pagbabagu-bago. Harmonic vibrations. Harmonic vibration equation

1.18. HARMONIC OSCILLATIONS AT ANG KANILANG MGA KATANGIAN

Kahulugan ng harmonic vibrations. Mga katangian ng harmonic oscillations: displacement mula sa equilibrium position, amplitude ng oscillations, phase ng oscillations, frequency at period of oscillations. Bilis at acceleration ng isang oscillating point. Enerhiya ng harmonic oscillator. Mga halimbawa ng mga harmonic oscillator: mathematical, spring, torsional at physical mga pendulum.

Ang acoustics, radio engineering, optics at iba pang sangay ng agham at teknolohiya ay nakabatay sa doktrina ng oscillations at waves. Ang isang mahalagang papel ay ginampanan ng teorya ng mga vibrations sa mekanika, lalo na sa mga kalkulasyon ng lakas ng sasakyang panghimpapawid, tulay, ibang mga klase mga makina at node.

pagbabagu-bago ay mga prosesong umuulit sa mga regular na pagitan (gayunpaman, hindi lahat ng umuulit na proseso ay pabagu-bago!). Depende sa pisikal na katangian ng paulit-ulit na proseso, ang mga mekanikal, electromagnetic, electromechanical, atbp. ay nakikilala ang mga oscillations. Sa panahon ng mekanikal na panginginig ng boses, ang mga posisyon at coordinate ng mga katawan ay pana-panahong nagbabago.

Pagpapanumbalik ng puwersa - ang puwersa sa ilalim ng pagkilos kung saan nangyayari ang proseso ng oscillatory. Ang puwersang ito ay may posibilidad na ibalik ang katawan o materyal na punto na nalihis mula sa natitirang posisyon sa orihinal na posisyon nito.

Depende sa likas na katangian ng epekto sa isang oscillating body, ang libre (o natural) na mga vibrations at sapilitang vibrations ay nakikilala.

Depende sa likas na katangian ng epekto sa isang oscillating system, ang mga libreng oscillations, forced oscillations, self-oscillations at parametric oscillations ay nakikilala.

libre (sariling) Ang mga oscillation ay tinatawag na mga ganitong oscillations na nangyayari sa isang sistema na naiwan sa sarili nito pagkatapos na maibigay dito ang isang push, o ito ay inalis sa isang equilibrium na posisyon, i.e. kapag ang puwersang nagpapanumbalik lamang ang kumikilos sa oscillating body.Ang isang halimbawa ay ang mga panginginig ng boses ng bolang nakabitin sa isang sinulid. Upang magdulot ng mga panginginig ng boses, dapat mong itulak ang bola, o, ilipat ito sa isang tabi, bitawan ito. Kung sakaling walang nangyaring pagwawaldas ng enerhiya, ang mga libreng oscillation ay hindi nababalot. Gayunpaman, ang mga tunay na proseso ng oscillatory ay damped, dahil ang isang oscillating body ay apektado ng mga puwersa ng paglaban sa paggalaw (pangunahin ang mga puwersa ng friction).

· pinilit tinatawag ang mga naturang vibrations, kung saan ang oscillating system ay nakalantad sa isang panlabas na pana-panahong nagbabagong puwersa (halimbawa, mga vibrations ng isang tulay na nangyayari kapag ang mga taong naglalakad sa hakbang ay dumaan dito). Sa maraming kaso, ang mga system ay nagsasagawa ng mga oscillations na maaaring ituring na harmonic.

· Self-oscillations , pati na rin ang sapilitang mga oscillations, sila ay sinamahan ng pagkilos ng mga panlabas na pwersa sa oscillating system, gayunpaman, ang mga sandali ng oras kapag ang mga epekto ay isinasagawa ay itinakda ng oscillating system mismo. Ibig sabihin, ang sistema mismo ang kumokontrol sa panlabas na impluwensya. Ang isang halimbawa ng isang self-oscillatory system ay isang orasan kung saan ang pendulum ay tumatanggap ng mga shocks dahil sa enerhiya ng isang nakataas na timbang o isang twisted spring, at ang mga shocks na ito ay nangyayari sa mga sandali ng pendulum na dumadaan sa gitnang posisyon.

· Parametric Ang mga oscillations ay isinasagawa na may panaka-nakang pagbabago sa mga parameter ng oscillating system (ang isang tao na umuugoy sa isang swing ay pana-panahong itinataas at ibinababa ang kanyang sentro ng grabidad, sa gayon ay binabago ang mga parameter ng system). Sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang sistema ay nagiging hindi matatag - ang isang random na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay humahantong sa paglitaw at paglago ng mga oscillations. Ang phenomenon na ito ay tinatawag na parametric excitation of oscillations (ibig sabihin, ang mga oscillations ay nasasabik sa pamamagitan ng pagbabago ng mga parameter ng system), at ang mga oscillations mismo ay tinatawag na parametric.

Sa kabila ng magkakaibang pisikal na kalikasan, ang mga oscillation ay nailalarawan sa parehong mga regularidad, na pinag-aaralan ng mga pangkalahatang pamamaraan. Ang isang mahalagang kinematic na katangian ay ang anyo ng mga vibrations. Ito ay tinutukoy ng anyo ng pag-andar ng oras, na naglalarawan ng pagbabago ng isa o ibang pisikal na dami sa panahon ng mga oscillation. Ang pinakamahalaga ay ang mga pagbabago kung saan nagbabago ang pabagu-bagong halaga sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine . Tinatawag sila maharmonya .

Harmonic vibrations tinatawag ang mga oscillations, kung saan nagbabago ang oscillating physical quantity ayon sa batas ng sine (o cosine).

Ang ganitong uri ng oscillation ay lalong mahalaga para sa mga sumusunod na dahilan. Una, ang mga oscillation sa kalikasan at teknolohiya ay kadalasang may karakter na napakalapit sa harmonic. Pangalawa, ang mga pana-panahong proseso ng ibang anyo (na may ibang pagdepende sa oras) ay maaaring katawanin bilang isang overlay, o superposisyon, ng mga harmonic oscillations.

Harmonic oscillator equation

Ang Harmonic oscillation ay inilalarawan ng periodic law:

kanin. 18.1. harmonic oscillation

dito

- nagpapakilala pagbabago anumang pisikal na dami sa panahon ng mga oscillations (pag-aalis ng posisyon ng pendulum mula sa posisyon ng equilibrium; boltahe sa kapasitor sa oscillatory circuit, atbp.), A - amplitude ng oscillation ,

- yugto ng oscillation ,

- unang bahagi ,

- cyclic frequency ; halaga

tinatawag din sariling dalas ng oscillation. Binibigyang-diin ng pangalang ito na ang dalas na ito ay tinutukoy ng mga parameter ng oscillatory system. Ang isang sistema na ang batas ng paggalaw ay may anyo (18.1) ay tinatawag one-dimensional harmonic oscillator . Bilang karagdagan sa mga dami sa itaas, ang mga sumusunod na konsepto ay ipinakilala upang makilala ang mga oscillation: panahon , ibig sabihin. oras ng isang oscillation.

(Isang panahon ng oscillation T tinatawag na pinakamaliit na tagal ng panahon pagkatapos kung saan ang mga estado ng oscillating system ay paulit-ulit (isang kumpletong oscillation ang ginanap) at ang phase ng oscillation ay tumatanggap ng increment na 2p).

at mga frequency
, na tumutukoy sa bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras. Ang yunit ng dalas ay ang dalas ng naturang oscillation, ang panahon kung saan ay 1 s. Ang yunit na ito ay tinatawag na hertz (Hz ).

Dalas ng oscillationn tinatawag na reciprocal ng panahon ng oscillation - ang bilang ng kumpletong oscillations bawat yunit ng oras.

Malawak- ang pinakamataas na halaga ng displacement o pagbabago ng isang variable sa panahon ng oscillatory o wave motion.

Yugto ng oscillation- argumento pana-panahong pag-andar o naglalarawan ng isang harmonic oscillatory na proseso (ω- angular frequency, t- oras, - ang unang yugto ng mga oscillations, iyon ay, ang yugto ng mga oscillations sa unang sandali ng oras t = 0).

Ang una at pangalawang beses na mga derivatives ng isang harmonically oscillating na dami ay nagsasagawa rin ng mga harmonic oscillations ng parehong frequency:

Sa kasong ito, ang equation ng harmonic oscillations, na isinulat ayon sa batas ng cosine, ay kinuha bilang batayan. Sa kasong ito, inilalarawan ng una sa mga equation (18.2) ang batas kung saan nagbabago ang bilis ng isang oscillating material point (body), ang pangalawang equation ay naglalarawan ng batas kung saan nagbabago ang acceleration ng oscillating point (body).

Mga amplitude
at
pantay ayon sa pagkakabanggit
at
. pag-aatubili
nauuna sa
nasa yugto hanggang ; at pag-aatubili
nauuna sa
sa . Mga halaga A at maaaring matukoy mula sa ibinigay na mga paunang kondisyon
at
:

,
. (18.3)

Oscillator oscillation energy

kanin. 18.2. Spring pendulum

Tingnan natin ngayon kung ano ang mangyayari sa enerhiya ng vibration . Bilang halimbawa ng mga harmonic oscillations, isaalang-alang ang one-dimensional oscillations na ginagawa ng isang body of mass. m Sa ilalim ng impluwensiya nababanat lakas

(halimbawa, isang spring pendulum, tingnan ang fig. 18.2). Ang mga puwersa ng ibang kalikasan kaysa sa nababanat, ngunit kung saan ang kundisyong F = -kx ay nasiyahan, ay tinatawag parang nababanat. Sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang ito, ang mga katawan ay gumagawa din ng mga harmonic oscillations. Hayaan:

bias:
bilis:
acceleration:

Yung. ang equation para sa mga naturang oscillations ay may anyo (18.1) na may natural na dalas
. Ang quasi-elastic force ay konserbatibo . Samakatuwid, ang kabuuang enerhiya ng naturang harmonic oscillations ay dapat manatiling pare-pareho. Sa proseso ng mga oscillations, nangyayari ang pagbabago ng kinetic energy E sa sa isang potensyal E P at kabaligtaran, bukod dito, sa mga sandali ng pinakamalaking paglihis mula sa posisyon ng balanse, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng pinakamataas na halaga ng potensyal na enerhiya, at kapag ang sistema ay dumaan sa posisyon ng balanse, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng maximum halaga ng kinetic energy. Alamin natin kung paano nagbabago ang kinetic at potensyal na enerhiya sa paglipas ng panahon:

Kinetic energy:

Potensyal na enerhiya:

(18.5)

Isinasaalang-alang na i.e. , ang huling expression ay maaaring isulat bilang:

Kaya, ang kabuuang enerhiya ng harmonic oscillation ay lumalabas na pare-pareho. Sinusundan din nito mula sa mga relasyon (18.4) at (18.5) na ang average na mga halaga ng kinetic at potensyal na enerhiya ay katumbas ng bawat isa at kalahati ng kabuuang enerhiya, dahil ang average na mga halaga
at
para sa panahon ay 0.5. Gamit ang mga trigonometric formula, maaaring makuha na ang kinetic at potensyal na enerhiya ay nagbabago nang may dalas
, ibig sabihin. na may dalas na dalawang beses ang dalas ng maharmonya.

Ang mga halimbawa ng isang harmonic oscillator ay mga spring pendulum, physical pendulum, mathematical pendulum, at torsional pendulum.

1. Spring pendulum- ito ay isang load ng mass m, na nasuspinde sa isang ganap na nababanat na spring at nagsasagawa ng mga harmonic oscillations sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na puwersa F = -kx, kung saan ang k ay ang higpit ng spring. Ang equation ng paggalaw ng pendulum ay may anyo o (18.8) Mula sa formula (18.8) sumusunod na ang spring pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations ayon sa batas x \u003d Acos (ω 0 t + φ) na may cyclic frequency

(18.9) at panahon

(18.10) Ang formula (18.10) ay totoo para sa mga elastic oscillations sa loob ng mga limitasyon kung saan natutupad ang batas ni Hooke, ibig sabihin, kung ang masa ng spring ay maliit kumpara sa masa ng katawan. Ang potensyal na enerhiya ng isang spring pendulum, gamit ang (18.9) at ang potensyal na formula ng enerhiya ng nakaraang seksyon, ay (tingnan ang 18.5)

2. pisikal na pendulum- ito ay solid, na oscillates sa ilalim ng pagkilos ng gravity sa paligid ng isang nakapirming pahalang na axis, na dumadaan sa punto O, na hindi nag-tutugma sa sentro ng mass C ng katawan (Fig. 1).

Fig.18.3 Pisikal na pendulum

Kung ang pendulum ay pinalihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ng isang tiyak na anggulo α, kung gayon, gamit ang equation ng dinamika ng rotational motion ng isang matibay na katawan, ang sandaling M ng puwersa ng pagpapanumbalik (18.11) kung saan ang J ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng pendulum tungkol sa axis na dumadaan sa suspension point O, l ay ang distansya sa pagitan ng axis at ang sentro ng masa ng pendulum, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα ay ang puwersang nagpapanumbalik (ang minus sign ay nagpapahiwatig na ang mga direksyon F τ at α ay palaging kabaligtaran; sinα ≈ α dahil ang mga oscillations ng pendulum ay itinuturing na maliit, ibig sabihin, ang pendulum ay lumilihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo sa pamamagitan ng maliliit na anggulo). Sinusulat namin ang equation (18.11) bilang

O Pagkuha (18.12) makuha natin ang equation

Kapareho ng (18.8), na ang solusyon ay makikita at isinusulat natin bilang:

(18.13) Mula sa formula (18.13) sumusunod na para sa maliliit na oscillations ang pisikal na pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations na may cyclic frequency ω 0 at isang period

(18.14) kung saan ang halaga L=J/(m l) - . Ang punto O" sa pagpapatuloy ng tuwid na linya ng OS, na kung saan ay pinaghihiwalay mula sa punto O ng suspensyon ng pendulum sa layo ng pinababang haba L, ay tinatawag swing center pisikal na pendulum (Larawan 18.3). Ang paglalapat ng Steiner theorem para sa sandali ng pagkawalang-kilos ng axis, nakita namin

Ibig sabihin, ang OO "ay palaging mas malaki kaysa sa OS. Ang suspension point O ng pendulum at ang swing center O" ay mayroong pag-aari ng pagpapalitan: kung ang suspension point ay inilipat sa swing center, ang lumang suspension point O ang magiging bagong swing center, at ang oscillation period ng physical pendulum ay hindi magbabago.

3. Mathematical pendulum ay isang idealized na sistema na binubuo ng isang materyal na punto ng mass m, na kung saan ay sinuspinde sa isang inextensible walang timbang na thread, at kung saan oscillates sa ilalim ng pagkilos ng gravity. Ang isang magandang approximation ng isang mathematical pendulum ay isang maliit, mabigat na bola na nasuspinde mula sa isang mahaba, manipis na sinulid. Moment of inertia ng isang mathematical pendulum

(8) saan l ay ang haba ng pendulum.

Dahil ang isang mathematical pendulum ay isang espesyal na kaso ng isang pisikal na pendulum, kung ipagpalagay natin na ang lahat ng masa nito ay puro sa isang punto - ang sentro ng masa, kung gayon, pinapalitan ang (8) sa (7), makikita natin ang isang expression para sa panahon. ng maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum (18.15) Paghahambing ng mga formula (18.13 ) at (18.15), makikita natin na kung ang pinababang haba L ng physical pendulum ay katumbas ng haba l isang mathematical pendulum, kung gayon ang mga panahon ng oscillation ng mga pendulum na ito ay pareho. Ibig sabihin, pinababang haba ng isang pisikal na pendulum ay ang haba ng naturang mathematical pendulum, kung saan ang panahon ng oscillation ay tumutugma sa panahon ng oscillation ng isang ibinigay na physical pendulum. Para sa isang mathematical pendulum (material point na may mass m nasuspinde sa isang walang timbang na hindi mapalawak na sinulid ng haba l sa larangan ng grabidad na may free fall acceleration na katumbas ng g) sa maliliit na anggulo ng paglihis (hindi hihigit sa 5-10 angular degrees) mula sa posisyon ng equilibrium, natural na dalas ng oscillation:
.

4. Ang isang katawan na nakasuspinde sa isang nababanat na sinulid o iba pang nababanat na elemento na nag-o-oscillate sa isang pahalang na eroplano ay torsion pendulum.

Ito ay isang mekanikal na oscillatory system na gumagamit ng mga puwersa ng elastic deformation. Sa fig. Ipinapakita ng 18.4 ang angular analogue ng isang linear harmonic oscillator na nagsasagawa ng torsional vibrations. Ang isang pahalang na matatagpuan na disk ay nakabitin sa isang nababanat na sinulid na naayos sa gitna ng masa nito. Kapag ang disk ay umiikot sa isang anggulo θ, isang sandali ng pwersa ang lumitaw M nababanat na torsion strain:

saan ako = akoC ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk tungkol sa axis na dumadaan sa gitna ng masa, ε ay ang angular acceleration.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagkarga sa tagsibol, maaari kang makakuha.

Mechanical harmonic oscillation- ito ay isang rectilinear non-uniform na paggalaw, kung saan ang mga coordinate ng isang oscillating body (material point) ay nagbabago ayon sa cosine o sine law depende sa oras.

Ayon sa kahulugang ito, ang batas ng pagbabago ng coordinate depende sa oras ay may anyo:

Kung saan ang wt ay ang halaga sa ilalim ng cosine o sine sign; w- koepisyent, pisikal na kahulugan na aming ibubunyag sa ibaba; Ang A ay ang amplitude ng mechanical harmonic oscillations.

Ang mga equation (4.1) ay ang pangunahing kinematic equation ng mechanical harmonic vibrations.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. Kunin natin ang Ox axis (Larawan 64). Mula sa punto 0 gumuhit kami ng isang bilog na may radius R = A. Hayaan ang punto M mula sa posisyon 1 na magsimulang gumalaw sa paligid ng bilog sa isang pare-pareho ang bilis v(o may pare-parehong angular na bilis w, v = wA). Pagkaraan ng ilang oras t, ang radius ay iikot sa isang anggulo f: f=wt.

Sa ganoong paggalaw sa kahabaan ng circumference ng point M, ang projection nito sa x-axis M x ay lilipat kasama ang x-axis, ang coordinate kung saan ang x ay magiging katumbas ng x \u003d A cos f = = A cos wt. Kaya, kung ang isang materyal na punto ay gumagalaw kasama ang isang bilog ng radius A, ang gitna nito ay nag-tutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang projection ng puntong ito sa x-axis (at sa y-axis) ay magsasagawa ng harmonic mechanical vibrations.

Kung ang halaga ng wt, na nasa ilalim ng cosine sign, at ang amplitude A ay kilala, kung gayon ang x ay maaari ding matukoy sa equation (4.1).

Ang value wt, na nasa ilalim ng cosine (o sine) sign, na natatanging tumutukoy sa coordinate ng oscillating point sa isang ibinigay na amplitude, ay tinatawag yugto ng oscillation. Para sa isang puntong M na gumagalaw sa isang bilog, ang halagang w ay nangangahulugan ng angular velocity nito. Ano ang pisikal na kahulugan ng halaga w para sa puntong M x, na nagsasagawa ng mga mekanikal na harmonic oscillations? Ang mga coordinate ng oscillating point M x ay pareho sa ilang oras t at (T +1) (mula sa kahulugan ng period T), i.e. A cos wt= A cos w (t + T), na nangangahulugang iyon w(t + T) - wt = 2 PI(mula sa periodicity property ng cosine function). Kaya naman sinusunod iyon

Samakatuwid, para sa isang materyal na punto na nagsasagawa ng mga harmonic mechanical oscillations, ang halaga ng w ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang bilang ng mga oscillations para sa isang tiyak na ikot oras na katumbas ng 2l. Samakatuwid, ang halaga w tinawag paikot(o pabilog) dalas.

Kung ang punto M ay magsisimula ng paggalaw nito hindi mula sa punto 1 ngunit mula sa punto 2, ang equation (4.1) ay kukuha ng anyo:

ang halaga f 0 tinawag unang bahagi.

Nakikita namin ang bilis ng point M x bilang isang derivative ng coordinate na may paggalang sa oras:

Tinutukoy namin ang acceleration ng isang point oscillating ayon sa harmonic law bilang isang derivative ng bilis:

Makikita mula sa formula (4.4) na ang bilis ng isang punto na gumaganap ng mga harmonic oscillations ay nagbabago rin ayon sa batas ng cosine. Ngunit ang bilis sa yugto ay nauuna sa coordinate ng PI/2. Ang acceleration sa panahon ng harmonic oscillation ay nagbabago ayon sa cosine law, ngunit nauuna ito sa coordinate in phase by P. Ang equation (4.5) ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng x coordinate:

Ang acceleration sa panahon ng harmonic oscillations ay proporsyonal sa displacement na may kabaligtaran na sign. Pina-multiply namin ang kanan at kaliwang bahagi ng equation (4.5) sa pamamagitan ng masa ng oscillating material point m, nakuha namin ang mga sumusunod na relasyon:

Ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang pisikal na kahulugan ng kanang bahagi ng pagpapahayag (4.6) ay ang projection ng puwersa F x , na nagbibigay ng harmonic mechanical motion:

Ang halaga ng F x ay proporsyonal sa displacement x at nakadirekta sa tapat nito. Ang isang halimbawa ng gayong puwersa ay ang nababanat na puwersa, ang laki nito ay proporsyonal sa pagpapapangit at nakadirekta nang kabaligtaran dito (batas ni Hooke).

Ang pagiging regular ng dependence ng acceleration sa displacement, na sumusunod sa equation (4.6), na isinasaalang-alang namin para sa mechanical harmonic oscillations, ay maaaring pangkalahatan at mailapat kapag isinasaalang-alang ang mga oscillations ng ibang pisikal na kalikasan (halimbawa, isang pagbabago sa kasalukuyang sa isang oscillatory circuit, isang pagbabago sa singil, boltahe, induction magnetic field atbp.). Samakatuwid, ang equation (4.8) ay tinatawag na pangunahing equation dinamika ng mga harmonic oscillations.

Isaalang-alang ang paggalaw ng spring at mathematical pendulum.

Hayaang ang isang spring (Larawan 63), na matatagpuan nang pahalang at naayos sa punto 0, ay may katawan na may mass m na nakakabit sa isang dulo, na maaaring gumalaw sa kahabaan ng x axis nang walang friction. Hayaang ang spring constant ay katumbas ng k. Ilabas natin ang katawan mula sa ekwilibriyo sa pamamagitan ng panlabas na puwersa at pabayaan ito. Pagkatapos, sa kahabaan ng x axis, tanging ang nababanat na puwersa lamang ang kikilos sa katawan, na, ayon sa batas ni Hooke, ay magiging katumbas ng: F ypr = -kx.

Ang equation ng paggalaw ng katawan na ito ay magiging ganito:

Paghahambing ng mga equation (4.6) at (4.9), gumawa kami ng dalawang konklusyon:

Mula sa mga formula (4.2) at (4.10) nakukuha namin ang formula para sa panahon ng oscillation ng load sa spring:

Ang isang mathematical pendulum ay isang katawan ng mass m na nasuspinde sa isang mahabang hindi mapalawak na sinulid ng hindi gaanong masa. Sa posisyon ng equilibrium, ang puwersa ng grabidad at ang nababanat na puwersa ng sinulid ay kikilos sa katawan na ito. Ang mga puwersang ito ay magbabalanse sa isa't isa.

Kung ang thread ay pinalihis sa isang anggulo a mula sa posisyon ng balanse, pagkatapos ay ang parehong mga puwersa ay kumikilos sa katawan, ngunit hindi na nila balanse ang isa't isa, at ang katawan ay nagsisimulang gumalaw kasama ang arko sa ilalim ng pagkilos ng bahagi ng gravity na nakadirekta kasama ang tangent sa arko at katumbas ng mg sin a.

Ang equation ng paggalaw ng pendulum ay nasa anyo:

Ang minus sign sa kanang bahagi ay nangangahulugan na ang puwersa F x = mg sin a ay nakadirekta laban sa displacement. Ang Harmonic oscillation ay magaganap sa maliliit na anggulo ng deviation, ibig sabihin, sa ilalim ng kundisyon isang 2* kasalanan a.

Palitan ang kasalanan at sa equation (4.12), nakukuha natin ang sumusunod na equation.

(lat. malawak- magnitude) - ito ang pinakamalaking paglihis ng oscillating body mula sa posisyon ng equilibrium.

Para sa isang pendulum, ito ang pinakamataas na distansya na ginagalaw ng bola mula sa posisyon ng equilibrium nito (figure sa ibaba). Para sa mga oscillations na may maliliit na amplitude, ang distansya na ito ay maaaring kunin bilang haba ng arc 01 o 02, pati na rin ang mga haba ng mga segment na ito.

Ang oscillation amplitude ay sinusukat sa mga yunit ng haba - metro, sentimetro, atbp. Sa oscillation graph, ang amplitude ay tinukoy bilang ang maximum (modulo) ordinate ng sinusoidal curve, (tingnan ang figure sa ibaba).

Panahon ng oscillation.

Panahon ng oscillation- ito ang pinakamaliit na yugto ng panahon pagkatapos kung saan ang sistema, na gumagawa ng mga oscillations, ay muling bumalik sa parehong estado kung saan ito ay sa unang sandali ng oras, pinili nang arbitraryo.

Sa madaling salita, ang oscillation period ( T) ay ang oras kung saan nagaganap ang isang kumpletong oscillation. Halimbawa, sa figure sa ibaba, ito ang oras na kinakailangan para sa bigat ng pendulum na lumipat mula sa pinakakanang punto hanggang sa punto ng equilibrium. O sa pinakakaliwang punto at pabalik sa punto O muli sa dulong kanan.

Per buong panahon vibrations, kaya, ang katawan ay dumadaan sa isang landas na katumbas ng apat na amplitude. Ang panahon ng oscillation ay sinusukat sa mga yunit ng oras - segundo, minuto, atbp. Ang panahon ng oscillation ay maaaring matukoy mula sa kilalang oscillation graph, (tingnan ang figure sa ibaba).

Ang konsepto ng "panahon ng oscillation", mahigpit na pagsasalita, ay may bisa lamang kapag ang mga halaga ng oscillating quantity ay eksaktong paulit-ulit pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon, iyon ay, para sa mga harmonic oscillations. Gayunpaman, ang konseptong ito ay inilalapat din sa mga kaso ng humigit-kumulang umuulit na dami, halimbawa, para sa damped oscillations.

Dalas ng oscillation.

Dalas ng oscillation ay ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras, halimbawa, sa 1 s.

Ang SI unit ng frequency ay pinangalanan hertz(Hz) bilang parangal sa German physicist na si G. Hertz (1857-1894). Kung ang dalas ng oscillation ( v) ay katumbas ng 1 Hz, pagkatapos ay nangangahulugan ito na ang isang oscillation ay ginawa para sa bawat segundo. Ang dalas at panahon ng mga oscillation ay nauugnay sa pamamagitan ng mga relasyon:

Sa teorya ng oscillations, ginamit din ang konsepto paikot, o pabilog na dalas ω . Ito ay nauugnay sa normal na dalas v at panahon ng oscillation T ratios:

Paikot na dalas ay ang bilang ng mga oscillations bawat 2π segundo.

Kasama ng mga galaw ng pagsasalin at pag-ikot ng mga katawan sa mekanika, ang mga paggalaw ng oscillatory ay may malaking interes din. Mga mekanikal na panginginig ng boses tinatawag na mga paggalaw ng mga katawan na eksaktong umuulit (o humigit-kumulang) sa mga regular na pagitan. Ang batas ng paggalaw ng isang oscillating body ay ibinibigay ng ilang pana-panahong pag-andar ng oras x = f (t). Ang graphic na representasyon ng function na ito ay nagbibigay ng visual na representasyon ng kurso ng proseso ng oscillatory sa oras.

Ang mga halimbawa ng mga simpleng oscillatory system ay isang load sa isang spring o isang mathematical pendulum (Fig. 2.1.1).

Ang mga mekanikal na oscillations, tulad ng mga oscillatory na proseso ng anumang iba pang pisikal na kalikasan, ay maaaring libre at pilit. Libreng vibrations ay ginawa sa ilalim ng impluwensya panloob na pwersa sistema pagkatapos na mailabas ang sistema sa ekwilibriyo. Ang mga oscillations ng isang timbang sa isang spring o ang mga oscillations ng isang pendulum ay libreng vibrations. vibrations sa ilalim ng aksyon panlabas pana-panahong nagbabagong pwersa ay tinatawag pilit .

Ang pinakasimpleng uri ng proseso ng oscillatory ay simple harmonic vibrations , na inilalarawan ng equation

x = x m cos (ω t + φ 0).

Dito x- pag-alis ng katawan mula sa posisyon ng balanse, x m - amplitude ng oscillation, i.e. ang maximum na pag-aalis mula sa posisyon ng equilibrium, ω - cyclic o circular frequency pag-aatubili, t- oras. Ang halaga sa ilalim ng cosine sign φ = ω t+ φ 0 ay tinatawag yugto maharmonya na proseso. Sa t= 0 φ = φ 0 , kaya φ 0 ang tawag unang bahagi. Ang pinakamababang agwat ng oras pagkatapos kung saan ang paggalaw ng katawan ay paulit-ulit ay tinatawag panahon ng oscillation T. Ang pisikal na dami na katumbas ng panahon ng oscillation ay tinatawag dalas ng oscillation:

Dalas ng oscillation f nagpapakita kung gaano karaming mga vibrations ang nagagawa sa 1 s. Unit ng dalas - hertz(Hz). Dalas ng oscillation f ay nauugnay sa cyclic frequency ω at ang oscillation period T ratios:

Sa fig. 2.1.2 ay nagpapakita ng mga posisyon ng katawan sa mga regular na pagitan na may harmonic vibrations. Ang ganitong larawan ay maaaring makuha sa eksperimento sa pamamagitan ng pag-iilaw sa isang oscillating body na may maikling pana-panahong pagkislap ng liwanag ( stroboscopic na pag-iilaw). Ang mga arrow ay kumakatawan sa mga vector ng bilis ng katawan sa iba't ibang mga punto ng oras.

kanin. 2.1.3 inilalarawan ang mga pagbabagong nagaganap sa graph ng isang harmonic na proseso kung ang alinman sa amplitude ng mga oscillations ay nagbabago x m , o panahon T(o dalas f), o ang paunang yugto φ 0 .

Kapag ang katawan ay nag-oscillate sa isang tuwid na linya (axis OX) ang velocity vector ay palaging nakadirekta sa tuwid na linyang ito. Bilis υ = υ x Ang galaw ng katawan ay natutukoy sa pamamagitan ng ekspresyon

Sa matematika, ang pamamaraan para sa paghahanap ng limitasyon ng ratio sa Δ t Ang → 0 ay tinatawag na pagkalkula ng derivative ng function x (t) ayon sa panahon t at tinutukoy bilang o bilang x"(t) o sa wakas bilang . Para sa harmonic law of motion Ang pagkalkula ng derivative ay humahantong sa sumusunod na resulta:

Ang hitsura ng terminong + π / 2 sa cosine argument ay nangangahulugan ng pagbabago sa paunang yugto. Pinakamataas na mga halaga ng modulo ng bilis υ = ω x m ay nakakamit sa mga sandaling iyon kapag ang katawan ay dumaan sa mga posisyon ng balanse ( x= 0). Ang acceleration ay tinukoy sa katulad na paraan a = ax mga katawan na may harmonic vibrations:

kaya ang acceleration a ay katumbas ng derivative ng function na υ ( t) ayon sa panahon t, o ang pangalawang derivative ng function x (t). Ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng:

Ang minus sign sa expression na ito ay nangangahulugan na ang acceleration a (t) palaging may kabaligtaran na tanda ng offset x (t), at, samakatuwid, ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang puwersa na nagiging sanhi ng katawan na magsagawa ng mga harmonic oscillations ay palaging nakadirekta sa posisyon ng balanse ( x = 0).

Harmonic Wave Equation

Ang harmonic oscillation equation ay nagtatatag ng dependence ng body coordinate sa oras

Ang cosine graph ay may pinakamataas na halaga sa unang sandali, at ang sine graph ay may zero na halaga sa unang sandali. Kung sinimulan nating siyasatin ang oscillation mula sa posisyon ng equilibrium, pagkatapos ay uulitin ng oscillation ang sinusoid. Kung sinimulan nating isaalang-alang ang oscillation mula sa posisyon ng maximum deviation, pagkatapos ay ilalarawan ng oscillation ang cosine. O ang ganitong oscillation ay maaaring ilarawan ng sine formula na may paunang yugto.

Pagbabago sa bilis at acceleration sa panahon ng harmonic oscillation

Hindi lamang ang coordinate ng katawan ang nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine. Ngunit ang mga dami tulad ng puwersa, bilis at acceleration ay nagbabago rin sa katulad na paraan. Ang puwersa at acceleration ay maximum kapag ang oscillating body ay nasa matinding mga posisyon kung saan ang displacement ay maximum, at katumbas ng zero kapag ang katawan ay dumaan sa equilibrium na posisyon. Ang bilis, sa kabaligtaran, sa matinding mga posisyon ay katumbas ng zero, at kapag ang katawan ay pumasa sa posisyon ng balanse, naabot nito ang pinakamataas na halaga nito.

Kung ang oscillation ay inilalarawan ayon sa batas ng cosine

Kung ang oscillation ay inilarawan ayon sa batas ng sine

Pinakamataas na bilis at mga halaga ng acceleration

Matapos suriin ang mga equation ng dependence v(t) at a(t), maaari nating hulaan iyon maximum na mga halaga Ang bilis at acceleration ay kinuha sa kaso kapag ang trigonometriko factor ay katumbas ng 1 o -1. Tinutukoy ng formula