Predstavitev na temo "Dirichletov princip". Dirichletovo načelo. Problemi in rešitve Razmislite o primerih različnih problemov, rešenih z uporabo Dirichletovega načela
Hipoteza: uporaba ustreznih formulacij Dirichletovega načela je najbolj racionalen pristop k reševanju problemov. Najpogosteje uporabljena formulacija je: "Če je v n kletkah n + 1 "zajcev", to je kletka, v kateri sta vsaj 2" zajca " Hipoteza: uporaba ustreznih formulacij Dirichletovega načela je najbolj racionalen pristop k reševanju problemov Najpogosteje uporabljena formulacija je: »Če je v n kletkah n + 1 »zajcev«, to je kletka, v kateri sta vsaj 2 »zajca« Namen: preučiti enega od osnovne metode matematike, Dirichletov princip
To načelo pravi, da če nabor N elementov razdelimo na n neprekrivajočih se delov, ki nimajo skupnih elementov, kjer je N>n, bo vsaj en del imel več kot en element. Najpogosteje je Dirichletovo načelo navedeno v enem naslednjih oblik: Če je v n celicah n + 1 "zajcev", potem obstaja celica z vsaj 2 "zajci"
U1. "Če v n celicah ni več kot n-1 "zajcev", potem obstaja prazna celica" U1. "Če v n celicah ni več kot n-1 "zajcev", potem obstaja prazna celica" Y2. "Če je v n celicah n + 1 "zajec", potem obstaja celica, v kateri sta vsaj 2 "zajca"" Y3. "Če v n celicah ni več kot nk-1 "zajcev", potem v eni od celic ne sedi več kot k-1 "zajcev" Y4. "Če je v n vsaj n k + 1 "zajcev" celic, potem je v eni od celic vsaj k+1 "zajcev"
U5. "Zvezno Dirichletovo načelo. "Če je aritmetična sredina več števil večja od a, potem je vsaj eno od teh števil večje od a"; Y6. "Če je vsota n števil manjša od S, potem je vsaj eno od ta števila so manjša od S / n." V7: "Med p + 1 celimi števili sta dve celi števili, ki dajeta enak ostanek, če ju delimo s p."
Naloga. V iglastem gozdu raste 800.000 jelk. Vsaka smreka nima več kot 500.000 iglic. Dokaži, da obstajata vsaj dve jelki z enakim številom iglic. Znanstvena klasifikacija Kraljestvo: Rastline Oddelek: Golosemenke Razred: Iglavci Družina: Bor Vrsta: Smreke
Geometrijska naloga V enakokrakem trapezu s stranico 2 so 4 točke. Dokaži, da je razdalja med nekaterima dvema manjša od 1. Rešitev. Razdelimo trapez s stranico 2 na tri trikotnike s stranico 1. Imenujmo jih "celice", točke pa - "zajci". Po Dirichletovem načelu bosta od štirih točk vsaj dve v enem od treh trikotnikov. Razdalja med tema točkama je manjša od 1, ker točke ne ležijo na ogliščih trikotnikov
Kombinatorična naloga V škatli so kroglice 4 različnih barv (veliko belih, veliko črnih, veliko modrih, veliko rdečih). Kolikšno je najmanjše število žogic, ki jih je treba z dotikom odstraniti iz vrečke, da bosta dve enaki barvi? Rešitev Vzemimo kroglice za "zajce" in za "celice" - črne, bele, modre, rdeče barve. Celice so 4, torej če je zajcev vsaj 5, bosta v eno celico padla kakšna dva (tam bosta 2 enobarvni kroglici).
Naloga Imate n+1 različnih naravnih števil. Dokaži, da je med njimi mogoče izbrati dve števili A in B, katerih razlika je deljiva z n. Naloga Dokaži, da sta med n + 1 različnimi naravnimi števili vsaj dve števili A in B takšni, da je število A2 - B2 deljivo z n. Dokaži, da je (А – B)(A+B) večkratnik števila n. Naloga Dokaži, da sta med n+1 različnimi naravnimi števili vsaj dve taki števili A in B, da je število A3 – B3 deljivo z n. Dokažimo, da je (А – B)(A2+AB +B2) večkratnik n
Fermatov mali izrek Če je p praštevilo, a je celo število, ki ni deljivo s p, potem p-1, ko ga delimo s p, daje ostanek 1. Dokaz Vsako od p-1 števil a, 2a, . . ., (p-1) a ("zajci") daje pri deljenju s p ostanek, ki ni enak nič (ker a ni deljiv s p)
Naš projekt je izobraževalni, praktičen. V šolskem krogu olimpijade je prišlo do težave. Odločili smo se, da bomo to vprašanje podrobneje preučili: - Seznanili smo se z literaturo na to temo. - Upoštevano zgodovinsko gradivo. - Študiral Dirichletovo načelo. - Pripravljen povzetek in predstavitev. - Naučili so se, kako ga uporabljati za reševanje problemov. - Načrtujemo pogovor z učenci 6. razreda.
Dirichlet se je rodil v vestfalskem mestu Düren v družini poštnega upravitelja. Pri 12 letih je Dirichlet začel študirati na gimnaziji v Bonnu, dve leti pozneje na jezuitski gimnaziji v Kölnu, kjer ga je poleg drugih učiteljev poučeval Georg Ohm. Od leta 1822 do 1827 je živel kot domači učitelj v Parizu, kjer se je gibal v krogu Fourierja. Biografija
Leta 1827 dobi službo kot Privatdozent na Univerzi v Breslau (Wroclaw). - Leta 1829 se je preselil v Berlin, kjer je neprekinjeno deloval 26 let, najprej kot docent. - Nato od 1831 kot izredni prof. - Od leta 1839 kot redni profesor na univerzi v Berlinu. Leta 1855 je Dirichlet kot Gaussov naslednik postal profesor višje matematike na univerzi v Göttingenu. Biografija
Če v n celicah sedi m zajcev in m > n, potem vsaj dva zajca sedita v vsaj eni celici. n, potem vsaj dva zajca sedita v vsaj eni kletki."> n, potem vsaj dva zajca sedita v vsaj eni kletki." > n, potem vsaj dva zajca." title="(! LANG: Če je m zajcev v n kletkah in m > n, potem sta vsaj dva zajca v vsaj eni kletki."> title="Če v n celicah sedi m zajcev in m > n, potem vsaj dva zajca sedita v vsaj eni celici."> !}
Če je v n celicah m golobov in m 
N, potem vsaj ena celica vsebuje vsaj m:n zajcev in vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev." title="(!LANG:Splošno Dirichletovo načelo Recimo, da m zajcev sedi v n Potem, če m > n, potem vsaj ena celica vsebuje vsaj m:n zajcev in vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev." class="link_thumb"> 9 !} Posplošeno Dirichletovo načelo Recimo, da m zajcev sedi v n kletkah. Če je torej m > n, potem vsaj ena celica vsebuje vsaj m:n zajcev in vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev. n, potem vsaj ena celica vsebuje vsaj m:n zajcev in tudi vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev."> n, potem vsaj ena celica vsebuje vsaj m:n zajcev in vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev."> n, potem vsaj ena celica vsebuje najmanj m:n zajcev in tudi vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev. " title="(!LANG :Posplošeno Dirichletovo načelo bolj kot m:n hares."> title="Posplošeno Dirichletovo načelo Recimo, da m zajcev sedi v n kletkah. Če je torej m > n, potem vsaj ena celica vsebuje vsaj m:n zajcev in vsaj ena druga celica vsebuje največ m:n zajcev."> !}
12, potem je po Dirichletovem načelu vsaj "title="(!LANG:V razredu je 15 učencev. Dokaži, da v enem mesecu rojstni dan praznujeta vsaj 2 učenca. Rešitev: Naj bo 15 učencev "zajci" Potem bodo "celice" meseci v letu, teh je 12. Ker je 15>12, potem je po Dirichletovem načelu najmanj" class="link_thumb"> 10 !} V razredu je 15 učencev. Dokaži, da v istem mesecu praznujeta rojstni dan vsaj 2 študenta. Rešitev: Naj bo 15 učencev "zajcev". Potem bodo "celice" meseci v letu, teh je 12. Ker je 15>12, potem po Dirichletovem principu obstaja vsaj ena "celica", v kateri bosta sedela vsaj 2 "zajca". . Odgovor: Obstaja mesec, v katerem bosta praznovala rojstni dan vsaj 2 učencev razreda. Naloga 1. 12, potem je po Dirichletovem načelu vsaj "\u003e 12", potem je po Dirichletovem načelu vsaj ena "kletka", v kateri bosta sedela vsaj 2 "zajca". Odgovor: Tam je mesec , v katerem bosta praznovala rojstni dan vsaj 2 učencev razreda. Problem 1."> 12, potem jih je po Dirichletovem načelu najmanj" title="(!LANG:Obstaja 15 učenci v razredu Dokaži, da v enem mesecu rojstni dan praznujeta vsaj 2 učenca Rešitev: Naj bo 15 učencev »zajcev.« Potem bodo »celice« meseci v letu, 12 jih je."> title="V razredu je 15 učencev. Dokaži, da v istem mesecu praznujeta rojstni dan vsaj 2 študenta. Rešitev: Naj bo 15 učencev "zajcev". Potem bodo »celice« meseci v letu, teh je 12. Ker je 15>12, potem je po Dirichletovem načelu najmanj"> !}
Kolya je naredil 8 lukenj v preprogi 3x3 metre. Dokaži, da je mogoče razrezati preprogo velikosti 1x1 meter brez lukenj v njej. Rešitev: Preprogo razrežemo na 9 preprog z dimenzijami 1x1 meter, saj je 9 preprog - "celic" in 8 lukenj - "golobov" Odgovor: V notranjosti je preproga brez lukenj. Naloga 2.
V 3.A razredu je 27 učencev, ki znajo le 109 pesmi. Dokaži, da obstaja šolar, ki zna vsaj 5 pesmi. Rešitev: Recimo, da vsak učenec ne pozna več kot 4 pesmi. Torej 27 šolarjev ne zna več kot 427 = 108 (pesmi) Odgovor: Torej obstaja šolar, ki zna vsaj 5 pesmi. Naloga 3.
V mestu je 15 šol. V njih se šola 6015 šolarjev. V koncertni dvorani Mestne palače kulture je 400 sedežev. Dokaži, da obstaja šola, katere učenci ne bodo stali v tej sobi. Rešitev: Predpostavimo, da ima vsaka šola največ 400 učencev. Torej v vseh šolah = 6000 (šolarjev). Odgovor: Zato učenci te šole ne bodo stali v dvorani s 400 sedeži. Naloga 4.
Šola ima 5 osmih razredov: 8A, ..., 8D. Vsak od njih ima 32 učencev. Dokaži, da je v istem mesecu rojenih 14 ljudi. Rešitev: Predpostavimo, da se v vsakem mesecu ne rodi več kot 13 študentov. Torej v 12 mesecih se jih je rodilo 1213 = 156 (šolarjev). Toda glede na pogoje se šola šola 532 = 160 (oseb). Odgovor: Obstaja torej mesec, v katerem je bilo rojenih več kot 13 učencev, torej najmanj 14. Naloga 5.
Znotraj enakostraničnega trikotnika s stranico 1 cm je 5 točk. Dokaži, da je razdalja med nekaterima dvema manjša od 0,5 cm. Rešitev: 4 "celice" lahko dobite tako, da razbijete enakostranični trikotnik tako, da narišete segmente, ki povezujejo sredino stranic. Nato dobimo 4 enakostranične trikotnike s stranicami 0,5 cm, ki bodo naše "celice". Naloga 6.
4, po Dirichletovem načelu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki vsebuje vsaj dve točki." title="(!LANG:2 1 4 3 Trikotniki - "celice", 5 točk - 5 " zajcev". 5 >4, po Dirichletovem principu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki bo vseboval vsaj dve točki." class="link_thumb">
16
!} Trikotniki - "celice", 5 točk - 5 "zajcev". 5>4, po Dirichletovem načelu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki vsebuje vsaj dve točki. 4, po Dirichletovem načelu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki vsebuje vsaj dve točki. "> 4, po Dirichletovem načelu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki vsebuje vsaj dve točki."> 4, po Dirichletovem principu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5cm, ki vsebuje vsaj dve točki." title="(!LANG:2 1 4 3 Trikotniki - "celice ", 5 točk - 5 "zajcev". 5 >4, po Dirichletovem principu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki bo vseboval vsaj dve točki.">
title="2 1 4 3 Trikotniki - "celice", 5 točk - 5 "zajcev". 5>4, po Dirichletovem načelu obstaja enakostranični trikotnik s stranico 0,5 cm, ki vsebuje vsaj dve točki.">
!} Sklepi: Z uporabo te metode je torej potrebno: Ugotoviti, kaj je v problemu primerno vzeti za "celice" in kaj za "zajce". Pridobite "celice"; največkrat je manj (več) "celic" kot "zajcev" za eno (ali več). Za rešitev izberite zahtevano formulacijo Dirichletovega principa. Dirichletovo načelo je pomembno, zanimivo, uporabno. Uporablja se lahko v vsakdanjem življenju, kar razvija logično razmišljanje. S to posebno metodo se rešuje veliko olimpijadnih nalog. Omogoča posploševanje.
Dirichletovo načelo. Izzivi in rešitve
Osnovni podatki. Najbolj priljubljena formulacija Dirichletovega načela je naslednja: "Če je m zajcev v n celicah in m > n, potem vsaj dva zajca sedita v vsaj eni celici." Dirichletovo načelo je tako preprosto in očitno, da ga lahko uporabimo, ne da bi poznali njegovo formulacijo.
Posplošena formulacija načela: »Če množico, ki jo sestavlja Nk + 1 elementov, razdelimo na k množic, bo vsaj ena podmnožica vsebovala vsaj N + 1 elementov« ali »Če množico, ki jo sestavlja m elementov, razdelimo v k podmnožic, potem bo vsaj ena podmnožica vsebovala vsaj m/k elementov"
Dirichletovo načelo ima geometrijsko formulacijo: A) če je odsek dolžine l razdeljen na n odsekov (ki nimajo skupnih notranjih točk), potem je dolžina največjega odseka najmanj l / n, dolžina odseka pa najmanjši segment ni večji od l / n B), če je slika s površino S razdeljena na n delov (ki nimajo skupnih notranjih točk), potem površina največje figure ni manjša od S / n, in površina najmanjšega ni večja od S / n
Naloge in primeri rešitev Naloga 1. Na ravnini je podanih šest točk v splošnem položaju (ne tri od njih ležijo na isti premici). Katerikoli dve točki sta povezani z odsekom, vsak odsek je obarvan rdeče ali modro. Dokaži, da obstaja trikotnik z oglišči v danih točkah, katerih vse stranice so enake barve. rešitev. Označimo te točke kot A1, A2, A3, A4, A5, A6. Iz točke A1 prihaja 5 segmentov dveh barv. Po Dirichletovem principu so med temi segmenti 3 segmenti iste barve. Naj bodo zaradi konkretnosti to segmenti A1 A2, A1 A3, A1 A4 rdeče barve. Razmislite o segmentih A2 A3, A3 A4, A2 A4. Možni primeri: A) med temi segmenti je rdeča, na primer A2 A3. Potem so v trikotniku A1 A2 A3 vse stranice rdeče; B) med temi segmenti ni rdečih. Potem so v trikotniku A2, A3, A4 vse stranice modre.
Naloga 2. V kvadratu s stranico 6 cm je 1991 točk. Dokaži, da lahko kvadrat s stranico 5 cm pokriva vsaj 664 od teh točk. rešitev. Zlahka je videti, da je 664 približno tretjina leta 1991, in sicer 1991 = 3*663+2. Zato bo za katero koli razdelitev množice, ki jo sestavlja 1991 točk, na tri podmnožice vsaj ena od teh podmnožic vsebovala 664 ali več točk. Torej, za rešitev problema je dovolj pokazati, da lahko kvadrat s stranico 6 cm razdelimo na tri dele, od katerih lahko vsakega pokrijemo s kvadratom s stranico 5 cm. To je razvidno iz slika, v kateri je AK=5cm, BO=3v2cm rešitev. Predpostavimo, da je v nekem konveksnem 2n-kotniku vsaka diagonala vzporedna z neko stranjo. Ideja pridobitve protislovja je naslednja: izberemo največjo skupino medsebojno vzporednih diagonal in pokažemo, da takšnega števila diagonal ni mogoče postaviti znotraj konveksnega 2n-kotnika. Zato vse diagonale razdelimo v skupine med seboj vzporednih diagonal. Takih skupin je največ 2n (nekatere stranice so lahko med seboj vzporedne). Število vseh diagonal je = 2n*(n - 1,5), torej je v neki skupini najmanj (n - 1) diagonal. Te (n - 1) diagonale so vzporedne z neko stranico A1 A2 in ležijo relativno nanjo v eni polravnini. Toda potem je na tej strani in na teh (n - 1) diagonalah 2n oglišč, tj. tista diagonal, ki leži čim dlje od stranice A1 A2, mora biti stranica 2n-kotnika. Protislovje. potem je predpostavka napačna, zato obstaja diagonala, ki ni vzporedna z nobeno od stranic. Naloga 3. Dokaži, da v poljubnem konveksnem 2n-kotniku obstaja diagonala, ki ni vzporedna z nobeno od stranic. rešitev. Razdelimo kvadrat na 50 pravokotnikov s stranicama 1 cm in 2 cm, potem vsaj eden od teh pravokotnikov ne bo vseboval manj kot 3 točke. Te tri točke tvorijo trikotnik, katerega površina ne presega polovice površine pravokotnika, v katerem se nahaja ta trikotnik. Naloga 4. Znotraj kvadrata s stranico 10 cm je »vržena« 101 točka (nobene tri ne ležijo na isti premici). Dokaži, da so med temi točkami tri, ki tvorijo trikotnik, katerega ploščina ne presega 1 cm2. Naloge za samostojno reševanje. Naloga 1. Dokaži, da lahko izmed poljubnih 52 celih števil vedno izbereš dve, katerih vsota ali razlika je deljiva s 100. Naloga 2. Dokaži, da obstaja naravno število, katerega zadnje štiri števke so 1972 in je deljivo z 1971. Naloga 3. Je ali je mogoče najti tak naravni eksponent števila 3, ki se konča na 0001? Naloga 4. V škatli so nogavice: 10 črnih, 10 modrih, 10 belih. Koliko najmanj nogavic morate potegniti ven, kljub temu, da sta med raztegnjenimi dve nogavici: a) iste barve; b) različne barve; c) črna? Naloga 5. V razredu je 25 učencev. Znano je, da sta med katerimi koli tremi dva prijatelja. Dokaži, da obstaja študent, ki ima vsaj 12 prijateljev. Naloga 6. Komisija 60 ljudi je imela 40 sej, na vsaki pa je bilo prisotnih točno 10 članov komisije. Dokaži, da sta se kaka 2 člana komisije sestala na sejah vsaj dvakrat. Naloga 7. V pravilnem šesterokotniku s stranico 3 cm je naključno postavljenih 55 točk, od katerih nobene tri ne ležijo na isti premici. Dokaži, da so med njimi tri točke, ki tvorijo trikotnik, katerega ploščina ne presega v3/4cm2. Problem 8. Danih je n+1 različnih naravnih števil, od katerih je vsako manjše od 2n. Dokaži, da je med njimi mogoče izbrati 3 takšna števila, od katerih je eno enako vsoti drugih dveh. Naloga 9. Dokaži, da sta od 52 celih števil vedno dve, katerih razlika kvadratov je deljiva s 100. Naloga 10. V 5 krožkih kulturne hiše se ukvarja 11 učencev. Dokaži, da obstajata dva študenta A in B, tako da vse krožke, ki jih obiskuje A, obiskuje tudi B. Problem 11. Dokaži, da je med poljubnimi 10 celimi števili več (po možnosti eno), katerih vsota je deljiva z 10. Problem 12. Obstajajo 17 točk na ravnini, od katerih nobene tri ne ležijo na isti ravnini. Katerikoli dve točki sta povezani z daljico. Vsak segment je obarvan rdeče, modro ali zeleno. Dokaži, da obstaja trikotnik z oglišči v danih točkah, katerih vse stranice so enake barve. Problem 13. Vsaka točka ravnine je pobarvana belo ali črno. Dokaži, da je na tej ravnini trikotnik s koti 300, 600, 900 in hipotenuzo 2, katerega oglišča so iste barve. Naloga 14. V kvadratu, katerega stranica je enaka 1, je vzetih 51 točk. Dokažite, da so nekatere tri od teh točk nujno znotraj kroga s polmerom 1/7. Naloga 15. Na ravnini je 25 točk, med poljubnimi tremi pa sta dve na razdalji, manjši od 1. Dokaži, da obstaja krog s polmerom 1, ki vsebuje vsaj 13 danih točk. Naloga 16. Na odseku dolžine 1 je več odsekov osenčenih tako, da razdalja med poljubnima dvema osenčenima točkama ni enaka 0,1. Dokaži, da vsota dolžin vseh osenčenih odsekov ne presega 0,5. Problem 18. Podan je neskončen papir v škatli in slika, katere površina je manjša od površine škatle. Dokaži, da je to figuro mogoče postaviti na papir tako, da ne pokriva nobene oglišča celice. Naloga 17. Podana so števila 21 - 1,22 - 1,23 - 1,…,2n-1, kjer je n3 neparno število. Dokaži, da je vsaj eno od danih števil deljivo z n. Hvala za vašo pozornost! Dirichlet Peter August Lejeune (1805-1859) -
Nemški matematik, tuji dopisni član Sanktpeterburške akademije znanosti
(1837), član mnogih drugih akademij.
Dirichlet se je rodil v vestfalskem mestu Düren v družini poštnega upravitelja.
Dirichlet je pri 12 letih začel študirati na gimnaziji v Bonnu, dve leti pozneje v
jezuitski gimnaziji v Kölnu, kjer je med drugimi učitelji njeg
poučeval Georg Ohm. Od 1822 do 1827 je živel kot domači učitelj v
Pariz, kjer se je vrtel v krogu Fourierja Leta 1827. dobi službo
Privatdocent na Univerzi v Breslauu. Leta 1829 je
preselil v Berlin, kjer je neprekinjeno delal 26 let, najprej
kot docent. Nato od 1831 kot izredni prof. Od leta 1839
kot redni profesor na Univerzi v Berlinu. Leta 1855 Dirichlet
postane kot Gaussov naslednik profesor viš
matematiko na Univerzi v Göttingenu.
komunikacija med predmeti ("zajci") in vsebniki ("kletke")
ko so izpolnjeni določeni pogoji. v angleščini in nekaj
v drugih jezikih je izjava znana kot "načelo golobov in
škatle", ko so predmeti golobi in posode
škatle.
9 celic vsebuje 7 golobov,
po principu
Vsaj Dirichlet
9-7=2 prosti mesti
9 celic vsebuje 10 golobov,
vsaj po Dirichletovem principu
so v isti celici
več kot en golob Besedilo
Najpogostejši je naslednji
besedilo
to načelo:
Če so zajci nameščeni v kletkah in
število kuncev večje od števila celic, tedaj čeprav
če jih je v eni od celic več
zajec.
Bolj splošna formulacija je
Torej:
Če m zajcev posadimo v n kletk, potem čeprav
v eni celici bi bilo vsaj m/n
zajce, pa tudi vsaj eno kletko
ni več kot m/n zajcev. Razmislite o primerih različnih problemov, rešenih z uporabo Dirichletovega načela.
1. V razredu je 15 učencev. Dokaži
da sta vsaj 2 študenta
praznovanje rojstnih dni v istem mesecu.
REŠITEV:
Naj bo 15 študentov "zajcev". Nato "celice"
bodo meseci v letu, jih je 12. Od 15\u003e 12, torej glede na
Dirichletovo načelo je vsaj eno
kletko, ki bo držala vsaj 2
"zajec". Se pravi, obstaja mesec, v katerem bo
praznuj vsaj rojstni dan
2 učenca v razredu. Podanih vam je 12 celih števil. Dokaži, da je med njimi mogoče izbrati 2, katerih razlika je deljiva z 11.
REŠITEV
Vzemimo številke za "zajce". Ker jih je 12, torej
"celic" naj bo manj. Naj "celice"
je ostanek celega števila, deljen z 11.
Skupaj bo 11 "celic": O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.10. Potem, po Dirichletovem načelu, obstaja
"kletko", v kateri bosta sedela vsaj 2
"hare", to pomeni, da sta 2 celi števili z enim
ostanek. In razlika dveh enakih števil
ostanek deljenja z 11 bo deljiv z 11 Kolya je naredil 8 lukenj v preprogi 3x3 metre. Dokaži, da je mogoče razrezati preprogo velikosti 1x1 meter brez lukenj v njej.
Kolya je naredil 8 lukenj v preprogi 3x3 metre.
Dokaži, da je mogoče razrezati preprogo velikosti
1x1 meter brez notranjih lukenj.
(Luknje lahko štejemo za pikčaste.)
REŠITEV
Tukaj bodo luknje "zajci".
Preprogo razrežite na 9 preprog
dimenzije 1 x 1 meter. Ker
preproge - "celice" - 9 in luknje "zajci" - 8, potem je vsaj
ena "celica", v kateri ne bo
"hares", torej obstaja preproga
brez lukenj notri. Tako morate z uporabo te metode:
Ugotovite, kaj je v problemu priročno vzeti za "celice" in
kakšni "zajci".
Pridobite "celice"; največkrat je manj "celic"
(več) kot "zajci" za enega (ali več).
Izberite zahtevano besedilo rešitve
Dirichletov princip.
Dirichletovo načelo je pomembno, zanimivo, uporabno. Njegovo
se lahko uporablja v vsakdanjem življenju, ki razvija
logično razmišljanje.
Številne olimpijske naloge se rešijo s tem
posebna metoda. Omogoča posploševanje.