Charakterystyki logarytmiczne i sposób użycia. Co to jest logarytm? Rozwiązanie logarytmów. Przykłady. Własności logarytmów

Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a>0, a nie jest równe 1) jest liczbą c taką, że a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Zauważ, że logarytm liczby niedodatniej nie jest zdefiniowany. Ponadto podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, nie równą 1. Na przykład, jeśli podniesiemy kwadrat -2, otrzymamy liczbę 4, ale to nie znaczy, że logarytm o podstawie -2 z 4 wynosi 2.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ważne jest, aby dziedziny definicji prawej i lewej części tego wzoru były różne. Lewa strona jest zdefiniowana tylko dla b>0, a>0 i a ≠ 1. Prawa strona jest zdefiniowana dla dowolnego b iw ogóle nie zależy od a. Zatem zastosowanie podstawowej logarytmicznej „tożsamości” w rozwiązywaniu równań i nierówności może prowadzić do zmiany DPV.

Dwie oczywiste konsekwencje definicji logarytmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a 1) (4)

Rzeczywiście, podnosząc liczbę a do potęgi pierwszej, otrzymujemy tę samą liczbę, a podnosząc ją do potęgi zerowej, otrzymujemy jeden.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chciałbym przestrzec uczniów przed bezmyślnym stosowaniem tych wzorów przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności. Kiedy są używane „od lewej do prawej”, ODZ zwęża się, a przechodząc od sumy lub różnicy logarytmów do logarytmu produktu lub ilorazu, ODZ rozszerza się.

Rzeczywiście, wyrażenie log a(f(x)g(x)) jest zdefiniowane w dwóch przypadkach: gdy obie funkcje są ściśle dodatnie lub gdy f(x) i g(x) są mniejsze od zera.

Przekształcając to wyrażenie w sumę log a f (x) + log a g (x) , jesteśmy zmuszeni ograniczyć się tylko do przypadku, gdy f(x)>0 i g(x)>0. Następuje zawężenie zakresu dopuszczalnych wartości, co jest kategorycznie niedopuszczalne, gdyż może prowadzić do utraty rozwiązań. Podobny problem występuje we wzorze (6).

Stopień można wyciągnąć ze znaku logarytmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I znowu chciałbym apelować o dokładność. Rozważmy następujący przykład:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lewa strona równości jest oczywiście zdefiniowana dla wszystkich wartości f(x) oprócz zera. Prawa strona jest tylko dla f(x)>0! Wyjmując potęgę z logarytmu, ponownie zawężamy ODZ. Procedura odwrotna prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości. Wszystkie te uwagi dotyczą nie tylko potęgi 2, ale także każdej parzystej potęgi.

Formuła przejścia do nowej bazy

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten rzadki przypadek, gdy ODZ nie zmienia się podczas konwersji. Jeśli mądrze wybrałeś bazę c (pozytywną, a nie równą 1), formuła przejścia do nowej bazy jest całkowicie bezpieczna.

Jeśli wybierzemy liczbę b jako nową bazę c, otrzymamy ważny szczególny przypadek wzoru (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Kilka prostych przykładów z logarytmami

Przykład 1 Oblicz: lg2 + lg50.
Rozwiązanie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Użyliśmy wzoru na sumę logarytmów (5) i definicję logarytmu dziesiętnego.

Przykład 2 Oblicz: lg125/lg5.
Rozwiązanie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Użyliśmy nowego wzoru przejścia bazowego (8).

Tabela wzorów związanych z logarytmami

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1)

Logarytm liczby N z powodu a nazywa się wykładnikiem X , do którego trzeba się podnieść a zdobyć numer N

Pod warunkiem że
,
,

Z definicji logarytmu wynika, że:
, tj.
- ta równość jest podstawową tożsamością logarytmiczną.

Logarytmy o podstawie 10 nazywane są logarytmami dziesiętnymi. Zamiast
pisać
.

logarytmy podstawowe mi nazywane są naturalnymi i oznaczone
.

Podstawowe własności logarytmów.

Logarytm jedności dla dowolnej podstawy wynosi zero

Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

3) Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów

Czynnik
nazywa się modułem przejścia z logarytmów u podstawy a do logarytmów u podstawy b .

Korzystając z właściwości 2-5, często można zredukować logarytm złożonego wyrażenia do wyniku prostych operacji arytmetycznych na logarytmach.

Na przykład,

Takie przekształcenia logarytmu nazywamy logarytmami. Przekształcenia odwrotne do logarytmów nazywane są wzmacnianiem.

Rozdział 2. Elementy matematyki wyższej.

1. Ograniczenia

limit funkcji
jest liczbą skończoną A jeśli, dążąc xx 0 dla każdego z góry ustalonego
, jest liczba
że tak szybko, jak
, następnie
.

Funkcja, która ma granicę, różni się od niej o nieskończenie małą wartość:
, gdzie - b.m.w., tj.
.

Przykład. Rozważ funkcję
.

Kiedy starasz się
, funkcja tak idzie do zera:

1.1. Podstawowe twierdzenia o granicach.

Granica stałej wartości jest równa tej stałej wartości

.

Granica sumy (różnicy) skończonej liczby funkcji jest równa sumie (różnicy) granic tych funkcji.

Granica iloczynu skończonej liczby funkcji jest równa iloczynowi granic tych funkcji.

Granica ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi granic tych funkcji, jeśli granica mianownika nie jest równa zeru.

Niezwykłe limity

,
, gdzie

1.2. Przykłady obliczeń granicznych

Jednak nie wszystkie limity są obliczane w tak prosty sposób. Częściej obliczenie limitu sprowadza się do ujawnienia niepewności typu: lub .

.

2. Pochodna funkcji

Niech mamy funkcję
, ciągła na odcinku
.

Argument dostałem trochę doładowania
. Następnie funkcja zostanie zwiększona
.

Wartość argumentu odpowiada wartości funkcji
.

Wartość argumentu
odpowiada wartości funkcji .

W konsekwencji, .

Znajdźmy granicę tej relacji na
. Jeżeli ta granica istnieje, to nazywamy ją pochodną danej funkcji.

Definicja 3pochodnej danej funkcji
przez argument nazywamy granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu arbitralnie dąży do zera.

Pochodna funkcji
można oznaczyć w następujący sposób:

; ; ; .

Definicja 4Operacja znajdowania pochodnej funkcji nazywa się różnicowanie.

2.1. Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Rozważ prostoliniowy ruch jakiegoś sztywnego ciała lub punktu materialnego.

Niech w pewnym momencie ruchomy punkt
był na odległość od pozycji wyjściowej
.

Po pewnym czasie
przeszła na odległość
. Nastawienie =- średnia prędkość punktu materialnego
. Znajdźmy granicę tego stosunku, biorąc pod uwagę, że
.

W konsekwencji wyznaczenie prędkości chwilowej punktu materialnego sprowadza się do znalezienia pochodnej drogi po czasie.

2.2. Wartość geometryczna pochodnej

Załóżmy, że mamy graficznie zdefiniowaną jakąś funkcję
.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie pochodnej

Jeśli
, to punkt
, będzie poruszać się po łuku, zbliżając się do punktu
.

w konsekwencji
, tj. wartość pochodnej przy podanej wartości argumentu liczbowo równa się stycznej kąta utworzonego przez styczną w danym punkcie z dodatnim kierunkiem osi
.

2.3. Tabela podstawowych wzorów różniczkowania.

Funkcja zasilania

Funkcja wykładnicza

funkcja logarytmiczna

funkcja trygonometryczna

Odwrotna funkcja trygonometryczna

2.4. Zasady różnicowania.

Pochodna

Pochodna sumy (różnicy) funkcji

Pochodna iloczynu dwóch funkcji

Pochodna ilorazu dwóch funkcji

2.5. Pochodna funkcji zespolonej.

Niech funkcja
tak, że może być reprezentowany jako

oraz
, gdzie zmienna jest argumentem pośrednim, więc

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem x.

Przykład 1.

Przykład2.

3. Różnica funkcji.

Niech będzie
, różniczkowalny na pewnym przedziale
Odpuść sobie w ta funkcja ma pochodną

,

wtedy możesz pisać

(1),

gdzie - nieskończenie mała ilość,

ponieważ w

Mnożenie wszystkich warunków równości (1) przez
mamy:

Gdzie
- b.m.w. wyższego rzędu.

Wartość
nazywana jest różniczką funkcji
i oznaczone

.

3.1. Wartość geometryczna różniczki.

Niech funkcja
.

Rys.2. Geometryczne znaczenie różniczki.

.

Oczywiście, różniczka funkcji
jest równy przyrostowi rzędnej stycznej w danym punkcie.

3.2. Pochodne i różniczki różnych rzędów.

Jeśli jest
, następnie
nazywana jest pierwszą pochodną.

Pochodna pierwszej pochodnej nazywana jest pochodną drugiego rzędu i jest zapisana
.

Pochodna n-tego rzędu funkcji
nazywana jest pochodną rzędu (n-1) i jest zapisana:

.

Różniczka różniczki funkcji nazywana jest różniczką drugiego rzędu lub różniczką drugiego rzędu.

.

.

3.3 Rozwiązywanie problemów biologicznych za pomocą różnicowania.

Zadanie 1. Badania wykazały, że wzrost kolonii mikroorganizmów jest zgodny z prawem
, gdzie N – liczba mikroorganizmów (w tysiącach), t – czas (dni).

b) Czy w tym okresie populacja kolonii zwiększy się czy zmniejszy?

Odpowiadać. Kolonia powiększy się.

Zadanie 2. Woda w jeziorze jest okresowo badana pod kątem zawartości bakterii chorobotwórczych. Poprzez t dni po badaniu stężenie bakterii jest określane przez stosunek

.

Kiedy w jeziorze pojawi się minimalne stężenie bakterii i będzie można w nim pływać?

Rozwiązanie Funkcja osiąga max lub min, gdy jej pochodna wynosi zero.

,

Ustalmy, że max lub min będzie za 6 dni. Aby to zrobić, bierzemy drugą pochodną.

Odpowiedź: Po 6 dniach będzie minimalne stężenie bakterii.

A logarytmy są ze sobą ściśle powiązane. A w rzeczywistości jest to matematyczny zapis definicji? logarytm. Przeanalizujmy szczegółowo, czym jest logarytm, skąd się wziął.

Rozważ działanie algebraiczne - obliczenie wykładnika X zgodnie z określonymi wartościami stopień b i fundacja a. To zadanie jest w zasadzie rozwiązywanie równania x = b, gdzie a oraz b są jakieś podane wartości, x - nieznana wartość. Zauważ, że ten problem nie zawsze ma rozwiązania.

Kiedy na przykład w równaniu x = b numera dodatni, a liczba b negatywny, to równanie nie ma pierwiastków. Ale jeśli tylko a oraz b są pozytywne i ≠ 1, to z pewnością ma tylko jedną unikatową źródło. Jest dość dobrze znanym faktem, że wykres funkcji wykładniczej y = x z pewnością przecina się z proste y = b i tylko w jednym punkcie. Odcięta punktu przecięcia i będzie pierwiastek równania.

Wyznaczyć pierwiastek równania x = b zwyczajowo używa się log a b (mówimy: logarytm liczby b do podstawy a).

Logarytm liczby b z powodu a to jest wykładnik potęgowy, do którego chcesz podnieść numer a zdobyć numer b oraz a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Na podstawie definicji otrzymujemy podstawowa tożsamość logarytmiczna :

Przykłady:

Konsekwencja podstawowa tożsamość logarytmiczna jest następująca reguła.

Od równości dwojga prawdziwe logarytmy otrzymujemy równość logarytmiczny wyrażenia.

Rzeczywiście, gdy log a b = log a c, wtedy , gdzie, b = c.

Zastanów się, dlaczego? tożsamość logarytmiczna ograniczenia są podejmowane a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Pierwszy warunek 1.

Powszechnie wiadomo, że jednostka w każdym stopień będzie jednością, a równość x = log a b może istnieć tylko dla b = 1, ale w tym samym czasie log 1 1 będzie dowolny prawdziwy numer. Aby uniknąć tej dwuznaczności, jest to akceptowane 1.

Uzasadnij konieczność warunku a > 0.

Na a = 0 na definicja logarytmu może istnieć tylko wtedy, gdy b = 0. A zatem wtedy log 0 0 może być cokolwiek innego niż zero prawdziwy numer, ponieważ zero do dowolnej potęgi innej niż zero jest zerem. Aby zapobiec tej dwuznaczności, warunek: 0. I kiedy a< 0 musielibyśmy porzucić parsowanie racjonalny oraz irracjonalny wartości logarytmów, ponieważ stopień z racjonalnym i irracjonalny wskaźnik zdefiniowane tylko z powodów pozytywnych. Z tego powodu warunek a > 0.

I ostateczny warunek b > 0 jest konsekwencją nierówności a > 0, ponieważ x = log a b, a wartość stopnia o podstawie dodatniej a zawsze pozytywny.

Co to jest logarytm?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie "nie bardzo..."
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co to jest logarytm? Jak rozwiązywać logarytmy? Te pytania dezorientują wielu absolwentów. Tradycyjnie temat logarytmów jest uważany za złożony, niezrozumiały i przerażający. Szczególnie - równania z logarytmami.

To absolutnie nieprawda. Absolutnie! Nie wierzysz? Dobrze. Teraz przez jakieś 10 - 20 minut:

1. Zrozum co to jest logarytm?.

2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równań wykładniczych. Nawet jeśli o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i sposób podniesienia liczby do potęgi ...

Czuję, że wątpisz… Cóż, miej czas! Iść!

Najpierw rozwiąż w umyśle następujące równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Pojęcie logarytmu i podstawowa tożsamość logarytmiczna

Pojęcie logarytmu i podstawowej tożsamości logarytmicznej są ze sobą ściśle powiązane, ponieważ: definicja logarytmu w notacji matematycznej i jest .

Podstawowa tożsamość logarytmiczna wynika z definicji logarytmu:

Definicja 1

logarytm nazywana jest wykładnikiem $n$, gdy podniesiona do której liczby $a$ dostają liczbę $b$.

Uwaga 1

Równanie wykładnicze $a^n=b$ dla $a > 0$, $a \ne 1$ nie ma rozwiązań dla niedodatnich $b$ i ma pojedynczy pierwiastek dla dodatniego $b$. Ten korzeń nazywa się logarytm liczby $b$ do podstawy $a$ i napisz:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definicja 2

Wyrażenie

$a^(\log_(a) b)=b$

nazywa podstawowa tożsamość logarytmiczna pod warunkiem, że $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Przykład 1

17$^(\log_(17)6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

10$^(\lg23)=23$.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Główny logarytmiczna tożsamość jest nazywana, ponieważ jest prawie zawsze używany podczas pracy z logarytmami. Ponadto za jego pomocą potwierdzane są podstawowe właściwości logarytmów.

Przykład 2

7^5=16 807$, stąd $\log_(7)16 807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, stąd $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, stąd $\log_(11)⁡1=0$.

Rozważać konsekwencja podstawowej tożsamości logarytmicznej:

Definicja 3

Jeśli dwa logarytmy o tej samej podstawie są równe, to wyrażenia logarytmów są równe:

jeśli $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$ to $b=c$.

Rozważać ograniczenia, które są używane do identyfikacji logarytmicznej:

Dlatego podnosząc jeden do dowolnej potęgi, zawsze otrzymujemy jeden, a równość $x=\log_(a)⁡b$ istnieje tylko dla $b=1$, wtedy $\log_(1)⁡1$ będzie dowolną prawdziwy numer. Aby uniknąć tej niejednoznaczności, zakłada się $a \ne 1$.

Zgodnie z definicją logarytm dla $a=0$ może istnieć tylko dla $b=0$. Dlatego podnosząc zero do dowolnej potęgi, zawsze otrzymujemy zero, wtedy $\log_(0)⁡0$ może być dowolną liczbą rzeczywistą. Aby zapobiec tej niejednoznaczności, zakłada się $a \ne 0$. Dla $racjonalnego i irracjonalny wartości logarytmów, ponieważ stopień z wykładnikiem racjonalnym i irracjonalnym można obliczyć tylko dla podstaw dodatnich. Aby zapobiec takiej sytuacji, akceptowane jest $a > 0$.

$b > 0$ wynika z warunku $a > 0$, ponieważ $x=\log_(a)⁡b$, a potęga liczby dodatniej a zawsze będzie dodatnia.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna jest często używana do uproszczenia wyrażeń logarytmicznych.

Przykład 3

Oblicz $81^(\log_(9) 7)$.

Rozwiązanie.

Aby móc użyć podstawowej tożsamości logarytmicznej, podstawa logarytmu i wykładnik muszą być takie same. Podstawę stopnia zapisujemy w postaci:

Teraz możemy napisać:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Użyjmy własności degree:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

podstawowa tożsamość logarytmiczna może być teraz zastosowana do każdego czynnika:

$=7 \cdot 7=49$.

Uwaga 2

Aby zastosować podstawową tożsamość logarytmiczną, można również uciec się do zastąpienia podstawy logarytmu wyrażeniem pod logarytmem i na odwrót.

Przykład 4

Oblicz $7^(\frac(1)(\log_(11)7))$.

Rozwiązanie.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Odpowiadać: $11$.

Przykład 5

Oblicz $7^(\frac(3)(\log_(11)7))$.