Wzory lub reguły skróconego mnożenia są używane w arytmetyce, a dokładniej w algebrze, w celu szybszego procesu obliczania dużych wyrażenia algebraiczne. Same wzory wywodzą się z istniejących w algebrze reguł mnożenia kilku wielomianów.

Zastosowanie tych wzorów zapewnia dość szybkie rozwiązanie różnych problemy matematyczne, a także pomaga uprościć wyrażenia. Zasady przekształcenia algebraiczne pozwalają na wykonanie pewnych manipulacji wyrażeniami, po czym można uzyskać po lewej stronie równości wyrażenie po prawej stronie lub przekształcić prawa strona równość (aby uzyskać wyrażenie po lewej stronie po znaku równości).

Wygodnie jest znać wzory używane do skróconego mnożenia z pamięci, ponieważ są one często używane do rozwiązywania problemów i równań. Poniżej znajdują się główne formuły zawarte na tej liście i ich nazwy.

Kwadrat sumy

Aby obliczyć kwadrat sumy, musisz znaleźć sumę składającą się z kwadratu pierwszego wyrazu, dwukrotności iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego oraz kwadratu drugiego. Jako wyraz ta reguła zapisuje się następująco: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kwadratowa różnica

Aby obliczyć kwadrat różnicy, należy obliczyć sumę składającą się z kwadratu pierwszej liczby, dwukrotności iloczynu pierwszej liczby i drugiej (wziętej z przeciwnym znakiem) oraz kwadratu drugiej liczby. W formie wyrażenia zasada ta wygląda następująco: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Różnica kwadratów

Wzór na różnicę dwóch liczb do kwadratu jest równy iloczynowi sumy tych liczb i ich różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Sześcian sumy

Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrazów, należy obliczyć sumę składającą się z sześcianu pierwszego wyrazu, potrójnego iloczynu kwadratu pierwszego wyrazu i drugiego, potrójnego iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego wyrazu do kwadratu i sześcian drugiego wyrazu. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma kostek

Zgodnie ze wzorem jest on równy iloczynowi sumy tych wyrazów i ich niepełnej kwadratowej różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury utworzonej przez dodanie dwóch kostek. Znane są jedynie rozmiary ich boków.

Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są proste.

Jeśli długości boków wyrażone są uciążliwymi liczbami, wówczas w tym przypadku łatwiej jest zastosować wzór „Suma kostek”, co znacznie uprości obliczenia.

Kostka różnicowa

Wyrażenie różnicy sześciennej brzmi następująco: jako suma trzeciej potęgi pierwszego członu, potrójny iloczyn ujemny kwadratu pierwszego wyrazu przez drugi, potrójny iloczyn pierwszego wyrazu przez kwadrat drugiego wyrazu i sześcian ujemny drugiego członu. W formie wyrażenia matematycznego sześcian różnicy wygląda następująco: (a – c)³ = a³ – 3a²c + 3ac² – c³.

Różnica kostek

Wzór na różnicę kostek różni się od sumy kostek tylko jednym znakiem. Zatem różnica sześcianów jest wzorem, równy produktowi różnica między tymi liczbami przez ich częściową sumę do kwadratu. W formie wyrażenia matematycznego różnica kostek wygląda następująco: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która pozostanie po odjęciu liczby wolumetrycznej od objętości niebieskiej kostki żółty kolor, który jest również sześcianem. Znany jest tylko rozmiar boku małego i dużego sześcianu.

Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są dość proste. A jeśli długości boków wyrażone są w liczbach znaczących, warto zastosować wzór zatytułowany „Różnica kostek” (lub „Kostka różnicy”), co znacznie uprości obliczenia.

Skrócone formuły mnożenia (FMF) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybkie wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy podstawowe wzory na skrócone mnożenie, zgrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych wzorów, a także zastanowimy się nad zasadami dowodu wzorów na skrócone mnożenie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Po raz pierwszy temat FSU jest rozpatrywany w ramach kursu Algebra dla klasy 7. Poniżej znajduje się 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory na mnożenie

1. wzór na kwadrat sumy: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. wzór na różnicę kwadratową: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. wzór na kostkę sumy: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. wzór na kostkę różnicy: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. wzór na różnicę kwadratową: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. wzór na różnicę sześcianów: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla łatwości użycia lepiej nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Zestawmy je w tabeli i przedstawmy poniżej, otaczając je ramką.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę między kwadratami wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Odpowiednio szósta i siódma formuła mnożą sumę i różnicę wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana także skróconą tożsamością mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Podczas rozwiązywania praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory na mnożenie z zamienioną lewą i prawą stroną. Jest to szczególnie wygodne podczas rozkładu wielomianu na czynniki.

Dodatkowe skrócone wzory na mnożenie

Nie ograniczajmy się do kursu algebry z 7. klasy i dodawajmy do naszej tabeli FSU jeszcze kilka formuł.

Najpierw spójrzmy na wzór dwumianu Newtona.

za + b n = do n 0 · za n + do n 1 · za n - 1 · b + do n 2 · za n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianu, które pojawiają się w linii nr n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się ze wzoru:

do n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Jak widać, FSU dla kwadratu i sześcianu różnicy oraz sumy wynosi szczególny przypadek Wzory dwumianowe Newtona odpowiednio dla n=2 i n=3.

Ale co, jeśli suma składa się z więcej niż dwóch wyrazów, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

za 1 + za 2 + . . + za n 2 = za 1 2 + za 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Innym wzorem, który może być przydatny, jest wzór na różnicę między n-tymi potęgami dwóch wyrazów.

za n - b n = za - b za n - 1 + za n - 2 b + za n - 3 b 2 + . . + za 2 b n - 2 + b n - 1

Wzór ten zwykle dzieli się na dwa wzory - odpowiednio na potęgi parzyste i nieparzyste.

Dla wskaźników nawet 2m:

za 2 m - b 2 m = za 2 - b 2 za 2 m - 2 + za 2 m - 4 b 2 + za 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla wykładników nieparzystych 2m+1:

za 2 m + 1 - b 2 m + 1 = za 2 - b 2 za 2 m + za 2 m - 1 b + za 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Różnica kwadratów i różnica sześcianów, jak się domyślasz, są specjalnymi przypadkami tego wzoru odpowiednio dla n = 2 i n = 3. W przypadku różnicy kostek b zastępuje się także - b.

Jak czytać skrócone wzory na mnożenie?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdego wzoru, ale najpierw zrozumiemy zasadę czytania wzorów. Najwygodniej jest to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

za + b 2 = za 2 + 2 za b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń a i b równa sumie kwadrat pierwszego wyrażenia, dwukrotność iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.

Wszystkie pozostałe formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, potrójnemu iloczynowi kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie i potrójnemu iloczynowi kwadratu drugiego wyrażenia przez pierwsze wyrażenie.

Przejdźmy do przeczytania wzoru na różnicę kostek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia , minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąty wzór a 2 - b 2 = a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Dla wygody wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazywane są odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Biorąc to pod uwagę, wzory na sumę i różnicę kostek można odczytać w następujący sposób:

Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i częściowego kwadratu ich różnicy.

Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między tymi wyrażeniami i częściowym kwadratem ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. W oparciu o właściwości mnożenia będziemy mnożyć części formuł w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

za - b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Aby podnieść wyrażenie do drugiej potęgi, należy je pomnożyć przez samo to wyrażenie.

a - b 2 = a - b a - b .

Rozwińmy nawiasy:

za - b za - b = za 2 - za b - b za + b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Formuła jest sprawdzona. Pozostałe FSU są udowodnione podobnie.

Przykłady zastosowań FSU

Celem stosowania skróconych wzorów na mnożenie jest szybkie i zwięzłe mnożenie oraz podnoszenie wyrażeń do potęg. Nie jest to jednak cały zakres stosowania FSU. Są szeroko stosowane w redukowaniu wyrażeń, redukowaniu ułamków i rozkładaniu na czynniki wielomianów. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSU

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2.

Zastosujmy wzór na sumę kwadratów i otrzymamy:

9 lat - (1 + 3 lata) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSU

Skróćmy ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Zauważamy, że wyrażeniem w liczniku jest różnica kostek, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Zmniejszamy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczyć wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy liczbę 79 do kwadratu. Zamiast uciążliwych obliczeń napiszmy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się, że złożone obliczenia można przeprowadzić szybko, używając skróconych wzorów na mnożenie i tabliczki mnożenia.

Inny ważny punkt- określenie kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekształcić na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Na poprzedniej lekcji zajmowaliśmy się faktoryzacją. Opanowaliśmy dwie metody: wyciąganie wspólnego czynnika z nawiasów i grupowanie. W tej lekcji - następująca potężna metoda: skrócone wzory na mnożenie. Krótko mówiąc – FSU.

Skrócone wzory na mnożenie (kwadrat sumy i różnicy, kostka sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica kostek) są niezwykle potrzebne we wszystkich gałęziach matematyki. Stosuje się je przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań, mnożeniu wielomianów, zmniejszaniu ułamków, rozwiązywaniu całek itp. i tak dalej. Krótko mówiąc, istnieją wszelkie powody, aby sobie z nimi poradzić. Zrozum, skąd się biorą, dlaczego są potrzebne, jak o nich pamiętać i jak z nich korzystać.

Czy rozumiemy?)

Skąd wzięły się skrócone wzory na mnożenie?

Równania 6 i 7 nie są napisane w zbyt znajomy sposób. To trochę odwrotnie. To jest celowe.) Jakakolwiek równość działa zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. Ten wpis wyjaśnia, skąd pochodzą jednostki FSU.

Są one pobierane z mnożenia.) Na przykład:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

I tyle, żadnych naukowych sztuczek. Po prostu mnożymy nawiasy i podajemy podobne. Oto jak się okazuje wszystkie skrócone wzory na mnożenie. W skrócie mnożenie wynika z tego, że w samych wzorach nie ma mnożenia nawiasów i redukcji podobnych. W skrócie.) Wynik jest natychmiast podawany.

FSU trzeba znać na pamięć. Bez pierwsze trzy nie musisz marzyć o C, bez reszty - o B lub A.)

Dlaczego potrzebujemy skróconych wzorów na mnożenie?

Istnieją dwa powody, dla których warto uczyć się, a nawet zapamiętywać te formuły. Po pierwsze, gotowa odpowiedź automatycznie zmniejsza liczbę błędów. Ale to nie jest najwięcej główny powód. Ale to drugie...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje na stopniach.

1. Mnożenie potęg c ta sama podstawa ich wskaźniki sumują się:

jestem·a n = za m + n .

2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = za n · b n · do n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n /b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

(a m) n = za m n .

Każdy z powyższych wzorów jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym całkowita wartość wskaźnik niepozytywny:

Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.

Obliczając wielomiany algebraiczne, aby uprościć obliczenia, użyj skrócone wzory na mnożenie . W sumie istnieje siedem takich formuł. Trzeba je wszystkie znać na pamięć.

Należy również pamiętać, że zamiast a i b we wzorach mogą występować liczby lub dowolne inne wielomiany algebraiczne.

Różnica kwadratów

Różnica kwadratów dwóch liczb jest równa iloczynowi różnicy tych liczb i ich sumy.

za 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Kwadrat sumy

Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotny iloczyn pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(A + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2

Pamiętaj, że dzięki temu skróconemu wzorowi na mnożenie jest to łatwe znajdź kwadraty duże liczby bez użycia kalkulatora i długiego mnożenia. Wyjaśnijmy na przykładzie:

Znajdź 112 2.

Rozłóżmy 112 na sumę liczb, których kwadraty dobrze pamiętamy.2
112 = 100 + 1

Wpisz sumę liczb w nawiasach i umieść kwadrat nad nawiasami.
112 2 = (100 + 12) 2

Skorzystajmy ze wzoru na kwadrat sumy:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Pamiętaj, że wzór na sumę kwadratową obowiązuje również dla dowolnych wielomianów algebraicznych.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + do 2

Ostrzeżenie!!!

(a + b) 2 nie równe a 2 + b 2

Kwadratowa różnica

Kwadrat różnicy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotny iloczyn pierwszej i drugiej liczby plus kwadrat drugiej liczby.

(A - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2

Warto także pamiętać o bardzo przydatnej transformacji:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Powyższy wzór można udowodnić, po prostu otwierając nawiasy:

(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + za 2 = (b - a) 2

Sześcian sumy

Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszej liczby i drugiej plus potrójny iloczyn pierwszej przez kwadrat drugiej liczby plus sześcian drugiej liczby .

(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Tę „strasznie” wyglądającą formułę dość łatwo zapamiętać.

Dowiedz się, że 3 pojawia się na początku.

Dwa wielomiany w środku mają współczynniki równe 3.

Wpamiętaj, że każda liczba do potęgi zerowej wynosi 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Łatwo zauważyć, że we wzorze następuje zmniejszenie stopnia a i zwiększenie stopnia b. Możesz to zweryfikować:
(a + b) 3 = za 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 za 0 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ostrzeżenie!!!

(a + b) 3 nie równe a 3 + b 3

Kostka różnicowa

Sześcian różnicy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus trzykrotność iloczynu kwadratu pierwszej liczby i drugiej plus trzykrotność iloczynu pierwszej liczby i kwadratu drugiej liczby minus sześcian drugiego.

(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Formułę tę zapamiętuje się podobnie jak poprzednią, ale tylko biorąc pod uwagę naprzemienność znaków „+” i „-”. Pierwszy wyraz a 3 poprzedzony jest znakiem „+” (zgodnie z zasadami matematyki go nie piszemy). Oznacza to, że kolejny termin będzie poprzedzony „-”, następnie ponownie „+” itd.

(a - b) 3 = + 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma kostek ( Nie mylić z kostką sumy!)

Suma kostek jest równa iloczynowi sumy dwóch liczb i częściowego kwadratu różnicy.

za 3 + b 3 = (a + b)(za 2 - ab + b 2)

Suma kostek jest iloczynem dwóch nawiasów.

Pierwszy nawias jest sumą dwóch liczb.

Drugi nawias to niepełny kwadrat różnicy między liczbami. Niepełny kwadrat różnicy to wyrażenie:

ZA 2 - ab + b 2
Ten kwadrat jest niekompletny, ponieważ w środku zamiast iloczynu podwójnego znajduje się zwykły iloczyn liczb.

Różnica kostek (Nie mylić z kostką różnicową!!!)

Różnica kostek jest równa iloczynowi różnicy dwóch liczb i częściowego kwadratu sumy.

za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)

Zachowaj ostrożność podczas zapisywania znaków.Należy pamiętać, że wszystkie podane powyżej wzory stosuje się również od prawej do lewej.

Łatwy sposób na zapamiętanie skróconych wzorów na mnożenie, czyli... trójkąta Pascala.

Masz problemy z zapamiętywaniem skróconych wzorów na mnożenie? Przyczynę można łatwo rozwiązać. Trzeba tylko pamiętać, jak przedstawiona jest tak prosta rzecz, jak trójkąt Pascala. Wtedy będziesz pamiętał te formuły zawsze i wszędzie, a raczej nie pamiętał, ale przywracał.

Co to jest trójkąt Pascala? Trójkąt ten składa się ze współczynników, które wchodzą w rozwinięcie dowolnego stopnia dwumianu postaci w wielomian.

Rozwińmy np.:

W tym wpisie łatwo zapamiętać, że sześcian pierwszej liczby jest na początku, a sześcian drugiej liczby na końcu. Ale to, co jest w środku, jest trudne do zapamiętania. I nawet fakt, że w każdym kolejnym wyrazie stopień jednego czynnika cały czas maleje, a drugiego wzrasta – nietrudno to zauważyć i zapamiętać; trudniejsza jest sytuacja z zapamiętaniem współczynników i znaków (czy jest to plus czy minus ?).

Więc najpierw szanse. Nie musisz ich zapamiętywać! Szybko rysujemy na marginesach zeszytu trójkąt Pascala i oto one – współczynniki, już przed nami. Zaczynamy rysować od trzech jednostek, jednej na górze, dwóch na dole, po prawej i lewej stronie - tak, to już trójkąt:

Pierwsza linia z jedynką oznacza zero. Potem przychodzi pierwszy, drugi, trzeci i tak dalej. Aby uzyskać drugą linię, musisz ponownie przypisać jedynki do krawędzi, a na środku zapisz liczbę uzyskaną przez dodanie dwóch liczb nad nią:

Piszemy trzecią linię: ponownie wzdłuż krawędzi jednostki i ponownie, aby uzyskać kolejną liczbę w nowej linii, dodajemy liczby nad nią w poprzedniej:

Jak można się domyślić, w każdym wierszu otrzymujemy współczynniki z rozwinięcia dwumianu w wielomian:

Cóż, jeszcze łatwiej jest zapamiętać znaki: pierwszy jest taki sam jak w rozszerzonym dwumianie (rozszerzamy sumę - to znaczy plus, różnicę - to oznacza minus), a następnie znaki zmieniają się!

To taka przydatna rzecz - trójkąt Pascala. Użyj tego!