"વધતા અને ઘટતા કાર્યો"

પાઠ હેતુઓ:

1. એકવિધતાના સમયગાળા શોધવાનું શીખો.

2. વિચારવાની ક્ષમતાઓનો વિકાસ જે પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ અને ક્રિયાની પર્યાપ્ત પદ્ધતિઓ (વિશ્લેષણ, સંશ્લેષણ, સરખામણી) ના વિકાસને સુનિશ્ચિત કરે છે.

3. વિષયમાં રસ પેદા કરવો.

વર્ગો દરમિયાન

આજે આપણે ડેરિવેટિવની એપ્લિકેશનનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ અને કાર્યોના અભ્યાસ માટે તેના ઉપયોગના પ્રશ્નને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આગળનું કામ

હવે ચાલો "મંથન" કાર્યના ગુણધર્મોની કેટલીક વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

1. કાર્યને શું કહેવાય છે?

2. ચલ Xનું નામ શું છે?

3. ચલ Yનું નામ શું છે?

4. ફંક્શનનું ડોમેન શું છે?

5. ફંક્શનનો વેલ્યુ સેટ શું છે?

6. કયું કાર્ય સમ કહેવાય છે?

7. કયા કાર્યને વિષમ કહેવામાં આવે છે?

8. સમ કાર્યના ગ્રાફ વિશે તમે શું કહી શકો?

9. તમે વિચિત્ર કાર્યના ગ્રાફ વિશે શું કહી શકો?

10. કયા કાર્યને વધારો કહેવામાં આવે છે?

11. કયું કાર્ય ઘટતું કહેવાય છે?

12. કયા કાર્યને સામયિક કહેવામાં આવે છે?

ગણિત એ ગાણિતિક નમૂનાઓનો અભ્યાસ છે. સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીનું એક ગાણિતિક મોડેલોએક કાર્ય છે. અસ્તિત્વમાં છે અલગ રસ્તાઓકાર્યોનું વર્ણન. જે સૌથી વધુ સ્પષ્ટ છે?

- ગ્રાફિક.

- ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો?

- બિંદુ દ્વારા બિંદુ.

આ પદ્ધતિ યોગ્ય છે જો તમને અગાઉથી ખબર હોય કે ગ્રાફ લગભગ કેવો દેખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રાફ શું છે ચતુર્ભુજ કાર્ય, રેખીય કાર્ય, વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા, કાર્યો y = sinx? (અનુરૂપ સૂત્રો દર્શાવવામાં આવ્યા છે, વિદ્યાર્થીઓ વણાંકોને નામ આપે છે જે આલેખ છે.)

પરંતુ જો તમારે ફંક્શનનો ગ્રાફ અથવા તેનાથી પણ વધુ જટિલ ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર હોય તો શું? તમે બહુવિધ બિંદુઓ શોધી શકો છો, પરંતુ કાર્ય આ બિંદુઓ વચ્ચે કેવી રીતે વર્તે છે?

બોર્ડ પર બે બિંદુઓ મૂકો અને વિદ્યાર્થીઓને "તેમની વચ્ચે" ગ્રાફ કેવો દેખાઈ શકે તે બતાવવા માટે કહો:

તેનું વ્યુત્પન્ન તમને ફંક્શન કેવી રીતે વર્તે છે તે સમજવામાં મદદ કરે છે.

તમારી નોટબુક ખોલો, નંબર લખો, સરસ કામ.

પાઠનો હેતુ: ફંક્શનનો ગ્રાફ તેના વ્યુત્પન્નના ગ્રાફ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે શીખો, અને બે પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખો:

1. વ્યુત્પન્ન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનના જ વધારો અને ઘટાડાના અંતરાલો, તેમજ ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ શોધો;

2. અંતરાલો પર વ્યુત્પન્ન ચિહ્નોની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનના જ વધારો અને ઘટાડાના અંતરાલો, તેમજ ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ શોધો.

સમાન કાર્યો અમારા પાઠ્યપુસ્તકોમાં નથી, પરંતુ એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા (ભાગો A અને B) ના પરીક્ષણોમાં જોવા મળે છે.

આજે પાઠમાં આપણે પ્રક્રિયાના અભ્યાસના બીજા તબક્કાના કાર્યના એક નાના તત્વને જોઈશું, કાર્યના ગુણધર્મોમાંથી એકનો અભ્યાસ - એકવિધતાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે અગાઉ ચર્ચા કરેલા કેટલાક મુદ્દાઓને યાદ કરવાની જરૂર છે.

તેથી, ચાલો આજના પાઠનો વિષય લખીએ: કાર્યોમાં વધારો અને ઘટાડાના સંકેતો.

કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડાના સંકેતો:

જો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (a; b), એટલે કે f"(x) > 0 માં x ના તમામ મૂલ્યો માટે હકારાત્મક હોય, તો આ અંતરાલમાં કાર્ય વધે છે.
જો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (a; b) માં x ના તમામ મૂલ્યો માટે નકારાત્મક હોય, એટલે કે f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

એકવિધતાના અંતરાલો શોધવાનો ક્રમ:

કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.

1. ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધો.

2. બોર્ડ પર તમારા માટે નક્કી કરો

નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, અંતરાલોમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની તપાસ કરો જેમાં મળેલા નિર્ણાયક બિંદુઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનને વિભાજિત કરે છે. કાર્યોની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો:

a) વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર,

b) પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધો:

c) નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો: ; , અને

3. ચાલો પરિણામી અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નના સંકેતની તપાસ કરીએ અને કોષ્ટકના રૂપમાં ઉકેલ રજૂ કરીએ.

આત્યંતિક બિંદુઓ તરફ નિર્દેશ કરો

ચાલો વધારો અને ઘટાડાના અભ્યાસના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

મહત્તમના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરત એ છે કે જ્યારે “+” થી “-” ના નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે ડેરિવેટિવની નિશાની બદલવી, અને ન્યૂનતમ માટે “-” થી “+”. જો, નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો પછી આ બિંદુએ કોઈ અંતિમ નથી

1. D(f) શોધો.

2. f"(x) શોધો.

3. સ્થિર બિંદુઓ શોધો, એટલે કે. બિંદુઓ જ્યાં f"(x) = 0 અથવા f"(x) અસ્તિત્વમાં નથી.
(અંશના શૂન્ય પર વ્યુત્પન્ન 0 છે, વ્યુત્પન્ન છેદના શૂન્ય પર અસ્તિત્વમાં નથી)

4. D(f) અને આ બિંદુઓને સંકલન રેખા પર મૂકો.

5. દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરો

6. ચિહ્નો લાગુ કરો.

7. જવાબ લખો.

નવી સામગ્રીનું એકીકરણ.

વિદ્યાર્થીઓ જોડીમાં કામ કરે છે અને તેમની નોટબુકમાં ઉકેલ લખે છે.

a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y = 3 x² - 5x + 4.

બોર્ડમાં બે લોકો કામ કરે છે.

a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. પાઠનો સારાંશ

હોમવર્ક: કસોટી (વિવિધ)

કાર્યની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા અને તેની વર્તણૂક વિશે વાત કરવા માટે, વધારો અને ઘટાડાના અંતરાલો શોધવા જરૂરી છે. આ પ્રક્રિયાને કાર્ય સંશોધન અને ગ્રાફિંગ કહેવામાં આવે છે. એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટનો ઉપયોગ જ્યારે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવામાં થાય છે, કારણ કે તેમના પર ફંક્શન અંતરાલથી વધે છે અથવા ઘટે છે.

આ લેખ વ્યાખ્યાઓ દર્શાવે છે, અંતરાલમાં વધારો અને ઘટાડાનો પૂરતો સંકેત અને એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટેની શરત બનાવે છે. આ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે. ફંક્શનને અલગ પાડવા પરનો વિભાગ પુનરાવર્તિત થવો જોઈએ, કારણ કે ઉકેલને વ્યુત્પન્ન શોધવાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1 વ્યાખ્યા 1

જ્યારે કોઈપણ x 1 ∈ X અને x 2 ∈ X, x 2 > x 1 માટે, અસમાનતા f (x 2) > f (x 1) સંતુષ્ટ થાય ત્યારે કાર્ય y = f (x) અંતરાલ x પર વધશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

વ્યાખ્યા 2

ફંક્શન y = f (x) એ અંતરાલ x પર ઘટતું માનવામાં આવે છે જ્યારે, કોઈપણ x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 માટે, સમાનતા f (x 2) > f (x 1) સાચું માનવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોટી ફંક્શન વેલ્યુ નાની દલીલ મૂલ્યને અનુરૂપ છે. નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

ટિપ્પણી: જ્યારે વધતા અને ઘટવાના અંતરાલના અંતે ફંક્શન નિશ્ચિત અને સતત હોય છે, એટલે કે (a; b), જ્યાં x = a, x = b, બિંદુઓને વધતા અને ઘટવાના અંતરાલમાં સમાવવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યાનો વિરોધાભાસ કરતું નથી; તેનો અર્થ એ છે કે તે અંતરાલ x પર થાય છે.

પ્રકાર y = sin x ના પ્રાથમિક કાર્યોના મુખ્ય ગુણધર્મો દલીલોના વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે નિશ્ચિતતા અને સાતત્ય છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે અંતરાલ પર સાઈન વધે છે - π 2; π 2, પછી સેગમેન્ટમાં વધારો ફોર્મ ધરાવે છે - π 2; π 2.

વ્યાખ્યા 3

બિંદુ x 0 કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુકાર્ય y = f (x) માટે, જ્યારે x ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા f (x 0) ≥ f (x) માન્ય હોય છે. મહત્તમ કાર્યએક બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય છે, અને તે y m a x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

બિંદુ x 0 એ કાર્ય y = f (x) માટે લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય છે, જ્યારે x ના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા f (x 0) ≤ f (x) માન્ય હોય છે. ન્યૂનતમ કાર્યોએક બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય છે, અને y m i n ફોર્મનું હોદ્દો ધરાવે છે.

બિંદુ x 0 ની પડોશીઓ ગણવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ,અને ફંક્શનનું મૂલ્ય જે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટને અનુરૂપ છે. નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત સાથે ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમા. નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

પ્રથમ આકૃતિ કહે છે કે સેગમેન્ટ [a; b] તે મહત્તમ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે અને તે કાર્યના મહત્તમ મૂલ્યની બરાબર છે, અને બીજી આકૃતિ x = b પર મહત્તમ બિંદુ શોધવા જેવી છે.

કાર્યને વધારવા અને ઘટાડવા માટે પૂરતી શરતો

ફંક્શનના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધવા માટે, જ્યારે ફંક્શન આ શરતોને સંતોષે છે ત્યારે તે કિસ્સામાં એક્સ્ટ્રીમમના ચિહ્નો લાગુ કરવા જરૂરી છે. પ્રથમ ચિહ્ન સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું માનવામાં આવે છે.

એક્સ્ટ્રીમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિ

વ્યાખ્યા 4

એક ફંક્શન y = f (x) આપવા દો, જે બિંદુ x 0 ના ε પડોશમાં અલગ કરી શકાય તેવું છે, અને આપેલ બિંદુ x 0 પર સાતત્ય ધરાવે છે. અહીંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ

• જ્યારે f " (x) > 0 સાથે x ∈ (x 0 - ε; x 0) અને f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• જ્યારે f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) માટે 0, તો x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે ચિહ્ન સેટ કરવા માટે તેમની શરતો મેળવીએ છીએ:

• જ્યારે ફંક્શન બિંદુ x 0 પર સતત હોય છે, ત્યારે તેમાં બદલાતા ચિહ્ન સાથે વ્યુત્પન્ન હોય છે, એટલે કે + થી -, જેનો અર્થ થાય છે કે બિંદુને મહત્તમ કહેવામાં આવે છે;
• જ્યારે ફંક્શન બિંદુ x 0 પર સતત હોય છે, ત્યારે તેમાં - થી + બદલાતા ચિહ્ન સાથે વ્યુત્પન્ન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે બિંદુ લઘુત્તમ કહેવાય છે.

કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને યોગ્ય રીતે નક્કી કરવા માટે, તમારે તેમને શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:

• વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો;
• આ વિસ્તાર પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;
• શૂન્ય અને બિંદુઓ ઓળખો જ્યાં કાર્ય અસ્તિત્વમાં નથી;
• અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરવી;
• બિંદુઓ પસંદ કરો જ્યાં કાર્ય ચિહ્ન બદલાય છે.

ચાલો ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાના ઘણા ઉદાહરણો હલ કરીને અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 1

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ શોધો આપેલ કાર્ય y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

ઉકેલ

આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન x = 2 સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને મેળવીએ:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

અહીંથી આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનના શૂન્ય x = - 1, x = 5, x = 2 છે, એટલે કે, દરેક કૌંસ શૂન્ય સાથે સમાન હોવું જોઈએ. ચાલો તેને નંબર અક્ષ પર ચિહ્નિત કરીએ અને મેળવીએ:

હવે આપણે દરેક અંતરાલમાંથી વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ. અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ બિંદુ પસંદ કરવું અને તેને અભિવ્યક્તિમાં બદલવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, પોઇન્ટ x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

અમે તે મેળવીએ છીએ

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, જેનો અર્થ છે કે અંતરાલ - ∞ ; - 1 નું ધન વ્યુત્પન્ન છે. એ જ રીતે, આપણે શોધીએ છીએ કે

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

બીજું અંતરાલ શૂન્ય કરતાં ઓછું હોવાનું બહાર આવ્યું હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે અંતરાલ પરનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હશે. માઈનસ સાથે ત્રીજો, વત્તા સાથે ચોથો. સાતત્ય નક્કી કરવા માટે, તમારે વ્યુત્પન્નના ચિહ્ન પર ધ્યાન આપવાની જરૂર છે; જો તે બદલાય છે, તો આ એક આત્યંતિક બિંદુ છે.

અમે શોધીએ છીએ કે બિંદુ x = - 1 પર કાર્ય સતત રહેશે, જેનો અર્થ છે કે વ્યુત્પન્ન + થી - માં ચિહ્ન બદલશે. પ્રથમ સંકેત મુજબ, આપણી પાસે તે x = - 1 એ મહત્તમ બિંદુ છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે મેળવીએ છીએ

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

બિંદુ x = 5 સૂચવે છે કે કાર્ય સતત છે, અને વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન – થી + માં બદલાશે. આનો અર્થ એ છે કે x = -1 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, અને તેના નિર્ધારણનું સ્વરૂપ છે

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ગ્રાફિક છબી

જવાબ: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

એ હકીકત પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે કે એક્સ્ટ્રીમમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત માપદંડનો ઉપયોગ કરવા માટે બિંદુ x 0 પર કાર્યની ભિન્નતાની જરૂર નથી, આ ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

ઉદાહરણ 2

કાર્ય y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 ના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ શોધો.

ઉકેલ.

ફંક્શનનું ડોમેન એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. આ ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે લખી શકાય છે:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

પછી તમારે વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

બિંદુ x = 0 માં વ્યુત્પન્ન નથી, કારણ કે એકતરફી મર્યાદાના મૂલ્યો અલગ છે. અમને તે મળે છે:

લિમ y "x → 0 - 0 = લિમ y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 લિમ y " x → 0 + 0 = લિમ y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

તે અનુસરે છે કે કાર્ય x = 0 બિંદુ પર સતત છે, પછી આપણે ગણતરી કરીએ છીએ

લિમ y x → 0 - 0 = લિમ x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 લિમ y x → 0 + 0 = લિમ x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

જ્યારે વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બને ત્યારે દલીલનું મૂલ્ય શોધવા માટે ગણતરીઓ કરવી જરૂરી છે:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

દરેક અંતરાલની નિશાની નક્કી કરવા માટે તમામ પ્રાપ્ત બિંદુઓને સીધી રેખા પર ચિહ્નિત કરવું આવશ્યક છે. તેથી, દરેક અંતરાલ માટે મનસ્વી બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 મૂલ્યો સાથે પોઈન્ટ લઈ શકીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

સીધી રેખા પરની છબી જેવી લાગે છે

આનો અર્થ એ છે કે અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે એક ચરમસીમાના પ્રથમ સંકેતનો આશરો લેવો જરૂરી છે. ચાલો ગણતરી કરીએ અને તે શોધીએ

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , પછી અહીંથી મહત્તમ બિંદુઓની કિંમતો x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 છે.

ચાલો ન્યૂનતમની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ચાલો ફંક્શનના મેક્સિમાની ગણતરી કરીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ગ્રાફિક છબી

જવાબ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y 27 x3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

જો ફંક્શન f " (x 0) = 0 આપવામાં આવે છે, તો જો f "" (x 0) > 0 હોય, તો આપણે મેળવીએ છીએ કે x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે જો f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ઉદાહરણ 3

ફંક્શન y = 8 x x + 1 ના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો.

ઉકેલ

પ્રથમ, આપણે વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

કાર્યને અલગ પાડવું જરૂરી છે, જેના પછી આપણે મેળવીએ છીએ

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 પર, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બની જાય છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ સંભવિત છેડો છે. સ્પષ્ટ કરવા માટે, બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવું અને x = 1 પર મૂલ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. અમને મળે છે:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

આનો અર્થ એ છે કે એક્સ્ટ્રીમમ માટે 2 પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ કે x = 1 મહત્તમ બિંદુ છે. નહિંતર, એન્ટ્રી y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 જેવી લાગે છે.

ગ્રાફિક છબી

જવાબ: y m a x = y (1) = 4..

વ્યાખ્યા 5

ફંક્શન y = f (x) એ આપેલ બિંદુ x 0 ના ε પડોશમાં nમા ક્રમ સુધી તેનું વ્યુત્પન્ન છે અને બિંદુ x 0 પર n + 1 લી ક્રમ સુધી તેનું વ્યુત્પન્ન છે. પછી f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

તે અનુસરે છે કે જ્યારે n એક સમ સંખ્યા હોય, તો x 0 એ વિવર્તન બિંદુ માનવામાં આવે છે, જ્યારે n એક વિષમ સંખ્યા હોય, તો x 0 એ એક્સ્ટ્રીમમ બિંદુ હોય છે, અને f (n + 1) (x 0) > 0, પછી x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ઉદાહરણ 4

કાર્ય y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 ના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ શોધો.

ઉકેલ

મૂળ ફંક્શન એ એક તર્કસંગત સમગ્ર કાર્ય છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યાખ્યાનું ડોમેન બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. કાર્યને અલગ પાડવું જરૂરી છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

આ વ્યુત્પન્ન x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 પર શૂન્ય પર જશે. એટલે કે, પોઈન્ટ શક્ય એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોઈ શકે છે. હાથપગ માટે ત્રીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ લાગુ કરવી જરૂરી છે. બીજું ડેરિવેટિવ શોધવાથી તમે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ફંક્શનની હાજરીને ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકો છો. બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી તેના સંભવિત સીમાના બિંદુઓ પર કરવામાં આવે છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

આનો અર્થ એ છે કે x 2 = 5 7 એ મહત્તમ બિંદુ છે. 3જી પર્યાપ્ત માપદંડને લાગુ કરીને, આપણે n = 1 અને f (n + 1) 5 7 માટે મેળવીએ છીએ.< 0 .

બિંદુઓની પ્રકૃતિ નક્કી કરવી જરૂરી છે x 1 = - 1, x 3 = 3. આ કરવા માટે, તમારે ત્રીજું વ્યુત્પન્ન શોધવાની અને આ બિંદુઓ પર મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

આનો અર્થ એ છે કે x 1 = - 1 એ ફંક્શનનો ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ છે, કારણ કે n = 2 અને f (n + 1) (- 1) ≠ 0 માટે. બિંદુ x 3 = 3 ની તપાસ કરવી જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે 4 થી વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને આ બિંદુએ ગણતરીઓ કરીએ છીએ:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

ઉપર જે નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું તેના પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે x 3 = 3 એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

ગ્રાફિક છબી

જવાબ: x 2 = 5 7 એ મહત્તમ બિંદુ છે, x 3 = 3 એ આપેલ કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

પર્યાપ્ત સંકેતોના આધારે, વધતા અને ઘટતા કાર્યના અંતરાલો જોવા મળે છે.

અહીં ચિહ્નોના શબ્દો છે:

• જો કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y = f(x)કોઈપણ માટે સકારાત્મક xઅંતરાલ થી એક્સ, પછી કાર્ય વધે છે એક્સ;
• જો કાર્યનું વ્યુત્પન્ન y = f(x)કોઈપણ માટે નકારાત્મક xઅંતરાલ થી એક્સ, પછી કાર્ય ઘટે છે એક્સ.

આમ, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે:

• કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો;

• કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;

• પરિણામી અંતરાલોમાં સીમા બિંદુઓ ઉમેરો કે જેના પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે.

ચાલો અલ્ગોરિધમ સમજાવવા માટે એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

વધતા અને ઘટતા કાર્યના અંતરાલો શોધો.

ઉકેલ.

પ્રથમ પગલું એ કાર્યની વ્યાખ્યા શોધવાનું છે. અમારા ઉદાહરણમાં, છેદમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય પર ન જવી જોઈએ, તેથી, .

ચાલો વ્યુત્પન્ન કાર્ય પર આગળ વધીએ:

પર્યાપ્ત માપદંડના આધારે કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે અસમાનતાઓને હલ કરીએ છીએ અને વ્યાખ્યાના ક્ષેત્ર પર. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીએ. અંશનું એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂળ છે x = 2, અને છેદ શૂન્ય પર જાય છે x = 0. આ બિંદુઓ વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે જેમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. ચાલો આ બિંદુઓને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ. આપણે પરંપરાગત રીતે વ્યુત્પન્ન કે ઋણાત્મક હોય તેવા અંતરાલોને વ્યુત્પન્ન અને બાદબાકી દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. નીચેના તીરો યોજનાકીય રીતે અનુરૂપ અંતરાલ પર કાર્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો દર્શાવે છે.

આમ, અને .

બિંદુએ x = 2કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે, તેથી તેને વધતા અને ઘટતા બંને અંતરાલોમાં ઉમેરવું જોઈએ. બિંદુએ x = 0કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી અમે જરૂરી અંતરાલોમાં આ બિંદુનો સમાવેશ કરતા નથી.

અમે તેની સાથે મેળવેલા પરિણામોની તુલના કરવા માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ રજૂ કરીએ છીએ.

જવાબ:સાથે કાર્ય વધે છે , અંતરાલ પર ઘટે છે (0; 2] .

- એક ચલના કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ. એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો

ફંક્શન f(x), વ્યાખ્યાયિત અને અંતરાલમાં સતત રહેવા દો, તેમાં એકવિધ ન હોઈએ. અંતરાલના ભાગો [ , ] છે જેમાં આંતરિક બિંદુ પર કાર્ય દ્વારા સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે. વચ્ચે અને.

ફંકશન f(x) ને એક બિંદુ પર મહત્તમ (અથવા લઘુત્તમ) હોવાનું કહેવાય છે જો આ બિંદુ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ આવા પડોશી (x 0 - ,x 0 +) દ્વારા ઘેરાયેલું હોય જ્યાં કાર્ય આપવામાં આવે છે કે અસમાનતા તેના તમામ મુદ્દાઓ માટે ધરાવે છે.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુ x 0 ફંક્શન f(x) ને મહત્તમ (લઘુત્તમ) આપે છે જો મૂલ્ય f(x 0) કેટલાકમાં ફંક્શન દ્વારા સ્વીકૃત મૂલ્યોમાં સૌથી મોટું (નાનું) હોવાનું બહાર આવે છે. (ઓછામાં ઓછું નાનું) આ બિંદુનું પડોશી. નોંધ કરો કે મહત્તમ (લઘુત્તમ) ની ખૂબ જ વ્યાખ્યા ધારે છે કે કાર્ય બિંદુ x 0 ની બંને બાજુએ ઉલ્લેખિત છે.

જો ત્યાં કોઈ પડોશી હોય જેની અંદર (x=x 0 પર) સખત અસમાનતા હોય

f(x) f(x 0)

પછી તેઓ કહે છે કે બિંદુ x 0 પર ફંક્શનનું પોતાનું મહત્તમ (ન્યૂનતમ) છે, અન્યથા તે અયોગ્ય છે.

જો કોઈ ફંક્શનમાં પોઈન્ટ x 0 અને x 1 પર મેક્સિમા હોય, તો પછી, બીજા વેયરસ્ટ્રાસ પ્રમેયને અંતરાલ પર લાગુ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શન આ અંતરાલમાં x 0 અને x 1 વચ્ચેના અમુક બિંદુ x 2 પર તેની સૌથી નાની કિંમત સુધી પહોંચે છે અને તેની પાસે એક છે. ત્યાં ન્યૂનતમ. તેવી જ રીતે, બે લઘુત્તમ વચ્ચે ચોક્કસપણે મહત્તમ હશે. સૌથી સરળ (અને વ્યવહારમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ) કિસ્સામાં, જ્યારે ફંક્શનમાં સામાન્ય રીતે મેક્સિમા અને મિનિમાની મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે, ત્યારે તેઓ ફક્ત વૈકલ્પિક હોય છે.

નોંધ કરો કે મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ દર્શાવવા માટે, ત્યાં એક શબ્દ પણ છે જે તેમને એક કરે છે - આત્યંતિક.

મહત્તમ (મહત્તમ f(x)) અને લઘુત્તમ (min f(x)) ની વિભાવનાઓ ફંક્શનના સ્થાનિક ગુણધર્મો છે અને ચોક્કસ બિંદુ x 0 પર થાય છે. સૌથી મોટા (sup f(x)) અને સૌથી નાના (inf f(x)) મૂલ્યોની વિભાવનાઓ મર્યાદિત સેગમેન્ટનો સંદર્ભ આપે છે અને સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના વૈશ્વિક ગુણધર્મો છે.

આકૃતિ 1 થી તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ x 1 અને x 3 પર સ્થાનિક મેક્સિમા છે, અને બિંદુ x 2 અને x 4 પર સ્થાનિક મિનિમા છે. જો કે, ફંક્શન પોઈન્ટ x=a પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય અને પોઈન્ટ x=b પર તેની મહત્તમ કિંમત સુધી પહોંચે છે.

ચાલો ફંક્શનને આત્યંતિકતા આપતા દલીલના તમામ મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યા ઊભી કરીએ. તેને હલ કરતી વખતે, વ્યુત્પન્ન મુખ્ય ભૂમિકા ભજવશે.

ચાલો પહેલા ધારીએ કે ફંક્શન f(x) નું અંતરાલ (a,b) માં મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન છે. જો બિંદુ x 0 પર ફંક્શનમાં એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો પછી, ઉપર ચર્ચા કરેલ અંતરાલ (x 0 - , x 0 +) પર ફર્મેટના પ્રમેયને લાગુ કરીને, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે f (x) = 0 આ છેડા માટે જરૂરી સ્થિતિ છે. . એક્સ્ટ્રીમમ ફક્ત તે બિંદુઓ પર જ શોધવું જોઈએ જ્યાં ડેરિવેટિવ શૂન્યની બરાબર હોય.

જો કે, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે દરેક બિંદુ કે જેના પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે તે કાર્યને એક આત્યંતિક આપે છે: ફક્ત દર્શાવેલ જરૂરી સ્થિતિ પૂરતી નથી.

મોનોટોન

ખૂબ મહત્વપૂર્ણ મિલકતકાર્ય તેની એકવિધતા છે. વિવિધ વિશિષ્ટ કાર્યોની આ મિલકતને જાણીને, વિવિધ ભૌતિક, આર્થિક, સામાજિક અને અન્ય ઘણી પ્રક્રિયાઓનું વર્તન નક્કી કરવું શક્ય છે.

કાર્યોની એકવિધતાના નીચેના પ્રકારોને અલગ પાડવામાં આવે છે:

1) કાર્ય વધે છે, જો કોઈ ચોક્કસ અંતરાલ પર, જો કોઈ બે બિંદુઓ માટે અને આ અંતરાલ જેમ કે . તે. મોટી દલીલ મૂલ્ય મોટા કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે;

2) કાર્ય ઘટે છે, જો કોઈ ચોક્કસ અંતરાલ પર, જો કોઈ બે બિંદુઓ માટે અને આ અંતરાલ જેમ કે . તે. મોટી દલીલ મૂલ્ય નાના કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે;

3) કાર્ય બિન-ઘટતું, જો કોઈ ચોક્કસ અંતરાલ પર, જો કોઈ બે બિંદુઓ માટે અને આ અંતરાલ જેમ કે;

4) કાર્ય વધારો થતો નથી, જો કોઈ ચોક્કસ અંતરાલ પર, જો કોઈ બે બિંદુઓ માટે અને આ અંતરાલ જેમ કે .

2. પ્રથમ બે કિસ્સાઓ માટે, "કડક એકવિધતા" શબ્દનો પણ ઉપયોગ થાય છે.

3. છેલ્લા બે કિસ્સા ચોક્કસ છે અને સામાન્ય રીતે કેટલાક કાર્યોની રચના તરીકે ઉલ્લેખિત છે.

4. અલગથી, અમે નોંધીએ છીએ કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં વધારો અને ઘટાડો ડાબેથી જમણે ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ અને બીજું કંઈ નહીં.

2. બેકી એકી.

કાર્યને વિચિત્ર કહેવામાં આવે છે, જો જ્યારે દલીલનું ચિહ્ન બદલાય છે, તો તે તેના મૂલ્યને વિરુદ્ધમાં બદલી દે છે. આ માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે . આનો અર્થ એ છે કે તમામ x ની જગ્યાએ ફંક્શનમાં "માઈનસ x" મૂલ્યોને બદલ્યા પછી, ફંક્શન તેની નિશાની બદલશે. આવા કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.

વિષમ કાર્યોના ઉદાહરણો વગેરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ વાસ્તવમાં મૂળ વિશે સમપ્રમાણતા ધરાવે છે:

કાર્યને સમ કહેવામાં આવે છે, જો જ્યારે દલીલની નિશાની બદલાય છે, તો તે તેનું મૂલ્ય બદલતું નથી. આ માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ x ની જગ્યાએ ફંક્શનમાં "માઈનસ x" મૂલ્યોને બદલ્યા પછી, ફંક્શન પરિણામે બદલાશે નહીં. આવા ફંક્શનનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.

સમ કાર્યોના ઉદાહરણો વગેરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ધરી વિશેના ગ્રાફની સમપ્રમાણતા બતાવીએ:

જો ફંક્શન સ્પષ્ટ કરેલ કોઈપણ પ્રકારનું ન હોય, તો તેને ન તો સમ કે વિષમ કહેવામાં આવે છે. કાર્ય સામાન્ય દૃશ્ય . આવા કાર્યોમાં કોઈ સમપ્રમાણતા નથી.

આવા ફંક્શન, ઉદાહરણ તરીકે, અમે તાજેતરમાં ગ્રાફ સાથે ધ્યાનમાં લીધેલ રેખીય કાર્ય છે:

3. કાર્યોની વિશેષ મિલકત છે સામયિકતા

હકીકત એ છે કે સામયિક કાર્યો કે જે પ્રમાણભૂત શાળા અભ્યાસક્રમમાં ગણવામાં આવે છે તે માત્ર ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે. સંબંધિત વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે અમે તેમના વિશે વિગતવાર વાત કરી છે.

સામયિક કાર્યએક ફંક્શન છે જે જ્યારે દલીલમાં ચોક્કસ સ્થિર બિન-શૂન્ય સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તેના મૂલ્યોમાં ફેરફાર થતો નથી.

આ લઘુત્તમ નંબર કહેવાય છે કાર્યનો સમયગાળોઅને પત્ર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

આ માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે: .

ચાલો સાઈન ગ્રાફના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ ગુણધર્મને જોઈએ:

ચાલો યાદ રાખીએ કે કાર્યોનો સમયગાળો અને છે , અને સમયગાળો અને છે .

આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ તેમ, જટિલ દલીલો સાથેના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાં બિન-માનક અવધિ હોઈ શકે છે. અમે ફોર્મના કાર્યો વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ:

તેમનો સમયગાળો સમાન છે. અને કાર્યો વિશે:

તેમનો સમયગાળો સમાન છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, નવા સમયગાળાની ગણતરી કરવા માટે, પ્રમાણભૂત અવધિને દલીલમાંના પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તે ફંક્શનના અન્ય ફેરફારો પર આધારિત નથી.

મર્યાદા.

કાર્ય y=f(x) સેટ X⊂D(f) પર નીચેથી બાઉન્ડેડ કહેવાય છે જો ત્યાં એવી સંખ્યા હોય કે જે કોઈપણ xϵX માટે અસમાનતા f(x) ધરાવે છે< a.

કાર્ય y=f(x) સેટ X⊂D(f) પર ઉપરથી બાઉન્ડેડ કહેવાય છે જો ત્યાં એવી સંખ્યા હોય કે જે કોઈપણ хϵХ માટે અસમાનતા f(x) ધરાવે છે< a.

જો અંતરાલ X ઉલ્લેખિત ન હોય, તો કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર મર્યાદિત માનવામાં આવે છે. એક ફંક્શન જે ઉપર અને નીચે બંને રીતે બંધાયેલ હોય તેને બાઉન્ડેડ કહેવાય છે.

ફંક્શનની મર્યાદા ગ્રાફમાંથી વાંચવા માટે સરળ છે. તમે અમુક રેખા y=a દોરી શકો છો, અને જો ફંક્શન આ રેખા કરતા વધારે હોય, તો તે નીચેથી બંધાયેલ છે.

જો નીચે, તો તે મુજબ ઉપર. નીચે બાઉન્ડેડ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચે છે. મિત્રો, મર્યાદિત કાર્યનો ગ્રાફ જાતે દોરવાનો પ્રયાસ કરો.

વિષય: કાર્યોના ગુણધર્મો: વધતા અને ઘટતા અંતરાલ; ઉચ્ચતમ અને નીચું મૂલ્યો; આત્યંતિક બિંદુઓ (સ્થાનિક મહત્તમ અને લઘુત્તમ), કાર્યની બહિર્મુખતા.

વધતા અને ઘટતા અંતરાલ.

કાર્યના વધારા અને ઘટાડા માટે પૂરતી શરતો (ચિહ્નો) ના આધારે, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો જોવા મળે છે.

અંતરાલ પર વધતા અને ઘટતા કાર્યોના સંકેતોની ફોર્મ્યુલેશન અહીં છે:

જો કાર્યનું વ્યુત્પન્ન હોય y=f(x)કોઈપણ માટે સકારાત્મક xઅંતરાલ થી એક્સ, પછી કાર્ય વધે છે એક્સ;

જો કાર્યનું વ્યુત્પન્ન હોય y=f(x)કોઈપણ માટે નકારાત્મક xઅંતરાલ થી એક્સ, પછી કાર્ય ઘટે છે એક્સ.

આમ, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે:

· કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો;

· કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો;

· વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં અસમાનતાઓનું નિરાકરણ;

કાર્યમાં વધારો, ઘટાડો અને ચરમસીમા

કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમાના અંતરાલો શોધવા એ એક સ્વતંત્ર કાર્ય અને અન્ય કાર્યોનો આવશ્યક ભાગ છે, ખાસ કરીને, સંપૂર્ણ કાર્ય અભ્યાસ. કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમા વિશે પ્રારંભિક માહિતી આપવામાં આવી છે વ્યુત્પન્ન પર સૈદ્ધાંતિક પ્રકરણ, જેનો હું પ્રારંભિક અભ્યાસ માટે ખૂબ ભલામણ કરું છું (અથવા પુનરાવર્તન)– એ પણ કારણસર કે નીચેની સામગ્રી ખૂબ જ પર આધારિત છે આવશ્યકપણે વ્યુત્પન્ન,આ લેખનું સુમેળભર્યું ચાલુ છે. જો કે, જો સમય ઓછો હોય, તો આજના પાઠમાંથી ઉદાહરણોની સંપૂર્ણ ઔપચારિક પ્રેક્ટિસ પણ શક્ય છે.

અને આજે હવામાં દુર્લભ સર્વસંમતિની ભાવના છે, અને હું સીધો અનુભવ કરી શકું છું કે હાજર દરેક વ્યક્તિ ઇચ્છાથી બળી રહ્યો છે તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરવાનું શીખો. તેથી, વાજબી, સારી, શાશ્વત પરિભાષા તરત જ તમારા મોનિટર સ્ક્રીન પર દેખાય છે.

શેના માટે? કારણો પૈકી એક સૌથી વ્યવહારુ છે: જેથી તે સ્પષ્ટ થાય કે કોઈ ચોક્કસ કાર્યમાં તમારા માટે સામાન્ય રીતે શું જરૂરી છે!

કાર્યની એકવિધતા. એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા

ચાલો કેટલાક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. સરળ રીતે કહીએ તો, અમે ધારીએ છીએ કે તેણી સતતસમગ્ર સંખ્યા રેખા પર:

ફક્ત કિસ્સામાં, ચાલો તરત જ સંભવિત ભ્રમણાથી છૂટકારો મેળવીએ, ખાસ કરીને તે વાચકો માટે કે જેઓ તાજેતરમાં પરિચિત થયા છે. કાર્યના સતત સંકેતના અંતરાલો. હવે અમે રસ નથી, કેવી રીતે કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની તુલનામાં સ્થિત છે (ઉપર, નીચે, જ્યાં અક્ષ છેદે છે). ખાતરી કરવા માટે, માનસિક રૂપે અક્ષોને ભૂંસી નાખો અને એક ગ્રાફ છોડી દો. કારણ કે ત્યાં જ રસ રહેલો છે.

કાર્ય વધે છેઅંતરાલ પર જો આ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો અસમાનતા સાચી છે. તે જ, વધુ મૂલ્યદલીલ ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે, અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે. નિદર્શન કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે.

તેવી જ રીતે, કાર્ય ઘટે છેઅંતરાલ પર જો આપેલ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે જેમ કે, અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે અને તેનો ગ્રાફ "ઉપરથી નીચે સુધી" જાય છે. આપણું કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે .

જો કોઈ કાર્ય અંતરાલમાં વધે અથવા ઘટે, તો તેને કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધઆ અંતરાલ પર. એકવિધતા શું છે? તેને શાબ્દિક રીતે લો - એકવિધતા.

તમે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો બિન-ઘટતુંકાર્ય (પ્રથમ વ્યાખ્યામાં હળવા સ્થિતિ) અને બિન-વધતીકાર્ય (2જી વ્યાખ્યામાં નરમ સ્થિતિ). એક અંતરાલ પર બિન-ઘટતા અથવા ન વધતા કાર્યને આપેલ અંતરાલ પર એકવિધ કાર્ય કહેવાય છે (કડક એકવિધતા - ખાસ કેસ"માત્ર" એકવિધતા).

થિયરી ફંક્શનના વધારા/ઘટાડાને નિર્ધારિત કરવા માટેના અન્ય અભિગમોને પણ ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તમારા માથા પર તેલ-તેલ-તેલ ન રેડવા માટે, અમે સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાઓ સાથે ખુલ્લા અંતરાલ સાથે કામ કરવા માટે સંમત થઈશું. - આ સ્પષ્ટ છે, અને ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે પૂરતું છે.

આમ, મારા લેખોમાં "ફંક્શનની એકવિધતા" શબ્દ લગભગ હંમેશા છુપાયેલો રહેશે અંતરાલકડક એકવિધતા(ફંક્શનમાં સખત વધારો અથવા સખત ઘટાડો).

બિંદુની પડોશ. શબ્દો કે જેના પછી વિદ્યાર્થીઓ ગમે ત્યાં ભાગી જાય છે અને ખૂણામાં ભયાનક રીતે સંતાઈ જાય છે. ...જોકે પોસ્ટ પછી કોચી મર્યાદાતેઓ કદાચ હવે છુપાઈ રહ્યા નથી, પરંતુ માત્ર સહેજ ધ્રૂજી રહ્યા છે =) ચિંતા કરશો નહીં, હવે ગાણિતિક વિશ્લેષણના પ્રમેયની કોઈ સાબિતી હશે નહીં - વ્યાખ્યાઓને વધુ કડક રીતે ઘડવા માટે મને આસપાસના વાતાવરણની જરૂર હતી આત્યંતિક બિંદુઓ. ચાલો યાદ કરીએ:

બિંદુની પડોશએક અંતરાલ કે જેમાં આપેલ બિંદુ હોય તેને કહેવામાં આવે છે, અને સગવડ માટે અંતરાલને ઘણીવાર સપ્રમાણ માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ અને તેના પ્રમાણભૂત પડોશી:

વાસ્તવમાં, વ્યાખ્યાઓ:

બિંદુ કહેવાય છે સખત મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેના પડોશ, બધા માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. અમારા વિશિષ્ટ ઉદાહરણમાં, આ એક બિંદુ છે.

બિંદુ કહેવાય છે કડક ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેના પડોશ, બધા માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. ડ્રોઇંગમાં બિંદુ "a" છે.

નૉૅધ : પડોશી સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાત બિલકુલ જરૂરી નથી. વધુમાં, તે મહત્વપૂર્ણ છે અસ્તિત્વની હકીકતપડોશી (પછી ભલે નાનું હોય કે માઇક્રોસ્કોપિક) જે ઉલ્લેખિત શરતોને સંતોષે છે

પોઈન્ટ કહેવાય છે સખત આત્યંતિક બિંદુઓઅથવા સરળ રીતે આત્યંતિક બિંદુઓકાર્યો એટલે કે, તે મહત્તમ પોઈન્ટ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ માટે સામાન્યકૃત શબ્દ છે.

આપણે "આત્યંતિક" શબ્દને કેવી રીતે સમજી શકીએ? હા, એકવિધતા જેટલી જ સીધી. રોલર કોસ્ટરના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ.

મોનોટોનિસિટીના કિસ્સામાં, છૂટક પોસ્ટ્યુલેટ્સ અસ્તિત્વમાં છે અને સિદ્ધાંતમાં વધુ સામાન્ય છે (જે, અલબત્ત, માનવામાં આવતા કડક કેસો હેઠળ આવે છે!):

બિંદુ કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે બધા માટે
બિંદુ કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે બધા માટેઆ પડોશના મૂલ્યો, અસમાનતા ધરાવે છે.

નોંધ કરો કે છેલ્લી બે વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, સ્થિર કાર્યનો કોઈપણ બિંદુ (અથવા ફંક્શનનો "સપાટ વિભાગ") મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ બંને ગણવામાં આવે છે! કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, બંને બિન-વધતા અને ન ઘટતા, એટલે કે, એકવિધ છે. જો કે, અમે આ વિચારણાઓ સિદ્ધાંતવાદીઓ પર છોડી દઈશું, કારણ કે વ્યવહારમાં આપણે હંમેશા પરંપરાગત "પહાડીઓ" અને "હોલોઝ" (રેખાંકન જુઓ)ને અનન્ય "પહાડીના રાજા" અથવા "સ્વેમ્પની રાજકુમારી" સાથે ચિંતન કરીએ છીએ. વિવિધતા તરીકે, તે થાય છે ટીપ, ઉપર અથવા નીચે નિર્દેશિત, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ પર કાર્યનું ન્યૂનતમ.

ઓહ, અને રોયલ્ટી વિશે બોલતા:
- અર્થ કહેવાય છે મહત્તમકાર્યો;
- અર્થ કહેવાય છે ન્યૂનતમકાર્યો

સામાન્ય નામ - ચરમસીમાકાર્યો

કૃપા કરીને તમારા શબ્દોથી સાવચેત રહો!

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ- આ "X" મૂલ્યો છે.
આત્યંતિક- "રમત" નો અર્થ.

! નૉૅધ : કેટલીકવાર સૂચિબદ્ધ શબ્દો "X-Y" બિંદુઓનો સંદર્ભ આપે છે જે સીધા જ કાર્યના ગ્રાફ પર આવેલા છે.

ફંક્શનમાં કેટલા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે?

કોઈ નહીં, 1, 2, 3, ... વગેરે. અનંત સુધી. ઉદાહરણ તરીકે, સાઈનમાં અનંતપણે ઘણા મિનિમા અને મેક્સિમા છે.

મહત્વપૂર્ણ!શબ્દ "મહત્તમ કાર્ય" સમાન નથીશબ્દ " મહત્તમ મૂલ્યકાર્યો." તે નોંધવું સરળ છે કે મૂલ્ય ફક્ત સ્થાનિક પડોશમાં જ મહત્તમ છે, અને ટોચની ડાબી બાજુએ "કૂલર સાથીઓ" છે. તેવી જ રીતે, "ફંક્શનનું ન્યુનત્તમ" એ "ફંક્શનની ન્યૂનતમ કિંમત" સમાન નથી અને ડ્રોઇંગમાં આપણે જોઈએ છીએ કે મૂલ્ય ફક્ત ચોક્કસ વિસ્તારમાં ન્યૂનતમ છે. આ સંદર્ભે, એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પણ કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ, અને અંતિમ - સ્થાનિક ચરમસીમાઓ. તેઓ ચાલે છે અને નજીકમાં ભટકતા હોય છે અને વૈશ્વિકભાઈઓ તેથી, કોઈપણ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર હોય છે વૈશ્વિક લઘુત્તમઅથવા વૈશ્વિક મહત્તમ. આગળ, હું ચરમસીમાના પ્રકારો વચ્ચે તફાવત કરીશ નહીં, અને સમજૂતી સામાન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે વધુ ઉચ્ચારવામાં આવે છે - વધારાના વિશેષણો "સ્થાનિક"/"વૈશ્વિક" તમને આશ્ચર્યચકિત કરવા જોઈએ નહીં.

ચાલો એક ટેસ્ટ શૉટ સાથે સિદ્ધાંતમાં અમારા ટૂંકા પ્રવાસનો સારાંશ આપીએ: કાર્ય "એકવિધતા અંતરાલો અને કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધો" નો અર્થ શું છે?

શબ્દો તમને શોધવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે:

- વધતા/ઘટાડતા કાર્યના અંતરાલો (ઘટાડા વગરના, ન વધતા ઘણી ઓછી વાર દેખાય છે);

- મહત્તમ અને/અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (જો કોઈ હોય તો). ઠીક છે, નિષ્ફળતા ટાળવા માટે, લઘુત્તમ/મહત્તમ ;-) પોતાને શોધવાનું વધુ સારું છે.

આ બધું કેવી રીતે નક્કી કરવું?વ્યુત્પન્ન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને!

વધતા, ઘટતા અંતરાલો કેવી રીતે શોધવી,
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા?

ઘણા નિયમો, વાસ્તવમાં, પહેલાથી જ જાણીતા અને સમજવામાં આવ્યા છે વ્યુત્પન્નના અર્થ વિશેનો પાઠ.

સ્પર્શક વ્યુત્પન્ન ખુશખુશાલ સમાચાર લાવે છે કે કાર્ય સમગ્રમાં વધી રહ્યું છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

કોટેન્જેન્ટ અને તેના વ્યુત્પન્ન સાથે પરિસ્થિતિ બરાબર વિપરીત છે.

આર્કસાઇન અંતરાલ પર વધે છે - અહીં વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે: .
જ્યારે ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ અલગ નથી. જો કે, માં નિર્ણાયક બિંદુત્યાં એક જમણી બાજુ વ્યુત્પન્ન અને જમણા હાથની સ્પર્શક છે, અને બીજી ધાર પર તેમના ડાબા હાથના સમકક્ષો છે.

મને લાગે છે કે તમારા માટે આર્ક કોસાઇન અને તેના વ્યુત્પન્ન માટે સમાન તર્ક હાથ ધરવા તે ખૂબ મુશ્કેલ નહીં હોય.

ઉપરોક્ત તમામ કેસો, જેમાંથી ઘણા છે ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ, હું તમને યાદ કરું છું, સીધા જ અનુસરો વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યાઓ.

તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ શા માટે કરવું?

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે: જ્યાં તે “નીચે ઉપર” જાય છે, જ્યાં “ટોપ ડાઉન”, જ્યાં તે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ સુધી પહોંચે છે (જો તે બિલકુલ પહોંચે તો). બધા ફંક્શન એટલા સરળ હોતા નથી - મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આપણને ચોક્કસ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે બિલકુલ ખ્યાલ હોતો નથી.

વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધવાનો અને ધ્યાનમાં લેવાનો સમય છે એકવિધતા અને કાર્યના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

ઉદાહરણ 1

ફંક્શનના વધારા/ઘટાડા અને અંતરાલો શોધો

ઉકેલ:

1) પ્રથમ પગલું શોધવાનું છે ફંક્શનનું ડોમેન, અને વિરામ બિંદુઓની પણ નોંધ લો (જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો). આ કિસ્સામાં, કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, અને આ ક્રિયા અમુક હદ સુધી ઔપચારિક છે. પરંતુ સંખ્યાબંધ કેસોમાં, ગંભીર જુસ્સો અહીં ભડકે છે, તેથી ચાલો અણગમો કર્યા વિના ફકરાની સારવાર કરીએ.

2) અલ્ગોરિધમનો બીજો મુદ્દો કારણે છે

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ:

જો કોઈ બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો કાં તો મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી.

અંત દ્વારા મૂંઝવણમાં છો? "મોડ્યુલસ x" ફંક્શનની સીમા .

શરત જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતી નથી, અને વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. તેથી, તે હજુ સુધી સમાનતાથી અનુસરતું નથી કે કાર્ય બિંદુ પર મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ ઉપર પહેલેથી જ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું છે - આ એક ક્યુબિક પેરાબોલા અને તેનું નિર્ણાયક બિંદુ છે.

પરંતુ તે બની શકે તે રીતે, એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ શંકાસ્પદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે. આ કરવા માટે, વ્યુત્પન્ન શોધો અને સમીકરણ હલ કરો:

પ્રથમ લેખની શરૂઆતમાં કાર્ય ગ્રાફ વિશેમેં તમને એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા ઝડપથી કેવી રીતે બનાવવું તે કહ્યું : "...આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ: ...તેથી, આપણા સમીકરણનો ઉકેલ: - આ બિંદુએ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સ્થિત છે..." હવે, મને લાગે છે કે, દરેક જણ સમજે છે કે શા માટે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ આ બિંદુએ બરાબર સ્થિત છે =) સામાન્ય રીતે, આપણે અહીં સમાન ઉદાહરણથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પરંતુ તે ખૂબ સરળ છે (એક ચાની કીટલી માટે પણ). વધુમાં, વિશેના પાઠના ખૂબ જ અંતમાં એક એનાલોગ છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. તેથી, ચાલો ડિગ્રી વધારીએ:

ઉદાહરણ 2

એકવિધતાના અંતરાલો અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ અને અંદાજિત અંતિમ નમૂનો.

અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યો સાથે મળવાની લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી ક્ષણ આવી ગઈ છે:

ઉદાહરણ 3

પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરો

એક અને સમાન કાર્યને કેવી રીતે બદલી શકાય છે તેના પર ધ્યાન આપો.

ઉકેલ:

1) કાર્ય પોઈન્ટ પર અનંત વિરામનો ભોગ બને છે.

2) અમે નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. અપૂર્ણાંક શૂન્ય છે જ્યારે તેનો અંશ શૂન્ય છે:

આમ, અમને ત્રણ નિર્ણાયક મુદ્દા મળે છે:

3) અમે નંબર લાઇન પરના તમામ શોધાયેલ બિંદુઓ અને અંતરાલ પદ્ધતિઅમે ડેરિવેટિવના ચિહ્નોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

હું તમને યાદ કરાવું છું કે તમારે અંતરાલમાં અમુક બિંદુ લેવાની અને તેના પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે અને તેની નિશાની નક્કી કરો. ગણતરી ન કરવી પણ મૌખિક રીતે "અંદાજ" કરવી તે વધુ નફાકારક છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ સાથે સંબંધિત બિંદુ લઈએ અને અવેજી કરીએ: .

બે "પ્લીસસ" અને એક "માઈનસ" એક "માઈનસ" આપે છે, તેથી, જેનો અર્થ છે કે વ્યુત્પન્ન સમગ્ર અંતરાલ પર નકારાત્મક છે.

ક્રિયા, જેમ તમે સમજો છો, છ અંતરાલોમાંથી દરેક માટે હાથ ધરવાની જરૂર છે. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે અંશ પરિબળ અને છેદ કોઈપણ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ માટે સખત રીતે હકારાત્મક છે, જે કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

તેથી, વ્યુત્પન્નએ અમને જણાવ્યું કે FUNCTION ITSELF દ્વારા વધે છે અને દ્વારા ઘટે છે. જોડાવા આયકન સાથે સમાન પ્રકારના અંતરાલોને જોડવાનું અનુકૂળ છે.

બિંદુએ કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે:
બિંદુએ કાર્ય ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે:

શા માટે તમારે બીજા મૂલ્યની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર નથી તે વિશે વિચારો ;-)

જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તેથી ફંક્શનને ત્યાં કોઈ EXTREMUM નથી - તે બંને ઘટ્યું અને ઘટતું રહ્યું.

! ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ મહત્વપૂર્ણ બિંદુ : બિંદુઓને નિર્ણાયક ગણવામાં આવતા નથી - તેમાં એક કાર્ય છે નક્કી નથી. તદનુસાર, અહીં સિદ્ધાંતમાં કોઈ ચરમસીમા હોઈ શકે નહીં(ભલે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો સાઇન).

જવાબ આપો: દ્વારા કાર્ય વધે છે અને તે બિંદુએ ઘટે છે જ્યાં ફંક્શનની મહત્તમ સંખ્યા પહોંચી જાય છે: , અને બિંદુ પર - ન્યૂનતમ: .

એકવિધતા અંતરાલો અને ચરમસીમાનું જ્ઞાન, સ્થાપિત સાથે જોડાયેલું એસિમ્પ્ટોટ્સપહેલેથી જ ખૂબ જ સારો વિચાર આપે છે દેખાવકાર્ય ગ્રાફિક્સ. સરેરાશ તાલીમ ધરાવનાર વ્યક્તિ મૌખિક રીતે નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને એક ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે. અહીં અમારો હીરો છે:

અભ્યાસના પરિણામોને આ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સાંકળવાનો ફરી એકવાર પ્રયાસ કરો.
નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ આત્યંતિક નથી, પરંતુ ત્યાં છે આલેખ વળાંક(જે, એક નિયમ તરીકે, સમાન કિસ્સાઓમાં થાય છે).

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનની સીમા શોધો

ઉદાહરણ 5

કાર્યના એકવિધતા અંતરાલ, મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો

…આજે લગભગ અમુક પ્રકારની “X in a ક્યુબ” રજા જેવું છે....
સૂઓ, ગેલેરીમાં કોણે આ માટે પીવાની ઓફર કરી? =)

દરેક કાર્યમાં તેની પોતાની નોંધપાત્ર ઘોંઘાટ અને તકનીકી સૂક્ષ્મતા હોય છે, જેના પર પાઠના અંતે ટિપ્પણી કરવામાં આવે છે.