0

2. Funkcja kwadratowa osiąga swoją minimalną wartość w swoim wierzchołku. Ymin przy x=0; Należy również zauważyć, że maksymalna wartość funkcji nie istnieje.

3. Funkcja maleje na przedziale (-∞; 0] i rośnie na przedziale )