Najmanjši skupni večkratnik (LCM): definicija, primeri in lastnosti. Kako najti najmanjši skupni večkratnik dveh števil

Toda veliko naravnih števil je enakomerno deljivih z drugimi naravnimi števili.

Na primer:

Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;

Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.

Števila, s katerimi je število deljivo (pri 12 je 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delilniki števil. Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki deli dano številko a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva faktorja, imenujemo sestavljeno .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne delitelje. To so števila: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj teh dveh števil a in b je število, s katerim sta obe dani števili deljivi brez ostanka a in b.

skupni večkratnik več števil se imenuje število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi skupnimi večkratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je to 90. To število imenujemo vsajskupni večkratnik (LCM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega izmed števil, za katera je definirano.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Komutativnost:

Asociativnost:

Zlasti, če in sta soprosti števili , potem:

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delitelj vseh drugih skupnih mnogokratnikov m in n. Poleg tega množica skupnih večkratnikov m,n sovpada z množico večkratnikov za LCM( m,n).

Asimptotiko za je mogoče izraziti v smislu nekaterih številsko-teoretičnih funkcij.

Torej, Čebiševljeva funkcija. in:

To izhaja iz definicije in lastnosti Landauove funkcije g(n).

Kaj sledi iz zakona porazdelitve praštevil.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je največji skupni delitelj znan, lahko uporabite njegovo razmerje z LCM:

2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:

Kje p 1 ,...,p k so različna praštevila in d 1 ,...,dk in e 1 ,...,ek so nenegativna cela števila (lahko so nič, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).

Nato LCM ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, razširitev LCM vsebuje vse prafaktorje, ki so vključeni v vsaj eno od razširitev števil a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega faktorja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo.Če želite najti LCM serije števil, potrebujete:

- razstavljajo števila na prafaktorje;

- prenesite največjo ekspanzijo v faktorje želenega produkta (zmnožek faktorjev veliko število od danih), nato pa seštejte faktorje iz razčlenitve ostalih števil, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali pa so v njem manjkrat;

- dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.

Katere koli dve ali več naravna števila imajo svoj NOC. Če številki nista večkratnika ali nimata enakih faktorjev v razširitvi, potem je njun LCM enak produktu teh števil.

Prafaktorje števila 28 (2, 2, 7) smo dopolnili s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.

Prafaktorje največjega števila 30 smo dopolnili s faktorjem 5 števila 25, nastali produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. To je najmanjši možni produkt (150, 250, 300 ...), katerega večkratniki so vsa podana števila.

Števila 2,3,11,37 so praštevila, zato je njihov LCM enak zmnožku danih števil.

pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavi vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapiši potence vseh prafaktorjev:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse pradelitelje (množitelje) vsakega od teh števil;

4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdete v vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te moči.

Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.

rešitev. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Izpišemo največje potence vseh pradeliteljev in jih pomnožimo:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri, razmerje med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), In Posebna pozornost Oglejmo si primere. Najprej pokažimo, kako se LCM dveh števil izračuna glede na GCD teh števil. Nato razmislite o iskanju najmanjšega skupnega večkratnika s faktorjenjem števil na prafaktorje. Nato se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več števil, pozornost pa bomo posvetili tudi izračunu LCM negativnih števil.

Navigacija po straneh.

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek gcd

Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa povezava med LCM in GCD vam omogoča, da izračunate najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil prek znanega največjega skupni delilnik. Ustrezna formula ima obliko LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Razmislite o primerih iskanja LCM po zgornji formuli.

Primer.

Poišči najmanjši skupni večkratnik števil 126 in 70.

rešitev.

V tem primeru a=126 , b=70 . Uporabimo razmerje med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Se pravi, najprej moramo poiskati največji skupni delitelj števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil po napisani formuli.

Poiščite gcd(126, 70) z uporabo Evklidovega algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , torej gcd(126, 70)=14 .

Zdaj poiščemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

odgovor:

LCM(126, 70)=630.

Primer.

Kaj je LCM(68, 34)?

rešitev.

Ker 68 je enakomerno deljivo s 34 , potem je gcd(68, 34)=34 . Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

odgovor:

LCM(68, 34)=68.

Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a.

Iskanje LCM z faktorizacijo števil na prafaktorje

Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje. Če naredimo produkt vseh prafaktorjev teh števil, nato pa iz tega produkta izločimo vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah teh števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh števil.

Napovedano pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Zmnožek števil a in b je namreč enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvah števil a in b. V zameno, gcd(a, b) je enak produktu vsi prafaktorji, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kar je opisano v poglavju o iskanju GCD z uporabo razgradnje števil na prafaktorje).

Vzemimo primer. Naj vemo, da je 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Sestavite produkt vseh faktorjev teh razširitev: 2 3 3 5 5 5 7 . Sedaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako v ekspanziji števila 75 kot v ekspanziji števila 210 (takšna faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2 3 5 5 7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil 75 in 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primer.

Ko števili 441 in 700 razložite na prafaktorje, poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.

rešitev.

Razstavimo števili 441 in 700 na prafaktorje:

Dobimo 441=3 3 7 7 in 700=2 2 5 5 7 .

Sedaj pa naredimo produkt vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvah teh števil: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Iz tega zmnožka izločimo vse dejavnike, ki so hkrati prisotni v obeh razširitvah (takšen faktor je samo en - to je število 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . torej LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

odgovor:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za iskanje LCM z razgradnjo števil na prafaktorje lahko formuliramo nekoliko drugače. Če k faktorjem iz razširitve števila a prištejemo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.

Na primer, vzemimo isti števili 75 in 210, njuni razširitvi na prafaktorje sta naslednji: 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Faktorjem 3, 5 in 5 iz razčlenitve števila 75 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz razčlenitve števila 210, dobimo produkt 2 3 5 5 7 , katerega vrednost je LCM(75 , 210).

Primer.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648.

rešitev.

Najprej dobimo razgradnjo števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta kot 84=2 2 3 7 in 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razčlenitve števila 84 prištejemo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razčlenitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648 4.536.

odgovor:

LCM(84, 648)=4 536.

Iskanje LCM treh ali več števil

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki nam pomaga najti LCM treh ali več števil.

Izrek.

Naj so podana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh števil najdemo v zaporednem izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmislite o uporabi tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.

Primer.

Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.

rešitev.

V tem primeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Najprej najdemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Če želite to narediti, z uporabo evklidskega algoritma določimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , torej gcd( 140, 9)=1 , od koder je LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To je m 2 =1 260 .

Zdaj najdemo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , ki je prav tako določen z Evklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potem je gcd(1 260, 54)=18 , od koder je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To je m 3 \u003d 3 780.

Ostalo najti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bi to naredili, poiščemo GCD(3 780, 250) z uporabo Evklidovega algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Zato je gcd(3 780, 250)=10, od koder je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To je m 4 \u003d 94 500.

Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih števil 94.500.

odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

V mnogih primerih je najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil priročno najti z uporabo prafaktorjev danih števil. V tem primeru je treba upoštevati naslednje pravilo. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajočim faktorjem iz razširitve drugega števila se prištejejo vsi faktorji iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve števila dobljenim faktorjem dodamo tretje število in tako naprej.

Razmislite o primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo razgradnje števil na prafaktorje.

Primer.

Poišči najmanjši skupni večkratnik petih števil 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

rešitev.

Najprej dobimo razširitve teh števil na prafaktorje: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prafaktorjev) in 143=11 13 .

Če želite najti LCM teh števil, morate faktorjem prvega števila 84 (so 2 ​​, 2 , 3 in 7 ) dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6 . Razširitev števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 že prisotna v razširitvi prvega števila 84. Faktorjem 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo množico faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ni treba dodajati faktorjev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2 , 2 , 2 , 2 , 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 11 in 13 iz razširitve števila 143 . Dobimo zmnožek 2 2 2 2 3 7 11 13 , kar je enako 48 048 .

Večkratnik števila je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) skupine števil je najmanjše število, ki je enakomerno deljivo z vsakim številom v skupini. Če želite najti najmanjši skupni večkratnik, morate najti prafaktorje danih števil. LCM je mogoče izračunati tudi z uporabo številnih drugih metod, ki se uporabljajo za skupine dveh ali več števil.

Koraki

Število večkratnikov

Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če sta podani dve števili, od katerih je vsako manjše od 10. Če je podano velike številke, uporabite drugo metodo.

• Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 5 in 8. To sta majhni števili, zato lahko uporabite to metodo.

1. Večkratnik števila je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. V tabeli množenja je mogoče najti več števil.

   • Na primer, števila, ki so večkratnika števila 5, so: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz števil, ki so večkratniki prvega števila. Naredite to pod večkratniki prvega števila, da primerjate dve vrstici števil.

   • Na primer, števila, ki so večkratnika števila 8, so: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 in 64.

3. Poišči najmanjše število, ki se pojavi v obeh serijah večkratnikov. Za iskanje boste morda morali napisati dolg niz večkratnikov skupno število. Najmanjše število, ki se pojavi v obeh vrstah večkratnikov, je najmanjši skupni večkratnik.

   • Na primer, najmanjše število, ki se pojavi v nizu večkratnikov 5 in 8, je 40. Zato je 40 najmanjši skupni večkratnik 5 in 8.

   Prafaktorizacija

   1. Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če imate dve števili, ki sta večji od 10. Če so podane manjše številke, uporabite drugo metodo.

      • Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 20 in 84. Vsako število je večje od 10, zato lahko uporabite to metodo.

   2. Faktoriziraj prvo število. To pomeni, da morate najti takšna praštevila, ko jih pomnožite, dobite dano število. Ko najdete prafaktorje, jih zapišite kot enačbo.

      • na primer 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat 10=20) in 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat (\mathbf (5) )=10). Prafaktorji števila 20 so torej števila 2, 2 in 5. Zapiši jih kot izraz: .

   3. Drugo število razčlenite na prafaktorje. Naredite to na enak način, kot ste faktorizirali prvo število, torej poiščite taka praštevila, ki bodo ob množenju dobili to število.

      • na primer 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krat 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\krat 6=42) in 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\krat (\mathbf (2) )=6). Prafaktorji števila 84 so torej števila 2, 7, 3 in 2. Zapiši jih kot izraz: .

   4. Zapišite faktorje, ki so skupni obema številoma. Takšne faktorje zapišite kot operacijo množenja. Ko zapisujete vsak faktor, ga prečrtajte v obeh izrazih (izrazih, ki opisujejo razgradnjo števil na prafaktorje).

      • Na primer, skupni faktor za obe številki je 2, zato napišite 2 × (\displaystyle 2\krat ) in prečrtaj 2 v obeh izrazih.
      • Skupni faktor za obe števili je drugi faktor 2, zato zapiši 2 × 2 (\displaystyle 2\krat 2) in prečrtaj drugi 2 v obeh izrazih.

   5. Operaciji množenja dodajte preostale faktorje. To so faktorji, ki v obeh izrazih niso prečrtani, torej faktorji, ki obema številoma niso skupni.

      • Na primer v izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krat 2\krat 5) oba dvojca (2) sta prečrtana, ker sta skupna faktorja. Faktor 5 ni prečrtan, zato operacijo množenja zapiši takole: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5)
      • V izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krat 7\krat 3\krat 2) prečrtani sta tudi obe dvojki (2). Faktorja 7 in 3 nista prečrtana, zato operacijo množenja zapiši takole: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5\krat 7\krat 3).

   6. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik.Če želite to narediti, pomnožite števila v operaciji pisnega množenja.

      • na primer 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krat 2\krat 5\krat 7\krat 3=420). Torej je najmanjši skupni večkratnik 20 in 84 420.

   Iskanje skupnih deliteljev

   1. Narišite mrežo, kot bi jo naredili za igro tic-tac-toe. Takšna mreža je sestavljena iz dveh vzporednih črt, ki se sekata (pod pravim kotom) z dvema drugima vzporednima črtama. Posledica tega bodo tri vrstice in trije stolpci (mreža je zelo podobna znaku #). Napišite prvo številko v prvo vrstico in drugi stolpec. Drugo številko zapišite v prvo vrstico in tretji stolpec.

      • Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 18 in 30. V prvo vrstico in drugi stolpec vpišite 18, v prvo vrstico in tretji stolpec pa 30.

   2. Poišči delitelj, ki je skupen obema številoma. Zapišite v prvo vrstico in prvi stolpec. Bolje je iskati pradelilnike, vendar to ni predpogoj.

      • Na primer, 18 in 30 sta sodi števili, zato je njun skupni delitelj 2. Zato zapišite 2 v prvo vrstico in prvi stolpec.

   3. Vsako število delite s prvim deliteljem. Vsak količnik zapiši pod pripadajočo številko. Kvocient je rezultat deljenja dveh števil.

      • na primer 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), torej pod 18 napišite 9.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), torej napišite 15 pod 30.

   4. Poiščite delitelj, ki je skupen obema količnikoma.Če takega delitelja ni, preskočite naslednja dva koraka. V nasprotnem primeru zapišite delitelj v drugo vrstico in prvi stolpec.

      • Na primer, 9 in 15 sta deljiva s 3, zato zapišite 3 v drugo vrstico in prvi stolpec.

   5. Vsak količnik delite z drugim deliteljem. Vsak rezultat deljenja zapišite pod pripadajoči količnik.

      • na primer 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), torej pod 9 napišite 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), torej pod 15 napišite 5.

   6. Po potrebi dopolnite mrežo z dodatnimi celicami. Ponavljajte zgornje korake, dokler količniki ne dobijo skupnega delitelja.

   7. Obkroži številke v prvem stolpcu in zadnji vrstici mreže. Nato označena števila zapiši kot operacijo množenja.

      • Na primer, števili 2 in 3 sta v prvem stolpcu, števili 3 in 5 pa v zadnji vrstici, zato operacijo množenja zapišite takole: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krat 3\krat 3\krat 5).

   8. Poiščite rezultat množenja števil. To bo izračunalo najmanjši skupni večkratnik dveh danih števil.

      • na primer 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krat 3\krat 3\krat 5=90). Torej je najmanjši skupni večkratnik 18 in 30 90.

   Evklidov algoritem

   1. Zapomnite si terminologijo, povezano z operacijo deljenja. Dividenda je število, ki se deli. Delitelj je število, s katerim delimo. Kvocient je rezultat deljenja dveh števil. Ostanek je število, ki ostane, ko dve števili delimo.

      • Na primer v izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) počitek. 3:
        15 je deljivo
        6 je delitelj
        2 je zasebno
        3 je ostanek.

Začnimo preučevati najmanjši skupni večkratnik dveh ali več števil. V poglavju bomo podali definicijo pojma, obravnavali izrek, ki vzpostavlja razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem ter podali primere reševanja nalog.

Navadni večkratniki - definicija, primeri

V tej temi nas bodo zanimali le skupni večkratniki celih števil, razen nič.

Definicija 1

Skupni večkratnik celih števil je celo število, ki je večkratnik vseh danih števil. Pravzaprav je to vsako celo število, ki ga je mogoče deliti s katerim koli od danih števil.

Definicija skupnih mnogokratnikov se nanaša na dve, tri ali več celih števil.

Primer 1

Glede na zgornjo definicijo števila 12 sta skupna večkratnika 3 in 2. Tudi število 12 bo skupni večkratnik števil 2, 3 in 4. Števili 12 in -12 sta pogosta večkratnika števil ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Hkrati bo skupni večkratnik za številki 2 in 3 številke 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 in številne druge.

Če vzamemo števila, ki so deljiva s prvim številom para in niso deljiva z drugim, potem takšna števila ne bodo skupni večkratniki. Torej pri številih 2 in 3 števila 16 , − 27 , 5009 , 27001 ne bodo skupni večkratniki.

0 je skupni večkratnik katere koli množice celih števil, ki niso nič.

Če se spomnimo lastnosti deljivosti glede na nasprotna števila, potem se izkaže, da bo neko celo število k skupni večkratnik teh števil na enak način kot število - k . To pomeni, da so skupni delitelji lahko pozitivni ali negativni.

Ali je mogoče najti LCM za vse številke?

Skupni večkratnik je mogoče najti za poljubna cela števila.

Primer 2

Recimo, da nam je dano k cela števila a 1 , a 2 , … , a k. Število, ki ga dobimo pri množenju števil a 1 a 2 … a k glede na lastnost deljivosti bo razdeljen na vsakega od faktorjev, ki so bili vključeni v prvotni izdelek. To pomeni, da je produkt števil a 1 , a 2 , … , a k je najmanjši skupni večkratnik teh števil.

Koliko skupnih mnogokratnikov imajo lahko ta cela števila?

Skupina celih števil ima lahko veliko število skupni večkratniki. Pravzaprav je njihovo število neskončno.

Primer 3

Recimo, da imamo neko število k. Takrat bo produkt števil k · z , kjer je z celo število, skupni večkratnik števil k in z . Glede na to, da je število števil neskončno, je število skupnih večkratnikov neskončno.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) – definicija, simbol in primeri

Spomnimo se koncepta najmanjše število iz dane množice števil, ki smo jih obravnavali v razdelku Primerjava celih števil. S tem konceptom v mislih oblikujmo definicijo najmanjšega skupnega večkratnika, ki ima med vsemi skupnimi večkratniki največjo praktično vrednost.

Definicija 2

Najmanjši skupni večkratnik danih celih števil je najmanjši pozitivni skupni večkratnik teh števil.

Najmanjši skupni večkratnik obstaja za poljubno število danih števil. V referenčni literaturi se za označevanje pojma najpogosteje uporablja okrajšava NOK. Okrajšava za najmanjši skupni večkratnik za števila a 1 , a 2 , … , a k bo videti kot LCM (a 1, a 2, …, a k).

Primer 4

Najmanjši skupni večkratnik 6 in 7 je 42. Tisti. LCM(6, 7) = 42. Najmanjši skupni večkratnik štirih števil – 2, 12, 15 in 3 bo enak 60. Stenografija bo LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​​​= 60 .

Ne za vse skupine danih števil je najmanjši skupni večkratnik očiten. Pogosto je treba izračunati.

Razmerje med NOC in NOD

Najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj sta povezana. Razmerje med pojmi vzpostavlja izrek.

1. izrek

Najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil a in b je enak produktu števil a in b, deljenem z največjim skupnim deliteljem števil a in b, to je LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Dokaz 1

Recimo, da imamo neko število M, ki je večkratnik števil a in b. Če je število M deljivo z a, obstaja tudi neko celo število z , pod katerim enakopravnost M = a k. Po definiciji deljivosti, če je M deljiv tudi z b, torej a k deljeno s b.

Če uvedemo nov zapis za gcd (a , b) as d, potem lahko uporabimo enakosti a = a 1 d in b = b 1 · d . V tem primeru bosta obe enakosti vzajemni praštevila.

To smo že zgoraj ugotovili a k deljeno s b. Zdaj lahko ta pogoj zapišemo takole:
a 1 d k deljeno s b 1 d, kar je enakovredno pogoju a 1 k deljeno s b 1 glede na lastnosti deljivosti.

Glede na lastnost relativno praštevil, če a 1 in b 1 so medsebojno praštevila, a 1 ni deljivo z b 1 Kljub dejstvu, da a 1 k deljeno s b 1, To b 1 bi morali deliti k.

V tem primeru bi bilo primerno domnevati, da obstaja številka t, za katerega k = b 1 t, in od takrat b1=b:d, To k = b: d t.

Zdaj namesto k spraviti v enakopravnost M = a k izražanje oblike b: d t. To nam omogoča, da pridemo do enakosti M = a b: d t. pri t=1 lahko dobimo najmanjši pozitivni skupni večkratnik a in b , enaka a b: d, pod pogojem, da sta števili a in b pozitivno.

Dokazali smo torej, da je LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Vzpostavitev povezave med LCM in GCD vam omogoča, da poiščete najmanjši skupni večkratnik skozi največji skupni delitelj dveh ali več danih števil.

Definicija 3

Izrek ima dve pomembni posledici:

• večkratniki najmanjšega skupnega večkratnika dveh števil so enaki skupnim večkratnikom teh dveh števil;
• najmanjši skupni večkratnik sopraprostih pozitivnih števil a in b je enak njunemu produktu.

Teh dveh dejstev ni težko utemeljiti. Vsak skupni večkratnik M števil a in b je določen z enakostjo M = LCM (a, b) t za neko celo vrednost t. Ker sta a in b enako praštevilna, potem je gcd (a, b) = 1, torej LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik več števil, morate zaporedoma najti LCM dveh števil.

2. izrek

Pretvarjajmo se, da a 1 , a 2 , … , a k je nekaj pozitivnih celih števil. Za izračun LCM m k te številke moramo izračunati zaporedno m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1, a k) .

Dokaz 2

Prva posledica prvega izreka, obravnavanega v tej temi, nam bo pomagala dokazati pravilnost drugega izreka. Utemeljitev je zgrajena po naslednjem algoritmu:

• skupni mnogokratniki števil a 1 in a 2 sovpadajo z večkratniki njihovega LCM, pravzaprav sovpadajo z večkratniki števila m2;
• skupni mnogokratniki števil a 1, a 2 in a 3 m2 in a 3 m 3;
• skupni mnogokratniki števil a 1 , a 2 , … , a k sovpadajo s skupnimi mnogokratniki števil m k - 1 in a k, torej sovpadajo z večkratniki števila m k;
• zaradi dejstva, da je najmanjši pozitivni večkratnik števila m k je številka sama m k, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2 , … , a k je m k.

Izrek smo torej dokazali.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Najmanjši skupni večkratnik dveh števil je neposredno povezan z največjim skupnim deliteljem teh števil. to povezava med GCD in NOC definirana z naslednjim izrekom.

Izrek.

Najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil a in b je enak produktu a in b, deljenemu z največjim skupnim deliteljem a in b, to je LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Dokaz.

Pustiti M je nekaj večkratnika števil a in b. To pomeni, da je M deljiv z a in po definiciji deljivosti obstaja neko celo število k, tako da velja enakost M=a·k. Toda M je tudi deljiv z b, potem je a k deljiv z b.

Označimo gcd(a, b) kot d. Potem lahko zapišemo enakosti a=a 1 ·d in b=b 1 ·d, pri čemer bosta a 1 =a:d in b 1 =b:d enako praštevili. Zato lahko pogoj, dobljen v prejšnjem odstavku, da je a k deljiv z b, preoblikujemo takole: a 1 d k je deljiv z b 1 d , kar je zaradi lastnosti deljivosti enakovredno pogoju, da je a 1 k je deljiva z b 1 .

Iz obravnavanega izreka moramo zapisati tudi dve pomembni posledici.

Skupni večkratniki dveh števil so enaki večkratnikom njihovega najmanjšega skupnega večkratnika.

To drži, saj je vsak skupni večkratnik M števil a in b definiran z enakostjo M=LCM(a, b) t za neko celo število t.

Najmanjši skupni večkratnik sopraprostih pozitivnih števil a in b je enak njunemu produktu.

Utemeljitev tega dejstva je povsem očitna. Ker sta a in b enako praštevilna, potem je gcd(a, b)=1, torej LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje LCM dveh števil. Kako se to naredi, je prikazano v naslednjem izreku: a 1 , a 2 , …, a k sovpadajo s skupnimi večkratniki števil m k-1 in a k torej sovpadajo z večkratniki m k . In ker je najmanjši pozitivni večkratnik števila m k samo število m k, potem je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Y. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorija števil.
• Kulikov L.Ya. in drugi Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Vadnica za študente fizike in matematike. specialnosti pedagoških zavodov.