Obliczanie pola krzywoliniowych rysunków trapezowych. Kalkulator online Oblicz całkę oznaczoną (pole trapezu krzywoliniowego)
Przejdźmy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. obliczanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszystkim, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W życiu będziemy musieli się do siebie zbliżyć teren wiejskiej chaty funkcji elementarnych i znaleźć jego pole za pomocą całki oznaczonej.
Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:
1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.
2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Wykuwać na ciepło przyjazne stosunki z całekami oznaczonymi można znaleźć na stronie Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstrukcją rysunku dlatego pilną kwestią będzie również Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe. Jako minimum trzeba umieć zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę.
Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego. Krzywoliniowy trapez to płaska figura ograniczona wykresem pewnej funkcji y = F(X), oś WÓŁ i linie X = A; X = B.
Obszar krzywoliniowego trapezu jest liczbowo równy pewnej całce
Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejną użyteczny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE. To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi jakiejś figury. Rozważ całkę oznaczoną
Integranda
definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa polu odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.
Przykład 1
, , , .
To jest typowe zestawienie zadań. Najważniejszy moment rozwiązania - rysunek. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.
Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko Następnie- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.
W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie y= 0 określa oś WÓŁ):
Nie wyklujemy trapezu krzywoliniowego, jasne jest, o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:
W przedziale [-2; 1] wykres funkcji y = X 2 + 2 znajduje się nad osiąWÓŁ, Dlatego:
Odpowiedź: .
Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza
,
zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i sprawdzić, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, około 9 zostanie wpisanych, wydaje się to prawdą. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Przykład 2
Oblicz pole figury ograniczonej liniami xy = 4, X = 2, X= 4 i oś WÓŁ.
To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osiąWÓŁ?
Przykład 3
Oblicz pole figury ograniczonej liniami y = były, X= 1 i osie współrzędnych.
Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:
Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią WÓŁ , to jego pole można znaleźć ze wzoru:
W tym przypadku:
.
Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch typów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, może ona być ujemna.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, obszar jest zawsze dodatni! Dlatego właśnie w rozważanym wzorze pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.
Przykład 4
Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y = 2X – X 2 , y = -X.
Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Podczas konstruowania rysunku w problemach powierzchniowych najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli y = 2X – X 2 i prosto y = -X. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:
Czyli dolna granica całkowania A= 0, górna granica integracji B= 3. Często bardziej opłacalne i szybsze jest konstruowanie linii punkt po punkcie, a granice całkowania wyznaczane są niejako „same”. Niemniej jednak analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub niewymierne). Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalne jest skonstruowanie najpierw prostej, a dopiero potem paraboli. Zróbmy rysunek:
Powtarzamy, że w konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej wyznaczane są „automatycznie”.
A teraz formuła robocza:
Jeśli w segmencie [ A; B] pewna funkcja ciągła F(X) większe lub równe jakaś funkcja ciągła G(X), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru:
Tutaj nie trzeba już myśleć, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(względem innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.
W rozważanym przykładzie jest oczywiste, że na odcinku parabola znajduje się nad linią prostą, a zatem od 2 X – X 2 należy odjąć - X.
Zakończenie rozwiązania może wyglądać następująco:
Pożądana figura jest ograniczona parabolą y = 2X – X 2 górne i proste y = -X od dołu.
Na odcinku 2 X – X 2 ≥ -X. Zgodnie z odpowiednią formułą:
Odpowiedź: .
W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej półpłaszczyźnie (patrz przykład nr 3) to szczególny przypadek formuły
.
Od osi WÓŁ jest dana równaniem y= 0 i wykres funkcji G(X) znajduje się poniżej osi WÓŁ, To
.
A teraz kilka przykładów niezależnej decyzji
Przykład 5
Przykład 6
Znajdź obszar figury ograniczony liniami
W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola powierzchni za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale z powodu nieuwagi ... znalazł obszar niewłaściwej figury.
Przykład 7
Narysujmy najpierw:
Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często decydują, że muszą znaleźć zacieniony obszar figury w zielonym!
Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:
1) Na odcinku [-1; 1] nad osią WÓŁ wykres jest prosty y = X+1;
2) Na odcinku powyżej osi WÓŁ znajduje się wykres hiperboli y = (2/X).
Jest dość oczywiste, że obszary można (i należy) dodawać, dlatego:
Odpowiedź:
Przykład 8
Oblicz pole figury ograniczonej liniami
Przedstawmy równania w formie „szkolnej”.
i wykonaj rysunek liniowy:
Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: B = 1.
Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co?
Może, A=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że \u200b\u200brysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się to okazać A=(-1/4). Co jeśli w ogóle nie otrzymamy prawidłowego wykresu?
W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie uściślić granice całkowania.
Znajdź punkty przecięcia wykresów
W tym celu rozwiązujemy równanie:
.
Stąd, A=(-1/3).
Dalsze rozwiązanie jest trywialne. Najważniejsze, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach. Obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych. Na segmencie
, 
,
według odpowiedniego wzoru:
Odpowiedź: 
Na zakończenie lekcji rozważymy dwa trudniejsze zadania.
Przykład 9
Oblicz pole figury ograniczonej liniami
Rozwiązanie: Narysuj tę figurę na rysunku.
Aby rysować punkt po punkcie, musisz wiedzieć wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, warto znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych, a także niektóre wartości sinusa. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (np. w tym przypadku) dopuszcza się skonstruowanie schematycznego rysunku, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie przedstawione.
Nie ma tu problemów z granicami integracji, wynikają one wprost z warunku:
- „x” zmienia się od zera do „pi”. Podejmujemy kolejną decyzję:
Na odcinku wykres funkcji y= grzech 3 X znajduje się nad osią WÓŁ, Dlatego:
(1) Na lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są scalane z nieparzystymi potęgami Całki funkcji trygonometrycznych. Odcinamy jeden sinus.
(2) W postaci używamy podstawowej tożsamości trygonometrycznej
(3) Zmieńmy zmienną T= cos X, to: znajduje się nad osią , więc:
.
.
Notatka: zwróć uwagę, jak pobierana jest całka stycznej w sześcianie, tutaj używana jest konsekwencja podstawowej tożsamości trygonometrycznej
.
Przykład 1 . Oblicz pole figury ograniczonej liniami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2
Zbudujmy figurę (patrz ryc.) Budujemy linię prostą x + 2y - 4 \u003d 0 wzdłuż dwóch punktów A (4; 0) i B (0; 2). Wyrażając y w kategoriach x, otrzymujemy y \u003d -0,5x + 2. Zgodnie ze wzorem (1), gdzie f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, my znajdować
S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mkw. jednostki
Przykład 2 Oblicz pole figury ograniczonej liniami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 i y \u003d 0.
Rozwiązanie. Zbudujmy figurę.
Zbudujmy linię prostą x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Skonstruujmy linię prostą x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Znajdź punkt przecięcia prostych, rozwiązując układ równań:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Aby obliczyć wymaganą powierzchnię, dzielimy trójkąt AMC na dwa trójkąty AMN i NMC, ponieważ gdy x zmienia się z A na N, obszar jest ograniczony linią prostą, a gdy x zmienia się z N na C, jest linią prostą
Dla trójkąta AMN mamy: ; y \u003d 0,5x + 2, tj. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.
Dla trójkąta NMC mamy: y = - x + 5, czyli f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Obliczając pole każdego z trójkątów i dodając wyniki, znajdujemy:
kwadrat jednostki
kwadrat jednostki
9 + 4, 5 = 13,5 mkw. jednostki Sprawdź: = 0,5 AC = 0,5 mkw. jednostki
Przykład 3 Oblicz pole figury ograniczonej liniami: y = x 2 y=0, x=2, x=3.
W takim przypadku wymagane jest obliczenie pola trapezu krzywoliniowego ograniczonego parabolą y = x 2 , linie proste x \u003d 2 i x \u003d 3 oraz oś Ox (patrz ryc.) Zgodnie ze wzorem (1) znajdujemy obszar trapezu krzywoliniowego
= = 6kv. jednostki
Przykład 4 Oblicz pole figury ograniczonej liniami: y \u003d - x 2 + 4 i y = 0
Zbudujmy figurę. Żądany obszar jest zawarty między parabolą y \u003d - x 2 + 4 i oś Oh.
Znajdź punkty przecięcia paraboli z osią x. Zakładając y \u003d 0, znajdujemy x \u003d Ponieważ ta figura jest symetryczna względem osi Oy, obliczamy pole figury znajdującej się na prawo od osi Oy i podwajamy wynik: \u003d + 4x] kw. jednostki 2 = 2 kwadraty jednostki
Przykład 5 Oblicz pole figury ograniczonej liniami: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Tutaj wymagane jest obliczenie obszaru trapezu krzywoliniowego ograniczonego górną gałęzią paraboli y 2 \u003d x, oś Ox i linie proste x \u003d 1x \u003d 4 (patrz ryc.)
Zgodnie ze wzorem (1), gdzie f(x) = a = 1 i b = 4, mamy = (= jednostki kwadratowe
Przykład 6 . Oblicz pole figury ograniczonej liniami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Pożądany obszar jest ograniczony sinusoidą półfalową i osią Ox (patrz ryc.).
Mamy - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metry kwadratowe. jednostki
Przykład 7 Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 i x \u003d 4.
Figura znajduje się pod osią Ox (patrz ryc.).
Dlatego jego obszar można znaleźć za pomocą wzoru (3)
= =
Przykład 8 Oblicz pole figury ograniczone liniami: y \u003d i x \u003d 2. Zbudujemy krzywą y \u003d punktami (patrz rysunek). Zatem obszar figury można znaleźć według wzoru (4)
Przykład 9 .
X 2 + Y 2 = r 2 .
Tutaj musisz obliczyć obszar ograniczony okręgiem x 2 + Y 2 = r 2 , tj. obszar koła o promieniu r wyśrodkowany w początku. Znajdźmy czwartą część tego obszaru, biorąc granice całkowania od 0
dor; mamy: 1 = = [
Stąd, 1 =
Przykład 10 Oblicz obszar figury ograniczony liniami: y \u003d x 2 i y = 2x
Ta liczba jest ograniczona parabolą y \u003d x 2 i linia prosta y \u003d 2x (patrz ryc.) Aby określić punkty przecięcia danych linii, rozwiązujemy układ równań: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2
Korzystając ze wzoru (5), aby znaleźć obszar, otrzymujemy
= (podstawa trapezu krzywoliniowego) na n równych części; podział ten jest wykonalny za pomocą punktów x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Narysuj linie przechodzące przez te punkty osie równoległe y. Wtedy dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Powierzchnia całego trapezu jest równa sumie obszarów kolumn.
Rozważ osobno k-tą kolumnę, tj. trapez krzywoliniowy, którego podstawą jest odcinek. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta to \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdzie \(\Delta x_k \) to długość odcinka; naturalne jest traktowanie skompilowanego produktu jako przybliżonej wartości pola k-tej kolumny. 
Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi innymi kolumnami, otrzymamy następujący wynik: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tutaj, ze względu na jednolitość zapisu, uważamy, że a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - długość segmentu , \(\Delta x_1 \) - długość segmentu itd.; natomiast, jak ustaliliśmy powyżej, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Zatem \(S \około S_n \), a ta przybliżona równość jest tym dokładniejsza, im większe n.
Z definicji przyjmuje się, że pożądany obszar trapezu krzywoliniowego jest równy granicy ciągu (S n):
$$ S = \lim_(n \do \infty) S_n $$
Zadanie 2(o przesunięciu punktu)
Punkt materialny porusza się po linii prostej. Zależność prędkości od czasu wyraża wzór v = v(t). Znajdź przemieszczenie punktu w przedziale czasu [a; B].
Rozwiązanie. Gdyby ruch był ruchem jednostajnym, problem zostałby rozwiązany bardzo prosto: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku ruchu nierównego należy skorzystać z tych samych pomysłów, na których oparto rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważmy przedział czasu i załóżmy, że w tym przedziale czasu prędkość była stała, np. w chwili t k . Zakładamy więc, że v = v(t k).
3) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia punktu w przedziale czasu , ta przybliżona wartość będzie oznaczona przez sk
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
\(s \około S_n \) gdzie
\(S_n = s_0 + \kropki + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \kropki + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \do \infty) S_n $$
Podsumujmy. Rozwiązania różne zadania zredukowane do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi do tego samego modelu w procesie rozwiązania. Więc to model matematyczny trzeba się specjalnie uczyć.
Pojęcie całki oznaczonej
Podajmy opis matematyczny modelu, który został zbudowany w trzech rozważanych problemach dla funkcji y = f(x), która jest ciągła (ale niekoniecznie nieujemna, jak przyjęto w rozważanych problemach) na odcinku [ A; B]:
1) podzielić odcinek [a; b] na n równych części;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \kropki + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
W toku analizy matematycznej udowodniono, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub fragmentarycznie ciągłej). Jest on nazywany całka oznaczona funkcji y = f(x) na odcinku [a; B] i są oznaczone w ten sposób:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Liczby aib nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolna i górna).
Wróćmy do omówionych powyżej zadań. Definicję obszaru podaną w zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tutaj S jest obszarem krzywoliniowego trapezu pokazanego na powyższym rysunku. Co to jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.
Podaną w zadaniu 2 definicję przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b można zapisać następująco:
Formuła Newtona - Leibniza
Na początek odpowiedzmy sobie na pytanie: jaki jest związek między całką oznaczoną a funkcją pierwotną?
Odpowiedź można znaleźć w zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b i jest obliczane ze wzoru Formuła
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Z kolei współrzędna punktu ruchu jest funkcją pierwotną prędkości - oznaczmy ją jako s(t); stąd przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) - s(a). W rezultacie otrzymujemy:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną dla v(t).
W toku analizy matematycznej udowodniono następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na odcinku [a; b], a następnie wzór
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x).
Ta formuła jest zwykle nazywana Formuła Newtona-Leibniza ku czci Fizyka angielska Izaak Newton (1643-1727) i niemiecki filozof Gottfried Leibniz (1646-1716), którzy otrzymali ją niezależnie od siebie i niemal równocześnie.
W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a) używają notacji \(\left. F(x)\right|_a^b \) (czasami nazywa się to podwójna zamiana) i odpowiednio przepisać formułę Newtona-Leibniza w tej postaci:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.
Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza można otrzymać dwie własności całki oznaczonej.
Obiekt 1. Całka sumy funkcji jest równa sumie całki:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Nieruchomość 2. Stały czynnik można wyjąć ze znaku całki:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej
Za pomocą całki można obliczyć pole powierzchni nie tylko trapezów krzywoliniowych, ale także płaskich figur bardziej złożonego typu, takich jak ta pokazana na rysunku. Figura P jest ograniczona liniami prostymi x = a, x = b i wykresami funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność \(g(x) \leq f(x) \). Aby obliczyć pole S takiej figury, postępujemy w następujący sposób:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Zatem pole S figury ograniczone liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresy funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłe na odcinku i takie, że dla dowolnego x z odcinek [a; b] nierówność \(g(x) \leq f(x) \) jest spełniona, oblicza się ze wzoru
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)