Zapisz równanie stycznej do prostej. Równanie stycznej do wykresu funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

Lekcja wideo „Równanie stycznej do wykresu funkcji” przedstawia materiały edukacyjne do opanowania tematu. Podczas lekcji wideo opisano materiał teoretyczny niezbędny do sformułowania koncepcji równania stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie, algorytm znajdowania takiej stycznej oraz przykłady rozwiązywania problemów z wykorzystaniem przestudiowanego materiału teoretycznego .

W samouczku wideo zastosowano metody poprawiające przejrzystość materiału. Prezentacja zawiera rysunki, diagramy, ważne komentarze głosowe, animacje, wyróżnianie i inne narzędzia.

Lekcja wideo rozpoczyna się przedstawieniem tematu lekcji i obrazem stycznej do wykresu pewnej funkcji y=f(x) w punkcie M(a;f(a)). Wiadomo, że współczynnik kątowy stycznej wykreślonej na wykresie w danym punkcie jest równy pochodnej funkcji f΄(a) w tym punkcie. Z kursu algebry znamy także równanie prostej y=kx+m. Schematycznie przedstawiono rozwiązanie problemu znalezienia równania stycznego w punkcie, co sprowadza się do znalezienia współczynników k, m. Znając współrzędne punktu należącego do wykresu funkcji, m możemy znaleźć m podstawiając wartość współrzędnej do równania stycznego f(a)=ka+m. Z tego znajdujemy m=f(a)-ka. Zatem znając wartość pochodnej w danym punkcie i współrzędne tego punktu, możemy przedstawić równanie styczne w ten sposób y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Poniżej znajduje się przykład tworzenia równania stycznego zgodnie ze schematem. Biorąc pod uwagę funkcję y=x 2 , x=-2. Biorąc a=-2, znajdujemy wartość funkcji w danym punkcie f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Wyznaczamy pochodną funkcji f΄(x)=2x. W tym momencie pochodna jest równa f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Aby ułożyć równanie, znaleziono wszystkie współczynniki a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, więc równanie styczne ma postać y=4+(-4)(x+2). Upraszczając równanie, otrzymujemy y = -4-4x.

Poniższy przykład sugeruje skonstruowanie równania dla stycznej na początku wykresu funkcji y=tgx. W danym punkcie a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Zatem równanie styczne wygląda jak y=x.

Uogólniając, proces komponowania równania stycznego do wykresu funkcji w pewnym punkcie sformalizowany jest w postaci algorytmu składającego się z 4 kroków:

Wprowadź oznaczenie a dla odciętej punktu stycznego;
oblicza się f(a);
wyznacza się f΄(x) i oblicza f΄(a). Znalezione wartości a, f(a), f΄(a) podstawiamy do wzoru równania stycznego y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Przykład 1 dotyczy złożenia równania stycznego na wykresie funkcji y=1/x w punkcie x=1. Aby rozwiązać problem, używamy algorytmu. Dla danej funkcji w punkcie a=1 wartość funkcji f(a)=-1. Pochodna funkcji f΄(x)=1/x 2. W punkcie a=1 pochodna f΄(a)= f΄(1)=1. Na podstawie uzyskanych danych sporządza się równanie styczne y=-1+(x-1) lub y=x-2.

W przykładzie 2 należy znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji y=x 3 +3x 2 -2x-2. Głównym warunkiem jest równoległość stycznej i prostej y=-2x+1. Najpierw znajdujemy współczynnik kątowy stycznej równy współczynnikowi kątowemu prostej y=-2x+1. Ponieważ f΄(a)=-2 dla danej prostej, to k=-2 dla żądanej stycznej. Znajdujemy pochodną funkcji (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Wiedząc, że f΄(a)=-2, wyznaczamy współrzędne punktu 3a 2 +6a-2=-2. Po rozwiązaniu równania otrzymujemy 1 =0 i 2 =-2. Korzystając ze znalezionych współrzędnych, możesz znaleźć równanie styczne za pomocą dobrze znanego algorytmu. Wartość funkcji znajdujemy w punktach f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Wartość pochodnej w punkcie f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Podstawiając znalezione wartości do równania stycznego, otrzymujemy dla pierwszego punktu a 1 =0 y=-2x-2, a dla drugiego punktu a 2 =-2 równanie styczne y=-2x-22.

Przykład 3 opisuje skład równania stycznego do narysowania go w punkcie (0;3) do wykresu funkcji y=√x. Rozwiązanie wykonano przy użyciu dobrze znanego algorytmu. Punkt styczny ma współrzędne x=a, gdzie a>0. Wartość funkcji w punkcie f(a)=√x. Pochodna funkcji f΄(х)=1/2√х, zatem w danym punkcie f΄(а)=1/2√а. Podstawiając wszystkie otrzymane wartości do równania stycznego, otrzymujemy y = √a + (x-a)/2√a. Przekształcając równanie, otrzymujemy y=x/2√а+√а/2. Wiedząc, że tangens przechodzi przez punkt (0;3), znajdujemy wartość a. Znajdujemy a od 3=√a/2. Zatem √a=6, a=36. Znajdujemy równanie styczne y=x/12+3. Rysunek przedstawia wykres rozważanej funkcji i skonstruowaną żądaną styczną.

Przypomina się uczniom przybliżone równości Δy=≈f΄(x)Δx i f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Biorąc x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, otrzymujemy f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), stąd f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

W przykładzie 4 konieczne jest znalezienie przybliżonej wartości wyrażenia 2,003 6. Ponieważ konieczne jest znalezienie wartości funkcji f(x)=x 6 w punkcie x=2,003, możemy skorzystać ze znanego wzoru, przyjmując f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Pochodna w punkcie f΄(2)=192. Zatem 2,003 6 ≈65-192·0,003. Po obliczeniu wyrażenia otrzymujemy 2,003 6 ≈64,576.

Lekcję wideo „Równanie stycznej do wykresu funkcji” zaleca się do wykorzystania podczas tradycyjnej lekcji matematyki w szkole. W przypadku nauczyciela nauczającego zdalnie materiał wideo pomoże w jaśniejszym wyjaśnieniu tematu. Jeśli zajdzie taka potrzeba, aby pogłębić zrozumienie tematu, film można polecić uczniom do samodzielnego przejrzenia.

DEKODOWANIE TEKSTU:

Wiemy, że jeśli punkt M (a; f(a)) (em o współrzędnych a i ef z a) należy do wykresu funkcji y = f (x) i jeśli w tym punkcie można narysować styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, wówczas współczynnik kątowy stycznej jest równy f”(a) (eff prime z a).

Niech będzie dana funkcja y = f(x) i punkt M (a; f(a)), wiadomo też, że f´(a) istnieje. Utwórzmy równanie stycznej do wykresu danej funkcji w danym punkcie. To równanie, podobnie jak równanie dowolnej linii prostej, nie jest oś równoległa rzędnych, ma postać y = kx+m (y równe ka x plus em), więc zadaniem jest znalezienie wartości współczynników k i m (ka i em).

Współczynnik kąta k= f"(a). Do obliczenia wartości m wykorzystujemy fakt, że pożądana prosta przechodzi przez punkt M(a; f (a)). Oznacza to, że jeśli podstawimy współrzędne punkt M do równania prostej, otrzymujemy poprawną równość: f(a) = ka+m, skąd dowiadujemy się, że m = f(a) - ka.

Pozostaje podstawić znalezione wartości współczynników ki i m do równania linii prostej:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y jest równe ef od a plus ef liczba pierwsza od a, pomnożone przez x minus a).

Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x=a.

Jeśli, powiedzmy, y = x 2 i x = -2 (tj. a = -2), to f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, co oznacza f”(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (wtedy ef a jest równy cztery, ef liczby pierwszej x równa się dwa x, co oznacza ef prime od a równego minus cztery)

Podstawiając znalezione wartości a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 do równania otrzymujemy: y = 4+(-4)(x+2), czyli y = -4x -4.

(E równa się minus cztery x minus cztery)

Utwórzmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = tanx (y jest równe tangensowi x) w początku układu współrzędnych. Mamy: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , co oznacza f"(0) = l. Podstawiając znalezione wartości a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 do równania, otrzymujemy: y=x.

Podsumujmy nasze kroki w znajdowaniu równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie x za pomocą algorytmu.

ALGORYTM OPRACOWANIA RÓWNAŃ NA STYCZNĄ DO WYKRESU FUNKCJI y = f(x):

1) Oznacz odciętą punktu stycznego literą a.

2) Oblicz f(a).

3) Znajdź f’(x) i oblicz f’(a).

4) Podstaw znalezione liczby a, f(a), f´(a) do wzoru y= F(A)+ F"(A) (X- A).

Przykład 1. Utwórz równanie stycznej do wykresu funkcji y = - in

punkt x = 1.

Rozwiązanie. Użyjmy algorytmu, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Podstawiamy znalezione trzy liczby: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 do wzoru. Otrzymujemy: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Odpowiedź: y = x-2.

Przykład 2. Biorąc pod uwagę funkcję y = x 3 +3x 2 -2x-2. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x), równolegle do prostej y = -2x +1.

Korzystając z algorytmu układania równania stycznego, bierzemy pod uwagę, że w tym przykładzie f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ale odcięta punktu stycznego nie jest tutaj wskazana.

Zacznijmy myśleć w ten sposób. Pożądana styczna musi być równoległa do prostej y = -2x+1. A linie równoległe mają równe współczynniki kątowe. Oznacza to, że współczynnik kątowy stycznej jest równy współczynnikowi kątowemu danej prostej: k tangens. = -2. Hok ca. = f"(a). Zatem wartość a możemy znaleźć z równania f ´(a) = -2.

Znajdźmy pochodną funkcji y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)' =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a 2 +6a-2.

Z równania f”(a) = -2, tj. 3a 2 +6a-2=-2 znajdujemy 1 =0, a 2 =-2. Oznacza to, że istnieją dwie styczne spełniające warunki zadania: jedna w punkcie z odciętą 0, druga w punkcie z odciętą -2.

Teraz możesz działać zgodnie z algorytmem.

1) a 1 =0 i 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Podstawiając do wzoru wartości a 1 = 0, f(a 1) = -2, f”(a 1) = -2, otrzymujemy:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Podstawiając do wzoru wartości a 2 = -2, f(a 2) =6, f”(a 2) = -2, otrzymujemy:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odpowiedź: y=-2x-2, y=-2x+2.

Przykład 3. Z punktu (0; 3) narysuj styczną do wykresu funkcji y = . Rozwiązanie. Skorzystajmy z algorytmu układania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie f(x) = . Należy zauważyć, że tutaj, podobnie jak w przykładzie 2, odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana. Niemniej jednak postępujemy zgodnie z algorytmem.

1) Niech x = a będzie odciętą punktu styczności; jasne jest, że a >0.

3) f’(x)=()’=; f'(a) =.

4) Podstawienie wartości a, f(a) = , f"(a) = do wzoru

y=f (a) +f "(a) (x-a), otrzymujemy:

Warunek: styczna przechodzi przez punkt (0; 3). Podstawiając do równania wartości x = 0, y = 3, otrzymujemy: 3 = , a następnie =6, a =36.

Jak widać, w tym przykładzie dopiero w czwartym kroku algorytmu udało nam się znaleźć odciętą punktu stycznego. Podstawiając do równania wartość a =36 otrzymujemy: y=+3

Na ryc. Rysunek 1 przedstawia ilustrację geometryczną rozważanego przykładu: konstruuje się wykres funkcji y =, rysuje się linię prostą y = +3.

Odpowiedź: y = +3.

Wiemy, że dla funkcji y = f(x), która ma pochodną w punkcie x, obowiązuje przybliżona równość: Δyf´(x)Δx (delta y jest w przybliżeniu równa eff prime x pomnożonej przez delta x)

lub bardziej szczegółowo f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff od x plus delta x minus ef z x jest w przybliżeniu równe ef prime z x przez delta x).

Dla wygody dalszej dyskusji zmieńmy oznaczenie:

zamiast x napiszemy A,

zamiast x+Δx napiszemy x

Zamiast Δx napiszemy x-a.

Wtedy przybliżona równość zapisana powyżej będzie miała postać:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff od x jest w przybliżeniu równe ef od a plus ef liczba pierwsza od a, pomnożona przez różnicę między x i a).

Przykład 4: Znajdź przybliżoną wartość wyrażenie numeryczne 2,003 6 .

Rozwiązanie. Mówimy o znalezieniu wartości funkcji y = x 6 w punkcie x = 2,003. Skorzystajmy ze wzoru f(x)f(a)+f´(a)(x-a), biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f”(x) = 6x 5, a zatem f”(a) = f”(2) = 6 2 5 =192.

W rezultacie otrzymujemy:

2,003 6 64+192· 0,003, tj. 2,003 6 =64,576.

Jeśli skorzystamy z kalkulatora, otrzymamy:

2,003 6 = 64,5781643...

Jak widać dokładność aproksymacji jest całkiem akceptowalna.

NA nowoczesna scena rozwój edukacji, jednym z jej głównych zadań jest kształtowanie twórczo myślącej osobowości. Zdolność twórczą uczniów można rozwinąć tylko wtedy, gdy systematycznie przyciąga się ich do podstaw działalność badawcza. Podstawą wykorzystania przez uczniów swoich sił twórczych, zdolności i talentów jest kształtowana pełnoprawna wiedza i umiejętności. W związku z tym pojawia się problem stworzenia systemu podstawowej wiedzy i umiejętności dla każdego tematu kurs szkolny matematyka ma niemałe znaczenie. Jednocześnie pełnoprawne umiejętności powinny być celem dydaktycznym nie poszczególnych zadań, ale ich starannie przemyślanego systemu. W najszerszym znaczeniu system jest rozumiany jako zbiór wzajemnie powiązanych ze sobą elementów, które charakteryzują się integralnością i stabilną strukturą.

Rozważmy technikę nauczania uczniów, jak napisać równanie stycznej do wykresu funkcji. Zasadniczo wszystkie problemy ze znalezieniem równania stycznego sprowadzają się do konieczności wybrania ze zbioru (wiązki, rodziny) prostych tych, które spełniają określony warunek - są styczne do wykresu określonej funkcji. W takim przypadku zbiór linii, z których dokonywana jest selekcja, można określić na dwa sposoby:

a) punkt leżący na płaszczyźnie xOy (środkowy ołówek linii);
b) współczynnik kątowy (równoległa wiązka linii prostych).

W związku z tym studiując temat „Styczna do wykresu funkcji” w celu wyodrębnienia elementów układu, zidentyfikowaliśmy dwa rodzaje problemów:

1) problemy dotyczące stycznej danej przez punkt, przez który ona przechodzi;
2) problemy dotyczące stycznej wynikającej z jej nachylenia.

Szkolenie z rozwiązywania problemów stycznych przeprowadzono przy użyciu algorytmu zaproponowanego przez A.G. Mordkowicz. Zasadnicza różnica w stosunku do znanych już polega na tym, że odcięta punktu stycznego jest oznaczona literą a (zamiast x0), w związku z czym równanie styczne przyjmuje postać

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(porównaj z y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Naszym zdaniem ta technika metodologiczna pozwala uczniom szybko i łatwo zrozumieć, gdzie zapisane są współrzędne bieżącego punktu ogólne równanie styczne i gdzie znajdują się punkty styczności.

Algorytm skomponowania równania stycznego z wykresem funkcji y = f(x)

1. Oznacz odciętą punktu stycznego literą a.
2. Znajdź f(a).
3. Znajdź f „(x) i f” (a).
4. Podstaw znalezione liczby a, f(a), f „(a) do ogólnego równania stycznego y = f(a) = f „(a)(x – a).

Algorytm ten można zestawić na podstawie samodzielnej identyfikacji przez studentów operacji i kolejności ich wykonywania.

Praktyka pokazała, że sekwencyjne rozwiązywanie każdego z kluczowych problemów za pomocą algorytmu pozwala rozwinąć umiejętności zapisywania równania stycznej na wykresie funkcji etapami, a kroki algorytmu służą jako punkty odniesienia dla działań . Podejście to odpowiada teorii stopniowego kształtowania się działań umysłowych opracowanej przez P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

W pierwszym typie zadań zidentyfikowano dwa zadania kluczowe:

styczna przechodzi przez punkt leżący na krzywej (zadanie 1);
styczna przechodzi przez punkt nie leżący na krzywej (zadanie 2).

Zadanie 1. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie M(3; – 2).

Rozwiązanie. Punkt M(3; – 2) jest punktem stycznym, ponieważ

1. a = 3 – odcięta punktu stycznego.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – równanie styczne.

Zadanie 2. Zapisz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji y = – x 2 – 4x + 2 przechodzącej przez punkt M(– 3; 6).

Rozwiązanie. Punkt M(– 3; 6) nie jest punktem stycznym, gdyż f(– 3) 6 (rys. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – równanie styczne.

Styczna przechodzi przez punkt M(– 3; 6), zatem jej współrzędne spełniają równanie styczne.

6 = – za 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
za 2 + 6a + 8 = 0 ^ za 1 = – 4, za 2 = – 2.

Jeśli a = – 4, to równanie styczne ma postać y = 4x + 18.

Jeżeli a = – 2, to równanie styczne ma postać y = 6.

W drugim typie kluczowymi zadaniami będą:

styczna jest równoległa do jakiejś prostej (zadanie 3);
styczna przechodzi pod pewnym kątem do danej prostej (zadanie 4).

Zadanie 3. Zapisz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji y = x 3 – 3x 2 + 3, równolegle do prostej y = 9x + 1.

1. a – odcięta punktu stycznego.
2. f(a) = za 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale z drugiej strony f "(a) = 9 (warunek równoległości). Oznacza to, że musimy rozwiązać równanie 3a 2 – 6a = 9. Jego pierwiastki to a = – 1, a = 3 (ryc. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f „(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – równanie styczne;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – równanie styczne.

Zadanie 4. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji y = 0,5x 2 – 3x + 1, przechodzącej pod kątem 45° do prostej y = 0 (rys. 4).

Rozwiązanie. Z warunku f "(a) = tan 45° znajdujemy a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – odcięta punktu stycznego.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – równanie styczne.

Łatwo pokazać, że rozwiązanie dowolnego innego problemu sprowadza się do rozwiązania jednego lub większej liczby problemów kluczowych. Jako przykład rozważmy dwa poniższe problemy.

1. Zapisz równania stycznych do paraboli y = 2x 2 – 5x – 2, jeśli styczne przecinają się pod kątem prostym i jedna z nich dotyka paraboli w punkcie o odciętej 3 (rys. 5).

Rozwiązanie. Ponieważ podana jest odcięta punktu stycznego, pierwsza część rozwiązania sprowadza się do kluczowego problemu 1.

1. a = 3 – odcięta punktu styczności jednego z boków prosty kąt.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – równanie pierwszej stycznej.

Niech a będzie kątem nachylenia pierwszej stycznej. Ponieważ styczne są prostopadłe, to jest kąt nachylenia drugiej stycznej. Z równania y = 7x – 20 pierwszej stycznej mamy tg a = 7. Znajdźmy

Oznacza to, że nachylenie drugiej stycznej jest równe .

Dalsze rozwiązanie sprowadza się do kluczowego zadania 3.

Niech B(c; f(c)) będzie zatem punktem styczności drugiej prostej

1. – odcięta drugiego punktu styczności.
2.
3.
4.
– równanie drugiej stycznej.

Notatka. Współczynnik kątowy stycznej można łatwiej znaleźć, jeśli uczniowie znają stosunek współczynników prostych prostopadłych k 1 k 2 = – 1.

2. Zapisz równania wszystkich wspólnych stycznych do wykresów funkcji

Rozwiązanie. Problem sprowadza się do znalezienia odciętej punktów styczności wspólnych stycznych, czyli rozwiązania kluczowego problemu 1 w ogólna perspektywa, układając układ równań i jego późniejsze rozwiązanie (ryc. 6).

1. Niech a będzie odciętą punktu stycznego leżącego na wykresie funkcji y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = za 2 + za + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = za 2 + za + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – za 2 .

1. Niech c będzie odciętą punktu stycznego leżącego na wykresie funkcji
2.
3. f "(c) = do.
4.

Zatem styczne są ogólne

Zatem y = x + 1 i y = – 3x – 3 są wspólnymi stycznymi.

Głównym celem rozważanych zadań jest przygotowanie uczniów do samodzielnego rozpoznawania rodzaju kluczowego problemu przy rozwiązywaniu kolejnych złożone zadania, wymagające pewnych umiejętności badawczych (umiejętność analizowania, porównywania, uogólniania, stawiania hipotez itp.). Do takich zadań zalicza się każde zadanie, którego elementem jest zadanie kluczowe. Rozważmy jako przykład problem (odwrotny do Zadania 1) znalezienia funkcji z rodziny jej stycznych.

3. Dla jakich b i c proste y = x i y = – 2x są styczne do wykresu funkcji y = x 2 + bx + c?

Niech t będzie odciętą punktu styczności prostej y = x z parabolą y = x 2 + bx + c; p jest odciętą punktu styczności prostej y = – 2x z parabolą y = x 2 + bx + c. Wtedy równanie styczne y = x przyjmie postać y = (2t + b)x + c – t 2 , a równanie styczne y = – 2x przyjmie postać y = (2p + b)x + c – p 2 .

Ułóżmy i rozwiążmy układ równań

Odpowiedź:

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli zaistnieje konieczność – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie wniosków publicznych lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W artykule szczegółowo wyjaśniono definicje, znaczenie geometryczne pochodnej wraz z oznaczeniami graficznymi. Równanie stycznej zostanie omówione na przykładach, znalezione zostaną równania stycznej do krzywych drugiego rzędu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Kąt nachylenia prostej y = k x + b nazywany jest kątem α i mierzonym od dodatniego kierunku osi x do prostej y = k x + b w kierunku dodatnim.

Na rysunku kierunek x jest oznaczony zieloną strzałką i zielonym łukiem, a kąt nachylenia czerwonym łukiem. Niebieska linia odnosi się do linii prostej.

Definicja 2

Nachylenie prostej y = k x + b nazywa się współczynnikiem liczbowym k.

Współczynnik kątowy jest równy tangensowi prostej, czyli k = t g α.

Kąt nachylenia prostej jest równy 0 tylko wtedy, gdy jest równoległa względem x, a nachylenie jest równe zero, ponieważ tangens zera jest równy 0. Oznacza to, że równanie będzie miało postać y = b.
Jeżeli kąt nachylenia prostej y = k x + b jest ostry, to warunek 0 jest spełniony< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, a na wykresie następuje wzrost.
Jeśli α = π 2, to położenie prostej jest prostopadłe do x. Równość jest określona przez x = c, gdzie wartość c jest liczbą rzeczywistą.
Jeżeli kąt nachylenia prostej y = k x + b jest rozwarty, to odpowiada warunkom π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negatywne znaczenie, a wykres maleje.

Definicja 3

Sieczna to prosta przechodząca przez 2 punkty funkcji f (x). Inaczej mówiąc, sieczna to linia prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty na wykresie danej funkcji.

Rysunek pokazuje, że AB jest sieczną, a f (x) jest czarną krzywą, α jest czerwonym łukiem, wskazującym kąt nachylenia siecznej.

Gdy współczynnik kątowy linii prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia, jasne jest, że tangens trójkąta prostokątnego A B C można znaleźć poprzez stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej.

Definicja 4

Otrzymujemy wzór na znalezienie secansu postaci:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, gdzie odcięte punktów A i B są wartościami x A, x B i f (x A), f (x B) są funkcjami wartości w tych punktach.

Oczywiście współczynnik kątowy siecznej wyznacza się za pomocą równości k = f (x B) - f (x A) x B - x A lub k = f (x A) - f (x B) x A - x B , a równanie należy zapisać jako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) lub
y = fa (x ZA) - fa (x B) x A - x B x - x B + fa (x B) .

Sieczna dzieli wykres wizualnie na 3 części: na lewo od punktu A, od A do B, na prawo od B. Poniższy rysunek pokazuje, że istnieją trzy sieczne, które są uważane za zbieżne, to znaczy są ustalane za pomocą podobne równanie.

Z definicji jasne jest, że linia prosta i jej sieczna w tym przypadku pokrywają się.

Sieczna może przecinać wykres danej funkcji wielokrotnie. Jeśli dla siecznej istnieje równanie w postaci y = 0, to liczba punktów przecięcia z sinusoidą jest nieskończona.

Definicja 5

Styczna do wykresu funkcji f (x) w punkcie x 0 ; f (x 0) jest linią prostą przechodzącą przez dany punkt x 0; f (x 0), z obecnością segmentu, który ma wiele wartości x bliskich x 0.

Przykład 1

Przyjrzyjmy się bliżej poniższemu przykładowi. Wtedy widać, że prostą wyznaczoną funkcją y = x + 1 uważa się za styczną do y = 2 x w punkcie o współrzędnych (1; 2). Dla jasności należy wziąć pod uwagę wykresy o wartościach bliskich (1; 2). Funkcja y = 2 x jest zaznaczona kolorem czarnym, niebieska linia to styczna, a czerwona kropka to punkt przecięcia.

Oczywiście y = 2 x łączy się z linią y = x + 1.

Aby wyznaczyć styczną, powinniśmy rozważyć zachowanie stycznej A B, gdy punkt B zbliża się do punktu A w nieskończoność. Dla przejrzystości przedstawiamy rysunek.

Sieczna A B, oznaczona niebieską linią, zmierza do położenia samej stycznej, a kąt nachylenia siecznej α zacznie zmierzać do kąta nachylenia samej stycznej α x.

Definicja 6

Styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie A uważa się za położenie graniczne siecznej A B, ponieważ B dąży do A, czyli B → A.

Przejdźmy teraz do rozważenia geometrycznego znaczenia pochodnej funkcji w punkcie.

Przejdźmy do rozważenia siecznej A B dla funkcji f (x), gdzie A i B o współrzędnych x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x wynoszą oznaczane jako przyrost argumentu. Teraz funkcja przyjmie postać ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Dla jasności podamy przykład rysunku.

Rozważ powstały trójkąt prostokątny A B C. Do rozwiązania używamy definicji stycznej, czyli otrzymujemy relację ∆ y ∆ x = t g α . Z definicji stycznej wynika, że lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Zgodnie z zasadą pochodnej w punkcie mamy, że pochodna f (x) w punkcie x 0 nazywana jest granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdzie ∆ x → 0 , oznaczamy to jako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Wynika z tego, że f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdzie k x oznacza się jako nachylenie stycznej.

Oznacza to, że f ’ (x) może istnieć w punkcie x 0 i podobnie jak styczna do podany harmonogram funkcja w punkcie styczności równej x 0, f 0 (x 0), gdzie wartość nachylenia stycznej w punkcie jest równa pochodnej w punkcie x 0. Wtedy otrzymujemy, że k x = f " (x 0) .

Znaczenie geometryczne pochodnej funkcji w punkcie polega na tym, że daje ona pojęcie o istnieniu stycznej do wykresu w tym samym punkcie.

Aby napisać równanie dowolnej linii prostej na płaszczyźnie, konieczne jest posiadanie współczynnika kątowego z punktem, przez który przechodzi. Przyjmuje się, że jego zapis wynosi x 0 na przecięciu.

Równanie styczne do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie x 0, f 0 (x 0) przyjmuje postać y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Oznacza to, że ostateczna wartość pochodnej f "(x 0) może określić położenie stycznej, czyli w pionie, pod warunkiem, że lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 fa "(x ) = ∞ lub w ogóle nieobecny pod warunkiem lim x → x 0 + 0 fa " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 fa " (x) .

Położenie stycznej zależy od wartości jej współczynnika kątowego k x = f "(x 0). Przy równoległości do osi o x otrzymujemy, że k k = 0, gdy równolegle do o y - k x = ∞, oraz postać równanie styczne x = x 0 rośnie wraz z k x > 0, maleje wraz z k x< 0 .

Przykład 2

Ułóż równanie stycznej do wykresu funkcji y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 w punkcie o współrzędnych (1; 3) i wyznacz kąt nachylenia.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy, że funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Stwierdzamy, że punkt o współrzędnych określonych warunkiem (1; 3) jest punktem styczności, wówczas x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Należy znaleźć pochodną w punkcie o wartości - 1. Rozumiemy to

y " = mi x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = mi x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = mi x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = mi - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Wartość f' (x) w punkcie styczności jest nachyleniem stycznej, która jest równa stycznej nachylenia.

Następnie k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Wynika z tego, że α x = a r do t sol 3 3 = π 6

Odpowiedź: równanie styczne przyjmuje postać

y = fa " (x 0) x - x 0 + fa (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Dla przejrzystości podajemy przykład na ilustracji graficznej.

Na wykresie oryginalnej funkcji zastosowano kolor czarny, Kolor niebieski– obraz stycznej, czerwona kropka – punkt styczności. Rysunek po prawej stronie przedstawia widok w powiększeniu.

Przykład 3

Ustalić istnienie stycznej do wykresu danej funkcji
y = 3 · x - 1 5 + 1 w punkcie o współrzędnych (1 ; 1) . Napisz równanie i określ kąt nachylenia.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy, że za dziedzinę definicji danej funkcji uważa się zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Przejdźmy do znalezienia pochodnej

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jeśli x 0 = 1, to f' (x) jest nieokreślone, ale granice są zapisywane jako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , co oznacza istnienie stycznej pionowej w punkcie (1; 1).

Odpowiedź: równanie przyjmie postać x = 1, gdzie kąt nachylenia będzie równy π 2.

Dla jasności przedstawmy to graficznie.

Przykład 4

Znajdź punkty na wykresie funkcji y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, gdzie

Nie ma stycznej;
Styczna jest równoległa do x;
Styczna jest równoległa do prostej y = 8 5 x + 4.

Rozwiązanie

Należy zwrócić uwagę na zakres definicji. Pod warunkiem mamy, że funkcja jest zdefiniowana na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Rozbudowujemy moduł i rozwiązujemy układ o przedziałach x ∈ - ∞ ; 2 i [- 2; + ∞) . Rozumiemy to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Konieczne jest różniczkowanie funkcji. Mamy to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Gdy x = − 2, to pochodna nie istnieje, ponieważ jednostronne granice nie są w tym punkcie równe:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x = - 2, gdzie to otrzymujemy

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, czyli styczna w punkcie ( - 2; - 2) nie będzie istnieć.
Styczna jest równoległa do x, gdy nachylenie wynosi zero. Następnie k x = t g α x = f "(x 0). Oznacza to, że konieczne jest znalezienie wartości takiego x, gdy pochodna funkcji zamienia ją na zero. To znaczy wartości f ' (x) będą punktami styczności, gdzie styczna jest równoległa do x .

Kiedy x ∈ - ∞ ; - 2, wówczas - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, a dla x ∈ (- 2; + ∞) otrzymujemy 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 re = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 re = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Oblicz odpowiednie wartości funkcji

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Stąd - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 są uważane za wymagane punkty wykresu funkcji.

Spójrzmy na graficzną reprezentację rozwiązania.

Czarna linia to wykres funkcji, czerwone kropki to punkty styczności.

Gdy linie są równoległe, współczynniki kątowe są równe. Następnie należy poszukać na wykresie funkcji punktów, w których nachylenie będzie równe wartości 8 5. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie postaci y "(x) = 8 5. Następnie, jeśli x ∈ - ∞; - 2, otrzymujemy to - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a jeśli x ∈ ( - 2 ; + ∞), to 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pierwsze równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dyskryminator jest mniejszy od zera. Zapiszmy to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Zatem inne równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 re = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Przejdźmy do znalezienia wartości funkcji. Rozumiemy to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkty o wartościach - 1; 4 15, 5; 8 3 to punkty, w których styczne są równoległe do prostej y = 8 5 x + 4.

Odpowiedź: linia czarna – wykres funkcji, linia czerwona – wykres y = 8 5 x + 4, linia niebieska – styczne w punktach - 1; 4 15, 5; 8 3.

Dla danych funkcji może istnieć nieskończona liczba tangensów.

Przykład 5

Zapisz równania wszystkich dostępnych stycznych funkcji y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, które leżą prostopadle do prostej y = - 2 x + 1 2.

Rozwiązanie

Aby skompilować równanie styczne, należy znaleźć współczynnik i współrzędne punktu stycznego, w oparciu o warunek prostopadłości linii. Definicja jest następująca: iloczyn współczynników kątowych prostopadłych do prostych jest równy -1, czyli zapisywany jako k x · k ⊥ = - 1. Z warunku mamy, że współczynnik kątowy leży prostopadle do prostej i jest równy k ⊥ = - 2, wówczas k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Teraz musisz znaleźć współrzędne punktów dotyku. Musisz znaleźć x, a następnie jego wartość dla danej funkcji. Należy zauważyć, że z geometrycznego znaczenia pochodnej w punkcie
x 0 otrzymujemy, że k x = y "(x 0). Z tej równości znajdujemy wartości x dla punktów styku.

Rozumiemy to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - grzech 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 grzech 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ grzech 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ten równanie trygonometryczne zostaną użyte do obliczenia współrzędnych punktów stycznych.

3 2 x 0 - π 4 = a r do sin - 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π - a r do grzech - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r do grzech 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π + za r do grzech 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - za r do sin 1 9 + 2 πk lub x 0 = 2 3 5 π 4 + za r do sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z jest zbiorem liczb całkowitych.

znaleziono x punktów kontaktowych. Teraz musisz przejść do wyszukiwania wartości y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 lub y 0 = - 4 5 + 1 3

Z tego otrzymujemy, że 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r do grzech 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 to punkty styczności.

Odpowiedź: niezbędne równania zostaną zapisane jako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - za r do grzech 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + za r do grzech 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Aby uzyskać reprezentację wizualną, rozważ funkcję i styczną na linii współrzędnych.

Z rysunku wynika, że funkcja znajduje się na przedziale [-10; 10 ], gdzie czarna linia to wykres funkcji, niebieskie linie to styczne, które leżą prostopadle do danej prostej postaci y = - 2 x + 1 2. Czerwone kropki to punkty dotykowe.

Równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu nie są funkcjami jednowartościowymi. Równania styczne dla nich są zestawiane według znanych schematów.

Styczna do okręgu

Aby zdefiniować okrąg ze środkiem w punkcie x środek t e r ; y c e n t e r i promień R, zastosuj wzór x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Równość tę można zapisać jako sumę dwóch funkcji:

y = R 2 - x - x do mi n t mi r 2 + y do mi n t e r y = - R 2 - x - x do mi n t mi r 2 + y do mi n t mi r

Pierwsza funkcja znajduje się na górze, a druga na dole, jak pokazano na rysunku.

Aby skompilować równanie okręgu w punkcie x 0; y 0 , który znajduje się w górnym lub dolnym półkolu, powinieneś znaleźć równanie wykresu funkcji postaci y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r lub y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + centrum we wskazanym punkcie.

Kiedy w punktach x cent e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R styczne można wyrazić za pomocą równań y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R oraz w punktach x c e n t e r + R ; y centrum i
x środek t e r - R ; y c e n t e r będzie równoległe do o y, wówczas otrzymamy równania postaci x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Styczna do elipsy

Gdy elipsa ma środek w xcenter r ; y centrum t e r z półosiami a i b, to można to określić za pomocą równania x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsę i okrąg można oznaczyć poprzez połączenie dwóch funkcji, a mianowicie górnej i dolnej półelipsy. Wtedy to zrozumiemy

y = b za · za 2 - (x - x do e n t mi r) 2 + y do mi n t e r y = - b a · za 2 - (x - x do mi n t e r) 2 + y do mi n t mi r

Jeżeli styczne znajdują się na wierzchołkach elipsy, to są one równoległe względem x lub y. Poniżej, dla jasności, rozważ rysunek.

Przykład 6

Zapisz równanie stycznej do elipsy x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 w punktach o wartościach x równych x = 2.

Rozwiązanie

Konieczne jest znalezienie punktów stycznych odpowiadających wartości x = 2. Podstawiamy do istniejącego równania elipsy i znajdujemy to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Następnie 2; 5 3 2 + 5 i 2; - 5 3 2 + 5 to punkty styczne należące do górnej i dolnej półelipsy.

Przejdźmy do znalezienia i rozwiązania równania elipsy względem y. Rozumiemy to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Oczywiście górną półelipsę określa się funkcją w postaci y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, a dolną półelipsę y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Zastosujmy standardowy algorytm do utworzenia równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Napiszmy, że równanie dla pierwszej stycznej w punkcie 2; 5 3 2 + 5 będzie wyglądać

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Stwierdzamy, że równanie drugiej stycznej z wartością w punkcie
2; - 5 3 2 + 5 przyjmuje formę

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficznie styczne są oznaczone w następujący sposób:

Styczna do hiperboli

Kiedy hiperbola ma środek w x centrum ; y środek i wierzchołki x środek t e r + α ; y centrum t i x cen t e r - α; y c e n t e r , nierówność x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ma miejsce, jeśli z wierzchołkami x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r ; y c e n t e r - b , to określa się za pomocą nierówności x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbolę można przedstawić jako dwie połączone funkcje formy

y = b za · (x - x do e n t e r) 2 - za 2 + y do mi n t e r y = - b a · (x - x do mi n t e r) 2 - za 2 + y c e n t e r lub y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + za 2 + y do e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + za 2 + y c e n t e r

W pierwszym przypadku mamy, że styczne są równoległe do y, a w drugim są równoległe do x.

Wynika z tego, że aby znaleźć równanie stycznej do hiperboli, należy dowiedzieć się, do jakiej funkcji należy punkt styczności. Aby to ustalić, należy podstawić równania i sprawdzić identyczność.

Przykład 7

Napisz równanie stycznej do hiperboli x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 w punkcie 7; - 3 3 - 3 .

Rozwiązanie

Konieczne jest przekształcenie zapisu rozwiązania w celu znalezienia hiperboli za pomocą 2 funkcji. Rozumiemy to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 i y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Konieczne jest określenie, do której funkcji należy punkt zadany o współrzędnych 7; - 3 3 - 3 .

Oczywiście do sprawdzenia pierwszej funkcji potrzebne jest y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, wtedy punkt nie należy do wykresu, ponieważ równość nie zachodzi.

Dla drugiej funkcji mamy, że y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, co oznacza, że punkt należy do danego wykresu. Stąd powinieneś znaleźć zbocze.

Rozumiemy to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odpowiedź: równanie styczne można przedstawić jako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Jest to wyraźnie przedstawione w ten sposób:

Styczna do paraboli

Aby utworzyć równanie stycznej do paraboli y = a x 2 + b x + c w punkcie x 0, y (x 0), należy zastosować standardowy algorytm, wówczas równanie przybierze postać y = y ”(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Taka styczna w wierzchołku jest równoległa do x.

Powinieneś zdefiniować parabolę x = a y 2 + b y + c jako sumę dwóch funkcji. Dlatego musimy rozwiązać równanie dla y. Rozumiemy to

x = za y 2 + b y + do ⇔ za y 2 + b y + do - x = 0 re = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Przedstawmy to graficznie jako:

Aby dowiedzieć się czy punkt x 0, y (x 0) należy do funkcji, postępuj delikatnie według standardowego algorytmu. Taka styczna będzie równoległa do oy względem paraboli.

Przykład 8

Zapisz równanie stycznej do wykresu x - 2 y 2 - 5 y + 3 gdy mamy kąt styczny równy 150°.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zaczynamy od przedstawienia paraboli jako dwóch funkcji. Rozumiemy to

2 lata 2 - 5 lat + 3 - x = 0 re = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Wartość nachylenia jest równa wartości pochodnej w punkcie x 0 tej funkcji i jest równa tangensowi kąta nachylenia.

Otrzymujemy:

k x = y "(x 0) = t sol α x = t g 150 ° = - 1 3

Stąd określamy wartość x dla punktów styku.

Pierwsza funkcja zostanie zapisana jako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Oczywiście nie ma prawdziwych pierwiastków, ponieważ otrzymaliśmy wartość ujemną. Dochodzimy do wniosku, że dla takiej funkcji nie ma stycznej o kącie 150°.

Druga funkcja zostanie zapisana jako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mamy, że punktów styku jest 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odpowiedź: równanie styczne przyjmuje postać

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Przedstawmy to graficznie w ten sposób:

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W tym artykule przeanalizujemy wszystkie rodzaje problemów do znalezienia

Zapamiętajmy geometryczne znaczenie pochodnej: jeśli w punkcie poprowadzono styczną do wykresu funkcji, to współczynnik nachylenia stycznej (równy tangensowi kąta między styczną a dodatnim kierunkiem osi) jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie.

Weźmy dowolny punkt stycznej o współrzędnych:

I rozważmy trójkąt prostokątny:

W tym trójkącie

Stąd

Jest to równanie stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Aby zapisać równanie styczne, wystarczy znać równanie funkcji i punkt, w którym rysowana jest styczna. Następnie możemy znaleźć i .

Istnieją trzy główne typy problemów równań stycznych.

1. Dany punkt kontaktowy

2. Podano współczynnik nachylenia stycznej, czyli wartość pochodnej funkcji w punkcie.

3. Podano współrzędne punktu, przez który poprowadzona jest styczna, ale który nie jest punktem styczności.

Przyjrzyjmy się każdemu rodzajowi zadania.

1. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie .

b) Znajdź wartość pochodnej w punkcie . Najpierw znajdźmy pochodną funkcji

Podstawmy znalezione wartości do równania stycznego:

Otwórzmy nawiasy po prawej stronie równania. Otrzymujemy:

Odpowiedź: .

2. Znajdź odciętą punktów, w których funkcje są styczne do wykresu równolegle do osi x.

Jeśli styczna jest równoległa do osi x, zatem kąt między styczną a dodatnim kierunkiem osi wynosi zero, zatem tangens kąta stycznego wynosi zero. Oznacza to, że wartość pochodnej funkcji w punktach styku wynosi zero.

a) Znajdź pochodną funkcji .

b) Przyrównajmy pochodną do zera i znajdźmy wartości, w których styczna jest równoległa do osi:

Przyrównując każdy czynnik do zera, otrzymujemy:

Odpowiedź: 0;3;5

3. Zapisz równania stycznych do wykresu funkcji , równoległy prosty .

Styczna jest równoległa do prostej. Nachylenie tej linii wynosi -1. Ponieważ styczna jest równoległa do tej linii, nachylenie stycznej również wynosi -1. To jest znamy nachylenie stycznej, a tym samym wartość pochodnej w punkcie styczności.

Jest to drugi rodzaj problemu polegający na znalezieniu równania stycznego.

Mamy więc daną funkcję i wartość pochodnej w punkcie styczności.

a) Znajdź punkty, w których pochodna funkcji jest równa -1.

Najpierw znajdźmy równanie pochodnej.

Przyrównajmy pochodną do liczby -1.

Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie.

(według warunku)

B) Znajdźmy równanie styczna do wykresu funkcji w punkcie .

Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie.

(według warunku).

Podstawmy te wartości do równania stycznego:

Odpowiedź:

4. Zapisz równanie stycznej do krzywej , przechodząc przez punkt

Najpierw sprawdźmy, czy punkt jest punktem stycznym. Jeżeli punkt jest punktem stycznym, to należy do wykresu funkcji i jego współrzędne muszą spełniać równanie funkcji. Podstawmy współrzędne punktu do równania funkcji.

Tytuł="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} liczba ujemna, równość nie jest prawdziwa, a punkt nie należy do wykresu funkcji i nie jest punktem kontaktowym.

To ostatni rodzaj problemu, w którym można znaleźć równanie styczne. Pierwsza rzecz musimy znaleźć odciętą punktu stycznego.

Znajdźmy wartość.

Niech będzie punktem kontaktowym. Punkt należy do stycznej do wykresu funkcji. Jeśli podstawimy współrzędne tego punktu do równania stycznego, otrzymamy poprawną równość: