Przykłady skróconych wzorów mnożenia. Kalkulator online Uproszczenie wielomianu Mnożenie wielomianu

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Słowa kluczowe:

kwadrat sumy, kwadrat różnicy, sześcian sumy, sześcian różnicy, różnica kwadratów, suma sześcianów, różnica sześcianów

suma kwadratowa dwóch wielkości jest równy kwadratowi pierwszej plus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Kwadrat różnicy dwie wielkości są równe kwadratowi pierwszej minus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
Iloczyn sumy dwóch wielkości i ich różnicy wynosi różnice ich kwadratów. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
Dokwota dec dwóch wielkości jest równy sześcianowi pierwszej wielkości plus trzykrotność iloczynu kwadratu pierwszej i drugiej, plus trzykrotność iloczynu pierwszej i kwadratu drugiej plus sześcian drugiej.
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Doróżnica dec dwóch wielkości jest równy sześcianowi pierwszej minus trzy razy iloczyn kwadratu pierwszej i drugiej plus trzy razy iloczyn pierwszej i kwadratu drugiej minus sześcian drugiej.
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
Iloczyn sumy dwóch wielkości i niepełnego kwadratu różnicy wynosi suma ich kostek. (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
Iloczyn różnicy dwóch wielkości przez niepełny kwadrat sumy wynosi różnice ich kostek.
(a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Bardzo często redukcję wielomianu do postaci standardowej można wykonać, stosując skrócone wzory mnożenia. Wszystkie z nich udowadnia bezpośrednie otwieranie nawiasów i redukcja podobnych terminów. Skrócone wzory mnożenia należy znać na pamięć:

Przykład. Udowodnijmy formułę a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2).

Mamy: (a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + od 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Łącząc podobne terminy, widzimy, że

(a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 + b 3, co potwierdza wymaganą formułę.

Podobnie udowodniono, że (a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Nie wystarczy znać na pamięć formuły skróconego mnożenia. Musimy też nauczyć się widzieć w konkretach wyrażenie algebraiczne ta formuła.

Na przykład:

49m 2 - 42mn + 9n 2 = (7m - 3n) 2

Lub inny przykład, bardziej skomplikowany:

Tutaj 3x2 można sobie wyobrazić jako ( √ 3x) 2

Warto również wiedzieć, jak podnieść dwumian do potęgi większej niż 3. Wzór, który pozwala na wypisanie rozwinięcia sumy algebraicznej dwóch wyrazów dowolnego stopnia, został po raz pierwszy zaproponowany przez Newtona w latach 1664–1665 i był zwany dwumianem Newtona. Współczynniki formuły nazywane są współczynnikami dwumianowymi. Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to współczynniki znikają dla dowolnego k > n, więc rozwinięcie zawiera tylko skończoną liczbę wyrazów. We wszystkich innych przypadkach rozwinięcie jest szeregiem nieskończonym (dwumianowym). (Warunki zbieżności szeregu dwumianowego po raz pierwszy ustalił na początku XIX wieku N. Abel.) Takie przypadki szczególne, jak

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 oraz (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

były znane na długo przed Newtonem. Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to współczynnik dwumianowy a n-kb k we wzorze dwumianowym istnieje szereg kombinacji od n do k , oznaczonych przez C k n . Dla małych wartości n współczynniki można znaleźć z trójkąta Pascala:

w którym każda z liczb, z wyjątkiem jedynek, jest równa sumie dwóch sąsiednich liczb w wierszu powyżej. Dla danego n odpowiedni (n-ty) wiersz trójkąta Pascala podaje kolejno współczynniki dwumianu rozkład n-tego stopnia, co łatwo zauważyć dla n = 2 i n = 3.

Skrócone formuły wyrażeń są bardzo często stosowane w praktyce, dlatego warto nauczyć się ich wszystkich na pamięć. Do tego momentu będziemy wiernie służyć, co zalecamy wydrukować i cały czas mieć przed oczami:

Pierwsze cztery formuły ze skompilowanej tabeli skróconych formuł mnożenia umożliwiają kwadrat i kostkę sumę lub różnicę dwóch wyrażeń. Piąta służy do krótkiego pomnożenia różnicy i sumy dwóch wyrażeń. Szósty i siódmy wzór służy do pomnożenia sumy dwóch wyrażeń a i b przez ich niepełny kwadrat różnicy (tak nazywa się wyrażenie postaci a 2 −a b + b 2) i różnicy dwóch wyrażeń a i b przez niepełny kwadrat ich sumy (a 2 + a b+b 2 ).

Warto osobno zaznaczyć, że każda równość w tabeli jest tożsamością. To wyjaśnia, dlaczego skrócone wzory mnożenia są również nazywane skróconymi tożsamościami mnożenia.

Podczas rozwiązywania przykładów, zwłaszcza w których zachodzi faktoryzacja wielomianu, FSU jest często używany w postaci z przestawionymi lewą i prawą częścią:

Ostatnie trzy tożsamości w tabeli mają swoje własne nazwy. Formuła a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) nazywa się wzór różnicy kwadratów, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - formuła sumy kostek, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - wzór różnicy sześcianów. Należy pamiętać, że nie wymieniliśmy odpowiednich formuł z przearanżowanymi częściami z poprzedniej tabeli FSU.

Dodatkowe formuły

Nie zaszkodzi dodać jeszcze kilka tożsamości do tabeli skróconych formuł mnożenia.

Zakresy skróconych wzorów mnożenia (FSU) i przykłady

Główny cel skróconych formuł mnożenia (FSU) tłumaczy się ich nazwą, to znaczy polega na krótkim mnożeniu wyrażeń. Jednak zakres FSO jest znacznie szerszy i nie ogranicza się do krótkiego mnożenia. Wymieńmy główne kierunki.

Niewątpliwie centralne zastosowanie wzoru zredukowanego mnożenia znalazło się w wykonywaniu identycznych przekształceń wyrażeń. Najczęściej te formuły są wykorzystywane w procesie uproszczenia wyrażeń.

Przykład.

Uprość wyrażenie 9·y−(1+3·y) 2 .

Rozwiązanie.

W tym wyrażeniu kwadratura może być wykonana w skrócie, mamy 9 r.-(1+3 r.) 2 =9 r.-(1 2 +2 1 3 r.+(3 r.) 2). Pozostaje tylko otworzyć nawiasy i podać podobne terminy: 9 r.−(1 2 +2 1 3 r.+(3 r.) 2)= 9 r.−1−6 r.−9 r. 2 =3 r.−1−9 r. 2.

Skrócone formuły mnożenia (FSU) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybsze wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy główne formuły skróconego mnożenia, pogrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych formuł, a także omówimy zasady dowodzenia skróconych formuł mnożenia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Po raz pierwszy temat FSU poruszany jest w ramach kursu „Algebra” dla 7 klasy. Poniżej 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory mnożenia

suma kwadratów: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
wzór kwadratu różnicy: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
sumaryczna formuła kostki: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
wzór kostki różnicy: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
wzór różnicy kwadratów: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
wzór różnicy sześcianów: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla ułatwienia użytkowania lepiej jest nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Podsumowujemy je w tabeli i podajemy poniżej, zakreślając je pudełkiem.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę kwadratów wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Szósty i siódmy wzór to odpowiednio pomnożenie sumy i różnicy wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana również skróconymi tożsamościami mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Przy rozwiązywaniu praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory mnożenia z przestawionymi częściami lewą i prawą. Jest to szczególnie wygodne przy rozkładaniu na czynniki wielomianu.

Dodatkowe skrócone wzory mnożenia

Nie ograniczymy się do 7-klasowego kursu algebry i dodamy jeszcze kilka formuł do naszej tabeli FSU.

Najpierw rozważ dwumianowy wzór Newtona.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianowymi, które znajdują się w linii numer n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się według wzoru:

Cnk = n ! k! · (n - k) ! = n (n-1) (n-2). . (n - (k - 1)) k !

Jak widać, FSU dla kwadratu i sześcianu różnicy, a suma to szczególny przypadek Wzory dwumianowe Newtona odpowiednio dla n=2 i n=3.

Ale co, jeśli suma, która ma zostać podniesiona do potęgi, zawiera więcej niż dwa wyrazy? Przydatny będzie wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

1 + 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Inny wzór, który może się przydać, to wzór na różnicę n-tej potęgi dwóch wyrazów.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Formuła ta jest zwykle podzielona na dwie formuły - odpowiednio dla stopni parzystych i nieparzystych.

Dla parzystych wykładników 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla nieparzystych wykładników 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Zgadłeś, że wzory na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów są szczególnymi przypadkami tego wzoru, odpowiednio dla n = 2 i n = 3. Dla różnicy sześcianów b jest również zastępowane przez - b .

Jak czytać skrócone wzory mnożenia?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdej formuły, ale najpierw zajmiemy się zasadą czytania formuł. Najłatwiej to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń a i b jest równa sumie kwadrat pierwszego wyrażenia, iloczyn podwójny wyrażeń i kwadrat drugiego wyrażenia.

Wszystkie inne formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, trzykrotności iloczynu kwadratu pierwszego i drugiego wyrażenia oraz trzykrotności iloczynu kwadratu drugiego wyrażenia i pierwsze wyrażenie.

Przechodzimy do czytania wzoru na różnicę sześcianów a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy dwóch wyrażeń a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia i drugiego plus trzy razy kwadrat drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąta formuła a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 są dla wygody nazywane odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Mając to na uwadze, wzory na sumę i różnicę kostek brzmią następująco:

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i niepełnego kwadratu ich różnicy.

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. Na podstawie właściwości mnożenia przeprowadzimy mnożenie części wzorów w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Aby wznieść wyrażenie do drugiej potęgi, wyrażenie musi zostać pomnożone przez siebie.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Rozwińmy nawiasy:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formuła została sprawdzona. Inne FSO są podobnie udowadniane.

Przykłady zastosowania FSO

Celem stosowania skróconych formuł mnożenia jest szybkie i zwięzłe mnożenie i potęgowanie wyrażeń. Nie jest to jednak cały zakres działania FSO. Są szeroko stosowane w wyrażeniach redukujących, redukujących ułamki, rozkładając wielomiany na czynniki. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSO

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Zastosuj wzór sumy kwadratów i uzyskaj:

9 lat - (1 + 3 lat) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSO

Zmniejsz ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Zauważamy, że wyrażenie w liczniku to różnica sześcianów, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Redukujemy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczać wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy do kwadratu liczbę 79. Zamiast uciążliwych obliczeń piszemy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się, że skomplikowane obliczenia zostały wykonane szybko przy użyciu tylko skróconych wzorów mnożenia i tabliczki mnożenia.

Inne ważny punkt- wybór kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekonwertować na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Jednym z pierwszych tematów omawianych na kursie algebry są wzory na skrócone mnożenie. W klasie 7 są one używane w najprostszych sytuacjach, w których wymagane jest rozpoznanie jednej z formuł w wyrażeniu i faktoryzacja wielomianu lub odwrotnie, szybkie podniesienie do kwadratu lub sześcianu sumy lub różnicy. W przyszłości FSU służy do szybkiego rozwiązywania nierówności i równań, a nawet obliczania niektórych wyrażeń numerycznych bez kalkulatora.

Jak wygląda lista formuł?

Istnieje 7 podstawowych wzorów, które pozwalają szybko mnożyć wielomiany w nawiasach.

Czasami lista ta zawiera również rozwinięcie czwartego stopnia, które wynika z przedstawionych tożsamości i ma postać:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Wszystkie równości mają parę (suma - różnica), z wyjątkiem różnicy kwadratów. Nie ma wzoru na sumę kwadratów.

Reszta równości jest łatwa do zapamiętania.:

Należy pamiętać, że FSO działają w każdym przypadku i dla dowolnych wartości. a oraz b: mogą to być zarówno liczby arbitralne, jak i wyrażenia całkowite.

W sytuacji, gdy nagle nie pamiętasz, który znak znajduje się w formule przed tym lub innym terminem, możesz otworzyć nawiasy i uzyskać taki sam wynik, jak po użyciu formuły. Na przykład, jeśli pojawił się problem podczas stosowania FSU kostki różnicy, musisz napisać oryginalne wyrażenie i wykonaj mnożenie jeden po drugim:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

W rezultacie po redukcji wszystkich takich wyrazów uzyskano ten sam wielomian jak w tabeli. Te same manipulacje można przeprowadzić ze wszystkimi innymi FSO.

Zastosowanie FSO do rozwiązywania równań

Na przykład musisz rozwiązać równanie zawierające Wielomian trzeciego stopnia:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

W szkolnym programie nauczania nie uwzględniono uniwersalnych technik rozwiązywania równań sześciennych, a takie zadania są najczęściej rozwiązywane częściej proste metody(na przykład faktoryzacja). Jeśli zauważysz, że lewa strona tożsamości przypomina sześcian sumy, to równanie można zapisać w prostszej formie:

(x + 1)³ = 0.

Pierwiastek takiego równania oblicza się ustnie: x=-1.

Nierówności rozwiązywane są w podobny sposób. Na przykład możemy rozwiązać problem nierówności x³ - 6x² + 9x > 0.

Przede wszystkim konieczne jest rozłożenie wyrażenia na czynniki. Najpierw musisz wyjąć wsporniki x. Następnie należy zwrócić uwagę, że wyrażenie w nawiasach można zamienić na kwadrat różnicy.

Następnie musisz znaleźć punkty, w których wyrażenie przyjmuje wartości zerowe, i zaznaczyć je na osi liczbowej. W konkretnym przypadku będą to 0 i 3. Następnie metodą przedziałową określ, w jakich przedziałach x spełni warunek nierówności.

FSO mogą być pomocne w przeprowadzaniu niektóre obliczenia bez pomocy kalkulatora:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Ponadto, rozkładając wyrażenia na czynniki, można łatwo redukować ułamki i upraszczać różne wyrażenia algebraiczne.

Przykładowe zadania dla klas 7-8

Na zakończenie przeanalizujemy i rozwiążemy dwa zadania dotyczące zastosowania skróconych wzorów mnożenia w algebrze.

Zadanie 1. Uprość wyrażenie:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Rozwiązanie. W warunku przypisania wymagane jest uproszczenie wyrażenia, tj. otwarcie nawiasów, wykonanie operacji mnożenia i potęgowania, a także przyniesienie wszystkich takich terminów. Warunkowo dzielimy wyrażenie na trzy części (według liczby terminów) i otwieramy nawiasy jeden po drugim, używając FSU tam, gdzie to możliwe.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(suma kwadratowa);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(różnica kwadratów);
W ostatnim semestrze musisz wykonać mnożenie: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Zastąp wyniki w oryginalnym wyrażeniu:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Biorąc pod uwagę znaki, otwieramy nawiasy i podajemy podobne terminy:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Zadanie 2. Rozwiąż równanie zawierające nieznane k do potęgi 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Rozwiązanie. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie FSO i metody grupowania. Musimy przenieść ostatnie i przedostatnie terminy do prawa strona tożsamości.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Wspólny mnożnik pobierany jest z części prawej i lewej (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Wszystko zostaje przeniesione do lewa strona równania, aby 0 pozostało po prawej:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Ponownie musisz usunąć wspólny czynnik:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Z pierwszego otrzymanego czynnika możemy wyprowadzić k. Zgodnie z formułą krótkiego mnożenia drugi czynnik będzie identycznie równy (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Korzystając z wzoru na różnicę kwadratów:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Ponieważ iloczyn wynosi 0, jeśli przynajmniej jeden z jego czynników wynosi zero, znalezienie wszystkich pierwiastków równania nie będzie trudne:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Na podstawie dobre przykłady możesz zrozumieć, jak zapamiętać formuły, ich różnice, a także rozwiązać kilka praktycznych problemów za pomocą FSU. Zadania są proste i nie powinny być trudne do wykonania.