Kako se množe razlomci. Razlomak. Množenje običnih, decimalnih, mješovitih razlomaka
Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.
Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.
Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči sa konstantna brzina. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na reciproci. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Na šta želim da se fokusiram Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiseta opisane na Wikipediji. Gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, na kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...
A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Ja ću vam pokazati, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi računajući, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. WITH veliki broj 12345 Ne želim da se zavaravam, uzmite u obzir broj 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.
Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.
Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
U srednjoj i srednjoj školi učenici su učili temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi nego što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često i ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.
Šta je razlomak?
Tako se istorijski desilo razlomci brojeva pojavio zbog potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri za određivanje dužine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.
U početku se studenti upoznaju sa konceptom udjela. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, onda će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.
Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovinom; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Obični razlomak se dijeli na brojilac i imenilac. Između njih je razlomka, ili frakciona linija. Razlomka se može nacrtati kao horizontalna ili nagnuta linija. U ovom slučaju, to je znak podjele.
Imenilac predstavlja na koliko jednakih udela je podeljena vrednost; a brojilac je koliko je jednakih udjela uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod njega.
Najpogodnije je prikazati obične razlomke na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, svaki dio je označen latiničnim slovom, onda kao rezultat možete dobiti odličan vizuelni materijal. Dakle, tačka A pokazuje udio jednak 1/4 ukupne vrijednosti pojedinačni segment, a tačka B označava 2/8 ovog segmenta.
Sorte frakcija
Razlomci su uobičajeni, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.
Pravi razlomak je broj čiji je brojilac manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojilac veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj se prevodi u nepravilan razlomak.
Tačno frakcioni izraz je uvijek manji od jedan, a pogrešan je uvijek veći ili jednak 1.
Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan sa nekoliko nula. Ako je razlomak tačan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti nula.
Da biste napisali decimalu, prvo morate napisati cijeli broj, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati frakcijski izraz. Treba imati na umu da nakon zareza brojilac mora sadržavati onoliko numeričkih znakova koliko ima nula u nazivniku.
Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.
Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto
Pogrešno je zapisivati nepravilan razlomak u odgovoru zadatka, pa se mora pretvoriti u mješoviti broj:
- podijeliti brojilac sa postojećim nazivnikom;
- u konkretnom primjeru, nepotpuni količnik je cijeli broj;
- a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.
Primjer. Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5 .
Rješenje. 47: 5. Nepotpuni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:
- cijeli broj se množi sa nazivnikom razlomaka;
- rezultirajući proizvod se dodaje brojiocu;
- rezultat je upisan u brojiocu, nazivnik ostaje nepromijenjen.
Primjer. Izrazite broj u mješovitom obliku kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10 .
Rješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojilac.
Odgovori: 98 / 10.
Množenje običnih razlomaka
Možete izvoditi razne algebarske operacije nad običnim razlomcima. Da biste pomnožili dva broja, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Štaviše, množenje razlomaka sa različitim nazivnicima ne razlikuje se od proizvoda razlomaka sa istim nazivnicima.
Dešava se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti razlomak. IN bez greške rezultirajući izraz treba pojednostaviti što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je teško nazvati i tačnim odgovorom.
Primjer. Pronađite proizvod dva obična razlomka: ½ i 20/18.
Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja proizvoda, dobiva se reducibilna frakcija. I brojnik i imenilac u ovom slučaju su djeljivi sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.
Množenje decimalnih razlomaka
Umnožak decimalnih razlomaka se po svom principu prilično razlikuje od proizvoda običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:
- dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da su krajnje desne cifre jedna ispod druge;
- morate pomnožiti napisane brojeve, uprkos zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
- izbrojati broj cifara iza zareza u svakom od brojeva;
- u rezultatu koji se dobije nakon množenja, potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova na desnoj strani koliko ih sadrži zbir u oba faktora nakon decimalnog zareza i staviti znak za razdvajanje;
- ako u proizvodu ima manje znamenki, onda se ispred njih mora napisati toliko nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodijeliti cijeli broj jednak nuli.
Primjer. Izračunajte proizvod dvije decimale: 2,25 i 3,6.
Rješenje.
Množenje mješovitih razlomaka
Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:
- pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
- naći umnožak brojnika;
- pronaći proizvod nazivnika;
- zapišite rezultat;
- pojednostavite izraz što je više moguće.
Primjer. Pronađite proizvod 4½ i 6 2 / 5.
Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)
Osim pronalaženja umnožaka dva razlomka, mješovitih brojeva, postoje zadaci gdje treba množiti razlomkom.
Dakle, da nađem posao decimalni razlomak i prirodan broj, potrebno je:
- upišite broj ispod razlomka tako da su krajnje desne cifre jedna iznad druge;
- pronaći posao, uprkos zarezu;
- u dobijenom rezultatu odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući nadesno broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.
Da biste običan razlomak pomnožili brojem, trebali biste pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor razlomak koji se može smanjiti, treba ga pretvoriti.
Primjer. Izračunaj proizvod 5/8 i 12.
Rješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odgovori: 7 1 / 2.
Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti rezultujući rezultat i pretvoriti netačan razlomak u mješoviti broj.
Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje proizvoda broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti sa brojem, pomnožiti brojilac sa istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.
Primjer. Pronađite proizvod 9 5 / 6 i 9.
Rješenje. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.
Odgovori: 88 1 / 2.
Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001
Sljedeće pravilo slijedi iz prethodnog stava. Da biste pomnožili decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, 10000, itd., morate pomaknuti zarez udesno za onoliko znakova cifara koliko ima nula u množitelju nakon jedan.
Primjer 1. Pronađite proizvod 0,065 i 1000.
Rješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odgovori: 65.
Primjer 2. Pronađite proizvod 3,9 i 1000.
Rješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Odgovori: 3900.
Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem proizvodu za onoliko znakova cifara koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, dovoljan broj nula upisuje se ispred prirodnog broja.
Primjer 1. Pronađite proizvod 56 i 0,01.
Rješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odgovori: 0,56.
Primjer 2. Pronađite proizvod 4 i 0,001.
Rješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odgovori: 0,004.
Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.
Druga operacija koja se može izvesti s običnim razlomcima je množenje. Pokušat ćemo objasniti njegova osnovna pravila pri rješavanju zadataka, pokazati kako se običan razlomak množi prirodnim brojem i kako pravilno pomnožiti tri ili više običnih razlomaka.
Zapišimo prvo osnovno pravilo:
Definicija 1
Ako pomnožimo jedan obični razlomak, tada će brojilac rezultirajućeg razlomka biti jednak je proizvodu brojnici originalnih razlomaka, a nazivnik - proizvod njihovih nazivnika. U doslovnom obliku, za dva razlomka a / b i c / d, ovo se može izraziti kao a b · c d = a · c b · d.
Pogledajmo primjer kako pravilno primijeniti ovo pravilo. Recimo da imamo kvadrat čija je stranica jednaka jednoj brojevnoj jedinici. Tada će površina figure biti 1 kvadrat. jedinica. Ako kvadrat podijelimo na jednake pravokutnike sa stranicama jednakim 1 4 i 1 8 brojčane jedinice, dobićemo da se sada sastoji od 32 pravokutnika (jer je 8 4 = 32). Prema tome, površina svakog od njih bit će jednaka 1 32 površine cijele figure, tj. 1 32 sq. jedinice.
Imamo osenčeni fragment sa stranicama jednakim 5 8 numeričkih jedinica i 3 4 numeričkim jedinicama. U skladu s tim, da biste izračunali njegovu površinu, potrebno je prvi razlomak pomnožiti s drugim. To će biti jednako 5 8 3 4 kvadratnih metara. jedinice. Ali možemo jednostavno izbrojati koliko je pravokutnika uključeno u fragment: ima ih 15, što znači da je ukupna površina 1532 kvadratne jedinice.
Kako je 5 3 = 15 i 8 4 = 32 možemo napisati sljedeću jednačinu:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
To je potvrda pravila koje smo formulisali za množenje običnih razlomaka, a koje se izražava kao a b · c d = a · c b · d. Radi isto i za pravilne i za nepravilne razlomke; Može se koristiti za množenje razlomaka s različitim i istim nazivnicima.
Analizirajmo rješenja nekoliko zadataka za množenje običnih razlomaka.
Primjer 1
Pomnožite 7 11 sa 9 8 .
Rješenje
Za početak izračunavamo proizvod brojila navedenih razlomaka množenjem 7 sa 9. Imamo 63. Zatim izračunamo proizvod nazivnika i dobijemo: 11 8 = 88 . Sastavimo odgovor od dva broja: 63 88.
Cijelo rješenje se može napisati ovako:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
odgovor: 7 11 9 8 = 63 88 .
Ako smo u odgovoru dobili razlomak koji se može smanjiti, potrebno je završiti proračun i izvršiti njegovo smanjenje. Ako dobijemo nepravilan razlomak, moramo iz njega odabrati cijeli dio.
Primjer 2
Izračunaj proizvod razlomaka 4 15 i 55 6 .
Rješenje
Prema gore proučenom pravilu, trebamo pomnožiti brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Unos rješenja će izgledati ovako:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Dobili smo smanjeni razlomak, tj. onaj koji ima znak djeljivosti sa 10.
Smanjimo razlomak: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg odabiremo cijeli dio i dobijemo mješoviti broj: 22 9 = 2 4 9.
odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Radi lakšeg izračunavanja, također možemo smanjiti originalne razlomke prije izvođenja operacije množenja, za koju trebamo dovesti razlomak u oblik a · c b · d. Vrijednosti varijabli rastavljamo na jednostavne faktore i poništavamo iste.
Objasnimo kako to izgleda koristeći podatke određenog problema.
Primjer 3
Izračunaj proizvod 4 15 55 6 .
Rješenje
Napišimo proračune na osnovu pravila množenja. Moći ćemo:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kako je 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 i 6 = 2 3 , onda je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odgovori: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Numerički izraz, u kojem se odvija množenje običnih razlomaka, ima komutativno svojstvo, odnosno, ako je potrebno, možemo promijeniti redoslijed faktora:
a b c d = c d a b = a c b d
Kako pomnožiti razlomak prirodnim brojem
Hajdemo odmah da zapišemo osnovno pravilo, a zatim ga pokušajmo objasniti u praksi.
Definicija 2
Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac ovog razlomka s ovim brojem. U ovom slučaju, nazivnik konačnog razlomka će biti jednak nazivniku originalnog običnog razlomka. Množenje nekog razlomka a b prirodnim brojem n može se zapisati kao formula a b · n = a · n b .
Ovu formulu je lako razumjeti ako se sjetite da se bilo koji prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak s nazivnikom jednakim jedan, to jest:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Objasnimo našu ideju konkretnim primjerima.
Primjer 4
Izračunajte proizvod 2 27 sa 5 .
Rješenje
Kao rezultat množenja brojnika originalnog razlomka sa drugim faktorom, dobijamo 10. Na osnovu gornjeg pravila, dobićemo 10 27 kao rezultat. Cijelo rješenje je dato u ovom postu:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
odgovor: 2 27 5 = 10 27
Kada množimo prirodni broj običnim razlomkom, često moramo smanjiti rezultat ili ga predstaviti kao mješoviti broj.
Primjer 5
Uslov: Izračunaj proizvod 8 puta 5 12 .
Rješenje
Prema gore navedenom pravilu, množimo prirodni broj sa brojicom. Kao rezultat, dobijamo da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konačni razlomak ima znakove djeljivosti sa 2, pa ga moramo smanjiti:
LCM (40, 12) = 4, dakle 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 = 10 3
Sada nam ostaje samo da odaberemo cijeli broj i zapišemo gotov odgovor: 10 3 = 3 1 3.
U ovom unosu možete vidjeti cjelokupno rješenje: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Također bismo mogli smanjiti razlomak tako što ćemo brojilac i imenilac razložiti na proste faktore, a rezultat bi bio potpuno isti.
odgovor: 5 12 8 = 3 1 3 .
Numerički izraz u kojem se prirodni broj množi razlomkom također ima svojstvo pomaka, odnosno redoslijed faktora ne utječe na rezultat:
a b n = n a b = a n b
Kako pomnožiti tri ili više uobičajenih razlomaka
Na množenje običnih razlomaka možemo proširiti ista svojstva koja su karakteristična za množenje prirodnih brojeva. To proizilazi iz same definicije ovih pojmova.
Zahvaljujući poznavanju asocijativnih i komutativnih svojstava, moguće je množiti tri ili više običnih razlomaka. Dozvoljeno je preurediti faktore na mjesta radi veće udobnosti ili rasporediti zagrade na način koji će olakšati brojanje.
Pokažimo na primjeru kako se to radi.
Primjer 6
Pomnožite četiri obična razlomka 1 20 , 12 5 , 3 7 i 5 8 .
Rješenje: Prvo, snimimo rad. Dobijamo 1 20 12 5 3 7 5 8 . Moramo zajedno pomnožiti sve brojioce i sve nazivnike: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Prije nego što počnemo s množenjem, možemo malo olakšati sebi i neke brojeve rastaviti na proste faktore za daljnje smanjenje. To će biti lakše nego smanjiti gotovu frakciju koja iz toga proizlazi.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
odgovor: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Primjer 7
Pomnožimo 5 brojeva 7 8 12 8 5 36 10 .
Rješenje
Radi praktičnosti, možemo grupirati razlomak 7 8 sa brojem 8 i broj 12 sa razlomkom 5 36 , jer će nam to učiniti jasnim buduća smanjenja. Kao rezultat, dobićemo:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 3 = 7 5 35 10 116 2 3
odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.
Množenje razlomka sa razlomkom.
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)
Razmotrimo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka množimo i imeniocem drugog razlomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)
Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je smanjen za 3.
Množenje razlomka brojem.
Počnimo s pravilom bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Koristimo ovo pravilo za množenje.
\(5 \ puta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) je pretvoreno u mješovita frakcija.
Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj sa brojnikom i ostavite imenilac nepromijenjen. primjer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mješovitih razlomaka.
Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Brojilac se množi sa brojicom, imenilac se množi sa imeniocem.
primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.
Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni. Proizvod recipročnih razlomaka je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: proizvod običnih razlomaka je množenje brojioca sa brojiocem, nazivnika sa imeniocem. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.
Kako pomnožiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno da li su isti ili različiti imenioci za razlomke, množenje se dešava prema pravilu pronalaženja proizvoda brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom.
Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.
Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj sa brojicom, a imenilac ostavimo isti.
Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Rješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)
Primjer #2:
Izračunajte umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)
Rješenje:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primjer #4:
Izračunajte umnožak dva recipročna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)
Rješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)
Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) istovremeno prirodni brojevi?
Rješenje:
a) Koristimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegova recipročna vrijednost će biti jednaka \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.
b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uslov da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uslovima, kada su brojnik i imenilac jednaki.
c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, onda će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je ovaj broj 1.
Primjer #6:
Izvedite proizvod mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )
Rješenje:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primjer #7:
Mogu li istovremeno postojati dva recipročna broja? mešoviti brojevi?
Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađimo njegovu recipročnu vrijednost, za ovo ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Njegova recipročna vrijednost će biti jednaka \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.