Działka y 4x. Wykres funkcji

Lekcja na temat: "Wykres i własności funkcji $y=x^3$. Przykłady kreślenia"

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny do klasy 7 „Algebra w 10 minut”
Kompleks edukacyjny 1C „Algebra, klasy 7-9”

Własności funkcji $y=x^3$

Opiszmy właściwości tej funkcji:

1. x jest zmienną niezależną, y jest zmienną zależną.

2. Dziedzina definicji: jest oczywiste, że dla dowolnej wartości argumentu (x) można obliczyć wartość funkcji (y). W związku z tym dziedziną definicji tej funkcji jest cała oś liczbowa.

3. Zakres wartości: y może być dowolne. W związku z tym zakres jest również całą linią liczbową.

4. Jeśli x= 0, to y= 0.

Wykres funkcji $y=x^3$

1. Zróbmy tabelę wartości:

2. Dla dodatnich wartości x wykres funkcji $y=x^3$ jest bardzo podobny do paraboli, której gałęzie są bardziej „dociśnięte” do osi OY.

3. Ponieważ funkcja $y=x^3$ ma przeciwne wartości dla ujemnych wartości x, wykres funkcji jest symetryczny względem początku.

Teraz zaznaczmy punkty na płaszczyźnie współrzędnych i zbudujmy wykres (patrz rys. 1).

Ta krzywa nazywa się parabolą sześcienną.

Przykłady

I. Na małym statku skończyła się świeża woda. Konieczne jest sprowadzenie wystarczającej ilości wody z miasta. Woda jest zamawiana z góry i opłacana za pełną kostkę, nawet jeśli napełnisz ją trochę mniej. Ile kostek należy zamówić, aby nie przepłacać za dodatkową kostkę i całkowicie napełnić zbiornik? Wiadomo, że zbiornik ma taką samą długość, szerokość i wysokość, które są równe 1,5 m. Rozwiążmy ten problem bez wykonywania obliczeń.

Rozwiązanie:

1. Narysujmy funkcję $y=x^3$.
2. Znajdź punkt A, współrzędna x, która jest równa 1,5. Widzimy, że współrzędna funkcji mieści się między wartościami 3 i 4 (patrz rys. 2). Musisz więc zamówić 4 kostki.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Wybieramy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie i wykreślamy wartości argumentu na osi odciętej X, a na osi y - wartości funkcji y = f(x).

Wykres funkcji y = f(x) wywoływany jest zbiór wszystkich punktów, dla których odcięte należą do dziedziny funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Innymi słowy, wykres funkcji y \u003d f (x) to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, współrzędne X, w które spełniają relację y = f(x).

Na ryc. 45 i 46 to wykresy funkcji y = 2x + 1 oraz y \u003d x 2 - 2x.

Ściśle mówiąc, należy odróżnić wykres funkcji (której dokładną matematyczną definicję podano powyżej) od wykreślonej krzywej, która zawsze daje tylko mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie całego wykresu, a tylko jego części znajdującej się w końcowych częściach płaszczyzny). Jednak w dalszej części będziemy zwykle odnosić się do „wykresu” zamiast „szkicu wykresu”.

Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli punkt x = a należy do zakresu funkcji y = f(x), a następnie znaleźć numer fa)(czyli wartości funkcji w punkcie x = a) powinien to zrobić. Potrzebujesz kropki z odciętą x = a narysuj linię prostą równoległą do osi y; ta linia przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie z definicji wykresu równa fa)(Rys. 47).

Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x korzystając z wykresu (rys. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Wykres funkcji wizualnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę ryc. 46 jasne jest, że funkcja y \u003d x 2 - 2x przyjmuje wartości dodatnie, gdy X< 0 i w x > 2, ujemna - przy 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x akceptuje w x = 1.

Aby wykreślić funkcję f(x) musisz znaleźć wszystkie punkty samolotu, współrzędne X,w które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków jest to niemożliwe, ponieważ takich punktów jest nieskończenie wiele. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda kreślenia wielopunktowego. Polega na tym, że argument X podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i utwórz tabelę zawierającą wybrane wartości funkcji.

Tabela wygląda tak:

Po skompilowaniu takiej tabeli możemy nakreślić kilka punktów na wykresie funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty płynną linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).

Należy jednak zauważyć, że metoda kreślenia wielopunktowego jest bardzo zawodna. W rzeczywistości zachowanie wykresu pomiędzy zaznaczonymi punktami i jego zachowanie poza segmentem pomiędzy pobranymi punktami skrajnymi pozostaje nieznane.

Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:

Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.

Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazana na Rys. 48 linią przerywaną). Czy ten wniosek można uznać za wiarygodny? O ile nie istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno uznać go za wiarygodny. wiarygodny.

Aby uzasadnić nasze twierdzenie, rozważ funkcję

Z obliczeń wynika, że wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 są właśnie opisane w powyższej tabeli. Jednak wykres tej funkcji wcale nie jest linią prostą (pokazano to na rys. 49). Innym przykładem jest funkcja y = x + l + sinx; jego znaczenie jest również opisane w powyższej tabeli.

Te przykłady pokazują, że w swojej „czystej” postaci metoda kreślenia wielopunktowego jest zawodna. Dlatego, aby wykreślić daną funkcję, z reguły postępuj w następujący sposób. Najpierw badane są właściwości tej funkcji, za pomocą których można skonstruować szkic wykresu. Następnie, obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustawionych właściwości funkcji), znajdują się odpowiednie punkty wykresu. I na koniec krzywa jest rysowana przez skonstruowane punkty przy użyciu właściwości tej funkcji.

Niektóre (najprostsze i najczęściej używane) właściwości funkcji używanych do znajdowania szkicu wykresu rozważymy później, ale teraz przeanalizujemy niektóre powszechnie stosowane metody wykreślania wykresów.

Wykres funkcji y = |f(x)|.

Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - podana funkcja. Przypomnij sobie, jak to się robi. Z definicji bezwzględnej wartości liczby można napisać

Oznacza to, że wykres funkcji y=|f(x)| można uzyskać z wykresu, funkcje y = f(x) w następujący sposób: wszystkie punkty wykresu funkcji y = f(x), którego rzędne nie są ujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej, zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x), mając ujemne współrzędne, należy skonstruować odpowiadające im punkty wykresu funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), który leży poniżej osi X, powinien być odbity symetrycznie wokół osi X).

Przykład 2 Wykreśl funkcję y = |x|.

Bierzemy wykres funkcji y = x(ryc. 50, a) i część tego wykresu z X< 0 (leży pod osią) X) jest symetrycznie odbita wokół osi X. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).

Przykład 3. Wykreśl funkcję y = |x 2 - 2x|.

Najpierw wykreślamy funkcję y = x 2 - 2x. Wykres tej funkcji to parabola, której gałęzie są skierowane w górę, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś odciętych w punktach 0 i 2. Na przedziale (0; 2 ) funkcja przyjmuje wartości ujemne, dlatego ta część wykresu odbija się symetrycznie względem osi x. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y \u003d |x 2 -2x |, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x

Wykres funkcji y = f(x) + g(x)

Rozważ problem wykreślenia funkcji y = f(x) + g(x). jeśli podane są wykresy funkcji y = f(x) oraz y = g(x).

Zauważ, że dziedzina funkcji y = |f(x) + g(х)| jest zbiorem wszystkich tych wartości x, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) i y = g(x), tj. ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcji f(x ) i g(x).

Niech punkty (x 0, r 1) oraz (x 0, r 2) odpowiednio należą do wykresów funkcji y = f(x) oraz y = g(x), czyli tak 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Wtedy punkt (x0;. y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(dla f(x 0) + g(x 0) = y 1+rok2). i dowolny punkt wykresu funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). oraz y = g(x) zastępując każdy punkt ( xn, y 1) funkcja grafiki y = f(x) kropka (xn, y 1 + y 2), gdzie y 2 = g(x n), czyli przesuwając każdy punkt ( xn, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi w według kwoty y 1 \u003d g (x n). W takim przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty. X n dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) oraz y = g(x).

Ta metoda wykreślania wykresu funkcji y = f(x) + g(x) nazywa się dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) oraz y = g(x)

Przykład 4. Na rysunku metodą dodawania wykresów konstruowany jest wykres funkcji
y = x + sinx.

Podczas kreślenia funkcji y = x + sinx założyliśmy, że f(x) = x, a g(x) = sinx. Aby zbudować wykres funkcji, wybieramy punkty z odciętymi -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx obliczymy w wybranych punktach i umieścimy wyniki w tabeli.

„Logarytm naturalny” - 0,1. logarytmy naturalne. 4. „Logarytmiczne rzutki”. 0,04. 7.121.

„Funkcja mocy klasy 9” – parabola U. Cubic. Y = x3. Nauczyciel klasy 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n, gdzie n to podana liczba naturalna. X. Wykładnik jest parzystą liczbą naturalną (2n).

"Funkcja kwadratowa" - 1 Definicja funkcji kwadratowej 2 Właściwości funkcji 3 Wykresy funkcji 4 Nierówności kwadratowe 5 Wniosek. Właściwości: Nierówności: Opracował Andrey Gerlitz, uczeń klasy 8A. Plan: Wykres: -Przedziały monotoniczności przy a > 0 przy a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Funkcja kwadratowa i jej wykres” - decyzja. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-należy. Gdy a=1, formuła y=ax przyjmuje postać.

"Funkcja kwadratowa klasy 8" - 1) Skonstruuj górę paraboli. Wykreślanie funkcji kwadratowej. x. -7. Wykreśl funkcję. Algebra Klasa 8 Nauczyciel 496 szkoła Bovina TV -1. Plan budowy. 2) Skonstruuj oś symetrii x=-1. tak.