Tretja korenska izpeljanka x. Odvod kompleksne funkcije. Primeri rešitev

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije (x na potenco a). Upoštevani so izpeljanke korenov iz x. Formula za odvod potenčne funkcije višjega reda. Primeri računanja derivatov.

Odvod x na potenco a je a krat x na potenco minus ena:
(1) .

Odvod n-tega korena iz x na m-to potenco je:
(2) .

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije

Primer x > 0

Razmislite o potenčni funkciji spremenljivke x z eksponentom a:
(3) .
Tu je a poljubno realno število. Najprej razmislimo o primeru.

Za iskanje odvoda funkcije (3) uporabimo lastnosti potenčne funkcije in jo pretvorimo v naslednjo obliko:
.

Zdaj najdemo izpeljanko z uporabo:
;
.
Tukaj.

Formula (1) je dokazana.

Izpeljava formule za odvod korena stopnje n iz x na stopnjo m

Zdaj razmislite o funkciji, ki je koren naslednje oblike:
(4) .

Da bi našli izpeljanko, pretvorimo koren v potenčno funkcijo:
.
Če primerjamo s formulo (3), vidimo, da
.
Potem
.

S formulo (1) najdemo odvod:
(1) ;
;
(2) .

V praksi ni treba zapomniti formule (2). Veliko bolj priročno je najprej pretvoriti korene v potenčne funkcije in nato poiskati njihove izpeljanke s formulo (1) (glej primere na koncu strani).

Primer x = 0

Če je , potem je eksponentna funkcija definirana tudi za vrednost spremenljivke x = 0 . Poiščimo odvod funkcije (3) za x = 0 . Za to uporabimo definicijo derivata:
.

Zamenjaj x = 0 :
.
V tem primeru z odvodom mislimo na desno mejo, za katero .

Tako smo ugotovili:
.
Iz tega je razvidno, da pri , .
Ob , .
Ob , .
Ta rezultat dobimo tudi s formulo (1):
(1) .
Zato velja formula (1) tudi za x = 0 .

primer x< 0

Ponovno razmislite o funkciji (3):
(3) .
Za nekatere vrednosti konstante a je definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivka x. Namreč, naj bo a racionalno število. Potem ga lahko predstavimo kot nezmanjšani ulomek:
,
kjer sta m in n celi števili brez skupni delilnik.

Če je n liho, potem je eksponentna funkcija definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x. Na primer za n = 3 in m = 1 imamo kockasti koren od x:
.
Definiran je tudi za negativne vrednosti x.

Poiščimo odvod potenčne funkcije (3) za in za racionalne vrednosti konstante a , za katero je definirana. Da bi to naredili, predstavimo x v naslednji obliki:
.
potem,
.
Odvod najdemo tako, da konstanto vzamemo iz predznaka odvoda in uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:

.
Tukaj. Ampak
.
Ker torej
.
Potem
.
To pomeni, da formula (1) velja tudi za:
(1) .

Derivati ​​višjih redov

Zdaj najdemo odvode višjega reda potenčne funkcije
(3) .
Izpeljanko prvega reda smo že našli:
.

Če vzamemo konstanto a iz predznaka odvoda, najdemo odvod drugega reda:
.
Podobno najdemo izpeljanke tretjega in četrtega reda:
;

.

Od tod je jasno, da derivat poljubnega n-tega reda ima naslednjo obliko:
.

obvestilo, to če a je naravno število , , potem je n-ti derivat konstanten:
.
Potem so vsi naslednji derivati ​​enaki nič:
,
ob .

Izpeljani primeri

Primer

Poiščite odvod funkcije:
.

rešitev

Pretvorimo korene v potence:
;
.
Potem ima izvirna funkcija obliko:
.

Najdemo izpeljanke stopinj:
;
.
Odvod konstante je nič:
.

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov za najpreprostejše (in ne zelo preproste) funkcije, z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja med prirastkom in prirastkom argumenta, se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacija. Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sta prva delala na področju iskanja derivatov.

Zato v našem času, da bi našli odvod katere koli funkcije, ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak je treba uporabiti samo tabelo odvodov in pravila diferenciacije. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.

Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod znakom za črto razčleniti preproste funkcije in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nadalje najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika - v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.

Primer 1 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod "X" enak ena, odvod sinusa pa je kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoti derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Diferenciraj kot izpeljanko vsote, v kateri je drugi člen s konstantnim faktorjem, ga lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke:

Če še vedno obstajajo vprašanja o tem, od kod nekaj prihaja, praviloma postanejo jasni po branju tabele derivatov in najpreprostejših pravil diferenciacije. Prav zdaj gremo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "x". Vedno enako ena. Tudi to si je pomembno zapomniti
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potenco.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljanka kvadratni koren
6. Sinusni odvod
7. Kosinusni odvod
8. Tangentni odvod
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Odvod ark kosinusa
12. Odvod arc tangente
13. Odvod inverzne tangente
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Odvod vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, nato pa na isti točki funkcije

in

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je algebraična vsota derivate teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferencibilni funkciji razlikujeta za konstanto, potem sta njuna odvoda enaka, tj.

2. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je tudi njihov produkt diferencibilen na isti točki

in

tiste. odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega od faktorjev in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov količnik tudi diferenciabilen.u/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda odštevalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. .

Kje pogledati na drugih straneh

Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več pravil diferenciranja hkrati, zato je več primerov o teh odvodih v članku."Odvod produkta in količnika".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot člena v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. to tipična napaka, ki se pojavi na začetni fazi učnih izpeljank, a ker rešijo več eno-dvokomponentnih primerov, povprečen učenec te napake ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, pri čemer u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo izpeljanka tega števila enaka nič in zato bo celoten izraz enak nič (tak primer je analiziran v primeru 10) .

drugo pogosta napaka- mehanska rešitev odvoda kompleksne funkcije kot odvoda enostavne funkcije. Zato odvod kompleksne funkcije posvečen posebnemu članku. Najprej pa se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.

Na tej poti ne morete brez transformacij izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnike v novem sistemu Windows Dejanja z močmi in koreninami in Dejanja z ulomki .

Če iščete rešitve za izpeljanke s potencami in koreni, torej, kako izgleda funkcija , nato pa sledite lekciji " Odvod vsote ulomkov s potencami in koreni".

Če imate nalogo, kot je , potem ste v lekciji "Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij".

Primeri korak za korakom - kako najti izpeljanko

Primer 3 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Določimo dele izraza funkcije: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije zmnožkov: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru je v vsaki vsoti drugi člen z znakom minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "x" spremeni v eno in minus 5 - v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje vrednosti derivatov:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Primer 4 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, in imenovalec je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je produkt, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve takšnih problemov, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer obstaja zvezen kup korenin in stopenj, kot je npr. potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometričnih funkcij, to je, ko je funkcija videti kot , potem imaš lekcijo "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5 Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo zmnožek, katerega eden od faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, z odvodom katere smo se seznanili v tabeli odvodov. Glede na pravilo diferenciacije produkta in tabelarno vrednost odvoda kvadratnega korena dobimo:

Primer 6 Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. Glede na pravilo diferenciacije količnika, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarno vrednost odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.

Na kateri smo analizirali najpreprostejše izpeljanke, seznanili pa se tudi s pravili diferenciacije in nekaterimi tehnikami iskanja izpeljank. Torej, če niste zelo dobri z izpeljankami funkcij ali nekatere točke tega članka niso povsem jasne, potem najprej preberite zgornjo lekcijo. Prosim, prilagodite se resnemu razpoloženju - gradivo ni enostavno, vendar ga bom vseeno poskušal predstaviti preprosto in jasno.

V praksi se moraš z odvodom kompleksne funkcije ukvarjati zelo pogosto, rekel bi celo skoraj vedno, ko ti dajo nalogo najti odvode.

V tabeli pogledamo pravilo (št. 5) za razlikovanje kompleksne funkcije:

Razumemo. Najprej si poglejmo zapis. Tu imamo dve funkciji - in , funkcija pa je, figurativno rečeno, ugnezdena v funkciji . Funkcija te vrste (ko je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje kompleksna funkcija.

Poklical bom funkcijo zunanja funkcija, in funkcijo – notranja (ali ugnezdena) funkcija.

! Te definicije niso teoretične in se ne smejo pojavljati v končni zasnovi nalog. prijavim se neformalni izrazi»zunanja funkcija«, »notranja« funkcija le za lažje razumevanje snovi.

Če želite razjasniti situacijo, upoštevajte:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

Pod sinusom nimamo le črke "x", temveč celoten izraz, zato iskanje derivata takoj iz tabele ne bo delovalo. Opazimo tudi, da tukaj ni mogoče uporabiti prvih štirih pravil, zdi se, da obstaja razlika, dejstvo pa je, da je nemogoče "raztrgati" sinus:

V tem primeru je že iz mojih razlag intuitivno jasno, da je funkcija kompleksna funkcija, polinom pa notranja funkcija(vdelava) in - zunanja funkcija.

Prvi korak, ki ga je treba izvesti pri iskanju odvoda kompleksne funkcije razumeti, katera funkcija je notranja in katera zunanja.

Kdaj preprosti primeri zdi se jasno, da je polinom ugnezden pod sinus. Kaj pa, če ni očitno? Kako natančno določiti, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Da bi to naredili, predlagam uporabo naslednje tehnike, ki jo je mogoče izvesti mentalno ali na osnutku.

Predstavljajmo si, da moramo vrednost izraza izračunati s kalkulatorjem (namesto ena je lahko poljubno število).

Kaj najprej izračunamo? Najprej bo treba narediti naslednje dejanje:, zato bo polinom notranja funkcija:

Drugič boste morali najti, zato bo sinus - zunanja funkcija:

Potem ko smo RAZUMEJTE z notranjimi in zunanjimi funkcijami je čas, da uporabimo pravilo diferenciacije sestavljenih funkcij .

Začnemo se odločati. Iz lekcije Kako najti izpeljanko? spomnimo se, da se zasnova rešitve katere koli izpeljanke vedno začne takole - izraz zapremo v oklepaj in zgoraj desno postavimo črto:

najprej poišči izpeljanko zunanja funkcija(sinus), poglejte tabelo odvodov elementarnih funkcij in opazite, da . Vse tabelarične formule so uporabne, tudi če je "x" nadomeščen s kompleksnim izrazom, v tem primeru:

Upoštevajte, da notranja funkcija ni spremenilo, se ga ne dotikamo.

No, to je povsem očitno

Rezultat uporabe formule čisto zgleda takole:

Konstantni faktor je običajno postavljen na začetek izraza:

Če pride do nesporazuma, odločitev zapišite na papir in še enkrat preberite obrazložitve.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Kot vedno pišemo:

Ugotavljamo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Da bi to naredili, poskušamo (miselno ali na osnutku) izračunati vrednost izraza za . Kaj je treba storiti najprej? Najprej morate izračunati, čemu je enaka osnova:, kar pomeni, da je polinom notranja funkcija:

In šele nato se izvede potenciranje, zato je funkcija moči zunanja funkcija:

Po formuli , najprej morate najti odvod zunanje funkcije, v tem primeru stopnjo. V tabeli iščemo želeno formulo:. Še enkrat ponavljamo: katera koli tabelarična formula velja ne samo za "x", ampak tudi za kompleksen izraz. Tako je rezultat uporabe pravila diferenciacije kompleksne funkcije Naslednji:

Ponovno poudarjam, da ko vzamemo odvod zunanje funkcije, se notranja funkcija ne spremeni:

Zdaj je treba najti zelo preprosto izpeljanko notranje funkcije in malo "prečesati" rezultat:

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Za utrjevanje razumevanja odvoda kompleksne funkcije bom dal primer brez komentarjev, poskusite sami ugotoviti, razlog, kje je zunanja in kje notranja funkcija, zakaj so naloge rešene na ta način?

Primer 5

a) Poiščite odvod funkcije

b) Poiščite odvod funkcije

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo koren in da ga lahko razlikujemo, ga moramo predstaviti kot stopnjo. Tako funkcijo najprej postavimo v ustrezno obliko za diferenciacijo:

Z analizo funkcije pridemo do zaključka, da je vsota treh členov notranja funkcija, potenciranje pa zunanja funkcija. Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije :

Stopnjo ponovno predstavimo kot radikal (koren), za odvod notranje funkcije pa uporabimo preprosto pravilo za razlikovanje vsote:

pripravljena Izraz lahko spravite tudi na skupni imenovalec v oklepaju in vse zapišete kot en ulomek. Seveda je lepo, a ko dobimo okorne dolge izpeljanke, je bolje, da tega ne storimo (lahko se zmedemo, naredimo nepotrebno napako in učitelju bo neprijetno preverjati).

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Zanimivo je, da lahko včasih namesto pravila za razlikovanje kompleksne funkcije uporabimo pravilo za razlikovanje količnika , vendar bo takšna rešitev videti kot perverznost nenavadna. Tukaj je tipičen primer:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika , vendar je veliko bolj donosno najti derivat s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije:

Funkcijo pripravimo za diferenciacijo - izločimo znak minus odvoda in dvignemo kosinus na števec:

Kosinus je notranja funkcija, potenciranje je zunanja funkcija.
Uporabimo svoje pravilo :

Poiščemo odvod notranje funkcije, ponastavimo kosinus nazaj navzdol:

pripravljena V obravnavanem primeru je pomembno, da se ne zmedete v znakih. Mimogrede, poskusite to rešiti s pravilom , se morata odgovora ujemati.

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Do sedaj smo obravnavali primere, ko smo imeli samo eno gnezdenje v kompleksni funkciji. V praktičnih nalogah lahko pogosto najdemo izpeljanke, kjer so kot gnezdeče lutke ena v drugo ugnezdene 3 ali celo 4-5 funkcij hkrati.

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Razumemo priloge te funkcije. Poskušamo ovrednotiti izraz z uporabo eksperimentalne vrednosti. Kako bi računali na kalkulator?

Najprej morate najti, kar pomeni, da je arkusin najgloblje gnezdenje:

Ta arksinus enote je treba nato kvadrirati:

In končno dvignemo sedem na potenco:

To pomeni, da imamo v tem primeru tri različne funkcije in dve ugnezditvi, medtem ko je najbolj notranja funkcija arksinus, najbolj zunanja funkcija pa eksponentna funkcija.

Začnemo se odločati

Po pravilu najprej morate vzeti odvod zunanje funkcije. Pogledamo tabelo odvodov in poiščemo odvod eksponentne funkcije: Edina razlika je v tem, da imamo namesto "x" kompleksen izraz, kar pa ne izniči veljavnosti te formule. Torej, rezultat uporabe pravila diferenciacije kompleksne funkcije Naslednji.