Quadratic equation reduction. Mga Quadratic Equation sa Sinaunang Babylon. Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Ang pagbabago ng isang kumpletong quadratic equation sa isang hindi kumpleto ay ganito ang hitsura (para sa kaso \(b=0\)):

Para sa mga kaso kung kailan \(c=0\) o kapag ang parehong coefficient ay katumbas ng zero, lahat ay magkapareho.

Pakitandaan na ang \(a\) ay hindi katumbas ng zero, hindi ito maaaring katumbas ng zero, dahil sa kasong ito ito ay nagiging:

Solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation.

Una sa lahat, kailangan mong maunawaan na ang hindi kumpletong quadratic equation ay pa rin, samakatuwid, maaari itong malutas sa parehong paraan tulad ng karaniwang quadratic (through). Upang gawin ito, idagdag lang namin ang nawawalang bahagi ng equation na may zero coefficient.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(3x^2-27=0\)
Solusyon :

		Mayroon kaming hindi kumpletong quadratic equation na may coefficient \(b=0\). Iyon ay, maaari nating isulat ang equation sa sumusunod na anyo:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sa katunayan, narito ang parehong equation tulad ng sa simula, ngunit ngayon maaari itong malutas bilang isang ordinaryong parisukat. Una naming isulat ang mga coefficient.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Hanapin natin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Isulat ang sagot

Sagot : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(-x^2+x=0\)
Solusyon :

		Muli, isang hindi kumpletong quadratic equation, ngunit ngayon ang coefficient \(c\) ay katumbas ng zero. Isinulat namin ang equation bilang kumpleto.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation.

Ngunit una, ulitin natin kung anong mga equation ang tinatawag na quadratic. Ang isang equation ng form na ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan ang x ay isang variable, at ang mga coefficients a, b at c ay ilang mga numero, at isang ≠ 0, ay tinatawag parisukat. Tulad ng nakikita natin, ang coefficient sa x 2 ay hindi katumbas ng zero, at samakatuwid ang mga coefficient sa x o ang libreng term ay maaaring katumbas ng zero, sa kasong ito ay nakakakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation.

May tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

1) Kung b \u003d 0, c ≠ 0, pagkatapos ay ax 2 + c \u003d 0;

2) Kung b ≠ 0, c \u003d 0, pagkatapos ay ax 2 + bx \u003d 0;

3) Kung b \u003d 0, c \u003d 0, pagkatapos ay ax 2 \u003d 0.

Tingnan natin kung paano nila malulutas mga equation ng anyong ax 2 + c = 0.

Upang malutas ang equation, inilipat namin ang libreng termino mula sa kanang bahagi ng equation, nakukuha namin

ax 2 = ‒s. Dahil ang isang ≠ 0, pagkatapos ay hatiin namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng a, pagkatapos x 2 \u003d -c / a.

Kung ‒с/а > 0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat

x = ±√(–c/a) .

Kung ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Subukan nating unawain gamit ang mga halimbawa kung paano lutasin ang mga naturang equation.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation na 2x 2 - 32 = 0.

Sagot: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation na 2x 2 + 8 = 0.

Sagot: Ang equation ay walang mga solusyon.

Tingnan natin kung paano nila malulutas mga equation ng anyong ax 2 + bx = 0.

Upang malutas ang equation ax 2 + bx \u003d 0, nabubulok namin ito sa mga kadahilanan, iyon ay, kinukuha namin ang x mula sa mga bracket, nakukuha namin ang x (ax + b) \u003d 0. Ang produkto ay zero kung hindi bababa sa isa sa mga ang mga kadahilanan ay zero. Pagkatapos ay alinman sa х = 0 o ах + b = 0. Ang paglutas ng equation na ах + b = 0, makuha namin ang ах = – b, kung saan х = – b/a. Ang isang equation ng form na ax 2 + bx \u003d 0 ay palaging may dalawang ugat x 1 \u003d 0 at x 2 \u003d - b / a. Tingnan kung ano ang hitsura ng solusyon ng mga equation ng ganitong uri sa diagram.

Pagsamahin natin ang ating kaalaman sa isang partikular na halimbawa.

Halimbawa 3. Lutasin ang equation na 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 o 3x - 12 \u003d 0

Sagot: x 1 = 0, x 2 = 4.

Mga equation ng ikatlong uri ax 2 = 0 nalutas nang napakasimple.

Kung ax 2 \u003d 0, pagkatapos ay x 2 \u003d 0. Ang equation ay may dalawang pantay na ugat x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang diagram.

Kapag nilulutas ang Halimbawa 4, sisiguraduhin namin na ang mga equation ng ganitong uri ay malulutas nang napakasimple.

Halimbawa 4 Lutasin ang equation na 7x 2 = 0.

Sagot: x 1, 2 = 0.

Hindi laging malinaw kung anong uri ng hindi kumpletong quadratic equation ang kailangan nating lutasin. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 5 lutasin ang equation

I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng isang common denominator, iyon ay, sa pamamagitan ng 30

Mag cut tayo

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Buksan natin ang mga bracket

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Narito ang mga katulad

Ilipat natin ang 99 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, palitan ang sign sa kabaligtaran

Sagot: walang ugat.

Nasuri namin kung paano nalulutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation. Sana ngayon ay hindi ka na mahihirapan sa mga ganitong gawain. Mag-ingat kapag tinutukoy ang uri ng isang hindi kumpletong quadratic equation, pagkatapos ay magtatagumpay ka.

Kung mayroon kang anumang mga katanungan tungkol sa paksang ito, sabay naming lutasin ang mga problema.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang equation ay tumatagal sa anyo:

Solusyonan natin ito pangkalahatang pananaw:

Magkomento: ang equation ay magkakaroon lamang ng mga ugat kung , kung hindi manparisukat pala

katumbas negatibong numero, na imposible.

Sagot:

Halimbawa:

Sagot:

Ang huling paglipat ay ginawa dahil ang irrationality sa denominator ay naiwan nang labis bihira.

2. Ang libreng miyembro ay zero(c=0).

Ang equation ay tumatagal sa anyo:

Lutasin natin ito sa pangkalahatang anyo:

Para sa mga solusyon binigay quadratic equation, ibig sabihin. kung ang coefficient

a= 1:

x2+bx+c=0,

pagkatapos x 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:

x2+bx+c=0,

hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng a:

→ →

saan x 1 at x 2 - mga ugat ng equation.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, tanggalinmga fraction! Paramihin

ang equation sa isang common denominator.

Konklusyon. Mga Praktikal na Tip:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.

2. Kung may negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito pagpaparami

ng buong equation sa pamamagitan ng -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sakatumbas

salik.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang koepisyent kasama nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling suriin sa pamamagitan ng

Quadratic equation mag-aral sa ika-8 baitang, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay mahalaga.

ay isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na pamamaraan ng solusyon, tandaan namin na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring nahahati sa tatlong klase:

Walang mga ugat;
Mayroon silang eksaktong isang ugat;
Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic at linear na equation, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

diskriminasyon

Hayaang magbigay ng isang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ay ang bilang na D = b 2 − 4ac.

Ang formula na ito ay dapat na kilala sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant, matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

Kung si D< 0, корней нет;
Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan na iniisip ng maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Isang gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Isinulat namin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya, ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang mga ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa parehong paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation ay nananatili:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay katumbas ng zero - ang ugat ay magiging isa.

Tandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod - ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at hindi gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung "punan mo ang iyong kamay", pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsisimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Ang mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

Lutasin ang mga quadratic equation:

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at marunong kang magbilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag ang mga negatibong coefficient ay pinalitan sa formula. Dito, muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, pintura ang bawat hakbang - at mapupuksa ang mga pagkakamali sa lalong madaling panahon.

Hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay nangyayari na ang quadratic equation ay medyo naiiba sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Madaling makita na ang isa sa mga termino ay nawawala sa mga equation na ito. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa karaniwang mga equation: hindi na nila kailangan pang kalkulahin ang discriminant. Kaya't ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b \u003d c \u003d 0. Sa kasong ito, ang equation ay tumatagal sa anyo ng ax 2 \u003d 0. Malinaw, ang gayong equation ay may isang solong ugat: x \u003d 0.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga kaso. Hayaan ang b \u003d 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + c \u003d 0. Bahagyang baguhin natin ito:

Dahil aritmetika Kuwadrado na ugat umiiral lamang mula sa isang hindi negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c/a) ≥ 0. Konklusyon:

Kung ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 + c = 0 ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay (−c/a) ≥ 0, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
Kung (−c/a)< 0, корней нет.

Tulad ng nakikita mo, hindi kinakailangan ang discriminant - walang kumplikadong mga kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c/a) ≥ 0.

Solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation.

Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng pantay na tanda. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon harapin natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, susuriin natin ang ilan sa mga equation na ito:

Isang gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Walang mga ugat, dahil ang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Tingnan din:

Ang quadratic equation ay ax 2 + bx + c = 0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay mga equation ng tatlong uri:

ax 2 + bx = 0 kapag ang coefficient c = 0.
ax 2 + c = 0 kapag ang coefficient b = 0.
ax 2 = 0 kapag pareho ang b at c ay 0.

Ang coefficient a, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang quadratic equation, ay hindi maaaring katumbas ng zero.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa mga full quadratic. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ay nag-iiba depende sa uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

Ang mga equation ng form na ax 2 \u003d 0 ay pinakamadaling malutas. Kung ang a, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang quadratic equation, ay hindi maaaring katumbas ng zero, kung gayon ay malinaw na ang x 2 lamang ang maaaring katumbas ng zero, at samakatuwid ang x mismo. Ang mga equation ng ganitong uri ay palaging may isang ugat, ito ay katumbas ng 0.

Hindi kumpletong quadratic equation. Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Halimbawa:

-3x2 = 0
x2 = 0/-3
x2 = 0
x = √0
x=0

Ang mga equation ng form na ax 2 + c = 0 ay na-convert sa form na ax 2 = -c at nalutas nang katulad sa nauna. Gayunpaman, mayroong alinman sa dalawang ugat o higit sa isa.

ax2 + c = 0
palakol 2 = -c
x 2 \u003d -c / a
x = √(–c/a)

Dito, kung ang radikal na expression ay negatibo, kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Kung positibo, magkakaroon ng dalawang ugat: √(–c/a) at –√(–c/a). Isang halimbawa ng paglutas ng naturang equation:

4x 2 - 16 = 0
4x2=16
x2 = 16 / 4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 \u003d -2

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + bx = 0 ay nalulutas sa pamamagitan ng pagkuha ng common factor sa bracket. Sa kasong ito, ito ay x. Lumalabas ang equation na x(ax + b) = 0. Ang equation na ito ay may dalawang ugat: alinman sa x = 0 o ax + b = 0. Paglutas ng pangalawang equation, nakukuha natin ang x = –b/a. Kaya, ang mga equation ng form na ax 2 + bx \u003d 0 ay may dalawang ugat: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -b / a. Isang halimbawa ng paglutas ng naturang equation:

3x 2 – 10x = 0
x(3x - 10) = 0
x 1 = 0; x 2 \u003d 10/3 \u003d 3, (33)

Paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation Grade 8

Formula
Ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay matatagpuan mula sa
formula: , saan — may diskriminasyon

quadratic equation.

Tatlong panuntunan ang posible:

Panuntunan 1
1. D > 0.

8.2.1. Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Pagkatapos ang equation ay may 2 magkakaibang mga ugat:

Halimbawa
2x2 + 7x - 4 = 0;

a=2, b=7, c=-4.

D \u003d 7 2 - 4 2 (- 4) \u003d 81\u003e 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

Panuntunan 2
2. D = 0. Pagkatapos ang equation ay may ang nag-iisa ugat.

Halimbawa
x 2 - 4x + 4 = 0.

D = (-4) 2 - 4 1 4 = 0, x = - -4 2 1 = 2.

Tandaan na x 2 - 4x + 4 = 0 x = 2.

Panuntunan 3
3. D

Halimbawa
3x 2 - x + 7 = 0.

D \u003d (-1) 2 - 4 3 7 \u003d -83

Na may kahit na pangalawang koepisyent

Panuntunan, mga formula
Kung b = 2k, kung gayon ang mga ugat ng equation ax + 2kx + c = 0 ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Halimbawa 1
1. x + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.

D1 = D4 = (18 2 ) 2 - 1 32 = 49 > 0, kaya ang equation ay may 2 ugat:

x 1 = -9 -? 49 1 \u003d -16, x 2 \u003d -9 + 7 \u003d -2.

Halimbawa 2
2. 3x2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b2 = 1; c = 1.

D1 = D4 = 1 2 — 1 3 = -2

Halimbawa 3
3. 196x2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b2 = -14; c = 1.

D1 = D4 = (- 14) 2 - 196 = 0, kaya ang equation ay may isang ugat.

x= 14 196 = 1 14 .

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami.

- Pag-aaral ng mga formula ng pinaikling multiplikasyon: ang parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression; pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression; ang kubo ng kabuuan at ang kubo ng pagkakaiba ng dalawang expression; mga kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression.

- Paglalapat ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Upang pasimplehin ang mga expression, i-factorize ang mga polynomial, at bawasan ang mga polynomial sa isang karaniwang anyo, ginagamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Paglutas ng mga quadratic equation

Mga pinaikling formula ng multiplikasyon na kailangan mong malaman sa puso.

Hayaan ang a, b R. Pagkatapos:

1. Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression kasama ang dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

3. Pagkakaiba ng mga parisukat dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito at ang kanilang kabuuan.

a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)

4. sum cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression plus tatlong beses ang parisukat ng unang expression na beses ang pangalawa at tatlong beses ang produkto ng unang expression na beses ang square ng pangalawa kasama ang cube ng pangalawang expression.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. pagkakaiba cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa plus tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang parisukat ng pangalawang minus ang cube ng pangalawang expression.

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kabuuan ng mga cube dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga expression na ito.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng mga expression na ito.

Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa paglutas ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kalkulahin

a) Gamit ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang expression, mayroon tayo

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Gamit ang formula para sa squared difference ng dalawang expression, nakuha namin

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Halimbawa 2

Kalkulahin

Gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression, nakuha namin

Halimbawa 3

Pasimplehin ang Expression

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ginagamit namin ang mga formula para sa parisukat ng kabuuan at parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami sa isang talahanayan:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

1. Pagpili ng isang buong parisukat. Mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation.
2. Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation.
3. Solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation.
4. Pagbulok ng isang parisukat na trinomial sa mga salik.

Mula sa artikulong ito matututunan mo ang:

Ano ang nasa hitsura mga equation upang matukoy kung ang equation na ito ay hindi kumpleto quadratic equation? Ngunit bilang lutasin ang hindi kumpleto quadratic equation?

Paano makilala ang "sa pamamagitan ng paningin" ng isang hindi kumpletong quadratic equation

Kaliwa bahagi ng equation meron square trinomial, a tama - numero. Ang ganitong mga equation ay tinatawag kumpleto quadratic equation.

Sa kumpleto quadratic equation lahat posibilidad, at hindi pantay. Upang malutas ang mga ito, may mga espesyal na formula, na makikilala natin sa ibang pagkakataon.

Karamihan simple lang upang malutas ay hindi kumpleto quadratic equation. Ito ay mga quadratic equation kung saan ang ilang mga coefficient ay zero.

Coefficient ayon sa kahulugan hindi maaaring zero, dahil kung hindi, ang equation ay hindi magiging parisukat. Napag-usapan namin ito. Kaya, lumalabas na mag-aplay sa zero maaari lamang posibilidad o.

Depende dito, doon tatlong uri ng hindi kumpleto quadratic equation.

1) , saan ;
2) , saan ;
3) , saan .

Kaya, kung makakita tayo ng isang quadratic equation, sa kaliwang bahagi nito sa halip na tatlong miyembro kasalukuyan dalawang miyembro o isang miyembro, kung gayon ang equation na ito ay magiging hindi kumpleto quadratic equation.

Kahulugan ng isang hindi kumpletong quadratic equation

Hindi kumpletong quadratic equation ay tinatawag na quadratic equation , kung saan kahit isa sa mga coefficient o sero.

Ang kahulugan na ito ay marami mahalaga parirala" kahit isa mula sa ratios... sero". Ibig sabihin nito ay isa o higit pa maaaring magkapantay ang mga coefficient sero.

Batay dito, posible tatlong pagpipilian: o isa ang koepisyent ay zero, o isa pa ang koepisyent ay zero, o pareho ang mga coefficient ay sabay-sabay na katumbas ng zero. Ito ay kung paano nakuha ang tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

hindi kumpleto Ang mga quadratic equation ay ang mga sumusunod na equation:
1)
2)
3)

Solusyon sa equation

Magbalangkas tayo plano ng solusyon equation na ito. umalis bahagi ng equation ay maaaring maging madali factorize, dahil sa kaliwang bahagi ng equation ang mga termino at mayroon karaniwang salik, maaari itong alisin sa bracket. Pagkatapos ang produkto ng dalawang salik ay makukuha sa kaliwa, at zero sa kanan.

At pagkatapos ay ang panuntunan "ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, habang ang iba ay may katuturan" ay gagana. Ang lahat ay napaka-simple!

Kaya, plano ng solusyon.
1) Factorize namin ang kaliwang bahagi.
2) Ginagamit namin ang panuntunang "ang produkto ay katumbas ng zero ..."

Tinatawag ko ang mga equation ng ganitong uri "isang regalo ng kapalaran". Ito ay mga equation na kanang bahagi sero, a umalis maaaring hatiin ang bahagi mga multiplier.

Lutasin ang equation ayon sa plano.

1) Mag-decompose tayo kaliwang parte mga equation mga multiplier, para dito kinuha namin ang karaniwang kadahilanan , nakukuha namin ang sumusunod na equation .

2) Sa equation nakikita natin yan umalis gastos trabaho, a zero sa kanan. totoo isang regalo ng kapalaran! Dito, siyempre, gagamitin namin ang panuntunang "ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, habang ang iba ay may katuturan". Kapag isinasalin ang panuntunang ito sa wika ng matematika, nakukuha natin dalawa mga equation o .

Nakikita natin na ang equation bumagsak para sa dalawa mas simple mga equation, na ang una ay nalutas na ().

Solusyonan natin ang pangalawa ang equation. Ilipat ang mga hindi kilalang termino sa kaliwa at ang mga kilalang termino sa kanan. Nasa kaliwa na ang isang hindi kilalang miyembro, iiwan namin siya doon. At inililipat namin ang kilalang termino sa kanan na may kabaligtaran na tanda. Kumuha kami ng isang equation.

Nahanap na natin, at kailangan nating hanapin. Upang mapupuksa ang kadahilanan, kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng .