Sketch ng graph ng isang function. Sketch ng graph ng isang function (gamit ang halimbawa ng isang fractional-quadratic function). Proteksyon ng personal na impormasyon

1. Pamamaraan para sa pagbuo ng mga sketch ng mga function graph

2. Solusyon ng halimbawa No. 1

3. Solusyon sa halimbawa No. 2

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Proteksyon ng personal na impormasyon

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya


Pag-plot ng mga function graph. . . . . . . . . . . .
1. Magplano para sa pag-aaral ng function kapag gumagawa ng isang graph. .
2. Pangunahing konsepto at yugto ng pananaliksik sa pag-andar. . . .
1. Domain ng function na D f at set
mga halaga ng function E f . Mga espesyal na katangian
mga function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Pag-aaral ng mga asymptotes. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Mga patayong asymptotes. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Oblique (horizontal) asymptotes. . . . . . .
2.3. Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga non-vertical asymptotes. .
2.4. Relatibong posisyon ng function graph
at mga asymptotes nito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Pag-sketch ng graph ng function. . . . . . . . . .
4. Mga seksyon ng pagtaas at pagbaba ng function
Minimum at maximum na puntos. . . . . . . . . . . . . . .
5. Convex function pataas at pababa
Mga inflection point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Differentiation ng isang function, analytical
na ang expression ay naglalaman ng isang module. . . . . . . . . . . . .
4. Mga pangunahing kinakailangan para sa mga resulta ng pananaliksik
at nagbabalak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Mga halimbawa ng function research at construction
mga function graph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pagguhit ng mga kurba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Plano para sa pananaliksik at pagtatayo ng mga kurba. . . . . . . . . .

2. Pangunahing konsepto at yugto ng curve research. . . . .
	Pag-aaral ng mga function x x t at y y t. . . . . . .
	Paggamit ng mga resulta ng pananaliksik x x t . .
2.1. Vertical asymptotes ng curve. . . . . . . . . . .
2.2. Mga sloping (horizontal) asymptotes ng isang curve. .
	Pagsusuri ng mga resulta at pagbuo ng isang sketch
function na graphics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Mga seksyon ng pagtaas at pagbaba ng kurba
Minimum at maximum na mga punto ng pag-andar
x x y at y y x , mga cusp point ng curve. . . . . . .
	Convex function pataas at pababa. Mga inflection point. .
3. Konstruksyon ng parametrically specified curves. . . . . .
Halimbawa 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halimbawa 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mga problema para sa malayang solusyon. . . . . .
Mga sagot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mga function ng graphing

1. Magplano para sa pag-aaral ng isang function kapag gumagawa ng isang graph

1. Hanapin ang domain ng kahulugan ng function. Madalas na kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang maramihang mga halaga ng isang function. Galugarin ang mga espesyal na katangian ng isang function: kahit, kakaiba; periodicity, symmetry properties.

2. Galugarin ang mga asymptotes ng graph ng isang function: patayo, pahilig. Suriin ang relatibong posisyon ng graph ng isang function at ang mga inclined (horizontal) na asymptotes nito.

3. Gumuhit ng sketch ng graph.

4. Maghanap ng mga lugar ng monotonicity ng function: pagtaas at pagbaba. Hanapin ang extrema ng function: mga minimum at maximum.

Maghanap ng mga one-sided derivatives sa mga discontinuity point ng derivative ng function at sa mga boundary point ng domain ng definition ng function (kung may one-sided derivatives).

5. Hanapin ang mga pagitan ng convexity ng function at ang mga inflection point.

2. Mga pangunahing konsepto at yugto ng pananaliksik sa pag-andar

1. Function domain D f at maraming kahulugan

tion ng function E f . Mga Katangian ng Espesyal na Function

Ipahiwatig ang domain ng kahulugan ng function, markahan ito sa abscissa axis na may mga boundary point at punctured point, at ipahiwatig ang abscissas ng mga puntong ito. Ang paghahanap ng domain ng kahulugan ng isang function ay hindi kinakailangan.

Hindi kinakailangang maghanap ng maramihang mga halaga ng pag-andar. Madaling pag-aralan ang mga katangian ng isang hanay ng mga halaga: hindi negatibiti, boundedness mula sa ibaba o sa itaas, atbp., ay ginagamit upang bumuo ng sketch ng isang graph, kontrolin ang mga resulta ng pag-aaral at ang kawastuhan ng graph.

x gusto

Ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa ordinate axis Oy. Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang kahit at kakaibang mga function ay sinusuri sa positibong kalahati ng domain ng kahulugan.

Ang isang periodic function ay pinag-aaralan sa isang panahon, at

Ang tsart ay ipinapakita sa 2-3 mga panahon.
2. Pag-aaral ng mga asymptotes
2.1. Mga patayong asymptotes
Kahulugan 1.				x x0		tinawag		patayo
asymptote ng graph ng function				y f x,			kung nakumpleto
isa sa mga kondisyon:			lim f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. Oblique (horizontal) asymptotes

noah) asymptote ng graph ng function					y f x sa x,
lim f x kx b 0 .
					sa x
	kahulugan ng asymptote
klim		b lim f x kx . Pagkalkula ng kaukulang


mga limitasyon, nakukuha namin ang asymptote equation y kx b .
Ang isang katulad na pahayag ay totoo sa kaso kung kailan

Kung k 0, kung gayon ang asymptote ay tinatawag na pahilig.
k 0 , pagkatapos ay ang asymptote			y b ay tinatawag na pahalang.
Parehong ipinakilala ang mga konsepto ng hilig at pahalang.
asymptotes ng graph ng function na y f x						sa x.

2.3. Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga non-vertical asymptotes Pag-aaral ng mga asymptotes para sa x at para sa

ang panuntunan ay isinasagawa nang hiwalay.

1 Gagamitin namin ang simbolo upang mangahulugan ng katuparan ng isang kaso, alinman

Sa ilang mga espesyal na kaso, posibleng magkasamang pag-aralan ang mga asymptotes sa x at sa x, halimbawa, para sa

1) makatwirang pag-andar;

2) kahit at kakaibang mga pag-andar, para sa mga graph kung saan ang pag-aaral ay maaaring isagawa sa bahagi ng domain ng kahulugan.

Paraan para sa pagpili ng pangunahing bahagi. Upang mahanap ang asymptote, piliin ang pangunahing bahagi ng function sa x. Gayundin para sa x.

Ang pangunahing bahagi ng isang fractionally rational function Maginhawa itong hanapin sa pamamagitan ng pag-highlight sa buong bahagi ng fraction:

Halimbawa 1. Hanapin ang mga slanted asymptotes ng graph ng isang function

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 sa	x , pagkatapos ay tuwid

May y 2 x 5 ang gustong asymptote. ◄

Ang pangunahing bahagi ng hindi makatwiran na pag-andar kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, ito ay maginhawa upang mahanap gamit ang mga paraan ng kumakatawan sa isang function sa pamamagitan ng Taylor formula para sa x.

Halimbawa 2. Hanapin ang oblique asymptote ng graph ng isang function

x4 3 x 1

sa x.

x 4 o1

para sa x, pagkatapos ay ang tuwid na linya		y x 4 ang gustong asymptote.

		hindi makatwiran
		f x 3		maginhawang hanapin
	ax2 bx c at		ax3 bx2 cx d

gamitin ang paraan ng paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat o isang kumpletong kubo ng radical expression, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa 3. Hanapin ang mga slant asymptotes ng graph ng function na f x x 2 6 x 14 para sa x at x.

Sa radikal na expression, pumili kami ng isang kumpletong parisukat

x 3 2

5 . Dahil ang graph ng function

Ang f x ay simetriko

kamag-anak sa tuwid na linya x 3 at

pagkatapos f x ~

sa x.

x 3 2 5

Kaya ito ay tuwid

y x 3 ay

asymptote sa x, at tuwid na linya y 3 x

Asymptote sa

x. ◄

Upang makahanap ng mga asymptotes, maaari mong gamitin ang paraan ng paghihiwalay sa pangunahing bahagi.

Halimbawa 4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function na f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

Yan ang function

may asymptote

y 2 x

at asymptote

y 2 x

sa x .◄

Para sa mga transendental na function parehong mga pamamaraan ay katanggap-tanggap

pagsunod sa mga asymptotes kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa.

Puna 1. Kapag nag-aaral ng mga asymptotes hindi makatwiran, transendental na mga tungkulin, at mga function na ang analytical expression ay naglalaman ng isang module, Maipapayo na isaalang-alang ang dalawang kaso: x at x. Ang pinagsamang pag-aaral ng mga asymptotes sa x at sa x ay maaaring humantong sa mga pagkakamali sa pag-aaral. Kapag hinahanap ang mga limitasyon o pangunahing bahagi ng x, kailangang baguhin ang variable na x t.

2.4. Ang relatibong posisyon ng graph ng isang function at ang mga asymptotes nito

a) Kung ang function na y f x ay may asymptote sa x,

ay differentiable at mahigpit na matambok pababa sa ray x x 0, pagkatapos ay ang graph

ang fic ng function ay nasa itaas ng asymptote (Fig. 1.1).

b) Kung ang function na y f x ay may asymptote sa x,

ay naiba-iba at mahigpit na nakaumbok paitaas sa ray x x 0, pagkatapos

ang graph ng function ay nasa ibaba ng asymptote (Larawan 1.2).

c) Maaaring may iba pang mga kaso ng pag-uugali ng graph ng isang function dahil ito ay may posibilidad na isang asymptote. Halimbawa, posibleng ang graph ng isang function ay nag-intersect sa asymptote ng walang katapusang bilang ng beses (Fig. 1.3 at 1.4).

Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa x.

Bago pag-aralan ang mga katangian ng convexity ng isang function graph, ang mga relatibong posisyon ng function graph at ang mga asymptotes nito ay maaaring matukoy ng sign o 1 sa paraan ng paghihiwalay sa pangunahing bahagi.

Halimbawa 5. Tukuyin ang relatibong posisyon ng graph

function f x 2 x 2 3 x 2 at ang mga asymptotes nito. x 1

0 sa x, pagkatapos ay ang graph ng function ay nasa ibaba ng asymptotic

ikaw y 2 x 5 . ◄

Halimbawa 6. Tukuyin ang relatibong posisyon ng graph

mga function f x

x4 3 x 1

at ang mga asymptotes nito para sa x.

x 2 1

Mula sa pagkakapantay-pantay

x sumusunod na ang graph ng function ay nasa ibaba ng asymptote y x 4 . ◄

Halimbawa 7. Tukuyin ang relatibong posisyon ng graph ng function na f x x 2 6 x 14 at ang mga asymptotes nito.

Dahil f x x 3 (tingnan ang halimbawa 3), kung gayon

x 3 2 5 x 3

ang graph ng function ay nasa itaas ng asymptote y x 3 sa x at sa x. ◄

Halimbawa 8. Tukuyin ang relatibong posisyon ng graph

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 at ang mga asymptotes nito.

bilang x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6 , pagkatapos ay ginagamit

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , nakukuha natin ang f x x 2

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

ang pagkakaiba ay positibo sa x

at negatibo sa x

Samakatuwid, sa x, ang graph ng function ay nasa ibaba ng asymptote y x 2, at sa x, sa itaas ng asymptote y x 2.◄

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga limitasyon para sa pag-aaral ng mga asymptotes ay hindi nagpapahintulot sa isa na tantyahin ang kaugnay na posisyon ng graph ng isang function at ang mga asymptotes nito.

3. Pag-sketch ng graph ng isang function Upang bumuo ng isang sketch ng isang graph, patayo at

slanted asymptotes, mga punto ng intersection ng graph ng isang function na may mga axes. Isinasaalang-alang ang relatibong posisyon ng graph ng function at asymptotes, isang sketch ng graph ang gagawa. Kung ang graph ng isang function ay nasa itaas (sa ibaba) ng asymptote sa x, kung gayon, ipagpalagay na

mayroong isang puntong x 0 na sa mga puntos na x x 0 ay walang mga punto ng inflection,

nalaman namin na ang function ay convex pababa (pataas), iyon ay, sa isang asymptote. Katulad nito, mahuhulaan ng isa ang direksyon ng convexity sa asymptote para sa vertical asymptotes at para sa asymptote sa x. Gayunpaman, tulad ng ipinapakita ng halimbawa sa itaas

function na y x sin 2 x , ang mga naturang pagpapalagay ay maaaring hindi x

4. Mga lugar ng pagtaas at pagbaba ng function. Minimum at maximum na puntos

Kahulugan 3.	Ang function na f x ay tinatawag	dumarami
(bumababa) sa pagitan ng a, b, kung para sa anuman		x1 , x2 a, b ,
tulad ng x 1 x 2	may hindi pagkakapantay-pantay	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

Function f x differentiable sa pagitan a, b

natutunaw (bumababa) sa pagitan ng a, b, kung at kung lamang

function f x .

Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Kung

Point ex-

tremum ng function f x , pagkatapos ay sa puntong ito alinman

f x 0 0 , o

derivative ay wala.

Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum.

f x pagkakaiba

1. Hayaang mayroong 0 na ang function

ay radiable sa isang butas na -kapitbahayan ng punto x 0

at tuloy-tuloy

sa punto x 0 . pagkatapos,

a) kung ang derivative nito ay nagbabago mag-sign minus hanggang plus kapag muling

pag-unlad sa pamamagitan ng punto		x 0 ,

			x x 0 , x 0 , pagkatapos x 0 ang pinakamataas na punto
	x 0 para sa alinman
mga function f x ;
	b) kung ang derivative nito ay nagbabago sign plus to minus kapag muling
pag-unlad sa pamamagitan ng punto		x 0 ,
			mga. f x 0 para sa alinmang x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , pagkatapos x 0 ang pinakamababang punto
	x 0 para sa alinman

mga function f x .

Kasama sa mga halimbawa ng modelo ang y x (Fig. 2.1) at

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa araling ito ay titingnan natin ang pamamaraan ng pagbuo ng isang sketch ng isang graph ng isang function at magbigay ng mga paliwanag na halimbawa.

Paksa: Pag-uulit

Aralin: Pag-sketch ng graph ng isang function (gamit ang halimbawa ng isang fractional-quadratic function)

Ang aming layunin ay i-sketch ang graph ng isang fractional quadratic function. Halimbawa, kunin natin ang isang function na pamilyar na sa atin:

Ang isang fractional function ay ibinigay, ang numerator at denominator na naglalaman ng mga quadratic function.

Ang pamamaraan ng sketching ay ang mga sumusunod:

1. Pumili ng mga pagitan ng pare-parehong pag-sign at tukuyin ang sign ng function sa bawat isa (Figure 1)

Sinuri namin nang detalyado at nalaman na ang isang function na tuluy-tuloy sa isang ODZ ay maaari lamang magbago ng sign kapag ang argument ay dumaan sa mga ugat at break point ng ODZ.

Ang ibinigay na function na y ay tuloy-tuloy sa ODZ nito; ipahiwatig natin ang ODZ:

Hanapin natin ang mga ugat:

I-highlight natin ang mga pagitan ng constancy ng sign. Natagpuan namin ang mga ugat ng function at ang mga break point ng domain ng kahulugan - ang mga ugat ng denominator. Mahalagang tandaan na sa loob ng bawat pagitan ay pinapanatili ng function ang sign nito.

kanin. 1. Mga agwat ng pare-parehong tanda ng isang function

Upang matukoy ang tanda ng isang function sa bawat agwat, maaari mong kunin ang anumang puntong kabilang sa agwat, palitan ito sa function at matukoy ang tanda nito. Halimbawa:

Sa pagitan ang function ay may plus sign

Sa pagitan, ang function ay may minus sign.

Ito ang bentahe ng paraan ng agwat: tinutukoy namin ang tanda sa isang punto ng pagsubok at napagpasyahan na ang function ay magkakaroon ng parehong sign sa buong napiling agwat.

Gayunpaman, maaari mong awtomatikong itakda ang mga palatandaan, nang hindi kinakalkula ang mga halaga ng pag-andar, upang gawin ito, matukoy ang tanda sa matinding pagitan, at pagkatapos ay palitan ang mga palatandaan.

1. Bumuo tayo ng graph sa paligid ng bawat ugat. Alalahanin na ang mga ugat ng function na ito at:

kanin. 2. Graph sa paligid ng mga ugat

Dahil sa isang punto ang tanda ng function ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ang curve ay una sa itaas ng axis, pagkatapos ay dumadaan sa zero at pagkatapos ay matatagpuan sa ilalim ng x axis. Ito ay kabaligtaran sa punto.

2. Bumuo tayo ng graph sa paligid ng bawat discontinuity ng ODZ. Alalahanin na ang mga ugat ng denominator ng function na ito at :

kanin. 3. Graph ng function sa paligid ng mga discontinuity point ng ODZ

Kapag o ang denominator ng isang fraction ay halos katumbas ng zero, nangangahulugan ito na kapag ang halaga ng argumento ay may kaugaliang mga numerong ito, ang halaga ng fraction ay may posibilidad na infinity. Sa kasong ito, kapag ang argument ay lumalapit sa triple sa kaliwa, ang function ay positibo at may posibilidad na plus infinity, sa kanan ang function ay negatibo at lumalampas sa minus infinity. Sa paligid ng apat, sa kabaligtaran, sa kaliwa ang function ay may posibilidad na minus infinity, at sa kanan ay umalis ito kasama ang infinity.

Ayon sa itinayong sketch, maaari nating hulaan ang likas na katangian ng pag-uugali ng function sa ilang mga agwat.

kanin. 4. Sketch ng function graph

Isaalang-alang natin ang sumusunod na mahalagang gawain - upang bumuo ng isang sketch ng graph ng isang function sa paligid ng mga punto sa infinity, iyon ay, kapag ang argument ay may posibilidad na plus o minus infinity. Sa kasong ito, ang mga palaging termino ay maaaring mapabayaan. Meron kami:

Minsan makikita mo ang recording na ito ng katotohanang ito:

kanin. 5. Sketch ng graph ng isang function sa paligid ng mga punto sa infinity

Nakakuha kami ng tinatayang pag-uugali ng function sa buong domain ng kahulugan nito; pagkatapos ay kailangan naming pinuhin ang construction gamit ang derivative.

Halimbawa 1 - gumuhit ng graph ng isang function:

Mayroon kaming tatlong punto kung saan maaaring baguhin ng function ang sign kapag pumasa ang argumento.

Tinutukoy namin ang mga palatandaan ng pag-andar sa bawat pagitan. Mayroon kaming isang plus sa matinding kanang pagitan, pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili, dahil ang lahat ng mga ugat ay may unang antas.

Bumuo kami ng sketch ng graph sa paligid ng mga ugat at break point ng ODZ. Mayroon kaming: dahil sa isang punto ang tanda ng function ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ang curve ay una sa itaas ng axis, pagkatapos ay dumadaan sa zero at pagkatapos ay matatagpuan sa ilalim ng x axis. Kapag o ang denominator ng isang fraction ay halos katumbas ng zero, nangangahulugan ito na kapag ang halaga ng argumento ay may kaugaliang mga numerong ito, ang halaga ng fraction ay may posibilidad na infinity. Sa kasong ito, kapag ang argument ay lumalapit sa minus dalawa sa kaliwa, ang function ay negatibo at may posibilidad na minus infinity, sa kanan ang function ay positibo at umalis kasama ang infinity. Halos dalawa ay pareho.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Malinaw, ang derivative ay palaging mas mababa sa zero, samakatuwid, ang function ay bumababa sa lahat ng mga seksyon. Kaya, sa seksyon mula sa minus infinity hanggang minus two, ang function ay bumababa mula sa zero hanggang minus infinity; sa seksyon mula minus dalawa hanggang zero, bumababa ang function mula sa plus infinity hanggang zero; sa seksyon mula zero hanggang dalawa, bumababa ang function mula sa zero hanggang minus infinity; sa seksyon mula dalawa hanggang plus infinity, bumababa ang function mula plus infinity hanggang zero.

Ilarawan natin:

kanin. 6. Sketch ng graph ng isang function halimbawa 1

sa x, pagkatapos ay gra-

y 2 x 5 . kasi

kasinungalingan ang mga function ng fic

sa itaas ng asymptote

Halimbawa 2 - gumuhit ng graph ng isang function:

Bumubuo kami ng sketch ng graph ng isang function nang hindi gumagamit ng derivative.

Una, suriin natin ang ibinigay na function:

Mayroon kaming isang punto kung saan maaaring baguhin ng function ang sign kapag pumasa ang argumento.

Tandaan na ang ibinigay na function ay kakaiba.

Tinutukoy namin ang mga palatandaan ng pag-andar sa bawat pagitan. Mayroon kaming isang plus sa matinding kanang pagitan, pagkatapos ay nagbabago ang tanda, dahil ang ugat ay may unang antas.

Bumubuo kami ng sketch ng graph sa paligid ng ugat. Mayroon kaming: dahil sa isang punto ang sign ng function ay nagbabago mula minus hanggang plus, ang curve ay una sa ilalim ng axis, pagkatapos ay dumadaan sa zero at pagkatapos ay matatagpuan sa itaas ng x-axis.

Ngayon ay bumuo kami ng isang sketch ng graph ng function sa paligid ng mga punto sa infinity, iyon ay, kapag ang argument ay may posibilidad na plus o minus infinity. Sa kasong ito, ang mga palaging termino ay maaaring mapabayaan. Meron kami:

Matapos isagawa ang mga hakbang sa itaas, naiisip na natin ang graph ng function, ngunit kailangan nating linawin ito gamit ang derivative.

"Mga derivative na problema" - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Paano mo maiisip ang agarang bilis? Problema sa instant velocity. y. Paano mo maiisip ang agarang bilis? ?X=x-x0. Ang mga sinabi ay nakasulat sa form. Una, tinukoy namin ang "teritoryo" ng aming pananaliksik. A l g o r i t m. Unti-unting tumataas ang bilis v.

"Pag-aaral ng derivative function" - Nagpaputok ang kanyon sa isang anggulo sa abot-tanaw. Opsyon 1 A B D Opsyon 2 G B B. Municipal Educational Institution Meshkovskaya Secondary School Mathematics teacher Kovaleva T.V. Ang function ay tinukoy sa segment [-4;4] . Paano nauugnay ang derivative at function? Mga Sagot: PAGSASABUHAY NG DERIVATIVE SA PAG-AARAL NG FUNCTION: pagtaas at pagbaba ng mga function. GAWAIN Tandaan ang kuwento tungkol kay Baron Munchausen?

"Derivative ng isang complex function" - Complex function. Ang panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function. Derivative ng isang simpleng function. Derivative ng isang kumplikadong function. Complex function: Mga halimbawa:

"Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function" - 6. -1. 8. Tukuyin ang mga kritikal na punto ng function gamit ang graph ng derivative ng function. 1. =. Hulyo 1, 1646 - Nobyembre 14, 1716, Warm-up. Isang tanda ng pagtaas at pagbaba ng pag-andar. Tukuyin ang tanda ng derivative ng function sa mga pagitan.

"Aralin sa derivative ng isang complex function" - Ang derivative ng complex function. Kalkulahin ang bilis ng punto: a) sa oras t; b) sa sandaling ito t=2 s. Hanapin ang mga derivatives ng mga function: , If. Brooke Taylor. Hanapin ang pagkakaiba ng function: Sa anong mga halaga ng x ang hawak ng pagkakapantay-pantay. Ang punto ay gumagalaw nang rectilinearly ayon sa batas s(t) = s(t) = (s ay ang landas sa metro, t ay oras sa segundo).

"Kahulugan ng derivative" - 1. Patunay: f(x+ ?x). Hayaan ang u(x), v(x) at w(x) na maging differentiable function sa ilang pagitan (a; b), ang C ay isang pare-pareho. f(x). Equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient: Gamit ang binomial formula ni Newton mayroon tayong: Theorem. Pagkatapos: Derivative ng isang kumplikadong function.

Mayroong 31 presentasyon sa kabuuan

Sa araling ito ay titingnan natin ang pamamaraan ng pagbuo ng isang sketch ng isang graph ng isang function at magbigay ng mga paliwanag na halimbawa.

Paksa: Pag-uulit

Aralin: Pag-sketch ng graph ng isang function (gamit ang halimbawa ng isang fractional-quadratic function)

Ang aming layunin ay i-sketch ang graph ng isang fractional quadratic function. Halimbawa, kunin natin ang isang function na pamilyar na sa atin:

Ang isang fractional function ay ibinigay, ang numerator at denominator na naglalaman ng mga quadratic function.

Ang pamamaraan ng sketching ay ang mga sumusunod:

1. Pumili ng mga pagitan ng pare-parehong pag-sign at tukuyin ang sign ng function sa bawat isa (Figure 1)

Sinuri namin nang detalyado at nalaman na ang isang function na tuluy-tuloy sa isang ODZ ay maaari lamang magbago ng sign kapag ang argument ay dumaan sa mga ugat at break point ng ODZ.

Ang ibinigay na function na y ay tuloy-tuloy sa ODZ nito; ipahiwatig natin ang ODZ:

Hanapin natin ang mga ugat:

kanin. 1. Mga agwat ng pare-parehong tanda ng isang function

Upang matukoy ang tanda ng isang function sa bawat agwat, maaari mong kunin ang anumang puntong kabilang sa agwat, palitan ito sa function at matukoy ang tanda nito. Halimbawa:

Sa pagitan ang function ay may plus sign

Sa pagitan, ang function ay may minus sign.

Ito ang bentahe ng paraan ng agwat: tinutukoy namin ang tanda sa isang punto ng pagsubok at napagpasyahan na ang function ay magkakaroon ng parehong sign sa buong napiling agwat.

1. Bumuo tayo ng graph sa paligid ng bawat ugat. Alalahanin na ang mga ugat ng function na ito at:

kanin. 2. Graph sa paligid ng mga ugat

2. Bumuo tayo ng graph sa paligid ng bawat discontinuity ng ODZ. Alalahanin na ang mga ugat ng denominator ng function na ito at :

kanin. 3. Graph ng function sa paligid ng mga discontinuity point ng ODZ

Ayon sa itinayong sketch, maaari nating hulaan ang likas na katangian ng pag-uugali ng function sa ilang mga agwat.

kanin. 4. Sketch ng function graph

Isaalang-alang natin ang sumusunod na mahalagang gawain - upang bumuo ng isang sketch ng graph ng isang function sa paligid ng mga punto sa infinity, i.e. kapag ang argumento ay may posibilidad na plus o minus infinity. Sa kasong ito, ang mga palaging termino ay maaaring mapabayaan. Meron kami:

Minsan makikita mo ang recording na ito ng katotohanang ito:

kanin. 5. Sketch ng graph ng isang function sa paligid ng mga punto sa infinity

Nakakuha kami ng tinatayang pag-uugali ng function sa buong domain ng kahulugan nito; pagkatapos ay kailangan naming pinuhin ang construction gamit ang derivative.

Halimbawa 1 - gumuhit ng graph ng isang function:

Mayroon kaming tatlong punto kung saan maaaring baguhin ng function ang sign kapag pumasa ang argumento.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Ilarawan natin:

kanin. 6. Sketch ng graph ng isang function halimbawa 1

Halimbawa 2 - gumuhit ng graph ng isang function:

Bumubuo kami ng sketch ng graph ng isang function nang hindi gumagamit ng derivative.

Una, suriin natin ang ibinigay na function:

Mayroon kaming isang punto kung saan maaaring baguhin ng function ang sign kapag pumasa ang argumento.

Tandaan na ang ibinigay na function ay kakaiba.

Tinutukoy namin ang mga palatandaan ng pag-andar sa bawat pagitan. Mayroon kaming isang plus sa matinding kanang pagitan, pagkatapos ay nagbabago ang tanda, dahil ang ugat ay may unang antas.

Ngayon ay bumuo kami ng isang sketch ng graph ng function sa paligid ng mga punto sa infinity, i.e. kapag ang argumento ay may posibilidad na plus o minus infinity. Sa kasong ito, ang mga palaging termino ay maaaring mapabayaan. Meron kami:

Matapos isagawa ang mga hakbang sa itaas, naiisip na natin ang graph ng function, ngunit kailangan nating linawin ito gamit ang derivative.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Pinipili namin ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng derivative: sa . ODZ dito. Kaya, mayroon kaming tatlong pagitan ng pare-parehong pag-sign ng derivative at tatlong seksyon ng monotonicity ng orihinal na function. Alamin natin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat pagitan. Kailan ang derivative ay positibo, ang function ay tumataas; kapag negatibo ang derivative, bumababa ang function. Sa kasong ito - ang pinakamababang punto, dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus; sa kabaligtaran, ang pinakamataas na punto.