Наоѓање заеднички множител од два броја. Начини да се најде најмалиот заеднички множител, nok is и сите објаснувања
Втор број: б=
Сепаратор на цифриНема раздвојувач на просторот "'
Резултат:
Најголем заеднички делител gcd( а,б)=6
Најмал заеднички множител на LCM( а,б)=468
Се вика најголемиот природен број со кој броевите a и b се делат без остаток најголемиот заеднички делител(gcd) од овие броеви. Се означува gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).
Најмалку заеднички множител(LCM) од два цели броеви a и b е најмалиот природен број што е делив со a и b без остаток. Означено LCM(a,b) или lcm(a,b).
Се викаат цели броеви a и b coprimeако немаат заеднички делители освен +1 и −1.
Најголем заеднички делител
Нека се дадени два позитивни броја а 1 и а 2 1). Потребно е да се најде заеднички делител на овие броеви, т.е. најдете таков број λ , кој ги дели броевите а 1 и а 2 во исто време. Ајде да го опишеме алгоритмот.
1) Во оваа статија, зборот број ќе значи цел број.
Нека а 1 ≥ а 2 и нека
каде м 1 , а 3 се некои цели броеви, а 3 <а 2 (остаток од поделба а 1 на а 2 треба да биде помал а 2).
Ајде да се преправаме дека λ дели а 1 и а 2, тогаш λ дели м 1 а 2 и λ дели а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Тврдењето 2 од членот „Деливост на броевите. Знак за деливост“). Следи дека секој заеднички делител а 1 и а 2 е заеднички делител а 2 и а 3 . Обратно е исто така точно ако λ заеднички делител а 2 и а 3, тогаш м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 се исто така поделени на λ . Оттука и заедничкиот делител а 2 и а 3 е исто така заеднички делител а 1 и а 2. Бидејќи а 3 <а 2 ≤а 1 , тогаш можеме да кажеме дека решението на проблемот со наоѓање заеднички делител на броеви а 1 и а 2 сведена на поедноставен проблем за наоѓање заеднички делител на броеви а 2 и а 3 .
Ако а 3 ≠0, тогаш можеме да поделиме а 2 на а 3 . Потоа
,
каде м 1 и а 4 се некои цели броеви, ( а 4 остаток од поделбата а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Со слично расудување доаѓаме до заклучок дека заедничките делители на броевите а 3 и а 4 е исто како и заеднички делители на броеви а 2 и а 3, а исто така и со заеднички делители а 1 и а 2. Бидејќи а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , ... броеви кои постојано се намалуваат, а бидејќи има конечен број цели броеви помеѓу а 2 и 0, потоа на некој чекор n, остатокот од поделбата а n на а n+1 ќе биде еднакво на нула ( а n+2=0).
.
Секој заеднички делител λ броеви а 1 и а 2 е исто така делител на броеви а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1 . Вистина е и обратното, заеднички делители на броеви а n и а n+1 се и делители на броеви а n−1 и а n , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но заедничкиот делител а n и а n+1 е број а n+1 , бидејќи а n и а n+1 се делат со а n+1 (потсетете се на тоа а n+2=0). Следствено а n+1 е исто така делител на броеви а 1 и а 2 .
Забележете дека бројот а n+1 е најголемиот делител на броеви а n и а n+1 , бидејќи најголемиот делител а n+1 е самиот себе а n+1 . Ако а n + 1 може да се претстави како производ од цели броеви, тогаш овие броеви се и заеднички делители на броеви а 1 и а 2. Број а n+1 се нарекуваат најголемиот заеднички делителброеви а 1 и а 2 .
Броеви а 1 и а 2 може да биде и позитивни и негативни броеви. Ако еден од броевите е еднаков на нула, тогаш најголемиот заеднички делител на овие броеви ќе биде еднаков на апсолутната вредност на другиот број. Најголемиот заеднички делител на нула броеви не е дефиниран.
Горенаведениот алгоритам се нарекува Евклидовиот алгоритамда се најде најголемиот заеднички делител на два цели броеви.
Пример за наоѓање на најголемиот заеднички делител на два броја
Најдете го најголемиот заеднички делител на два броја 630 и 434.
- Чекор 1. Поделете го бројот 630 со 434. Остатокот е 196.
- Чекор 2. Поделете го бројот 434 со 196. Остатокот е 42.
- Чекор 3. Поделете го бројот 196 со 42. Остатокот е 28.
- Чекор 4. Поделете го бројот 42 со 28. Остатокот е 14.
- Чекор 5. Поделете го бројот 28 со 14. Остатокот е 0.
На чекор 5, остатокот од делењето е 0. Според тоа, најголемиот заеднички делител на броевите 630 и 434 е 14. Забележете дека броевите 2 и 7 се исто така делители на броевите 630 и 434.
Копрости броеви
Дефиниција 1. Нека најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 е еднакво на еден. Тогаш се повикуваат овие броеви копрости броевикои немаат заеднички делител.
Теорема 1. Ако а 1 и а 2 релативно прости броеви, и λ некој број, потоа секој заеднички делител на броеви λa 1 и а 2 е исто така заеднички делител на броеви λ и а 2 .
Доказ. Размислете за Евклидовиот алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 (види погоре).
.
Од условите на теоремата произлегува дека најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2, и затоа а n и а n+1 е 1. т.е. а n+1=1.
Ајде да ги помножиме сите овие еднаквости со λ , тогаш
.
Нека заедничкиот делител а 1 λ и а 2 е δ . Потоа δ влегува како фактор во а 1 λ , м 1 а 2 λ и во а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (Види „Деливост на броеви“, изјава 2). Понатаму δ влегува како фактор во а 2 λ и м 2 а 3 λ , и оттаму влегува како фактор во а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .
Вака расудувајќи се уверуваме дека δ влегува како фактор во а n−1 λ и м n−1 а n λ , а со тоа и во а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Бидејќи а n+1 =1, тогаш δ влегува како фактор во λ . Оттука и бројот δ е заеднички делител на броеви λ и а 2 .
Размислете за посебни случаи на теорема 1.
Последица 1. Нека аи впростите броеви се релативно б. Потоа нивниот производ аке прост број во однос на б.
Навистина. Од теорема 1 аки бги имаат истите заеднички делители како ви б. Но, бројките ви б coprime, т.е. имаат единствен заеднички делител 1. Тогаш аки бимаат и единствен заеднички делител 1. Оттука аки бзаемно едноставно.
Последица 2. Нека аи бкопрости броеви и нека бдели ак. Потоа бдели и к.
Навистина. Од условот на тврдење аки бимаат заеднички делител б. Врз основа на теорема 1, бмора да биде заеднички делител би к. Следствено бдели к.
Заклучокот 1 може да се генерализира.
Последица 3. 1. Нека ги броевите а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m се прости во однос на бројот б. Потоа а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m , производот на овие броеви е прост во однос на бројот б.
2. Нека имаме два реда броеви
така што секој број во првиот ред е прост во однос на секој број во вториот ред. Потоа производот
Потребно е да се најдат такви броеви кои се деливи со секој од овие броеви.
Ако бројот се дели со а 1 , тогаш изгледа са 1, каде снекој број. Ако qе најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2, тогаш
каде с 1 е некој цел број. Потоа
е најмал заеднички множител на броеви а 1 и а 2 .
а 1 и а 2 сопрост, потоа најмал заеднички множител на броевите а 1 и а 2:
Најдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.
Од горенаведеното произлегува дека секој множител од броевите а 1 , а 2 , а 3 мора да биде множител на броеви ε и а 3 и обратно. Нека најмал заеднички множител од броевите ε и а 3 е ε еден . Понатаму, повеќекратен број броеви а 1 , а 2 , а 3 , а 4 мора да биде множител на броеви ε 1 и ачетири. Нека најмал заеднички множител од броевите ε 1 и а 4 е ε 2. Така, дознавме дека сите множители на броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m се совпаѓаат со множители на некој специфичен број ε n , што се нарекува најмал заеднички множител на дадените броеви.
Во конкретниот случај кога бројките а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m сопримерен, тогаш најмал заеднички множител на броевите а 1 , а 2 како што е прикажано погоре ја има формата (3). Понатаму, бидејќи а 3 прости во однос на броевите а 1 , а 2, тогаш а 3 е прост релативен број аеден · а 2 (Заклучок 1). Значи најмал заеднички множител на броевите а 1 ,а 2 ,а 3 е број аеден · а 2 · а 3 . Расправајќи се на сличен начин, доаѓаме до следните тврдења.
Изјава 1. Најмал заеднички множител на сопростите броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е еднаков на нивниот производ аеден · а 2 · а 3 ··· ам .
Изјава 2. Секој број што е делив со секој од простите броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е исто така делив со нивниот производ аеден · а 2 · а 3 ··· ам .
Дефиниција.Се вика најголемиот природен број со кој броевите a и b се делат без остаток најголем заеднички делител (gcd)овие бројки.
Да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 24 и 35.
Делителите на 24 ќе бидат броевите 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делители на 35 ќе бидат броевите 1, 5, 7, 35.
Гледаме дека броевите 24 и 35 имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Таквите броеви се нарекуваат coprime.
Дефиниција.Се повикуваат природните броеви coprimeако нивниот најголем заеднички делител (gcd) е 1.
Најголем заеднички делител (GCD)може да се најде без да се запишат сите делители на дадените броеви.
Факторирајќи ги броевите 48 и 36, добиваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Од факторите вклучени во проширувањето на првиот од овие броеви, ги бришеме оние што не се вклучени во проширувањето на вториот број (т.е. два души).
Остануваат множителите 2 * 2 * 3. Нивниот производ е 12. Овој број е најголемиот заеднички делител на броевите 48 и 36. Се наоѓа и најголемиот заеднички делител на три или повеќе броеви.
Да најде најголемиот заеднички делител
2) од факторите вклучени во проширувањето на еден од овие броеви, пречкртајте ги оние што не се вклучени во проширувањето на другите броеви;
3) најдете го производот од преостанатите фактори.
Ако сите дадени броеви се деливи со еден од нив, тогаш овој број е најголемиот заеднички делителдадени бројки.
На пример, најголемиот заеднички делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, бидејќи ги дели сите други броеви: 45, 75 и 180.
Најмалку заеднички множител (LCM)
Дефиниција. Најмалку заеднички множител (LCM)природните броеви a и b се најмалиот природен број што е множител и на a и b. Најмалиот заеднички множител (LCM) од броевите 75 и 60 може да се најде без да се запишат множители од овие броеви по ред. За да го направите ова, ние ги разложуваме 75 и 60 на едноставни фактори: 75 \u003d 3 * 5 * 5 и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Ајде да ги напишеме факторите вклучени во проширувањето на првиот од овие броеви и да ги додадеме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на вториот број (односно, ги комбинираме факторите).
Добиваме пет фактори 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чиј производ е 300. Овој број е најмалиот заеднички множител на броевите 75 и 60.
Најдете го и најмалиот заеднички множител од три или повеќе броеви.
До најдете најмал заеднички множителнеколку природни броеви, потребни ви се:
1) разложи ги на прости фактори;
2) напишете ги факторите вклучени во проширувањето на еден од броевите;
3) на нив додадете ги факторите што недостасуваат од проширувањата на преостанатите броеви;
4) најдете го производот од добиените фактори.
Забележете дека ако еден од овие броеви е делив со сите други броеви, тогаш овој број е најмалиот заеднички множител од овие броеви.
На пример, најмалиот заеднички множител на 12, 15, 20 и 60 би бил 60, бидејќи е делив со сите дадени броеви.
Питагора (VI век п.н.е.) и неговите ученици го проучувале прашањето за деливоста на броевите. Број еднаков на збирот на сите негови делители (без самиот број), тие го нарекоа совршениот број. На пример, броевите 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) се совршени. Следните совршени броеви се 496, 8128, 33,550,336. Питагорејците ги знаеле само првите три совршени броеви. Четвртиот - 8128 година - стана познат во 1 век. n. д. Петтиот - 33 550 336 - е пронајден во 15 век. До 1983 година веќе беа познати 27 совршени броеви. Но, до сега, научниците не знаат дали има непарни совршени броеви, дали постои најголем совршен број.
Интересот на античките математичари за простите броеви се должи на фактот дека секој број е или прост или може да се претстави како производ на прости броеви, односно простите броеви се како тули од кои се изградени останатите природни броеви.
Веројатно забележавте дека простите броеви во серијата природни броеви се појавуваат нерамномерно - во некои делови од серијата ги има повеќе, во други - помалку. Но, колку подалеку се движиме по серијата броеви, толку поретки се простите броеви. Се поставува прашањето: постои ли последниот (најголем) прост број? Старогрчкиот математичар Евклид (3 век п.н.е.), во својата книга „Почетоци“, која две илјади години била главен учебник по математика, докажал дека има бесконечно многу прости броеви, односно зад секој прост број има парен поголем прост број.
За да ги пронајде простите броеви, друг грчки математичар во исто време, Ератостен, смислил таков метод. Тој ги запишал сите броеви од 1 до некој број, а потоа ја прецртал единицата, која не е ниту прост ниту композитен број, а потоа преку еден ги прецртал сите броеви по 2 (броеви кои се множители на 2, т.е. 4, 6, 8, итн.). Првиот преостанат број по 2 беше 3. Потоа, по два, беа пречкртани сите броеви по 3 (броеви кои се множители на 3, т.е. 6, 9, 12 итн.). на крајот, само простите броеви останаа непрекрстени.
Заеднички множители
Едноставно кажано, секој цел број што е делив со секој од дадените броеви е заеднички множителдадени цели броеви.
Можете да најдете заеднички множител на два или повеќе цели броеви.
Пример 1
Пресметајте го заедничкиот множител на два броја: $2$ и $5$.
Решение.
По дефиниција, заедничкиот множител на $2$ и $5$ е $10$, бидејќи тоа е повеќекратно од $2$ и $5$:
Заедничките множители на броевите $2$ и $5$ ќе бидат и броевите $–10, 20, –20, 30, –30$, итн., бидејќи сите тие се деливи со $2$ и $5$.
Забелешка 1
Нулата е заеднички множител на кој било број цели броеви кои не се нула.
Според својствата на деливост, ако одреден број е заедничко множител на неколку броеви, тогаш и бројот спротивен во знак ќе биде заеднички множител на дадените броеви. Ова може да се види од разгледуваниот пример.
За дадени цели броеви, секогаш можете да го најдете нивниот заеднички множител.
Пример 2
Пресметајте го заедничкиот множител од $111$ и $55$.
Решение.
Помножете ги дадените броеви: $111\div 55=6105$. Лесно е да се провери дали бројот $6105$ е делив со бројот $111$ и со бројот $55$:
$6105\div 111=55$;
$6105\div 55=111$.
Така, 6105$ е заеднички множител од 111$ и 55$.
Одговори: заедничкиот множител од 111$ и 55$ е 6105$.
Но, како што веќе видовме од претходниот пример, овој заеднички множител не е едно. Други вообичаени множители би биле -6105$, 12210, -12210, 61050, -61050$ и така натаму. Така, дојдовме до следниот заклучок:
Забелешка 2
Секое множество од цели броеви има бесконечен број на заеднички множители.
Во пракса, тие се ограничени на пронаоѓање заеднички множители на само позитивни цели (природни) броеви, бидејќи множествата на множители на даден број и неговата спротивност се совпаѓаат.
Наоѓање на најмалата заедничка множина
Најчесто, од сите множители на даден број, се користи најмалиот заеднички множител (LCM).
Дефиниција 2
Најмалиот позитивен заеднички множител на дадените цели броеви е најмал заеднички множителовие бројки.
Пример 3
Пресметајте го LCM на броевите $4$ и $7$.
Решение.
Бидејќи овие броеви немаат заеднички делители, тогаш $LCM(4,7)=28$.
Одговори: $LCM(4,7)=28$.
Наоѓање на NOC преку NOD
Бидејќи постои врска помеѓу LCM и GCD, со негова помош е можно да се пресмета LCM од два позитивни цели броеви:
Забелешка 3
Пример 4
Пресметајте го LCM на броевите $232$ и $84$.
Решение.
Ајде да ја користиме формулата за наоѓање на LCM преку GCD:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$
Ајде да го најдеме gcd на броевите $232$ и $84$ користејќи го Евклидов алгоритам:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Оние. $gcd (232, 84)=4$.
Ајде да најдеме $LCM (232, 84)$:
$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
Одговори: $NOK(232,84)=4872$.
Пример 5
Пресметајте $LCM (23, 46)$.
Решение.
Бидејќи $46$ е рамномерно делив со $23$, потоа $gcd(23, 46)=23$. Ајде да го најдеме НОК:
$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
Одговори: $NOK(23,46)=46$.
Така, може да се формулира правило:
Забелешка 4
Материјалот претставен подолу е логично продолжение на теоријата од написот под насловот LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери, однос помеѓу LCM и GCD. Тука ќе зборуваме за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM), а особено внимание посветува на решавање на примери. Прво да покажеме како LCM на два броја се пресметува во однос на GCD на овие броеви. Следно, размислете за наоѓање на најмалиот заеднички множител со факторинг на броеви во прости множители. После тоа, ќе се фокусираме на наоѓање на LCM на три или повеќе броеви, а исто така ќе обрнеме внимание на пресметката на LCM на негативни броеви.
Навигација на страница.
Пресметка на најмалиот заеднички множител (LCM) преку gcd
Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечката врска помеѓу LCM и GCD ви овозможува да го пресметате најмалиот заеднички множител од два позитивни цели броеви преку познатиот најголем заеднички делител. Соодветната формула ја има формата LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Размислете за примери за наоѓање на LCM според горната формула.
Пример.
Најдете го најмалиот заеднички множител на двата броја 126 и 70 .
Решение.
Во овој пример a=126 , b=70 . Дозволете ни да ја искористиме врската помеѓу LCM и GCD изразена со формулата LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 и 126, по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви според напишаната формула.
Најдете gcd(126, 70) користејќи го Евклидовиот алгоритам: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , па оттука gcd(126, 70)=14 .
Сега го наоѓаме потребниот најмал заеднички множител: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Одговор:
LCM(126, 70)=630.
Пример.
Што е LCM(68, 34)?
Решение.
Бидејќи 68 е рамномерно делив со 34, тогаш gcd(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Одговор:
LCM(68, 34)=68.
Забележете дека претходниот пример одговара на следното правило за наоѓање на LCM за позитивните цели броеви a и b: ако бројот a е делив со b, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е a.
Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости фактори
Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако направиме производ од сите прости множители на овие броеви, по што од овој производ ги исклучиме сите заеднички прости множители кои се присутни во проширувањата на овие броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител од овие броеви.
Од еднаквоста произлегува и најавеното правило за наоѓање на ЛКМ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Навистина, производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите a и b. За возврат, gcd(a, b) е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите a и b (што е опишано во делот за наоѓање на gcd користејќи разложување на броевите на прости множители ).
Да земеме пример. Да знаеме дека 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Состави го производот на сите множители на овие проширувања: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега ги исклучуваме од овој производ сите фактори кои се присутни и во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројот 210 (такви фактори се 3 и 5), тогаш производот ќе ја добие формата 2 3 5 5 7 . Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител од броевите 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Пример.
По множење на броевите 441 и 700 во прости множители, пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.
Решение.
Ајде да ги разложиме броевите 441 и 700 на прости множители:
Добиваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .
Сега да направиме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие броеви: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - ова е бројот 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . На овој начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Одговор:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Правилото за наоѓање на LCM со користење на разложување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако ги додадеме факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот b на факторите од разложувањето на бројот a, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите a и b..
На пример, да ги земеме сите исти броеви 75 и 210, нивните проширувања во прости множители се како што следува: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Ги додаваме факторите 2 и 7 кои недостасуваат од разложувањето на 210 на факторите 3, 5 и 5 од проширувањето на бројот 75, го добиваме производот 2 3 5 5 7 , чија вредност е LCM(75, 210) .
Пример.
Најдете го најмалиот заеднички множител од 84 и 648.
Решение.
Прво го добиваме разложувањето на броевите 84 и 648 на прости множители. Тие изгледаат како 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . На факторите 2 , 2 , 3 и 7 од проширувањето на бројот 84 ги додаваме факторите што недостасуваат 2 , 3 , 3 и 3 од проширувањето на бројот 648 , го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7 , што е еднакво на 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на броевите 84 и 648 е 4.536.
Одговор:
LCM(84, 648)=4 536.
Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви
Најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви може да се најде со последователно наоѓање на LCM на два броја. Потсетете се на соодветната теорема, која дава начин да се најде LCM на три или повеќе броеви.
Теорема.
Нека се дадени позитивни цели броеви a 1 , a 2 , …, a k, најмалиот заеднички повеќекратен m k од овие броеви се наоѓа во секвенцијалната пресметка m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Размислете за примената на оваа теорема на примерот за наоѓање на најмал заеднички множител од четири броеви.
Пример.
Најдете го LCM на четирите броеви 140, 9, 54 и 250.
Решение.
Во овој пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Прво наоѓаме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да го направите ова, користејќи го Евклидов алгоритам, одредуваме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , затоа, gcd( 140, 9)=1, од каде LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоа е, m 2 = 1 260 .
Сега наоѓаме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Да го пресметаме преку gcd(1 260, 54) , кој исто така е одреден со Евклидовиот алгоритам: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Потоа gcd(1 260, 54)=18, од каде LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоа е, m 3 \u003d 3 780.
Оставено да се најде m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да го направите ова, наоѓаме GCD(3 780, 250) користејќи го Евклидовиот алгоритам: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Затоа, gcd(3 780, 250)=10, од каде gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоа е, m 4 \u003d 94 500.
Така, најмалиот заеднички множител на оригиналните четири броеви е 94.500.
Одговор:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
Во многу случаи, најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви е погодно да се најде со користење на прости факторизации на дадени броеви. Во овој случај, треба да се следи следново правило. Најмалиот заеднички множител на неколку броеви е еднаков на производот, кој е составен на следниов начин: факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број се додаваат на сите фактори од проширувањето на првиот број, факторите што недостасуваат од проширувањето на третиот број се додаваат на добиените фактори итн.
Размислете за пример за наоѓање на најмалиот заеднички множител користејќи разложување на броеви на прости множители.
Пример.
Најдете го најмалиот заеднички множител од петте броеви 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Прво, ги добиваме проширувањата на овие броеви во прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .
За да го пронајдете LCM на овие броеви, на факторите од првиот број 84 (тие се 2, 2, 3 и 7) треба да ги додадете факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број 6. Проширувањето на бројот 6 не содржи фактори што недостасуваат, бидејќи и 2 и 3 се веќе присутни во проширувањето на првиот број 84. Понатаму на факторите 2 , 2 , 3 и 7 ги додаваме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на третиот број 48 , добиваме збир на фактори 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . Нема потреба да се додаваат фактори на ова множество во следниот чекор, бидејќи 7 е веќе содржан во него. Конечно, на факторите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 ги додаваме факторите што недостасуваат 11 и 13 од проширувањето на бројот 143 . Го добиваме производот 2 2 2 2 3 7 11 13, што е еднакво на 48 048.
Најголем заеднички делител
Дефиниција 2
Ако природниот број a е делив со природен број $b$, тогаш $b$ се нарекува делител на $a$, а бројот $a$ се нарекува множител на $b$.
Нека $a$ и $b$ се природни броеви. Бројот $c$ се нарекува заеднички делител и за $a$ и за $b$.
Множеството на заеднички делители на броевите $a$ и $b$ е конечно, бидејќи ниту еден од овие делители не може да биде поголем од $a$. Тоа значи дека меѓу овие делители постои најголемиот, кој се нарекува најголем заеднички делител на броевите $a$ и $b$, а за означување се користи ознаката:
$gcd \ (a;b) / или \ D \ (a;b)$
Да се најде најголемиот заеднички делител на два броја:
- Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.
Пример 1
Најдете го gcd од броевите $121$ и $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Изберете ги броевите што се вклучени во проширувањето на овие броеви
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.
$gcd=2\cdot 11=22$
Пример 2
Најдете го GCD на мономи $63$ и $81$.
Ќе најдеме според презентираниот алгоритам. За ова:
Да ги разложиме броевите на прости множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Ги избираме броевите што се вклучени во проширувањето на овие броеви
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Да го најдеме производот од броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.
$gcd=3\cdot 3=9$
Можете да го најдете GCD на два броја на друг начин, користејќи го множеството делители на броеви.
Пример 3
Најдете го gcd од броевите $48$ и $60$.
Решение:
Најдете го множеството делители од $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\десно\)$
Сега да го најдеме множеството делители од $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\десно\)$
Да го најдеме пресекот на овие множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ова множество ќе го одреди множеството на заеднички делители на броевите $48$ и $60 $. Најголемиот елемент во овој сет ќе биде бројот $12$. Значи, најголемиот заеднички делител на $48$ и $60$ е $12$.
Дефиниција на НОК
Дефиниција 3
заеднички множител на природни броеви$a$ и $b$ е природен број кој е множител и на $a$ и $b$.
Заеднички множители на броеви се броеви кои се деливи со оригиналот без остаток. На пример, за броевите $25$ и $50$, заедничките множители ќе бидат броевите $50,100,150,200$ итн.
Најмалиот заеднички множител ќе се нарекува најмал заеднички множител и ќе се означи со LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$
За да го пронајдете LCM на два броја, потребно е:
- Разложете ги броевите на прости множители
- Напишете ги факторите што се дел од првиот број и додајте ги факторите што се дел од вториот и не одат на првиот
Пример 4
Најдете го LCM на броевите $99$ и $77$.
Ќе најдеме според презентираниот алгоритам. За ова
Разложете ги броевите на прости множители
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Запишете ги факторите вклучени во првиот
додајте им фактори кои се дел од второто и не одат на првото
Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најмал заеднички множител
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Составувањето листи на делители на броеви често одзема многу време. Постои начин да се најде GCD наречен Евклидовиот алгоритам.
Изјави на кои се заснова Евклидовиот алгоритам:
Ако $a$ и $b$ се природни броеви, и $a\vdots b$, тогаш $D(a;b)=b$
Ако $a$ и $b$ се природни броеви такви што $b
Користејќи $D(a;b)= D(a-b;b)$, можеме последователно да ги намалуваме разгледуваните броеви додека не достигнеме пар броеви така што еден од нив е делив со другиот. Тогаш помалиот од овие броеви ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител за броевите $a$ и $b$.
Својства на GCD и LCM
- Секој заеднички множител на $a$ и $b$ е делив со K$(a;b)$
- Ако $a\vdots b$ , тогаш K$(a;b)=a$
Ако K$(a;b)=k$ и $m$-природен број, тогаш K$(am;bm)=km$
Ако $d$ е заеднички делител за $a$ и $b$, тогаш K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогаш $\frac(ab)(c)$ е заеднички множител на $a$ и $b$
За сите природни броеви $a$ и $b$ еднаквоста
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Секој заеднички делител на $a$ и $b$ е делител на $D(a;b)$