Pierwszy poziom

Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W pojęciu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam X) w kwadracie, a jednocześnie nie powinno być X w trzecim (lub wyższym) stopniu.

Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych.

Nauczmy się określać, że mamy równanie kwadratowe, a nie jakieś inne.

Przykład 1

Pozbądź się mianownika i pomnóż każdy wyraz równania przez

Przesuńmy wszystko na lewą stronę i uporządkujmy wyrazy w porządku malejącym potęg x

Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!

Przykład 2

Pomnóż lewą i prawą stronę przez:

To równanie, chociaż pierwotnie w nim było, nie jest kwadratem!

Przykład 3

Pomnóżmy wszystko przez:

Straszny? Stopień czwarty i drugi... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:

Przykład 4

Wydaje się, że tak, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przenieśmy wszystko na lewą stronę:

Widzisz, skurczył się - a teraz jest to proste równanie liniowe!

Teraz spróbuj sam ustalić, które z poniższych równań jest kwadratowe, a które nie:

Przykłady:

Odpowiedzi:

1. kwadrat;
2. kwadrat;
3. nie kwadratowy;
4. nie kwadratowy;
5. nie kwadratowy;
6. kwadrat;
7. nie kwadratowy;
8. kwadrat.

Matematycy warunkowo dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:

• Pełne równania kwadratowe- równania, w których współczynniki oraz wyraz wolny c nie są równe zeru (jak w przykładzie). Ponadto wśród kompletnych równań kwadratowych znajdują się dany są równaniami, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko kompletne, ale i zredukowane!)

• Niepełne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub wyraz wolny c są równe zeru:

  Są niekompletne, ponieważ brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać x do kwadratu !!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.

Dlaczego wymyślili taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i dobrze. Taki podział wynika z metod rozwiązania. Rozważmy każdy z nich bardziej szczegółowo.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!

Niekompletne równania kwadratowe są typu:

1. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
2. , w tym równaniu wyraz wolny jest równy.
3. , w tym równaniu współczynnik i wyraz wolny są sobie równe.

1. ja. Ponieważ wiemy, jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, wyrażmy to z tego równania

Wyrażenie może być negatywne lub pozytywne. Liczba do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ mnożąc dwie liczby ujemne lub dwie liczby dodatnie, wynik zawsze będzie liczbą dodatnią, czyli: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.

A jeśli, to otrzymamy dwa pierwiastki. Te formuły nie muszą być zapamiętywane. Najważniejsze, że zawsze powinieneś wiedzieć i pamiętać, że nie może być mniej.

Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 5:

Rozwiązać równanie

Teraz pozostaje wydobyć korzeń z lewej i prawej części. W końcu pamiętasz, jak wydobyć korzenie?

Odpowiadać:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!

Przykład 6:

Rozwiązać równanie

Odpowiadać:

Przykład 7:

Rozwiązać równanie

Auć! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

bez korzeni!

Dla takich równań, w których nie ma pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zestaw). A odpowiedź można napisać tak:

Odpowiadać:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tu żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy korzenia.
Przykład 8:

Rozwiązać równanie

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

W ten sposób,

To równanie ma dwa pierwiastki.

Odpowiadać:

Najprostszy typ niekompletnych równań kwadratowych (choć wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Tutaj obejdziemy się bez przykładów.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest nieco bardziej skomplikowane (tylko trochę) niż te podane.

Pamiętać, dowolne równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletne.

Reszta metod pomoże ci zrobić to szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku formuł.

Jeśli, to równanie ma pierwiastek.Należy zwrócić szczególną uwagę na krok. Wyróżnik () mówi nam liczbę pierwiastków równania.

• Jeśli, to formuła na etapie zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
• Jeśli, to nie będziemy w stanie wydobyć korzenia dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9:

Rozwiązać równanie

Krok 1 pomijać.

Krok 2

Znalezienie dyskryminatora:

Więc równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3

Odpowiadać:

Przykład 10:

Rozwiązać równanie

Równanie ma postać standardową, więc Krok 1 pomijać.

Krok 2

Znalezienie dyskryminatora:

Więc równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiadać:

Przykład 11:

Rozwiązać równanie

Równanie ma postać standardową, więc Krok 1 pomijać.

Krok 2

Znalezienie dyskryminatora:

Oznacza to, że nie będziemy w stanie wydobyć korzenia z dyskryminatora. Nie ma pierwiastków równania.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisywać takie odpowiedzi.

Odpowiadać: bez korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Vieta.

Jeśli pamiętasz, istnieje taki rodzaj równań, które nazywa się zredukowanymi (gdy współczynnik a jest równy):

Takie równania są bardzo łatwe do rozwiązania za pomocą twierdzenia Viety:

Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe, a iloczyn pierwiastków jest równy.

Przykład 12:

Rozwiązać równanie

To równanie jest odpowiednie do rozwiązania przy użyciu twierdzenia Viety, ponieważ .

Suma pierwiastków równania to tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A produkt to:

Stwórzmy i rozwiążmy system:

• oraz. Suma jest;
• oraz. Suma jest;
• oraz. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem systemu:

Odpowiadać: ; .

Przykład 13:

Rozwiązać równanie

Odpowiadać:

Przykład 14:

Rozwiązać równanie

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Odpowiadać:

RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, w której - nieznane, - ponadto niektóre liczby.

Liczba nazywa się najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, a - Wolny Członek.

Czemu? Bo jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.

W tym przypadku i może być równe zero. W tym równaniu stolca nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są na miejscu, to znaczy, że równanie jest kompletne.

Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:

Na początek przeanalizujemy metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.

Można wyróżnić następujące typy równań:

I. , w tym równaniu współczynnik i wyraz wolny są sobie równe.

II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.

III. , w tym równaniu wyraz wolny jest równy.

Rozważ teraz rozwiązanie każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ mnożąc dwie liczby ujemne lub dwie liczby dodatnie, wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Te formuły nie muszą być zapamiętywane. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniej.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiadać:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach z ujemnym znakiem!

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

bez korzeni.

Aby krótko napisać, że problem nie ma rozwiązania, używamy pustej ikony zestawu.

Odpowiadać:

Tak więc to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiadać:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Tak więc to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki i znajdujemy pierwiastki:

Odpowiadać:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku formuł. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletne.

Czy zauważyłeś korzeń wyróżnika w formule pierwiastka? Ale wyróżnik może być negatywny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Wyróżnik mówi nam liczbę pierwiastków równania.

• Jeśli, to równanie ma pierwiastek:
• Jeśli, to równanie ma ten sam pierwiastek, ale w rzeczywistości jeden pierwiastek:

  Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.

• Jeśli, to rdzeń dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego liczba korzeni jest różna? Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykres funkcji to parabola:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . A to oznacza, że ​​pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią x (osią). Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli skierowane są w górę, a jeśli - w dół.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiadać:

Odpowiadać: .

Odpowiadać:

Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Odpowiadać: .

2. Twierdzenie Viety

Korzystanie z twierdzenia Vieta jest bardzo proste: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy członowi wolnemu równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu z przeciwnym znakiem.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować tylko do podane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

To równanie jest odpowiednie do rozwiązania przy użyciu twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .

Suma pierwiastków równania to:

A produkt to:

Wybierzmy takie pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

• oraz. Suma jest;
• oraz. Suma jest;
• oraz. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem systemu:

Tak więc i są korzeniami naszego równania.

Odpowiadać: ; .

Przykład #2:

Rozwiązanie:

Wybieramy takie pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdzamy, czy ich suma jest równa:

oraz: daj w sumie.

oraz: daj w sumie. Aby to uzyskać, wystarczy zmienić oznaki rzekomych korzeni: a w końcu pracę.

Odpowiadać:

Przykład #3:

Rozwiązanie:

Wyraz wolny równania jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Więc suma pierwiastków wynosi różnice w ich modułach.

Wybieramy takie pary liczb, które dają w produkcie, a których różnica jest równa:

i: ich różnica jest - nieodpowiednia;

oraz: - nieodpowiednie;

oraz: - nieodpowiednie;

oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z korzeni jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, to pierwiastek, który jest mniejszy w wartości bezwzględnej, musi być ujemny: . Sprawdzamy:

Odpowiadać:

Przykład #4:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Wyraz wolny jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. A jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybieramy takie pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określamy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiadać:

Przykład #5:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich produkt jest dodatni, oznacza to, że oba korzenie są ujemne.

Wybieramy takie pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście korzeniami są liczby i.

Odpowiadać:

Zgadzam się, jest to bardzo wygodne - wymyślać korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się jak najczęściej korzystać z twierdzenia Viety.

Ale twierdzenie Vieta jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znajdowanie pierwiastków. Aby korzystanie z niego było opłacalne, musisz doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż jeszcze pięć przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać wyróżnika! Tylko twierdzenie Viety:

Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:

Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Zgodnie z twierdzeniem Viety:

Jak zwykle selekcję rozpoczynamy od produktu:

Nie nadaje się, ponieważ kwota;

: kwota jest tym, czego potrzebujesz.

Odpowiadać: ; .

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Vieta: suma powinna zadziałać, ale iloczyn jest równy.

Ale skoro tak nie powinno być, ale zmieniamy znaki korzeni: i (w sumie).

Odpowiadać: ; .

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Konieczne jest przeniesienie wszystkich terminów w jedną część:

Suma korzeni jest równa iloczynowi.

Tak, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w podanych równaniach. Więc najpierw musisz przynieść równanie. Jeśli nie możesz go poruszyć, porzuć ten pomysł i rozwiąż go w inny sposób (na przykład poprzez wyróżnik). Przypomnę, że sprowadzenie równania kwadratowego oznacza uczynienie wiodącego współczynnika równym:

Doskonały. Wtedy suma pierwiastków jest równa, a iloczyn.

Łatwiej tu znaleźć: w końcu liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiadać: ; .

Zadanie 4.

Termin wolny jest ujemny. Co jest w nim takiego specjalnego? I fakt, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę między ich modułami: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Czyli korzenie są równe i, ale jeden z nich ma minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku. Oznacza to, że mniejszy korzeń będzie miał minus: i od.

Odpowiadać: ; .

Zadanie 5.

Co należy zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy czynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Korzenie są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma musi być równa, co oznacza, że ​​z minusem będzie większy pierwiastek.

Odpowiadać: ; .

Pozwólcie, że podsumuję:

1. Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
2. Korzystając z twierdzenia Vieta, możesz znaleźć pierwiastki przez selekcję, ustnie.
3. Jeśli równanie nie jest podane lub nie znaleziono odpowiedniej pary czynników wyrazu wolnego, to nie ma pierwiastków całkowitych i trzeba je rozwiązać w inny sposób (na przykład przez dyskryminację).

3. Metoda pełnego wyboru kwadratu

Jeżeli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą są reprezentowane jako wyrazy ze wzorów skróconego mnożenia - kwadrat sumy lub różnicy - to po zmianie zmiennych równanie może być reprezentowane jako niepełne równanie kwadratowe typu.

Na przykład:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

Przykład 2:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

Ogólnie transformacja będzie wyglądać tak:

Oznacza to: .

Czy to ci nic nie przypomina? To wyróżnik! Tak właśnie uzyskano wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie jest niewiadomą, są współczynnikami równania kwadratowego, jest wyrazem swobodnym.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .

Niepełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub wyraz wolny c są równe zeru:

• jeśli współczynnik, równanie ma postać: ,
• jeśli wyraz wolny, równanie ma postać: ,
• jeśli i równanie ma postać: .

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie :

1) Wyraź nieznane: ,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

• jeśli, to równanie nie ma rozwiązań,
• jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie :

1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,

2) Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Dlatego równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych postaci gdzie

2.1. Rozwiązanie wykorzystujące wyróżnik

1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej: ,

2) Oblicz dyskryminator ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć ze wzoru:
• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który znajduje się ze wzoru:
• jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci, gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , a.

2.3. Pełne rozwiązanie kwadratowe

Wiadomo, że jest to szczególna wersja równości ax 2 + in + c \u003d o, gdzie a, b i c są współczynnikami rzeczywistymi dla nieznanego x, a gdzie a ≠ o, a b i c będą zerami - jednocześnie lub osobno. Na przykład c = o, v ≠ o lub odwrotnie. Prawie przypomnieliśmy sobie definicję równania kwadratowego.

Trójmian drugiego stopnia jest równy zero. Jego pierwszy współczynnik a≠o, b i c może przyjmować dowolne wartości. Wartość zmiennej x będzie wtedy taka sama, gdy podstawienie zmieni ją w prawidłową równość liczbową. Zatrzymajmy się nad pierwiastkami rzeczywistymi, chociaż rozwiązania tego równania mogą być również zupełne, przyjęło się nazywać równanie, w którym żaden ze współczynników nie jest równy o, a≠o, b≠o, c≠o.
Rozwiążmy przykład. 2x2 -9x-5 = och, znajdujemy
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D jest dodatnie, więc są pierwiastki, x 1 = (9+√121): 4 = 5, a drugi x 2 = (9-√121): 4 = -0,5. Sprawdzenie pomoże upewnić się, że są one poprawne.

Oto krok po kroku rozwiązanie równania kwadratowego

Poprzez dyskryminację możesz rozwiązać dowolne równanie, po lewej stronie którego znajduje się znany trójmian kwadratowy z ≠ o. W naszym przykładzie. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Zastanów się, jakie są niekompletne równania drugiego stopnia

1. topór 2 + w = ​​o. Wyraz wolny, współczynnik c przy x 0, wynosi tutaj zero, w ≠ o.
   Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe tego rodzaju? Wyjmijmy x z nawiasów. Pamiętaj, kiedy iloczyn dwóch czynników wynosi zero.
   x(ax+b) = o, może to być, gdy x = o lub gdy ax+b = o.
   Rozwiązując 2, mamy x = -v/a.
   W rezultacie mamy korzenie x 1 \u003d 0, zgodnie z obliczeniami x 2 \u003d -b / a.
2. Teraz współczynnik x wynosi o, ale c nie jest równe (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Przenosimy c na prawą stronę równości, otrzymujemy x 2 \u003d -c. To równanie ma pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy -c jest liczbą dodatnią (c ‹ o),
   x1 jest wtedy równe odpowiednio √(-c), x2 jest równe -√(-c). W przeciwnym razie równanie nie ma żadnych pierwiastków.
3. Ostatnia opcja: b \u003d c \u003d o, czyli topór 2 \u003d o. Oczywiście takie proste równanie ma jeden pierwiastek, x = o.

Przypadki specjalne

Zastanawialiśmy się, jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, a teraz weźmiemy dowolny rodzaj.

• W pełnym równaniu kwadratowym drugi współczynnik x jest liczbą parzystą.
  Niech k = 0,5b. Mamy wzory do obliczania wyróżnika i pierwiastków.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, korzenie oblicza się w następujący sposób x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a dla D › o.
  x = -k/a w D = o.
  Nie ma pierwiastków dla D o.
• Istnieją zredukowane równania kwadratowe, gdy współczynnik x do kwadratu wynosi 1, zwykle zapisuje się je x 2 + px + q \u003d o. Wszystkie powyższe wzory mają do nich zastosowanie, ale obliczenia są nieco prostsze.
  Przykład, x 2 -4x-9 \u003d 0. Obliczamy D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Ponadto łatwo jest zastosować do danych, mówi, że suma pierwiastków równania jest równa -p, drugi współczynnik z minusem (oznaczającym przeciwny znak) i iloczynem tych samych pierwiastków będzie równy q, członowi wolnemu. Sprawdź, jak łatwo byłoby ustnie określić pierwiastki tego równania. Dla nieredukowanych (dla wszystkich współczynników, które nie są równe zeru), twierdzenie to ma zastosowanie w następujący sposób: suma x 1 + x 2 jest równa -v / a, iloczyn x 1 x 2 jest równy c / a .

Suma wyrazu wolnego c i pierwszego współczynnika a jest równa współczynnikowi b. W tej sytuacji równanie ma co najmniej jeden pierwiastek (łatwo to udowodnić), pierwszy jest koniecznie równy -1, a drugi - c / a, jeśli istnieje. Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, możesz to sprawdzić sam. Bułka z masłem. Współczynniki mogą być w pewnych proporcjach między sobą

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Suma wszystkich współczynników wynosi 0.
  Pierwiastki takiego równania to 1 i c / a. Przykład, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Istnieje wiele innych sposobów rozwiązywania różnych równań drugiego stopnia. Oto na przykład metoda wyodrębniania pełnego kwadratu z danego wielomianu. Istnieje kilka graficznych sposobów. Gdy często będziesz miał do czynienia z takimi przykładami, nauczysz się „klikać” w nie jak nasiona, bo wszystkie metody przychodzą na myśl automatycznie.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. jeden

1 Miejska Budżetowa Placówka Oświatowa Gimnazjum nr 11

Tekst pracy jest umieszczony bez obrazów i wzorów.
Pełna wersja pracy dostępna jest w zakładce „Pliki pracy” w formacie PDF

Historia równań kwadratowych

Babilon

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego stopnia, ale i drugiego, już w starożytności była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów lądu, wraz z rozwojem samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe były w stanie rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy. Zasady rozwiązywania tych równań zawarte w tekstach babilońskich zasadniczo pokrywają się ze współczesnymi, ale w tekstach tych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Starożytna Grecja

W starożytnej Grecji rozwiązywaniem równań kwadratowych zajmowali się również tacy naukowcy jak Diofant, Euklides i Czapla. Diophantus Diophantus z Aleksandrii był starożytnym greckim matematykiem, który prawdopodobnie żył w III wieku naszej ery. Głównym dziełem Diofantusa jest „Arytmetyka” w 13 książkach. Euklidesa. Euklides jest starożytnym greckim matematykiem, autorem pierwszego traktatu teoretycznego o matematyce, który dotarł do nas, Czapli. Czapla - grecki matematyk i inżynier po raz pierwszy w Grecji w I wieku naszej ery. daje czysto algebraiczny sposób rozwiązywania równania kwadratowego

Indie

Problemy z równaniami kwadratowymi znajdują się już w traktacie astronomicznym Aryabhattam, opracowanym w 499 roku przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do pojedynczej postaci kanonicznej: ax2 + bx = c, a> 0. (1) W równaniu (1) współczynniki mogą być również ujemne . Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi. W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmie chwałę na publicznych zebraniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

„Rozbrykane stado małp

I dwanaście wzdłuż winorośli

Zaczęli skakać, wisząc

Ich do kwadratu część ósma

Ile było małp

Zabawa na łące

Mówisz mi, w tym stadzie?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że autor był świadomy dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych. Bhaskar zapisuje równanie odpowiadające zadaniu pod postacią x2 - 64x = - 768 i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje 322 do obu części, a następnie otrzymuje: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Równania kwadratowe w XVII-wiecznej Europie

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki, zarówno krajów islamu, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się zarówno kompletnością, jak i klarownością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z „Księgi liczydła” przeszło do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII. Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Weź pod uwagę, oprócz pozytywnych i negatywnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnego wyglądu.

Definicja równania kwadratowego

Równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami, nazywa się równaniem kwadratowym.

Współczynniki równania kwadratowego

Liczby a, b, c to współczynniki równania kwadratowego. a to pierwszy współczynnik (przed x²), a ≠ 0; b to drugi współczynnik (przed x); c to człon swobodny (bez x).

Które z tych równań nie są kwadratowe??

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Rodzaje równań kwadratowych

Nazwa	Ogólny widok równania	Cecha (jakie współczynniki)	Przykłady równań
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - liczby inne niż 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Niekompletny
			x 2 - 1/5x = 0
Dany	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Wywoływane jest zredukowane równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik jest równy jeden. Takie równanie można uzyskać dzieląc całe wyrażenie przez wiodący współczynnik a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Mówi się, że równanie kwadratowe jest kompletne, jeśli wszystkie jego współczynniki są niezerowe.

Takie równanie kwadratowe nazywamy niepełnym, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników, z wyjątkiem najwyższego (albo drugiego współczynnika, albo wyrazu wolnego), jest równy zero.

Sposoby rozwiązywania równań kwadratowych

Ja tak. Ogólny wzór na obliczanie pierwiastków

Aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego topór 2 + b + c = 0 Ogólnie należy zastosować następujący algorytm:

Oblicz wartość wyróżnika równania kwadratowego: to jest na to wyrażenie D= b 2 - 4ac

Wyprowadzenie wzoru:

Notatka: jest oczywiste, że wzór na pierwiastek krotności 2 jest szczególnym przypadkiem wzoru ogólnego, otrzymuje się go przez podstawienie do niego równości D=0 i wniosku o braku pierwiastków rzeczywistych w D0 oraz (displaystyle ( sqrt (-1)=i) = ja.

Opisana metoda jest uniwersalna, ale daleka od jedynej. Do rozwiązania jednego równania można podejść na różne sposoby, preferencje zwykle zależą od samego solvera. Ponadto często do tego niektóre metody okazują się znacznie bardziej eleganckie, prostsze, mniej czasochłonne niż standardowa.

II sposób. Pierwiastki równania kwadratowego o parzystym współczynniku b III sposób. Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

IV sposób. Stosując częściowe stosunki współczynników

Istnieją szczególne przypadki równań kwadratowych, w których współczynniki są ze sobą powiązane, co znacznie ułatwia ich rozwiązywanie.

Pierwiastki równania kwadratowego, w którym suma wiodącego współczynnika i członu wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi

Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 + bx + c = 0 suma pierwszego współczynnika i członu wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi: a+b=c, to jego pierwiastki to -1 i liczba przeciwna do stosunku wyrazu wolnego do wiodącego współczynnika ( -c/a).

Dlatego przed rozwiązaniem dowolnego równania kwadratowego należy sprawdzić możliwość zastosowania do niego tego twierdzenia: porównać sumę wiodącego współczynnika i członu wolnego z drugim współczynnikiem.

Pierwiastki równania kwadratowego, którego suma wszystkich współczynników wynosi zero

Jeżeli w równaniu kwadratowym suma wszystkich jego współczynników jest równa zeru, to pierwiastki takiego równania wynoszą 1, a stosunek wyrazu wolnego do wiodącego współczynnika ( c/a).

Dlatego przed rozwiązaniem równania standardowymi metodami należy sprawdzić przydatność tego twierdzenia do niego: zsumuj wszystkie współczynniki tego równania i zobacz, czy suma ta jest równa zeru.

Sposób V. Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe

Jeśli trójmian postaci (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a 0) można w jakiś sposób przedstawić jako iloczyn czynników liniowych (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), wtedy możemy znaleźć pierwiastki równania topór 2 + bx + c = 0- rzeczywiście będą to -m / k i n / l, ponieważ (styl wyświetlania (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0kubek lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a rozwiązując wskazane równania liniowe otrzymujemy powyższe. Zauważ, że trójmian kwadratowy nie zawsze jest rozkładany na czynniki liniowe o rzeczywistych współczynnikach: jest to możliwe, jeśli odpowiadające mu równanie ma rzeczywiste pierwiastki.

Rozważ kilka szczególnych przypadków

Korzystanie ze wzoru na kwadrat sumy (różnicy)

Jeśli trójmian kwadratowy ma postać (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , to stosując do niego powyższy wzór, możemy rozłożyć go na czynniki liniowe i, dlatego znajdź korzenie:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Wybór pełnego kwadratu sumy (różnicy)

Również nazwana formuła jest używana przy użyciu metody zwanej „wybieraniem pełnego kwadratu sumy (różnicy)”. W stosunku do danego równania kwadratowego z wprowadzoną wcześniej notacją oznacza to:

Notatka: jeśli zauważysz, wzór ten pokrywa się z wzorem zaproponowanym w sekcji „Pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego”, które z kolei można uzyskać ze wzoru ogólnego (1), podstawiając równość a=1. Fakt ten nie jest tylko zbiegiem okoliczności: opisaną metodą, po przeprowadzeniu jednak dodatkowego rozumowania, można wyprowadzić ogólną formułę, a także udowodnić właściwości wyróżnika.

VI sposób. Korzystanie z bezpośredniego i odwrotnego twierdzenia Vieta

Bezpośrednie twierdzenie Viety (patrz poniżej w sekcji o tej samej nazwie) i jego odwrotne twierdzenie pozwalają nam rozwiązać zredukowane równania kwadratowe ustnie bez uciekania się do dość nieporęcznych obliczeń przy użyciu wzoru (1).

Zgodnie z twierdzeniem odwrotnym dowolna para liczb (liczba) (displaystyle x_(1),x_(2)) x 1 , gdzie x 2 jest rozwiązaniem poniższego układu równań, są pierwiastkami równania

W ogólnym przypadku, to znaczy dla niezredukowanego równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Twierdzenie bezpośrednie pomoże ci ustnie wybrać liczby, które spełniają te równania. Z jego pomocą możesz określić oznaki korzeni bez znajomości samych korzeni. Aby to zrobić, postępuj zgodnie z zasadą:

1) jeżeli wyraz wolny jest ujemny, to pierwiastki mają inny znak, a największym modułem pierwiastków jest znak przeciwny do znaku drugiego współczynnika równania;

2) jeśli wyraz wolny jest dodatni, to oba pierwiastki mają ten sam znak i jest to znak przeciwny drugiego współczynnika.

7. sposób. Metoda transferu

Metoda tzw. „przeniesienia” umożliwia sprowadzenie rozwiązania równań nieredukowanych i nieprzekształcalnych do postaci równań zredukowanych współczynnikami całkowitymi poprzez podzielenie ich przez współczynnik wiodący równań do rozwiązania równań zredukowanych liczbami całkowitymi współczynniki. Wygląda to następująco:

Następnie równanie jest rozwiązywane ustnie w sposób opisany powyżej, po czym wracają do pierwotnej zmiennej i znajdują pierwiastki równań (displaystyle y_(1)=ax_(1)) tak 1 = topór 1 oraz tak 2 = topór 2 .(styl wyświetlania y_(2)=ax_(2))

zmysł geometryczny

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Rozwiązaniami (pierwiastkami) równania kwadratowego są odcięte punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Jeśli parabola opisana funkcją kwadratową nie przecina osi x, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jeśli parabola przecina oś x w jednym punkcie (w wierzchołku paraboli), równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (również równanie ma dwa pokrywające się pierwiastki). Jeśli parabola przecina oś x w dwóch punktach, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki (patrz rysunek po prawej).

Jeśli współczynnik (displaystyle a) a pozytywne, gałęzie paraboli są skierowane w górę i odwrotnie. Jeżeli współczynnik (styl wyświetlacza b) bdodatni (gdy dodatni (displaystyle a) a, jeśli jest ujemny, odwrotnie), to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie i odwrotnie.

Zastosowanie równań kwadratowych w życiu

Równanie kwadratowe jest szeroko rozpowszechnione. Znajduje zastosowanie w wielu obliczeniach, konstrukcjach, sporcie, a także wokół nas.

Rozważ i podaj kilka przykładów zastosowania równania kwadratowego.

Sport. Skoki wzwyż: gdy skoczek wystartuje, dla jak najdokładniejszego trafienia w drążek odpychania i wysokiego lotu stosuje się obliczenia związane z parabolą.

Również w rzucaniu potrzebne są podobne obliczenia. Zasięg lotu obiektu zależy od równania kwadratowego.

Astronomia. Trajektorię planet można znaleźć za pomocą równania kwadratowego.

Lot samolotem. Start samolotu jest głównym elementem lotu. Tutaj obliczenia są podejmowane dla małego oporu i przyspieszenia startowego.

Równania kwadratowe są również wykorzystywane w różnych dyscyplinach ekonomicznych, w programach do przetwarzania dźwięku, wideo, grafiki wektorowej i rastrowej.

Wniosek

W wyniku przeprowadzonych prac okazało się, że równania kwadratowe przyciągały naukowców już w starożytności, spotykali się z nimi już przy rozwiązywaniu niektórych problemów i próbowali je rozwiązać. Rozważając różne sposoby rozwiązywania równań kwadratowych, doszedłem do wniosku, że nie wszystkie z nich są proste. Moim zdaniem najlepszym sposobem rozwiązywania równań kwadratowych jest użycie formuł. Formuły są łatwe do zapamiętania, ta metoda jest uniwersalna. Potwierdziła się hipoteza, że ​​równania są szeroko stosowane w życiu i matematyce. Po przestudiowaniu tematu dowiedziałem się wielu ciekawostek dotyczących równań kwadratowych, ich zastosowania, zastosowania, rodzajów, rozwiązań. I z przyjemnością będę je dalej studiował. Mam nadzieję, że pomoże mi to dobrze zdać egzaminy.

Lista wykorzystanej literatury

Materiały strony:

Wikipedia

Otwórz lekcję.rf

Podręcznik matematyki elementarnej Vygodsky M. Ya.

Tylko. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie

konieczne jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz robić pierwszego etapu. Najważniejsza rzecz ma rację

określić wszystkie współczynniki a, b oraz c.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Tych. kursy od równanie kwadratowe. Wystarczy ostrożnie włożyć

wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąp przez ich oznaki!

Na przykład, w równaniu:

a =1; b = 3; c = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to mylenie ze znakami wartości a, b oraz Z. Raczej z podstawieniem

wartości ujemne we wzorze do obliczania korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowa formuła

z określonymi numerami. Jeśli są problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; c = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie gubiąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązywanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

Pozbądź się minusa. Jak? Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Za pomocą Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x2+bx+c=0,

następniex 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym A≠1:

x 2 +bx+c=0,

podziel całe równanie przez a:

→ →

gdzie x 1 oraz x 2 - pierwiastki równania.

Odbiór trzeci. Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie na wspólny mianownik.

Wniosek. Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je prawo.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc wszystko

równania dla -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą

”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji zbadamy co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Ważny!

Stopień równania zależy od najwyższego stopnia, w jakim stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim niewiadoma stoi, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda tak:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” i „c” - podane liczby.

• „a” - pierwszy lub starszy współczynnik;
• „b” - drugi współczynnik;
• „c” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c” Musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Przećwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a=5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych do rozwiązywania równań kwadratowych używane jest specjalne równanie. formuła wyszukiwania korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

• sprowadź równanie kwadratowe do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c \u003d 0”. Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
• użyj wzoru na korzenie:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 – 3x – 4 = 0” zostało już zredukowane do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

W formule „x 1; 2 \u003d” wyrażenie root jest często zastępowane
„b 2 − 4ac” na literę „D” i nazywamy dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało szerzej omówione w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć formuły dla korzeni.

X 1;2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x=

6

2

x=3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy w formule pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.