Formula za vsoto algebraične progresije. Algebrsko napredovanje. Vsota algebraične progresije - formula

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Cilji lekcije:

• razširitev in poglobitev predstav učencev o nalogah, ki jih rešujejo z uporabo aritmetična progresija; organizacija iskalne dejavnosti študentov pri izpeljavi formule za vsoto prvih n članov aritmetičnega napredovanja;
• razvoj sposobnosti za samostojno pridobivanje novega znanja, uporabo že pridobljenega znanja za dosego naloge;
• razvoj želje in potrebe po posploševanju pridobljenih dejstev, razvoj samostojnosti.

Naloge:

• posplošiti in sistematizirati obstoječe znanje o temi "Aritmetična progresija";
• izpeljati formule za izračun vsote prvih n členov aritmetične progresije;
• naučiti, kako uporabiti dobljene formule pri reševanju razne naloge;
• učence opozoriti na postopek iskanja vrednosti številskega izraza.

Oprema:

• kartice z nalogami za delo v skupinah in parih;
• ocenjevalni papir;
• predstavitev"Aritmetična progresija".

I. Aktualizacija temeljnega znanja.

1. Samostojno delo v parih.

1. možnost:

Določite aritmetično progresijo. Zapišite rekurzivno formulo, ki definira aritmetično progresijo. Navedite primer aritmetične progresije in navedite njeno razliko.

2. možnost:

Zapišite formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja. Poiščite 100. člen aritmetične progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
V tem času dva študenta hrbtna stran table pripravljajo odgovore na ista vprašanja.
Učenci ocenijo partnerjevo delo tako, da ga primerjajo s tablo. (Zloženke z odgovori se predajo).

2. Igralni trenutek.

1. vaja.

učiteljica. Zamislil sem si neko aritmetično progresijo. Zastavi mi samo dve vprašanji, da boš po odgovorih lahko hitro imenoval 7. člana tega napredovanja. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Vprašanja študentov.

1. Kaj je šesti člen napredovanja in kakšna je razlika?
2. Kaj je osmi člen napredovanja in kakšna je razlika?

Če ni več vprašanj, jih lahko učitelj spodbudi - "prepoved" d (razlika), torej ni dovoljeno vprašati, kakšna je razlika. Postavljate lahko vprašanja: kaj je 6. člen napredovanja in kaj je 8. člen napredovanja?

Naloga 2.

Na tabli je napisanih 20 številk: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji s hrbtom obrnjen proti tabli. Učenci povedo številko številke, učitelj pa takoj pokliče samo številko. Pojasnite, kako lahko to storim?

Učitelj si zapomni formulo n-tega člena a n \u003d 3n - 2 in z zamenjavo danih vrednosti n najde ustrezne vrednosti a n .

II. Izjava izobraževalne naloge.

Predlagam rešitev starega problema iz 2. tisočletja pr. n. št., najdenega v egipčanskih papirusih.

Naloga:"Naj vam rečejo: razdelite 10 mer ječmena med 10 ljudi, razlika med vsakim in njegovim sosedom je 1/8 mere."

• Kako je ta problem povezan s temo aritmetične progresije? (Vsaka naslednja oseba dobi 1/8 mere več, torej je razlika d=1/8, 10 oseb, torej n=10.)
• Kaj misliš, da pomeni številka 10? (Vsota vseh članov napredovanja.)
• Kaj še morate vedeti, da boste lahko in preprosto razdelili ječmen glede na stanje težave? (Prvi člen napredovanja.)

Cilj lekcije- pridobitev odvisnosti vsote členov progresije od njihovega števila, prvega člena in razlike ter preverjanje, ali je bil problem v starih časih pravilno rešen.

Preden izpeljemo formulo, poglejmo, kako so stari Egipčani rešili problem.

In rešili so takole:

1) 10 meric: 10 = 1 merica - povprečni delež;
2) 1 merica ∙ = 2 merici - podvojeno povprečje deliti.
podvojeno povprečje delež je vsota deležev 5. in 6. osebe.
3) 2 meri - 1/8 mere = 1 7/8 mere - dvakratni delež pete osebe.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - delež petine; in tako naprej, lahko najdete delež vsake prejšnje in naslednje osebe.

Dobimo zaporedje:

III. Rešitev naloge.

1. Delo v skupinah

1. skupina: Poiščite vsoto 20 zaporednih naravnih števil: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

IN splošni pogled

II skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 100 (Legenda o malem Gaussu).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Zaključek:

III skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 21.

Rešitev: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Zaključek:

IV skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 101.

Zaključek:

Ta metoda reševanja obravnavanih problemov se imenuje "Gaussova metoda".

2. Vsaka skupina na tablo predstavi rešitev problema.

3. Posplošitev predlaganih rešitev za poljubno aritmetično progresijo:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

To vsoto najdemo tako, da trdimo podobno:

4. Smo rešili nalogo?(Da.)

IV. Primarno razumevanje in uporaba pridobljenih formul pri reševanju nalog.

1. Preverjanje rešitve starega problema s formulo.

2. Uporaba formule pri reševanju različnih problemov.

3. Vaje za oblikovanje sposobnosti uporabe formule pri reševanju problemov.

A) Št. 613

dano :( in n) - aritmetična progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Najti: S 1500

rešitev: , in 1 = 1 in 1500 = 1500,

B) Glede na: ( in n) - aritmetična progresija;
(in n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Najti: n
rešitev:

V. Samostojno delo z medsebojnim preverjanjem.

Denis je šel delat kot kurir. V prvem mesecu je njegova plača znašala 200 rubljev, v vsakem naslednjem mesecu se je povečala za 30 rubljev. Koliko je zaslužil v enem letu?

dano :( in n) - aritmetična progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Najti: S 12
rešitev:

Odgovor: Denis je za leto prejel 4380 rubljev.

VI. Navodila za domačo nalogo.

1. str 4.3 - naučite se izpeljave formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Sestavite nalogo, ki bi jo rešili s formulo za vsoto prvih n členov aritmetične progresije.

VII. Povzetek lekcije.

1. Točkovni list

2. Nadaljuj povedi

• Danes sem se v razredu naučil...
• Naučene formule...
• Verjamem, da …

3. Znaš najti vsoto števil od 1 do 500? Kakšno metodo boste uporabili za rešitev te težave?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Vadnica za izobraževalne ustanove. Ed. G.V. Dorofejeva. Moskva: Razsvetljenje, 2009.

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.

Ta tema je pogosto težka in nerazumljiva. črkovna kazala, n-ti izraz napredovanja, razlika v napredovanju - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetičnega napredovanja in vse se bo takoj izšlo.)

Koncept aritmetične progresije.

Aritmetična progresija je zelo preprost in jasen koncept. dvom? Zaman.) Prepričajte se sami.

Napisal bom nedokončano vrsto številk:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Lahko podaljšate to linijo? Katere številke bodo naslednje za petico? Vsi ... uf ..., skratka vsi bodo ugotovili, da bodo številke 6, 7, 8, 9 itd.

Zakomplicirajmo nalogo. Dajem nedokončano vrsto številk:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Lahko ujamete vzorec, razširite serijo in poimenujete sedmičštevilka vrstice?

Če ste ugotovili, da je ta številka 20 - čestitam vam! Nisi samo čutil Ključne točke aritmetična progresija, pa tudi uspešno uporabili v poslu! Če ne razumete, berite dalje.

Zdaj pa prevedimo ključne točke iz občutkov v matematiko.)

Prva ključna točka.

Aritmetična progresija obravnava serije števil. To je na začetku zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, graditi grafe in vse to ... In potem razširiti vrsto, najti številko serije ...

V redu je. Samo progresije so prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Serije" in deluje z nizi števil in izrazov. Navadi se.)

Druga ključna točka.

V aritmetični progresiji se vsako število razlikuje od prejšnjega za enak znesek.

V prvem primeru je ta razlika ena. Katero koli številko vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - tri. Vsako število je trikrat večje od prejšnjega. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da ujamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.

Tretja ključna točka.

Ta trenutek ni osupljiv, ja ... Ampak zelo, zelo pomemben. Tukaj je: vsak število napredovanja stoji na svojem mestu. Tu je prva številka, tu je sedma, tu je petinštirideseta in tako naprej. Če jih naključno zamenjate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. To je samo niz številk.

To je bistvo.

Seveda, v nova tema pojavijo se novi izrazi in zapisi. Morajo vedeti. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se morate za nekaj takega:

Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Navdihuje?) Pisma, nekaj kazal ... In naloga, mimogrede, ne bi mogla biti lažja. Samo razumeti morate pomen izrazov in zapisov. Zdaj bomo to zadevo obvladali in se vrnili k nalogi.

Izrazi in poimenovanja.

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

Ta vrednost se imenuje . Oglejmo si ta koncept podrobneje.

Razlika aritmetične progresije.

Razlika aritmetične progresije je znesek, za katerega katero koli število napredovanja več prejšnji.

ena pomembna točka. Prosimo, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da je pridobljeno vsako število napredovanja dodajanje razlika aritmetične progresije glede na prejšnje število.

Za izračun, recimo drugoštevilke vrste, je treba prvištevilo dodati prav ta razlika aritmetične progresije. Za izračun peti- razlika je nujna dodati Za četrti no itd.

Razlika aritmetične progresije Mogoče pozitivno potem se bo vsaka številka serije izkazala za resnično več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje povečevanje. Na primer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tukaj je vsaka številka dodajanje pozitivno število, +5 k prejšnjemu.

Razlika je lahko negativno potem bo vsaka številka v seriji manj kot prejšnji. To napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.

Na primer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tudi tu se dobi vsako število dodajanje na prejšnje, a že negativno število, -5.

Mimogrede, pri delu s progresijo je zelo koristno takoj ugotoviti njeno naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. Zelo pomaga, da se orientirate pri odločitvi, odkrijete svoje napake in jih popravite, preden bo prepozno.

Razlika aritmetične progresije običajno označen s črko d.

Kako najti d? Zelo preprosto. Od poljubne številke serije je treba odšteti prejšnjištevilo. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)

Določimo npr. d za naraščajočo aritmetično progresijo:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vzamemo poljubno številko vrstice, ki jo želimo, na primer 11. Od tega odštejemo prejšnjo številko tiste. 8:

To je pravilen odgovor. Za to aritmetično napredovanje je razlika tri.

Lahko samo vzameš poljubno število napredovanj, Ker za določeno napredovanje d-vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj v sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Samo zato, ker je prva številka ni prejšnjega.)

Mimogrede, vem, da d=3, je iskanje sedme številke tega napredovanja zelo preprosto. Petemu številu dodamo 3 - dobimo šesto, to bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko - dvajset.

Določimo d za padajočo aritmetično progresijo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebno iz katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberemo poljubno število napredovanja, na primer -7. Njegovo prejšnje število je -2. Nato:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetične progresije je lahko poljubno število: celo število, ulomek, iracionalno, poljubno.

Drugi izrazi in poimenovanja.

Vsaka številka v nizu je poklicana člen aritmetične progresije.

Vsak član napredovanja ima njegovo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosim, jasno razumejte - same številke je lahko absolutno katera koli, cela, delna, negativna, karkoli, ampak številčenje- strogo v redu!

Kako napisati napredovanje v splošni obliki? Brez problema! Vsaka številka v seriji je zapisana kot črka. Za označevanje aritmetične progresije se praviloma uporablja črka a. Številka člana je označena z indeksom desno spodaj. Člani so zapisani ločeno z vejicami (ali podpičji), takole:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 je prva številka a 3- tretji itd. Nič zapletenega. To serijo lahko na kratko zapišete takole: (a n).

Obstajajo napredovanja končno in neskončno.

končni progresija ima omejeno število članov. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak to je končno število.

Neskončno napredovanje - ima neskončno število članov, kot morda ugibate.)

Lahko napišete končno napredovanje skozi niz, kot je ta, vsi člani in pika na koncu:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ali takole, če je članov veliko:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

V kratkem vnosu boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:

(a n), n = 20

Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.

Zdaj že lahko rešujete naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.

Primeri nalog za aritmetično napredovanje.

Oglejmo si pobliže zgornjo nalogo:

1. Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Nalogo prevedemo v razumljiv jezik. Podana neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Znana razlika v napredovanju: d = -2,5. Najti moramo prvega, tretjega, četrtega, petega in šestega člana tega napredovanja.

Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoj problema. Prvih šest članov, kjer je drugi član pet:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Nadomeščamo v izrazu a 2 = 5 in d=-2,5. Ne pozabite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretji izraz je manjši od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega negativno vrednost, zato bo samo število manjše od prejšnjega. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo to.) Menimo, da je četrti član naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Torej so izračunani členi od tretjega do šestega. Rezultat tega je serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Še vedno je treba najti prvi izraz a 1 po znanem drugem. To je korak v drugo smer, v levo.) Zato je razlika aritmetične progresije d ne bi smeli dodati a 2, A odnesti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je vse. Odgovor na nalogo:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mimogrede ugotavljam, da smo to nalogo rešili ponavljajoče se način. Ta strašna beseda pomeni le iskanje člana napredovanja po prejšnji (sosednji) številki. O drugih načinih dela z napredovanjem bomo razpravljali kasneje.

Iz te preproste naloge lahko potegnemo pomemben sklep.

Ne pozabite:

Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerikoli člen te progresije.

Se spomniš? Ta preprosta izpeljava nam omogoča rešitev večine problemov šolski tečaj na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli treh glavnih parametrov: člen aritmetične progresije, razlika progresije, število členov progresije. Vse.

Seveda vsa prejšnja algebra ni preklicana.) Neenačbe, enačbe in druge stvari so priložene napredovanju. Ampak glede na napredovanje- vse se vrti okoli treh parametrov.

Na primer, razmislite o nekaterih priljubljenih nalogah na to temo.

2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n=5, d=0,4 in a 1=3,6.

Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se izračunajo, preštejejo in zapišejo člani aritmetične progresije. Priporočljivo je, da ne preskočite besed v pogoju naloge: "končno" in " n=5". Da ne bi šteli, dokler ne boste popolnoma modri v obraz.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaja še zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Druga naloga:

3. Ugotovite, ali bo število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kdo ve? Kako nekaj definirati?

Kako-kako ... Ja, zapiši napredovanje v obliki serije in poglej, ali bo sedmica ali ne! Verjamemo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Zdaj se jasno vidi, da nas je komaj sedem zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedmica ni prišla v naš niz števil in zato sedmica ne bo član danega napredovanja.

Odgovor: ne.

In tukaj je naloga, ki temelji na resnični različici GIA:

4. Izpiše se več zaporednih členov aritmetične progresije:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tukaj je serija brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d. V redu je. Za rešitev problema je dovolj, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja. Poglejmo in poglejmo, kaj lahko vedeti iz te vrstice? Kakšni so parametri treh glavnih?

Članske številke? Tukaj ni niti ene številke.

Ampak tam so tri številke in - pozor! - beseda "zaporedno" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva? sosednji znane številke? Ja, jaz imam! To sta 9 in 6. Torej lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Od šestice odštejemo prejšnjištevilo, tj. devet:

Ostala so prazna mesta. Katero število bo prejšnje za x? Petnajst. Torej lahko x zlahka najdemo s preprostim seštevanjem. K 15 dodajte razliko aritmetične progresije:

To je vse. odgovor: x=12

Naslednje probleme rešujemo sami. Opomba: te uganke niso za formule. Čisto za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.) Samo zapišemo niz številk-črk, pogledamo in pomislimo.

5. Poiščite prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Znano je, da je število 5,5 člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člena.

7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Poiščite 3.

8. Izpišemo več zaporednih členov aritmetične progresije:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Poiščite člen napredovanja, ki ga označimo s črko x.

9. Vlak se je začel premikati s postaje in postopoma povečeval svojo hitrost za 30 metrov na minuto. Kolikšna bo hitrost vlaka čez pet minut? Odgovorite v km/h.

10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.

Odgovori (v razsulu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Je vse uspelo? Neverjetno! Za več lahko obvladate aritmetično progresijo visoka stopnja, v naslednjih lekcijah.

Se ni vse izšlo? Brez težav. V posebnem oddelku 555 so vse te uganke razčlenjene po delih.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj poudari rešitev takšnih nalog jasno, jasno, kot na dlani!

Mimogrede, v uganki o vlaku sta dve težavi, na kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena - izključno po napredovanju, druga pa je skupna vsem nalogam v matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. Prikazuje, kako je treba te probleme reševati.

V tej lekciji smo preučili osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d k številkam, napišite serijo, vse se bo odločilo.

Rešitev s prsti dobro deluje pri zelo kratkih delih serije, kot v primerih v tej lekciji. Če je serija daljša, postanejo izračuni bolj zapleteni. Na primer, če v težavi 9 v vprašanju zamenjajte "pet minut" na "petintrideset minut" težava bo postala veliko hujša.)

In obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, vendar popolnoma absurdne v smislu izračunov, na primer:

Glede na aritmetično progresijo (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

In kaj, 1/6 bomo dodajali veliko, velikokrat?! Ali se je mogoče ubiti!?

Lahko.) Če ne poznate preproste formule, s katero lahko takšne naloge rešite v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Navodilo

Aritmetična progresija je zaporedje oblike a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Številka d korak napredovanja.Očitno je vsota poljubnega n-tega člena aritmetike napredovanja ima obliko: An = A1+(n-1)d. Potem poznavanje enega od članov napredovanja, članica napredovanja in korak napredovanja, je lahko , to je številka člena napredovanja. Očitno bo določen s formulo n = (An-A1+d)/d.

Naj bo zdaj znan m napredovanja in še kakšen član napredovanja- n-ti, vendar n , kot v prejšnjem primeru, vendar je znano, da se n in m ne ujemata.Korak napredovanja se lahko izračuna po formuli: d = (An-Am)/(n-m). Potem je n = (An-Am+md)/d.

Če je vsota več elementov aritmetike napredovanja, kot tudi njegov prvi in ​​zadnji , potem je mogoče določiti tudi število teh elementov.Vsota aritmetike napredovanja bo enako: S = ((A1+An)/2)n. Potem je n = 2S/(A1+An) chdenov napredovanja. Če uporabimo dejstvo, da je An = A1+(n-1)d, lahko to formulo prepišemo kot: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz tega lahko z reševanjem izrazimo n kvadratna enačba.

Aritmetično zaporedje je tako urejen niz števil, katerega vsak člen, razen prvega, se od prejšnjega razlikuje za enako. Ta konstanta se imenuje razlika progresije ali njenega koraka in jo je mogoče izračunati iz znanih členov aritmetične progresije.

Navodilo

Če so vrednosti prvega in drugega ali katerega koli drugega para sosednjih členov znane iz pogojev problema, za izračun razlike (d) preprosto odštejte prejšnji člen od naslednjega člena. Dobljena vrednost je lahko pozitivna oz negativno število- odvisno od tega, ali se napredovanje povečuje. IN splošna oblika zapišite rešitev za poljuben par (aᵢ in aᵢ₊₁) sosednjih členov progresije takole: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par členov takšne progresije, od katerih je eden prvi (a₁), drugi pa kateri koli drug poljubno izbran, lahko sestavimo tudi formulo za iskanje razlike (d). Vendar pa je v tem primeru treba vedeti serijska številka(i) poljubno izbrani člen zaporedja. Razliko izračunamo tako, da obe števili seštejemo in rezultat delimo z vrstnim številom poljubnega člena, zmanjšanim za ena. Na splošno zapišite to formulo, kot sledi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Če je poleg poljubnega člena aritmetične progresije z vrstnim številom i znan še en člen z vrstnim številom u, formulo iz prejšnjega koraka ustrezno spremenimo. V tem primeru bo razlika (d) napredovanja vsota teh dveh členov, deljena z razliko v njunih zaporednih številkah: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračun razlike (d) postane nekoliko bolj zapletena, če sta vrednost njenega prvega člana (a₁) in vsota (Sᵢ) danega števila (i) prvih členov aritmetičnega zaporedja podani v pogojih težava. Če želite dobiti želeno vrednost, vsoto delite s številom členov, ki jo sestavljajo, odštejete vrednost prvega števila v zaporedju in rezultat podvojite. Dobljeno vrednost razdelite na število členov, ki so sestavljali vsoto, zmanjšano za ena. Na splošno si formulo za izračun diskriminante zapišite takole: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Če vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da dano številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi člen zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako naprej. številka a n klical n-ti član zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Od dveh sosednjih članov a n in a n +1 članska zaporedja a n +1 klical naknadno (proti a n ), A a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite podati zaporedje, morate podati metodo, ki vam omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje podano z formule n-tega člena , to je formula, ki omogoča določitev člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , nato prvih sedem izrazov številčno zaporedje nastavite kot sledi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje upadanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščajočim številom ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija imenuje se zaporedje, katerega vsak člen, začenši od drugega, je enak prejšnjemu, ki mu je dodano isto število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če obstaja naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - nekaj številk.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za nastavitev aritmetične progresije je dovolj, da določite njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem je prvih pet členov zaporedja najdenih na naslednji način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

vsak člen aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eno od njih enako aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Upoštevajte to n -th član aritmetične progresije je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se lahko napiše

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

a n=	a n-k + a n+k
	2

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote članov tega aritmetičnega napredovanja, ki so od njega enako oddaljeni.

Poleg tega za vsako aritmetično napredovanje velja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetične progresije je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov s številom členov:

Iz tega zlasti izhaja, da če je treba sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezujeta dve formuli:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

geometrijsko napredovanje imenuje se zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - nekaj številk.

Tako je razmerje med naslednjim členom te geometrijske progresije in prejšnjim konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijskega napredovanja.

Za nastavitev geometrijskega napredovanja je dovolj, da določite njegov prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem je prvih pet členov zaporedja najdenih na naslednji način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n -ti člen lahko najdete po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (sorazmerni) prejšnjega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih je enak produktu drugi dve, to je eno od števil je geometrična sredina drugih dveh.

na primer

dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje zahtevano trditev. ◄

Upoštevajte to n člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji mandat b k , za kar zadostuje uporaba formule

b n = b k · q n - k.

na primer

Za b 5 se lahko napiše

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

eksponentno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če moramo izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

na primer

eksponentno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezujeta dve formuli:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje predznačno izmenično: njegovi lihi členi imajo enak predznak kot prvi člen, sodi členi pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člene geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija se imenuje neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši od 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. To ustreza primeru

1 < q< 0 .

S takšnim imenovalcem je zaporedje predznakomizmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki mu je vsota prvega n pogojih napredovanja z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . — aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . — aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . je geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Problemi aritmetičnega napredovanja obstajajo že od antičnih časov. Pojavili so se in zahtevali rešitev, ker so imeli praktično potrebo.

Torej, v enem od papirusov starodavni Egipt, ki ima matematično vsebino - Rhindov papirus (XIX. stoletje pr. n. št.) - vsebuje naslednjo nalogo: razdeli deset mer kruha na deset ljudi, pri čemer mora biti razlika med vsakim ena osmina mere.

In v matematičnih delih starih Grkov so elegantni izreki, povezani z aritmetičnim napredovanjem. Torej, Gipsicles iz Aleksandrije (II. stoletje, kar je pomenilo veliko zanimive naloge in dodal štirinajsto knjigo k Evklidovim Elementom, oblikoval idejo: "V aritmetični progresiji s sodim številom članov je vsota členov 2. polovice večja od vsote členov 1. za kvadrat 1. /2 od števila članov."

Zaporedje an je označeno. Številke zaporedja imenujemo njegovi členi in so običajno označene s črkami z indeksi, ki označujejo zaporedno številko tega člena (a1, a2, a3 ... beri: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” in tako naprej).

Zaporedje je lahko neskončno ali končno.

Kaj je aritmetična progresija? Razumemo ga, kot da ga dobimo s seštevanjem prejšnjega člena (n) z enakim številom d, ki je razlika progresije.

Če d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potem se takšno napredovanje šteje za naraščajoče.

Za aritmetično progresijo pravimo, da je končna, če upoštevamo le nekaj njenih prvih členov. Pri zelo v velikem številučlanov je že neskončno napredovanje.

Vsako aritmetično napredovanje je podano z naslednjo formulo:

an =kn+b, medtem ko sta b in k nekaj števil.

Trditev, ki je nasprotna, je popolnoma resnična: če je zaporedje podano s podobno formulo, potem je to natanko aritmetična progresija, ki ima lastnosti:

1. Vsak člen progresije je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člana.
2. Nasprotno: če je, začenši od 2., vsak člen aritmetična sredina prejšnjega člena in naslednjega, tj. če je pogoj izpolnjen, je dano zaporedje aritmetična progresija. Ta enakost je hkrati znak progresije, zato jo običajno imenujemo značilna lastnost progresije.
   Na enak način velja izrek, ki odraža to lastnost: zaporedje je aritmetična progresija le, če ta enakost velja za katerega koli od členov zaporedja, začenši z 2.

Značilno lastnost poljubnih štirih števil aritmetične progresije lahko izrazimo s formulo an + am = ak + al, če je n + m = k + l (m, n, k so številke progresije).

V aritmetičnem napredovanju lahko vsak potreben (N-ti) člen najdemo z uporabo naslednje formule:

Na primer: prvi člen (a1) v aritmetični progresiji je podan in je enak tri, razlika (d) pa je enaka štiri. Najti morate petinštirideseti člen tega napredovanja. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogoča, da določite n-ti člen aritmetičnega napredovanja skozi katerega koli njegovega k-tega člana, pod pogojem, da je znan.

Vsota članov aritmetične progresije (ob predpostavki, da je 1. n članov končne progresije) se izračuna na naslednji način:

Sn = (a1+an) n/2.

Če je znan tudi prvi člen, je za izračun primerna druga formula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Vsota aritmetične progresije, ki vsebuje n členov, se izračuna na naslednji način:

Izbira formul za izračun je odvisna od pogojev nalog in začetnih podatkov.

Naravna vrsta poljubnih števil, kot so 1,2,3,...,n,...- najpreprostejši primer aritmetična progresija.

Poleg aritmetične progresije obstaja tudi geometrijska, ki ima svoje lastnosti in značilnosti.