Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o stopniach, do czego służą i jak wykorzystać swoją wiedzę Życie codzienne przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do tego pomyślne Egzamin OGE czyli Unified State Exam i przyjęcie na uczelnię Twoich marzeń.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko w bardzo ludzkim języku proste przykłady. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można zrobić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Musisz przykryć dno basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm. A wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu jednolitego jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i płyny są mierzone w metry sześcienne. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno o wymiarach metr i głębokość metr i spróbuj policzyć, ile kostek o wymiarach metr na metr zmieści się w twoim basenie.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy milion, który masz, podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrójny. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

Cóż, w ogólna perspektywa, żeby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby c naturalny wskaźnik

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest Liczba naturalna. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero pięć”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie posiadali liczb naturalnych pozwalających zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, bez końca dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podnieś liczbę do stopień naturalny- oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do przećwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak się dzieje?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest stopień ujemny, zróbmy to samo, co poprzednio: pomnóżmy trochę normalny numer w tym samym stopniu negatywnym:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a na egzaminie nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście to szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne wpisy ten sam numer.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień ujemnej liczby całkowitej- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, stopień naukowy z wskaźnik złożony, czyli wskaźnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od zwykłej zasady podnoszenia potęgi do potęgi:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przekształćmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Możemy sformułować co następuje proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna, wbudowany dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie negatywny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim to rozbierzesz ostatnia zasada, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zastosowanie miałaby Zasada 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest w sumie liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Jest oczywiste, że liczby posiadające potęgi można dodawać tak samo, jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Zatem suma a 3 i b 2 wynosi a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - d 4.

Szanse równe potęgi identycznych zmiennych można dodać lub odjąć.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 jest równa 5a 2.

Jest także oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy skomponować poprzez dodanie ich wraz ze znakami.

Zatem suma 2 i 3 jest sumą 2 + 3.

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są równe dwukrotności kwadratu a, ale dwukrotności sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 wynosi a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odejmowanie potęgowanie wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tą różnicą, że należy odpowiednio zmienić znaki odejmowań.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie potęg

Liczby posiadające potęgę można mnożyć, podobnie jak inne wielkości, wpisując je jedna po drugiej, ze znakiem mnożenia lub bez niego.

Zatem wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 r

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając identyczne zmienne.
Wyrażenie będzie miało postać: a 5 b 5 y 3.

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej kwota stopnie terminów.

Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

Zatem a n .a m = a m+n .

Dla n, a przyjmuje się jako współczynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;

A m przyjmuje się jako współczynnik tyle razy, ile wynosi stopień m;

Dlatego, Potęgi o tej samej podstawie można pomnożyć, dodając wykładniki potęg.

Zatem a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Zasada ta dotyczy również liczb, których wykładniki są negatywny.

1. Zatem a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jeśli a + b zostanie pomnożone przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy

Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb równa sumie lub różnica ich kwadratów.

Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopni.

Zatem (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = za 4 - y 4.
(za 4 - y 4)⋅(za 4 + y 4) = za 8 - y 8.

Podział stopni

Liczby posiadające potęgę można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnej lub umieszczając je w postaci ułamkowej.

Zatem a 3 b 2 podzielone przez b 2 równa się 3.

Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe 2. W szeregu liczb
za +4 , za +3 ​​, za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Przy dzieleniu stopni o tej samej podstawie odejmuje się ich wykładniki..

Zatem y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.

Oraz a n+1:a = a n+1-1 = za n . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Lub:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Zasada dotyczy również liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem podzielenia -5 przez -3 jest -2.
Ponadto $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Trzeba bardzo dobrze opanować mnożenie i dzielenie potęg, gdyż takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki o $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmniejsz wykładniki o $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.

3. Skróć wykładniki a 2 /a 3 i a -3 /a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to -2 pierwszy licznik.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 lub 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: tak.

9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.

I. Praca N czynników, z których każdy jest równy A zwany N-ta potęga liczby A i jest wyznaczony AN.

Przykłady. Napisz produkt jako stopień.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Rozwiązanie.

1) mmmm=m 4, ponieważ z definicji stopień jest iloczynem czterech czynników, z których każdy jest równy M, będzie czwarta potęga m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5,5,5,5,ccc=5 4 do 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Działanie, za pomocą którego znajduje się iloczyn kilku równych czynników, nazywa się potęgowaniem. Liczbę podniesioną do potęgi nazywamy podstawą potęgi. Liczbę pokazującą, do jakiej potęgi podniesiona jest podstawa, nazywamy wykładnikiem. Więc, AN- stopień, A– podstawa stopnia, N– wykładnik. Na przykład:

2 3 — to stopień. Numer 2 jest podstawą stopnia, wykładnik jest równy 3 . Wartość stopnia 2 3 równa się 8, ponieważ 2 3 =2·2·2=8.

Przykłady. Zapisz poniższe wyrażenia bez wykładnika.

5) 4 3; 6) za 3 b 2 do 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Rozwiązanie.

5) 4 3 = 4.4.4 ; 6) za 3 b 2 do 3 = aaabbccc; 7) za 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. i 0 = 1 Dowolna liczba (z wyjątkiem zera) do potęgi zerowej jest równa jeden. Na przykład 25 0 =1.
IV. a 1 = aKażda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie.

V. jestem∙ jakiś= jestem + N Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach podstawa i wykładniki pozostają takie same fałdowy

Przykłady. Uproszczać:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 + b 2 b 3 ; 11) do 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Rozwiązanie.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) do 2 do 0 do do 4 = 1 do 2 do do 4 = do 2+1+4 = do 7 .

VI. jestem: jakiś= jestem - NPrzy dzieleniu potęg o tej samej podstawie podstawę pozostawia się taką samą, a wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.

Przykłady. Uproszczać:

12) a 8: a 3 ; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=za 8-3 =za 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (jestem) N= miesiąc Przy podnoszeniu potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone.

Przykłady. Uproszczać:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3.4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

notatka, które, ponieważ iloczyn nie zmienia się w wyniku zmiany układu czynników, To:

15) (za 3) 4 = (za 4) 3 ; 16) (do 5) 2 = (do 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n Podnosząc iloczyn do potęgi, każdy z czynników podnosi się do tej potęgi.

Przykłady. Uproszczać:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6; 19) 0,25 2 40 2.

Rozwiązanie.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2,5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Podnosząc ułamek do potęgi, licznik i mianownik ułamka podnoszone są do tej potęgi.

Przykłady. Uproszczać:

Rozwiązanie.

Strona 1 z 1 1

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wskaźniki pewne stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x +3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z literą X. Jeśli nagle w równaniu pojawi się X w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

to będzie równanie typ mieszany. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj sobie poradzimy rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

Właściwie to nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są jasno rozwiązane. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. To są typy, które rozważymy.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych.

Najpierw rozwiążmy coś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez teorii, poprzez prosty dobór widać, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadna inna wartość X nie działa. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy (potrójne). Całkowicie wyrzucony. I dobra wiadomość jest taka, że ​​trafiliśmy w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym są lewe i prawe ten sam liczby dowolnej potęgi, liczby te można usunąć, a wykładniki można wyrównać. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. Świetnie, prawda?)

Pamiętajmy jednak stanowczo: Możesz usuwać bazy tylko wtedy, gdy liczby zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x+1 = 2 3, lub

dwójek nie da się usunąć!

No cóż, najważniejsze już opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„To są czasy!” - mówisz. „Kto dałby tak prymitywną lekcję na sprawdzianach i egzaminach!?”

Muszę się zgodzić. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie celować przy rozwiązywaniu trudnych przykładów. Należy go doprowadzić do postaci, w której po lewej i prawej stronie znajduje się ten sam numer bazowy. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go na pożądany nas umysł. Oczywiście według zasad matematyki.

Przyjrzyjmy się przykładom, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszych. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania ze stopniami. Bez znajomości tych działań nic nie będzie działać.

Do działań mających stopnie trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb podstawowych? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwsze bystre spojrzenie jest na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, żeby się zniechęcać. Czas o tym pamiętać

Dwa i osiem to stopień spokrewniony.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie wzór z operacji na stopniach:

(a n) m = za nm ,

to działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład zaczął wyglądać tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematycznych!), otrzymujemy:

2 2x = 2 3(x+1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęgi dwójki pomogła nam. My zidentyfikowany w ośmiu jest zaszyfrowana dwójka. Ta technika (szyfrowanie wspólnych podstaw w ramach różne liczby) jest bardzo popularną techniką w równaniach wykładniczych! Tak, także w logarytmach. Musisz umieć rozpoznawać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na papierze, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść liczbę 3 do potęgi piątej. 243 zadziała, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej nie jest konieczne podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie... Dowiedz się jaka liczba w jakim stopniu kryje się za liczbą 243, albo powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Potęgę niektórych liczb trzeba znać z widzenia, prawda... Poćwiczmy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby mają te liczby:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, możesz zobaczyć dziwny fakt. Odpowiedzi jest znacznie więcej niż zadań! No cóż, zdarza się... Na przykład 2 6, 4 3, 8 2 - to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o znajomości liczb.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych używamy Wszystko zasób wiedzy matematycznej. W tym ci z klas młodszych i średnich. Nie poszedłeś od razu do szkoły średniej, prawda?)

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych często pomaga umieszczenie wspólnego czynnika w nawiasach (witaj siódmoklaso!). Spójrzmy na przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwszy rzut oka na fundamenty! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. Ale chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie zostało całkowicie spełnione!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Stosowanie tych samych zasad postępowania ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To świetnie, możesz to zapisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Daliśmy przykład na tej samej podstawie. Więc co dalej!? Nie możesz rzucać trójkami... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętaj o najbardziej uniwersalnej i potężnej zasadzie decyzyjnej wszyscy zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób co możesz!

Spójrz, wszystko się ułoży).

Co kryje się w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, po lewej stronie aż się prosi, żeby wyjąć je z nawiasów! Ogólny mnożnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Pamiętamy, że do eliminacji podstaw potrzebny jest czysty stopień, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Dzielimy więc obie strony równania przez 70 i otrzymujemy:

Ups! Wszystko się poprawiło!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie na tej samej zasadzie jest możliwe, ale ich eliminacja nie jest możliwa. Dzieje się tak w innych typach równań wykładniczych. Opanujmy ten typ.

Zastępowanie zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze – jak zwykle. Przejdźmy do jednej bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I tu właśnie wisimy. Poprzednie techniki nie będą działać, bez względu na to, jak na to spojrzeć. Będziemy musieli zdobyć kolejnego potężnego i metoda uniwersalna. To jest nazwane wymiana zmienna.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku - 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład - t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Wtedy 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

W naszym równaniu wszystkie potęgi x zastępujemy t:

Cóż, przychodzi ci to do głowy?) Czy zapomniałeś już o równaniach kwadratowych? Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:

Najważniejsze, żeby się nie zatrzymywać, jak to bywa... To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wróćmy do X, tj. dokonujemy odwrotnej zamiany. Najpierw dla t 1:

To jest,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:

Hm... 2 x po lewej, 1 po prawej... Problem? Zupełnie nie! Wystarczy pamiętać (z operacji na potęgach, tak...), że jednostka jest każdy liczbę do potęgi zerowej. Każdy. Cokolwiek będzie potrzebne, zainstalujemy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

To tyle. Mamy 2 pierwiastki:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasem pojawia się niezręczna ekspresja. Typ:

Siedmiu nie można zamienić na dwa za pomocą prostej potęgi. Oni nie są krewnymi... Jak możemy być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , uśmiecha się oszczędnie i twardą ręką zapisuje absolutnie poprawną odpowiedź:

Takiej odpowiedzi nie może być w zadaniu „B” na egzaminie Unified State Examination. Tam wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” jest to łatwe.

W tej lekcji przedstawiono przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główne punkty.

Praktyczne porady:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopni. Zastanawiamy się, czy da się je zrobić identyczny. Spróbujmy to zrobić aktywnie wykorzystując działania ze stopniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na potęgi!

2. Próbujemy doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy po lewej i po prawej stronie są ten sam liczby w dowolnych potęgach. Używamy działania ze stopniami I faktoryzacja. To, co da się policzyć w liczbach, liczymy.

3. Jeśli druga wskazówka nie zadziałała, spróbuj zastosować zmienną zamianę. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również sprowadza się do kwadratu.

4. Za udane rozwiązanie W przypadku równań wykładniczych musisz znać potęgi niektórych liczb „z widzenia”.

Jak zwykle na koniec lekcji możesz podjąć małą decyzję.) Samodzielnie. Od prostych do złożonych.

Rozwiązuj równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 trójki + 2 x = 9

Stało się?

No więc najbardziej skomplikowany przykład(zdecydowałem jednak w myślach...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? W takim razie mam dla ciebie zły przykład. Dość kuszące dla zwiększonego poziomu trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje Cię pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Prostszy przykład dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważaliśmy w tej lekcji. Po co je rozważać, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. No cóż, trzeba pomysłowości... I niech siódma klasa Ci w tym pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udało? Świetnie.

Tam jest problem? Bez problemu! W rozdziale specjalnym 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane za pomocą szczegółowe wyjaśnienia. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście istnieją dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko te.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowa o ODZ? Swoją drogą, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Wejdź na kanał YouTube naszej witryny i bądź na bieżąco ze wszystkimi nowymi lekcjami wideo.

Na początek przypomnijmy sobie podstawowe wzory na potęgi i ich własności.

Iloczyn liczby A występuje n razy samo w sobie, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n

1. za 0 = 1 (za ≠ 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = an nm

5. za n b n = (ab) n

7. za n / do m = za n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze– są to równania, w których zmienne są w postaci potęg (lub wykładników), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą; zawsze znajduje się na dole i jest zmienną X stopień lub wskaźnik.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Ten przykład można rozwiązać nawet w głowie. Można zauważyć, że x=3. W końcu, aby lewy i prawa część były równe, należy zastąpić x liczbą 3.
Zobaczmy teraz, jak sformalizować tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać takie równanie, usunęliśmy identyczne podstawy(czyli dwójki) i spisałem to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz naszą decyzję.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić ten sam czy równanie ma podstawy po prawej i lewej stronie. Jeśli przyczyny nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy staną się takie same, zrównać stopni i rozwiąż powstałe nowe równanie.

Teraz spójrzmy na kilka przykładów:

Zacznijmy od czegoś prostego.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe cyfrze 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić bazę i zrównać ich siły.

x+2=4 Otrzymuje się najprostsze równanie.
x=4 – 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Najpierw przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2. Skorzystajmy ze wzoru na potęgę (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Otrzymujemy 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 teraz możesz to zobaczyć po lewej stronie i prawa strona podstawy są takie same i równe trzy, co oznacza, że ​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 otrzymujemy najprostsze równanie
3x - 2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy dwie i cztery. I potrzebujemy, żeby były takie same. Przekształcamy tę czwórkę za pomocą wzoru (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie mamy powtórzone 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyjąć 2 2x z nawiasów:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraźmy sobie 4=2 2:

2 2x = 2 2 podstawy są takie same, odrzucamy je i przyrównujemy stopnie.
2x = 2 to najprostsze równanie. Podziel to przez 2 i otrzymamy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x – 12*3 x +27= 0

Przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe trzy. W tym przykładzie widać, że pierwsze trzy mają stopień dwa razy (2x) niż drugie (tylko x). W takim przypadku możesz rozwiązać metoda wymiany. Zastępujemy liczbę najmniejszym stopniem:

Wtedy 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zastępujemy wszystkie potęgi x w równaniu przez t:

t2 - 12t+27 = 0
Dostajemy równanie kwadratowe. Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Wracając do zmiennej X.

Weź t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To jest,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Odpowiedź: x 1 = 2; x2 = 1.

Na stronie możesz zadawać interesujące Cię pytania w sekcji POMÓŻ W DECYZJI, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy