Jak podzielić ułamek przez liczbę naturalną. Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną

Aby rozwiązać różne zadania z kursu matematyki, fizyka musi dzielić ułamki. Jest to bardzo łatwe do zrobienia, jeśli wiesz pewne zasady wykonać tę operację matematyczną.

Zanim przejdziemy do sformułowania zasady dzielenia ułamków, przypomnijmy sobie kilka terminów matematycznych:

1. Górna część ułamka nazywana jest licznikiem, a dolna mianownikiem.
2. Podczas dzielenia liczby nazywane są w następujący sposób: dywidenda: dzielnik \u003d iloraz

Jak dzielić ułamki: ułamki proste

Aby podzielić dwa ułamki proste, pomnóż dzielną przez odwrotność dzielnika. Ułamek ten nazywany jest również odwróconym w inny sposób, ponieważ uzyskuje się go w wyniku zamiany licznika i mianownika. Na przykład:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Jak dzielić ułamki: ułamki mieszane

Jeśli musimy dzielić ułamki mieszane, to tutaj wszystko jest również dość proste i jasne. Najpierw zamień ułamek mieszany na zwykły ułamek niewłaściwy. Aby to zrobić, mnożymy mianownik takiego ułamka przez liczbę całkowitą i do otrzymanego produktu dodajemy licznik. W rezultacie otrzymaliśmy nowy licznik frakcja mieszana, a jej mianownik pozostaje niezmieniony. Dalszy podział ułamków zostanie przeprowadzony w taki sam sposób, jak podział ułamków prostych. Na przykład:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Jak podzielić ułamek przez liczbę

Aby podzielić prosty ułamek przez liczbę, ten ostatni należy zapisać jako ułamek (niewłaściwy). Jest to bardzo łatwe: ta liczba jest zapisywana w miejscu licznika, a mianownik takiego ułamka jest równy jeden. Dalszy podział odbywa się w zwykły sposób. Spójrzmy na to na przykładzie:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Jak dzielić ułamki dziesiętne

Często osoba dorosła ma trudności, jeśli to konieczne, bez pomocy kalkulatora, aby podzielić liczbę całkowitą lub ułamek dziesiętny na ułamek dziesiętny.

Aby więc podzielić ułamki dziesiętne, wystarczy przekreślić przecinek w dzielniku i przestać zwracać na to uwagę. W części podzielnej przecinek należy przesunąć w prawo dokładnie o tyle znaków, ile było w części ułamkowej dzielnika, w razie potrzeby dodając zera. A następnie utwórz zwykłe dzielenie przez liczbę całkowitą. Aby to wyjaśnić, weźmy następujący przykład.

Za pomocą ułamków możesz wykonywać wszystkie czynności, w tym dzielenie. W tym artykule pokazano dzielenie ułamków zwykłych. Podane zostaną definicje, rozważone zostaną przykłady. Zastanówmy się nad podziałem ułamków przez liczby naturalne i odwrotnie. Rozważony zostanie podział zwykłego ułamka przez liczbę mieszaną.

Dzielenie ułamków zwykłych

Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Podczas dzielenia nieznany czynnik znajduje się w słynne dzieło i inny czynnik, w którym jego nadane znaczenie jest zachowane za pomocą zwykłych ułamków.

Jeśli konieczne jest podzielenie zwykłego ułamka a b przez c d, to aby określić taką liczbę, należy pomnożyć przez dzielnik c d, to ostatecznie da dywidendę a b. Znajdźmy liczbę i zapiszmy ją a b · d c , gdzie d c jest odwrotnością liczby c d. Równości można zapisać korzystając z własności mnożenia, a mianowicie: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , gdzie wyrażenie a b d c jest ilorazem dzielenia a b przez c d .

Stąd otrzymujemy i formułujemy zasadę dzielenia ułamków zwykłych:

Definicja 1

Aby podzielić zwykły ułamek a b przez c d, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Zapiszmy regułę jako wyrażenie: a b: c d = a b d c

Zasady dzielenia sprowadzają się do mnożenia. Aby się tego trzymać, musisz być dobrze zorientowany w wykonywaniu mnożenia ułamków zwykłych.

Przejdźmy do dzielenia ułamków zwykłych.

Przykład 1

Wykonaj podział 9 7 przez 5 3 . Zapisz wynik w postaci ułamka.

Rozwiązanie

Liczba 5 3 jest odwrotnością liczby 3 5 . Musisz użyć reguły dzielenia ułamków zwykłych. Piszemy to wyrażenie w następujący sposób: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Odpowiedź: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Skracając ułamki, należy podświetlić całą część, jeśli licznik jest większy niż mianownik.

Przykład 2

Podziel 8 15: 24 65 . Zapisz odpowiedź w postaci ułamka.

Rozwiązanie

Rozwiązaniem jest przejście z dzielenia na mnożenie. Zapisujemy to w takiej postaci: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Konieczne jest dokonanie redukcji, a odbywa się to w następujący sposób: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Wybieramy część całkowitą i otrzymujemy 13 9 = 1 4 9 .

Odpowiedź: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dzielenie ułamka nadzwyczajnego przez liczbę naturalną

Korzystamy z reguły dzielenia ułamka przez Liczba naturalna: aby podzielić a b przez liczbę naturalną n , musisz pomnożyć tylko mianownik przez n . Stąd otrzymujemy wyrażenie: a b: n = a b · n .

Reguła dzielenia jest konsekwencją zasady mnożenia. Dlatego przedstawienie liczby naturalnej jako ułamka da równość tego typu: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Rozważmy dzielenie ułamka przez liczbę.

Przykład 3

Podziel ułamek 1645 przez liczbę 12.

Rozwiązanie

Zastosuj regułę dzielenia ułamka przez liczbę. Otrzymujemy wyrażenie takie jak 16 45: 12 = 16 45 12 .

Skróćmy ułamek. Otrzymujemy 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Odpowiedź: 16 45: 12 = 4 135 .

Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek zwykły

Zasada podziału jest podobna O zasada dzielenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły: aby podzielić liczbę naturalną n przez zwykłą a b , należy pomnożyć liczbę n przez odwrotność ułamka a b .

Na podstawie reguły mamy n: a b \u003d n b a, a dzięki zasadzie mnożenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły otrzymujemy nasze wyrażenie w postaci n: a b \u003d n b a. Konieczne jest rozważenie tego podziału na przykładzie.

Przykład 4

Podziel 25 przez 15 28 .

Rozwiązanie

Musimy przejść od dzielenia do mnożenia. Piszemy w formie wyrażenia 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Skróćmy ułamek i uzyskajmy wynik w postaci ułamka 46 2 3 .

Odpowiedź: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dzielenie ułamka zwykłego przez liczbę mieszaną

Dzieląc ułamek zwykły przez liczbę mieszaną, możesz łatwo zabłysnąć w dzieleniu ułamków zwykłych. Trzeba przetłumaczyć pomieszane numery na ułamek niewłaściwy.

Przykład 5

Podziel ułamek 35 16 przez 3 1 8 .

Rozwiązanie

Ponieważ 3 1 8 jest liczbą mieszaną, przedstawiamy ją jako ułamek niewłaściwy. Wtedy otrzymujemy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Teraz podzielmy ułamki. Otrzymujemy 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odpowiedź: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dzielenie liczby mieszanej odbywa się w taki sam sposób, jak zwykłe liczby.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Prędzej czy później wszystkie dzieci w szkole zaczynają uczyć się ułamków: ich dodawania, dzielenia, mnożenia i wszystkiego możliwe działania, co można wykonać tylko z ułamkami. Aby zapewnić dziecku odpowiednią pomoc, sami rodzice nie powinni zapominać, jak liczby całkowite dzielą się na ułamki, w przeciwnym razie nie będziesz w stanie mu w żaden sposób pomóc, a jedynie zmylić. Jeśli musisz zapamiętać tę czynność, ale nie możesz zebrać wszystkich informacji w głowie w jednej regule, ten artykuł ci pomoże: nauczysz się dzielić liczbę przez ułamek i zobaczysz ilustrujące przykłady.

Jak podzielić liczbę na ułamek

Zapisz swój przykład na szkicu, abyś mógł robić notatki i plamy. Pamiętaj, że liczba całkowita jest zapisywana między komórkami, tuż przy ich przecięciu, a liczbami ułamkowymi - każda w osobnej komórce.

• W Ta metoda musisz odwrócić ułamek do góry nogami, to znaczy napisać mianownik do licznika, a licznik do mianownika.
• Znak dzielenia należy zamienić na mnożenie.
• Teraz wystarczy wykonać mnożenie zgodnie z już poznanymi zasadami: licznik jest mnożony przez liczbę całkowitą, a mianownik nie jest dotykany.

Oczywiście w wyniku takiego działania dostaniesz bardzo duża liczba w liczniku. Niemożliwe jest pozostawienie ułamka w tym stanie - nauczyciel po prostu nie zaakceptuje tej odpowiedzi. Zmniejsz ułamek dzieląc licznik przez mianownik. Zapisz wynikową liczbę całkowitą po lewej stronie ułamka w środku komórek, a reszta będzie nowym licznikiem. Mianownik pozostaje bez zmian.

Ten algorytm jest dość prosty, nawet dla dziecka. Po wykonaniu go pięć lub sześć razy dziecko zapamięta procedurę i będzie mogło zastosować ją do dowolnych ułamków.

Jak podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny

Istnieją inne rodzaje ułamków zwykłych - dziesiętne. Podział na nie odbywa się według zupełnie innego algorytmu. Jeśli napotkasz taki przykład, postępuj zgodnie z instrukcjami:

• Najpierw zamień obie liczby na dziesiętne. Jest to łatwe do zrobienia: twój dzielnik jest już reprezentowany jako ułamek, a podzielną liczbę naturalną oddzielasz przecinkiem, otrzymując ułamek dziesiętny. Oznacza to, że jeśli dywidenda była liczbą 5, otrzymasz ułamek 5,0. Musisz oddzielić liczbę o tyle cyfr, ile wynosi po przecinku i dzielniku.
• Następnie musisz uczynić oba ułamki dziesiętne liczbami naturalnymi. Na początku może to wydawać się nieco mylące, ale to jest najbardziej szybki sposób podział, który zajmie Ci sekundy, po kilku treningach. Ułamek 5,0 stanie się liczbą 50, ułamek 6,23 będzie równy 623.
• Zrób podział. Jeśli liczby okazały się duże lub podział nastąpi z resztą, wykonaj go w kolumnie. Więc wyraźnie zobaczysz wszystkie działania tego przykładu. Nie musisz specjalnie wstawiać przecinka, ponieważ pojawi się on sam w procesie dzielenia na kolumnę.

Ten rodzaj dzielenia początkowo wydaje się zbyt skomplikowany, ponieważ trzeba zamienić dzielną i dzielnik na ułamek, a następnie z powrotem na liczby naturalne. Ale po krótkim treningu od razu zaczniesz widzieć te liczby, które wystarczy podzielić przez siebie.

Pamiętaj, że umiejętność poprawnego dzielenia na nie ułamków zwykłych i liczb całkowitych może się przydać nie raz w życiu, dlatego poznaj te zasady i proste zasady dziecko potrzebuje idealnie, aby w starszych klasach nie stały się przeszkodą, przez którą dziecko nie może rozwiązać bardziej złożonych problemów.

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Bo tak jest łatwiej. Przypominam: aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (to będzie licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:

Na przykład:

Wszystko jest niezwykle proste. I proszę nie szukać wspólnego mianownika! Nie potrzebuje tego tutaj...

Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż je, czyli:

Na przykład:

Jeśli mnożenie lub dzielenie z liczbami całkowitymi i ułamkami zostanie złapane, jest w porządku. Podobnie jak w przypadku dodawania, robimy ułamek z liczby całkowitej z jednostką w mianowniku - i gotowe! Na przykład:

W szkole średniej często masz do czynienia z frakcjami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:

Jak doprowadzić ten ułamek do przyzwoitej formy? Tak, bardzo łatwo! Użyj podziału przez dwa punkty:

Ale nie zapomnij o kolejności podziału! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale we frakcji trzypiętrowej łatwo popełnić błąd. Uwaga, na przykład:

W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):

W drugim (wyrażenie po prawej):

Poczuj różnicę? 4 i 1/9!

Jaka jest kolejność dzielenia? Albo nawiasy, albo (jak tutaj) długość kresek poziomych. Rozwijaj oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, na przykład:

następnie podziel-mnóż po kolei, od lewej do prawej!

I bardzo proste i ważna sztuczka. W akcjach ze stopniami przyda Ci się! Podzielmy jednostkę przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:

Strzał się odwrócił! I zawsze tak się dzieje. Podczas dzielenia 1 przez dowolny ułamek wynikiem jest ten sam ułamek, tylko odwrócony.

To wszystkie działania z ułamkami. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Notatka praktyczne porady, a oni (błędy) będą mniej!

Praktyczne wskazówki:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! To nie są zwykłe słowa, nie są to dobre życzenia! To pilna potrzeba! Wykonaj wszystkie obliczenia na egzaminie jako pełnoprawne zadanie, z koncentracją i jasnością. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w szkicu niż mieszać w obliczeniach w głowie.

2. W przykładach z różne rodzaje ułamki - przejdź do ułamków zwykłych.

3. Zmniejszamy wszystkie ułamki do końca.

4. Wielokondygnacyjny wyrażenia ułamkowe sprowadzamy do zwykłych stosując dzielenie przez dwa punkty (przestrzegamy kolejności dzielenia!).

5. Dzielimy jednostkę na ułamek w naszym umyśle, po prostu obracając ułamek.

Oto zadania, które musisz wykonać. Odpowiedzi udzielane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów z tego tematu i praktycznych porad. Oszacuj, ile przykładów możesz rozwiązać poprawnie. Pierwszy raz! Bez kalkulatora! I wyciągnąć właściwe wnioski...

Zapamiętaj poprawną odpowiedź uzyskany za drugim (zwłaszcza trzecim) razem - nie liczy się! Takie jest ciężkie życie.

Więc, rozwiązać w trybie egzaminacyjnym ! Nawiasem mówiąc, to jest przygotowanie do egzaminu. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy, rozwiązujemy następujące. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. Lecz tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.

Oblicz:

Czy zdecydowałeś się?

Szukasz odpowiedzi pasujących do Twoich. Specjalnie spisałem je w bałaganie, z dala od pokusy, że tak powiem... Oto odpowiedzi, spisane średnikiem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało - szczęśliwy dla Ciebie! Elementarne obliczenia z ułamkami to nie Twój problem! Możesz robić poważniejsze rzeczy. Jeśli nie...

Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale to rozpuszczalny Problemy.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.