Ang kasalukuyang equation sa oscillatory circuit. Oscillatory circuit. Libreng electromagnetic oscillations. Pagbabago ng enerhiya sa isang oscillatory circuit. Formula ni Thompson
Ang mga electric oscillations ay nauunawaan bilang panaka-nakang pagbabago sa singil, kasalukuyang at boltahe. Ang pinakasimpleng sistema kung saan posible ang mga libreng electrical oscillations ay ang tinatawag na oscillatory circuit. Ito ay isang aparato na binubuo ng isang kapasitor at isang likid na konektado sa bawat isa. Ipagpalagay namin na walang aktibong paglaban ng coil, sa kasong ito ang circuit ay tinatawag na perpekto. Kapag ang enerhiya ay ibinibigay sa sistemang ito, walang basa harmonic vibrations singilin sa kapasitor, boltahe at kasalukuyang.
Posibleng ipaalam ang oscillatory circuit ng enerhiya iba't ibang paraan. Halimbawa, sa pamamagitan ng pag-charge ng capacitor mula sa isang DC source o sa pamamagitan ng exciting na current sa isang inductor. Sa unang kaso, ang electric field sa pagitan ng mga plate ng kapasitor ay nagtataglay ng enerhiya. Sa pangalawa, ang enerhiya ay nakapaloob sa magnetic field ng kasalukuyang dumadaloy sa circuit.
§1 Ang equation ng mga oscillation sa circuit
Patunayan natin na kapag ang enerhiya ay ibinibigay sa circuit, ang undamped harmonic oscillations ay magaganap dito. Para dito kailangan mong makuha differential equation harmonic vibrations ng anyo.
Ipagpalagay na ang kapasitor ay sisingilin at sarado sa likid. Ang kapasitor ay magsisimulang mag-discharge, ang kasalukuyang ay dadaloy sa coil. Ayon sa ikalawang batas ni Kirchhoff, ang kabuuan ng mga pagbagsak ng boltahe sa isang closed circuit ay katumbas ng kabuuan ng EMF sa circuit na ito. 
.
Sa aming kaso, ang pagbaba ng boltahe ay dahil perpekto ang circuit. Ang kapasitor sa circuit ay kumikilos tulad ng isang kasalukuyang mapagkukunan, ang potensyal na pagkakaiba sa pagitan ng mga capacitor plate ay gumaganap bilang isang EMF, kung saan ang singil sa kapasitor, ay ang kapasidad ng kapasitor. Bilang karagdagan, kapag ang isang variable na kasalukuyang dumadaloy sa likid, a EMF self-induction, kung saan ang inductance ng coil, ay ang rate ng pagbabago ng kasalukuyang sa coil. Dahil pinipigilan ng EMF ng self-induction ang proseso ng pag-discharge ng capacitor, ang pangalawang batas ng Kirchhoff ay nasa anyo.
Ngunit ang kasalukuyang sa circuit ay ang kasalukuyang ng discharging o singilin ang kapasitor, samakatuwid. Pagkatapos
Ang differential equation ay binago sa anyo
Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon , nakukuha natin ang kilalang differential equation ng mga harmonic oscillations.
Nangangahulugan ito na ang singil sa kapasitor sa oscillatory circuit ay magbabago ayon sa harmonic law
kung saan ang pinakamataas na halaga ng singil sa kapasitor, ay ang cyclic frequency, ay ang paunang yugto ng mga oscillations.
Charge oscillation period 
. Ang expression na ito ay tinatawag na Thompson formula.
Boltahe ng kapasitor
Kasalukuyang circuit
Nakikita namin na bilang karagdagan sa singil sa kapasitor, ayon sa maharmonya na batas, ang kasalukuyang sa circuit at ang boltahe sa kapasitor ay magbabago din. Ang boltahe ay nag-o-oscillate sa phase na may singil, at ang kasalukuyang ay nauuna sa pagsingil
yugto sa .
Enerhiya electric field kapasitor
Enerhiya magnetic field kasalukuyang
Kaya, ang mga energies ng electric at magnetic field ay nagbabago din ayon sa harmonic law, ngunit may dobleng dalas.
Ibuod
Ang mga electric oscillations ay dapat na maunawaan bilang mga panaka-nakang pagbabago sa singil, boltahe, kasalukuyang lakas, enerhiya ng electric field, enerhiya ng magnetic field. Ang mga oscillations na ito, tulad ng mga mekanikal, ay maaaring parehong libre at sapilitang, harmonic at non-harmonic. Ang mga libreng harmonic electrical oscillations ay posible sa isang perpektong oscillatory circuit.
§2 Mga prosesong nagaganap sa isang oscillatory circuit
Mathematically naming pinatunayan ang pagkakaroon ng libreng harmonic oscillations sa isang oscillatory circuit. Gayunpaman, nananatiling hindi malinaw kung bakit posible ang ganitong proseso. Ano ang nagiging sanhi ng mga oscillation sa isang circuit?
Sa kaso ng mga libreng mekanikal na oscillations, ang gayong dahilan ay natagpuan - ito ay isang panloob na puwersa na lumitaw kapag ang sistema ay tinanggal mula sa balanse. Ang puwersang ito sa anumang sandali ay nakadirekta sa posisyon ng balanse at proporsyonal sa coordinate ng katawan (na may minus sign). Subukan nating maghanap ng katulad na dahilan para sa paglitaw ng mga oscillations sa oscillatory circuit.
Hayaang mag-excite ang mga oscillations sa circuit sa pamamagitan ng pag-charge sa capacitor at pagsasara nito sa coil.
Sa paunang sandali ng oras, ang singil sa kapasitor ay maximum. Dahil dito, ang boltahe at enerhiya ng electric field ng kapasitor ay maximum din.
Walang kasalukuyang sa circuit, ang enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang ay zero.
Unang quarter ng panahon- paglabas ng kapasitor.
Ang mga plato ng kapasitor, na may iba't ibang mga potensyal, ay konektado sa pamamagitan ng isang konduktor, kaya ang kapasitor ay nagsisimulang mag-discharge sa pamamagitan ng coil. Ang singil, ang boltahe sa kapasitor at ang enerhiya ng electric field ay bumababa.
Ang kasalukuyang lumilitaw sa circuit ay tumataas, gayunpaman, ang paglago nito ay pinipigilan ng self-induction EMF na nangyayari sa coil. Ang enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang pagtaas.
Isang quarter na ang lumipas- ang kapasitor ay pinalabas.
Ang kapasitor ay pinalabas, ang boltahe sa kabuuan nito ay naging katumbas ng zero. Ang enerhiya ng electric field sa sandaling ito ay katumbas din ng zero. Ayon sa batas ng konserbasyon ng enerhiya, hindi ito maaaring mawala. Ang enerhiya ng patlang ng kapasitor ay ganap na naging enerhiya ng magnetic field ng coil, na sa sandaling ito ay umabot sa pinakamataas na halaga nito. Ang maximum na kasalukuyang sa circuit.
Mukhang sa sandaling ito ang kasalukuyang sa circuit ay dapat huminto, dahil ang sanhi ng kasalukuyang, ang electric field, ay nawala. Gayunpaman, ang pagkawala ng kasalukuyang ay muling pinipigilan ng EMF ng self-induction sa coil. Ngayon ito ay mapanatili ang isang nagpapababang kasalukuyang, at ito ay patuloy na dumadaloy sa parehong direksyon, singilin ang kapasitor. Magsisimula ang ikalawang quarter ng panahon.
Ikalawang quarter ng panahon
- Recharge ng kapasitor.
Ang kasalukuyang suportado ng self-induction EMF ay patuloy na dumadaloy sa parehong direksyon, unti-unting bumababa. Sinisingil ng kasalukuyang ito ang kapasitor sa kabaligtaran ng polarity. Ang singil at boltahe sa kabuuan ng kapasitor ay tumaas.
Ang enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang, bumababa, ay pumasa sa enerhiya ng electric field ng kapasitor.
Ang ikalawang quarter ng panahon ay lumipas - ang kapasitor ay muling nagkarga.
Ang kapasitor ay nagre-recharge hangga't may kasalukuyang. Samakatuwid, sa sandaling huminto ang kasalukuyang, ang singil at boltahe sa kapasitor ay tumatagal sa isang maximum na halaga.
Ang enerhiya ng magnetic field sa sandaling ito ay ganap na naging enerhiya ng electric field ng kapasitor.
Ang sitwasyon sa circuit sa sandaling ito ay katumbas ng orihinal. Ang mga proseso sa circuit ay uulitin, ngunit sa kabaligtaran ng direksyon. Ang isang kumpletong oscillation sa circuit, na tumatagal ng isang panahon, ay magtatapos kapag ang sistema ay bumalik sa orihinal na estado nito, iyon ay, kapag ang kapasitor ay na-recharged sa orihinal nitong polarity.
Madaling makita na ang sanhi ng mga oscillations sa circuit ay ang phenomenon ng self-induction. Pinipigilan ng EMF ng self-induction ang isang pagbabago sa kasalukuyang: hindi nito pinapayagan itong agad na tumaas at agad na mawala.
Sa pamamagitan ng paraan, hindi magiging labis na ihambing ang mga expression para sa pagkalkula ng quasi-elastic na puwersa sa isang mekanikal na oscillatory system at ang EMF ng self-induction sa circuit:
Noong nakaraan, ang mga differential equation ay nakuha para sa mga mekanikal at elektrikal na oscillatory system:
Sa kabila ng mga pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga pisikal na proseso sa mechanical at electrical oscillatory system, ang mathematical identity ng mga equation na naglalarawan sa mga proseso sa mga system na ito ay malinaw na nakikita. Dapat itong talakayin nang mas detalyado.
§3 Analogy sa pagitan ng electrical at mechanical vibrations
Ang isang maingat na pagsusuri ng mga differential equation para sa isang spring pendulum at isang oscillatory circuit, pati na rin ang mga formula na nauugnay sa mga dami na nagpapakilala sa mga proseso sa mga sistemang ito, ay ginagawang posible upang matukoy kung aling mga dami ang kumikilos sa parehong paraan (Talahanayan 2).
| Spring pendulum | Oscillatory circuit |
| Body coordinate () | Singilin sa kapasitor () |
| bilis ng katawan | Kasalukuyang loop |
| Potensyal na enerhiya ng isang elasticly deformed spring | Kapasitor electric field enerhiya |
| Kinetic energy ng load | Ang enerhiya ng magnetic field ng coil na may kasalukuyang |
| Ang kapalit ng spring stiffness | Kapasidad ng kapasitor |
| Mag-load ng timbang | Coil inductance |
Nababanat na puwersa  | EMF ng self-induction, katumbas ng boltahe sa kapasitor  |
talahanayan 2
Mahalaga hindi lamang isang pormal na pagkakatulad sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa mga proseso ng pendulum oscillation at mga proseso sa circuit. Ang mga proseso mismo ay magkapareho!
Ang mga matinding posisyon ng pendulum ay katumbas ng estado ng circuit kapag ang singil sa kapasitor ay pinakamataas.
Ang posisyon ng equilibrium ng pendulum ay katumbas ng estado ng circuit kapag ang kapasitor ay pinalabas. Sa sandaling ito, ang nababanat na puwersa ay naglalaho, at walang boltahe sa kapasitor sa circuit. Ang bilis ng pendulum at ang kasalukuyang sa circuit ay maximum. Ang potensyal na enerhiya ng nababanat na pagpapapangit ng tagsibol at ang enerhiya ng electric field ng kapasitor ay katumbas ng zero. Ang enerhiya ng system ay binubuo ng kinetic energy ng load o ang enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang.
Ang paglabas ng kapasitor ay nagpapatuloy nang katulad sa paggalaw ng pendulum mula sa matinding posisyon hanggang sa posisyon ng balanse. Ang proseso ng recharging ng kapasitor ay magkapareho sa proseso ng pag-alis ng load mula sa posisyon ng equilibrium hanggang sa matinding posisyon.
Kabuuang enerhiya ng oscillatory system 
o 
nananatiling hindi nagbabago sa paglipas ng panahon.
Ang isang katulad na pagkakatulad ay maaaring masubaybayan hindi lamang sa pagitan ng isang spring pendulum at isang oscillatory circuit. Pangkalahatang mga pattern ng libreng oscillations ng anumang kalikasan! Ang mga pattern na ito, na inilalarawan ng halimbawa ng dalawang oscillatory system (isang spring pendulum at isang oscillatory circuit), ay hindi lamang posible, ngunit dapat makita sa mga vibrations ng anumang sistema.
Sa prinsipyo, posible na malutas ang problema ng anumang proseso ng oscillatory sa pamamagitan ng pagpapalit nito ng mga oscillations ng pendulum. Upang gawin ito, sapat na upang mahusay na bumuo ng isang katumbas na mekanikal na sistema, malutas ang isang mekanikal na problema at baguhin ang mga halaga sa huling resulta. Halimbawa, kailangan mong hanapin ang panahon ng oscillation sa isang circuit na naglalaman ng isang kapasitor at dalawang coils na konektado sa parallel.
Ang oscillatory circuit ay naglalaman ng isang capacitor at dalawang coils. Dahil ang coil ay kumikilos tulad ng bigat ng isang spring pendulum at ang capacitor ay kumikilos tulad ng isang spring, ang katumbas na mekanikal na sistema ay dapat maglaman ng isang spring at dalawang timbang. Ang buong problema ay kung paano nakakabit ang mga timbang sa tagsibol. Dalawang kaso ang posible: ang isang dulo ng tagsibol ay naayos, at ang isang timbang ay nakakabit sa libreng dulo, ang pangalawa ay nasa una, o ang mga timbang ay nakakabit sa magkaibang dulo mga bukal.
Kapag ang mga coils ng iba't ibang mga inductance ay konektado sa parallel, ang mga alon na dumadaloy sa kanila ay iba. Dahil dito, ang mga bilis ng mga pagkarga sa isang magkatulad na mekanikal na sistema ay dapat ding magkaiba. Malinaw, ito ay posible lamang sa pangalawang kaso.
Natagpuan na natin ang panahon ng oscillatory system na ito. Siya ay pantay 
. Ang pagpapalit ng masa ng mga timbang sa pamamagitan ng inductance ng mga coils, at ang kapalit ng spring stiffness ng capacitance ng capacitor, nakuha namin 
.
§4 Oscillatory circuit na may direktang kasalukuyang pinagmumulan
Isaalang-alang ang isang oscillatory circuit na naglalaman ng direktang kasalukuyang pinagmumulan. Hayaang ang kapasitor ay hindi nakakarga sa simula. Ano ang mangyayari sa system pagkatapos isara ang key K? Mapapansin ba ang mga oscillations sa kasong ito at ano ang kanilang dalas at amplitude?
Malinaw, pagkatapos isara ang susi, magsisimulang mag-charge ang kapasitor. Sinusulat namin ang pangalawang batas ni Kirchhoff:
Ang kasalukuyang sa circuit ay ang kasalukuyang singilin ng kapasitor, samakatuwid. Tapos . Ang differential equation ay binago sa anyo
*Lutasin ang equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable.
Tukuyin natin ang . Ibahin ang dalawang beses at, isinasaalang-alang na , nakukuha namin ang . Ang differential equation ay tumatagal ng anyo
Ito ay isang differential equation ng harmonic oscillations, ang solusyon nito ay ang function
kung saan ay ang cyclic frequency, ang integration constants at matatagpuan mula sa mga unang kondisyon.
Ang singil sa isang kapasitor ay nagbabago ayon sa batas
Kaagad pagkatapos na sarado ang switch, ang singil sa kapasitor ay zero at walang kasalukuyang sa circuit. 
. Isinasaalang-alang ang mga paunang kondisyon, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation:
Ang paglutas ng sistema, nakukuha namin at . Matapos isara ang susi, nagbabago ang singil sa kapasitor ayon sa batas.
Madaling makita na ang mga harmonic oscillations ay nangyayari sa circuit. Ang pagkakaroon ng isang direktang kasalukuyang mapagkukunan sa circuit ay hindi nakakaapekto sa dalas ng oscillation, nanatili itong pantay. Ang "posisyon ng balanse" ay nagbago - sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay maximum, ang kapasitor ay sisingilin. Ang amplitude ng charge oscillations sa capacitor ay katumbas ng Cε.
Ang parehong resulta ay maaaring makuha nang mas simple sa pamamagitan ng paggamit ng pagkakatulad sa pagitan ng mga oscillations sa isang circuit at mga oscillations ng isang spring pendulum. Ang pinagmulan ng DC ay katumbas ng DC patlang ng puwersa, kung saan inilalagay ang isang spring pendulum, halimbawa, isang gravitational field. Ang kawalan ng singil sa kapasitor sa sandali ng pagsasara ng circuit ay magkapareho sa kawalan ng pagpapapangit ng tagsibol sa sandali ng pagdadala ng pendulum sa oscillatory motion.
Sa isang pare-parehong field ng puwersa, ang panahon ng oscillation ng isang spring pendulum ay hindi nagbabago. Ang panahon ng oscillation sa circuit ay kumikilos sa parehong paraan - ito ay nananatiling hindi nagbabago kapag ang isang direktang kasalukuyang pinagmulan ay ipinakilala sa circuit.
Sa posisyon ng balanse, kapag ang bilis ng pagkarga ay pinakamataas, ang tagsibol ay deformed:
Kapag ang kasalukuyang sa oscillatory circuit ay maximum 
. Ang pangalawang batas ni Kirchhoff ay nakasulat bilang mga sumusunod
Sa sandaling ito, ang singil sa kapasitor ay katumbas ng Ang parehong resulta ay maaaring makuha batay sa expression (*) sa pamamagitan ng pagpapalit
§5 Mga halimbawa ng paglutas ng problema
Gawain 1 Batas ng konserbasyon ng enerhiya
L\u003d 0.5 μH at isang kapasitor na may kapasidad MULA SA= 20 pF electrical oscillations ang nagaganap. Ano ang pinakamataas na boltahe sa kapasitor kung ang amplitude ng kasalukuyang sa circuit ay 1 mA? Ang aktibong paglaban ng coil ay bale-wala.
Solusyon:
(1)
2 Sa sandaling ang boltahe sa kapasitor ay maximum (maximum na singil sa kapasitor), walang kasalukuyang sa circuit. Ang kabuuang enerhiya ng system ay binubuo lamang ng enerhiya ng electric field ng kapasitor
(2)
3 Sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay maximum, ang kapasitor ay ganap na pinalabas. Ang kabuuang enerhiya ng system ay binubuo lamang ng enerhiya ng magnetic field ng coil
(3)
4 Batay sa mga expression (1), (2), (3), nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 
. Ang maximum na boltahe sa kapasitor ay
Gawain 2 Batas ng konserbasyon ng enerhiya
Sa isang oscillatory circuit na binubuo ng isang inductance coil L at isang kapasitor MULA, nagaganap ang mga electrical oscillations na may period T = 1 μs. Pinakamataas na halaga ng singil 
. Ano ang kasalukuyang nasa circuit sa sandaling ang singil sa kapasitor ay katumbas ng? Ang aktibong paglaban ng coil ay bale-wala.
Solusyon:
1 Dahil ang aktibong paglaban ng coil ay maaaring mapabayaan, ang kabuuang enerhiya ng system, na binubuo ng enerhiya ng electric field ng capacitor at ang enerhiya ng magnetic field ng coil, ay nananatiling hindi nagbabago sa paglipas ng panahon:
(1)
2 Sa sandaling ang singil sa kapasitor ay pinakamataas, walang kasalukuyang sa circuit. Ang kabuuang enerhiya ng system ay binubuo lamang ng enerhiya ng electric field ng kapasitor
(2)
3 Batay sa (1) at (2), nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 
. Ang kasalukuyang nasa circuit ay 
.
4 Ang panahon ng oscillation sa circuit ay tinutukoy ng Thomson formula. Mula rito. Pagkatapos ay para sa kasalukuyang sa circuit na nakuha namin
Gawain 3 Oscillatory circuit na may dalawang capacitor na konektado sa parallel
Sa isang oscillatory circuit na binubuo ng isang inductance coil L at isang kapasitor MULA, nagaganap ang mga electrical oscillations na may amplitude ng singil. Sa sandaling ang singil sa kapasitor ay maximum, ang key K ay sarado. Ano ang magiging panahon ng mga oscillations sa circuit pagkatapos na sarado ang susi? Ano ang amplitude ng kasalukuyang sa circuit pagkatapos isara ang switch? Huwag pansinin ang ohmic resistance ng circuit.
Solusyon:
1 Ang pagsasara ng susi ay humahantong sa hitsura sa circuit ng isa pang kapasitor na konektado sa parallel sa una. Ang kabuuang kapasidad ng dalawang capacitor na konektado sa parallel ay .
Ang panahon ng mga oscillations sa circuit ay nakasalalay lamang sa mga parameter nito at hindi nakasalalay sa kung paano nasasabik ang mga oscillations sa system at kung anong enerhiya ang naibigay sa system para dito. Ayon sa Thomson formula.
2 Upang mahanap ang amplitude ng kasalukuyang, alamin natin kung anong mga proseso ang nangyayari sa circuit pagkatapos isara ang susi.
Ang pangalawang kapasitor ay konektado sa sandaling ang singil sa unang kapasitor ay pinakamataas, samakatuwid, walang kasalukuyang sa circuit.
Ang loop capacitor ay dapat magsimulang mag-discharge. Ang kasalukuyang naglalabas, na nakarating sa node, ay dapat nahahati sa dalawang bahagi. Gayunpaman, sa sangay na may likid, nangyayari ang isang EMF ng self-induction, na pumipigil sa pagtaas ng kasalukuyang paglabas. Para sa kadahilanang ito, ang buong kasalukuyang discharge ay dadaloy sa sangay na may kapasitor, ang ohmic resistance na kung saan ay zero. Ang kasalukuyang ay titigil sa sandaling ang mga boltahe sa mga capacitor ay pantay, habang ang paunang singil ng kapasitor ay muling ipinamamahagi sa pagitan ng dalawang capacitor. Ang oras ng muling pamamahagi ng singil sa pagitan ng dalawang capacitor ay bale-wala dahil sa kawalan ng ohmic resistance sa mga sanga ng kapasitor. Sa panahong ito, ang kasalukuyang sa sangay na may likid ay hindi magkakaroon ng oras upang lumitaw. pagbabagu-bago sa bagong sistema magpatuloy pagkatapos maipamahagi muli ang singil sa pagitan ng mga capacitor.
Mahalagang maunawaan na sa proseso ng muling pamamahagi ng singil sa pagitan ng dalawang capacitor, ang enerhiya ng system ay hindi natipid! Bago isara ang susi, ang isang kapasitor, isang loop capacitor, ay may enerhiya:
Matapos maipamahagi muli ang singil, ang isang baterya ng mga capacitor ay nagtataglay ng enerhiya:
Madaling makita na ang enerhiya ng system ay nabawasan!
3 Nahanap natin ang bagong amplitude ng kasalukuyang gamit ang batas ng konserbasyon ng enerhiya. Sa proseso ng mga oscillations, ang enerhiya ng capacitor bank ay na-convert sa enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang:
Mangyaring tandaan na ang batas ng konserbasyon ng enerhiya ay nagsisimulang "gumana" lamang pagkatapos makumpleto ang muling pamamahagi ng singil sa pagitan ng mga capacitor.
Gawain 4 Oscillatory circuit na may dalawang capacitor na konektado sa serye
Ang oscillatory circuit ay binubuo ng isang coil na may inductance L at dalawang capacitor C at 4C na konektado sa serye. Ang isang kapasitor na may kapasidad na C ay sinisingil sa isang boltahe, ang isang kapasitor na may kapasidad na 4C ay hindi sinisingil. Matapos isara ang susi, magsisimula ang mga oscillation sa circuit. Ano ang panahon ng mga oscillation na ito? Tukuyin ang amplitude ng kasalukuyang, ang maximum at minimum na mga halaga ng boltahe sa bawat kapasitor.
Solusyon:
1 Sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay pinakamataas, walang self-induction EMF sa coil 
. Isinulat namin sa sandaling ito ang pangalawang batas ng Kirchhoff
Nakikita namin na sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay maximum, ang mga capacitor ay sisingilin sa parehong boltahe, ngunit sa kabaligtaran na polarity:
2 Bago isara ang susi, ang kabuuang enerhiya ng system ay binubuo lamang ng enerhiya ng electric field ng capacitor C:
Sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay maximum, ang enerhiya ng system ay ang kabuuan ng enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang at ang enerhiya ng dalawang capacitor na sisingilin sa parehong boltahe:
Ayon sa batas ng konserbasyon ng enerhiya
Upang mahanap ang boltahe sa mga capacitor, ginagamit namin ang batas ng pag-iingat ng singil - ang singil ng mas mababang plato ng kapasitor C ay bahagyang inilipat sa itaas na plato ng kapasitor 4C:
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng boltahe sa batas ng konserbasyon ng enerhiya at hanapin ang amplitude ng kasalukuyang sa circuit:
3 Hanapin natin ang mga limitasyon kung saan nagbabago ang boltahe sa mga capacitor sa panahon ng proseso ng oscillation.
Malinaw na sa sandaling sarado ang circuit, mayroong isang maximum na boltahe sa kapasitor C. Ang Capacitor 4C ay hindi sinisingil, samakatuwid, .
Matapos isara ang switch, ang kapasitor C ay nagsisimulang mag-discharge, at ang isang kapasitor na may kapasidad na 4C ay nagsisimulang mag-charge. Ang proseso ng pag-discharge ng una at pag-charge ng pangalawang capacitor ay nagtatapos sa sandaling huminto ang kasalukuyang sa circuit. Mangyayari ito sa kalahating panahon. Ayon sa mga batas ng konserbasyon ng enerhiya at singil ng kuryente:
Ang paglutas ng system, nakita namin:
.
Ang minus sign ay nangangahulugan na pagkatapos ng kalahating panahon, ang capacitance C ay sisingilin sa reverse polarity ng orihinal.
Gawain 5 Oscillatory circuit na may dalawang coils na konektado sa serye
Ang oscillating circuit ay binubuo ng isang capacitor na may capacitance C at dalawang coils na may inductance L1 at L2. Sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay umabot sa pinakamataas na halaga nito, ang isang iron core ay mabilis na ipinakilala sa unang coil (kumpara sa panahon ng oscillation), na humahantong sa isang pagtaas sa inductance nito sa pamamagitan ng μ beses. Ano ang amplitude ng boltahe sa proseso ng karagdagang mga oscillations sa circuit?
Solusyon:
1 Kapag ang core ay mabilis na ipinasok sa coil, ang magnetic flux ay dapat mapanatili (ang phenomenon electromagnetic induction). Samakatuwid, ang isang mabilis na pagbabago sa inductance ng isa sa mga coils ay hahantong sa mabilis na pagbabago kasalukuyang nasa circuit.
2 Sa panahon ng pagpapakilala ng core sa coil, ang singil sa kapasitor ay walang oras upang baguhin, ito ay nanatiling hindi nakakarga (ang core ay ipinakilala sa sandaling ang kasalukuyang sa circuit ay maximum). Pagkatapos ng isang-kapat ng panahon, ang enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang ay magiging enerhiya ng isang sisingilin na kapasitor:
Palitan sa resultang expression ang halaga ng kasalukuyang ako at hanapin ang amplitude ng boltahe sa kapasitor:
Gawain 6 Oscillatory circuit na may dalawang coils na konektado sa parallel
Ang mga inductors L 1 at L 2 ay konektado sa pamamagitan ng mga key K1 at K2 sa isang kapasitor na may kapasidad C. Sa paunang sandali, ang parehong mga susi ay bukas, at ang kapasitor ay sinisingil sa isang potensyal na pagkakaiba. Una, ang key K1 ay sarado at, kapag ang boltahe sa kabuuan ng kapasitor ay naging katumbas ng zero, ang K2 ay sarado. Tukuyin ang pinakamataas na boltahe sa kapasitor pagkatapos isara ang K2. Huwag pansinin ang mga resistensya ng coil.
Solusyon:
1 Kapag ang key K2 ay bukas, ang mga oscillations ay nangyayari sa circuit na binubuo ng capacitor at ang unang coil. Sa oras na sarado ang K2, ang enerhiya ng kapasitor ay inilipat sa enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang sa unang coil:
2 Pagkatapos isara ang K2, dalawang coils na konektado sa parallel ang lalabas sa oscillatory circuit.
Ang kasalukuyang sa unang coil ay hindi maaaring tumigil dahil sa hindi pangkaraniwang bagay ng self-induction. Sa node, nahahati ito: isang bahagi ng kasalukuyang napupunta sa pangalawang coil, at ang iba pang bahagi ay sinisingil ang kapasitor.
3 Ang boltahe sa kapasitor ay magiging pinakamataas kapag huminto ang kasalukuyang ako singilin ang kapasitor. Ito ay malinaw na sa sandaling ito ang mga alon sa mga coils ay magiging pantay.
:Ang pendulum ay umuusad nang may bilis ng sentro ng masa 
at oscillates tungkol sa sentro ng masa.
Ang nababanat na puwersa ay pinakamataas sa sandali ng maximum na pagpapapangit ng tagsibol. Malinaw, sa sandaling ito, ang kamag-anak na bilis ng mga timbang ay nagiging katumbas ng zero, at nauugnay sa talahanayan, ang mga timbang ay gumagalaw sa bilis ng sentro ng masa. Isinulat namin ang batas ng konserbasyon ng enerhiya:
Ang paglutas ng sistema, nahanap namin
Gumagawa kami ng kapalit
at makuha namin ang dating nahanap na halaga para sa pinakamataas na boltahe 
§6 Mga gawain para sa independiyenteng solusyon
Pagsasanay 1 Pagkalkula ng panahon at dalas ng mga natural na oscillation
1 Ang oscillatory circuit ay may kasamang coil ng variable inductance, na nag-iiba sa loob L1= 0.5 µH hanggang L2\u003d 10 μH, at isang kapasitor, ang kapasidad nito ay maaaring mag-iba mula sa Mula sa 1= 10 pF hanggang
Mula 2\u003d 500 pF. Anong saklaw ng dalas ang maaaring saklawin sa pamamagitan ng pag-tune ng circuit na ito?
2 Gaano karaming beses magbabago ang dalas ng mga natural na oscillations sa circuit kung ang inductance nito ay nadagdagan ng 10 beses, at ang kapasidad ay nabawasan ng 2.5 beses?
3 Ang isang oscillatory circuit na may 1 uF capacitor ay nakatutok sa dalas na 400 Hz. Kung ikinonekta mo ang isang pangalawang kapasitor na kahanay dito, kung gayon ang dalas ng oscillation sa circuit ay magiging katumbas ng 200 Hz. Tukuyin ang kapasidad ng pangalawang kapasitor.
4 Ang oscillatory circuit ay binubuo ng isang coil at isang kapasitor. Ilang beses magbabago ang dalas ng mga natural na oscillations sa circuit kung ang pangalawang kapasitor ay konektado sa serye sa circuit, ang kapasidad nito ay 3 beses na mas mababa kaysa sa kapasidad ng una?
5 Tukuyin ang oscillation period ng circuit, na kinabibilangan ng coil (walang core) ng haba sa= 50 cm m cross-sectional na lugar
S\u003d 3 cm 2, pagkakaroon N\u003d 1000 pagliko, at isang capacitance capacitor MULA SA= 0.5 uF.
6 Ang oscillatory circuit ay may kasamang inductor L\u003d 1.0 μH at isang air capacitor, ang mga lugar ng mga plato kung saan S\u003d 100 cm 2. Ang circuit ay nakatutok sa dalas ng 30 MHz. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga plato. Ang aktibong paglaban ng circuit ay bale-wala.
I-charge ang capacitor mula sa baterya at ikonekta ito sa coil. Sa circuit na aming nilikha, sila ay magsisimula kaagad electromagnetic oscillations(Larawan 46). Ang discharge current ng capacitor, na dumadaan sa coil, ay lumilikha ng magnetic fraction sa paligid nito. Nangangahulugan ito na sa panahon ng paglabas ng isang kapasitor, ang enerhiya ng electric field nito ay na-convert sa enerhiya ng magnetic field ng coil, tulad ng kapag ang isang pendulum o isang string ay nag-vibrate, ang potensyal na enerhiya ay na-convert sa kinetic energy.
Habang naglalabas ang kapasitor, bumababa ang boltahe sa mga plato nito, at ang kasalukuyang sa circuit ay tumataas, at sa oras na ang kapasitor ay ganap na pinalabas, ang kasalukuyang ay magiging maximum (kasalukuyang amplitude). Ngunit kahit na matapos ang paglabas ng kapasitor, ang kasalukuyang ay hindi titigil - ang pagbaba ng magnetic field ng coil ay susuportahan ang paggalaw ng mga singil, at muli silang magsisimulang maipon sa mga capacitor plate. Sa kasong ito, ang kasalukuyang sa circuit ay bumababa, at ang boltahe sa kabuuan ng kapasitor ay tumataas. Ang prosesong ito ng reverse transition ng enerhiya ng magnetic field ng coil sa enerhiya ng electric field ng capacitor ay medyo nakapagpapaalaala sa kung ano ang mangyayari kapag ang pendulum, na nilaktawan ang gitnang punto, ay tumaas.
Sa oras na ang kasalukuyang sa circuit ay huminto at ang magnetic field ng coil ay nawala, ang kapasitor ay sisingilin sa maximum (amplitude) na boltahe ng reverse polarity. Ang ibig sabihin ng huli ay sa plato kung saan dati ay may mga positibong singil, magkakaroon na ngayon ng mga negatibo, at kabaliktaran. Samakatuwid, kapag ang paglabas ng kapasitor ay nagsimula muli (at ito ay mangyayari kaagad pagkatapos na ito ay ganap na sisingilin), pagkatapos ay ang reverse current ay dadaloy sa circuit.
Ang pana-panahong paulit-ulit na pagpapalitan ng enerhiya sa pagitan ng capacitor at coil ay ang electromagnetic oscillation sa circuit. Sa proseso ng mga oscillations na ito, ang isang alternating current ay dumadaloy sa circuit (iyon ay, hindi lamang ang magnitude, kundi pati na rin ang direksyon ng kasalukuyang mga pagbabago), at ang isang alternating boltahe ay kumikilos sa kapasitor (iyon ay, hindi lamang ang magnitude ng nagbabago ang boltahe, ngunit din ang polarity ng mga singil na naipon sa mga plato). Ang isa sa mga direksyon ng kasalukuyang boltahe ay may kondisyong tinatawag na positibo, at ang kabaligtaran na direksyon ay negatibo.
Sa pamamagitan ng pagmamasid sa mga pagbabago sa boltahe o kasalukuyang, maaari mong i-plot ang mga electromagnetic oscillations sa circuit (Fig. 46), tulad ng pag-plot namin ng mechanical oscillations ng pendulum (). Sa graph, ang mga halaga ng positibong kasalukuyang o boltahe ay naka-plot sa itaas ng pahalang na axis, at negatibo - sa ibaba ng axis na ito. Ang kalahati ng panahon na ang kasalukuyang dumadaloy sa positibong direksyon ay madalas na tinatawag na positibong kalahating siklo ng kasalukuyang, at ang kalahati ay ang negatibong kalahating siklo ng kasalukuyang. Maaari din nating pag-usapan ang positibo at negatibong boltahe ng kalahating siklo.
Gusto kong bigyang-diin muli na ginagamit natin ang mga salitang "positibo" at "negatibo" na medyo may kondisyon, para lamang makilala ang dalawang magkasalungat na direksyon ng kasalukuyang.
Ang mga electromagnetic oscillations, na ating nakilala, ay tinatawag na libre o natural na oscillations. Nagaganap ang mga ito sa tuwing naglilipat kami ng isang tiyak na halaga ng enerhiya sa circuit, at pagkatapos ay pinapayagan ang kapasitor at ang coil na malayang palitan ang enerhiya na ito. Ang dalas ng mga libreng oscillations (iyon ay, ang dalas ng alternating boltahe at kasalukuyang sa circuit) ay depende sa kung gaano kabilis ang capacitor at coil ay maaaring mag-imbak at maglabas ng enerhiya. Ito naman, ay nakasalalay sa inductance Lk at capacitance Ck ng circuit, kung paanong ang dalas ng isang string ay nakasalalay sa masa at pagkalastiko nito. Kung mas malaki ang inductance L ng coil, mas mahaba ang kinakailangan upang lumikha ng isang magnetic field sa loob nito, at mas mahaba ang magnetic field na ito ay maaaring mapanatili ang kasalukuyang sa circuit. Kung mas malaki ang capacitance C ng capacitor, mas matagal itong idi-discharge at mas matagal bago mag-recharge ang capacitor na ito. Kaya, mas maraming Lk at C sa circuit, mas mabagal ang mga electromagnetic oscillations na nangyayari sa loob nito, mas mababa ang kanilang dalas. Ang pag-asa ng dalas f tungkol sa mga libreng oscillations mula L hanggang at C hanggang sa circuit ay ipinahayag ng isang simpleng formula, na isa sa mga pangunahing formula ng radio engineering:
Ang kahulugan ng formula na ito ay napaka-simple: upang madagdagan ang dalas ng mga natural na oscillations f 0, ito ay kinakailangan upang bawasan ang inductance L sa o ang kapasidad C sa circuit; upang mabawasan ang f 0, ang inductance at capacitance ay dapat tumaas (Fig. 47).
Mula sa formula para sa dalas, ang isa ay madaling makuha (nagawa na natin ito gamit ang formula ng batas ng Ohm) mga formula ng pagkalkula para sa pagtukoy ng isa sa mga parameter ng circuit L k o C k sa isang naibigay na frequency f0 at isang kilalang pangalawang parameter . Ang mga formula na maginhawa para sa mga praktikal na kalkulasyon ay ibinibigay sa mga sheet 73, 74 at 75.
Libreng electromagnetic oscillations ito ay isang pana-panahong pagbabago sa singil sa kapasitor, ang kasalukuyang sa likid, pati na rin ang mga electric at magnetic field sa oscillatory circuit, na nagaganap sa ilalim ng pagkilos ng mga panloob na pwersa.
Patuloy na electromagnetic oscillations
Ginagamit upang pukawin ang mga electromagnetic oscillations oscillatory circuit , na binubuo ng isang inductor L na konektado sa serye at isang kapasitor na may kapasidad C (Larawan 17.1).
Isaalang-alang ang isang perpektong circuit, ibig sabihin, isang circuit na ang ohmic resistance ay zero (R=0). Upang pukawin ang mga oscillations sa circuit na ito, kinakailangan upang ipaalam ang mga capacitor plate ng isang tiyak na singil, o upang pukawin ang isang kasalukuyang sa inductor. Hayaang ma-charge ang kapasitor sa unang sandali ng oras sa isang potensyal na pagkakaiba U (Fig. (Larawan 17.2, a); samakatuwid, mayroon itong potensyal na enerhiya 
.Sa puntong ito sa oras, ang kasalukuyang sa coil I \u003d 0 .
Ang estadong ito ng oscillatory circuit ay katulad ng estado ng isang mathematical pendulum na pinalihis ng isang anggulo α (Larawan 17.3, a). Sa oras na ito, ang kasalukuyang sa coil I=0. Matapos ikonekta ang sisingilin na kapasitor sa coil, sa ilalim ng pagkilos ng electric field na nilikha ng mga singil sa kapasitor, ang mga libreng electron sa circuit ay magsisimulang lumipat mula sa negatibong sisingilin na capacitor plate patungo sa positibong sisingilin. Ang kapasitor ay magsisimulang mag-discharge, at isang pagtaas ng kasalukuyang lilitaw sa circuit. Ang alternating magnetic field ng kasalukuyang ito ay bubuo ng vortex electric field. Ang electric field na ito ay ididirekta sa tapat ng kasalukuyang at samakatuwid ay hindi ito papayagan na agad itong maabot ang pinakamataas na halaga nito. Ang kasalukuyang ay tataas nang paunti-unti. Kapag ang puwersa sa circuit ay umabot sa maximum nito, ang singil sa kapasitor at ang boltahe sa pagitan ng mga plato ay zero. Mangyayari ito sa isang-kapat ng panahon t = π/4. Kasabay nito, ang enerhiya 
ang electric field ay napupunta sa enerhiya ng magnetic field W e =1/2C U 2 0 . Sa sandaling ito, sa positibong sisingilin na plato ng kapasitor magkakaroon ng napakaraming mga electron na dumaan dito na ang kanilang negatibong singil ay ganap na neutralisahin ang positibong singil ng mga ion na naroroon. Ang kasalukuyang sa circuit ay magsisimulang bumaba at ang induction ng magnetic field na nilikha nito ay magsisimulang bumaba. Ang nagbabagong magnetic field ay muling bubuo ng vortex electric field, na sa pagkakataong ito ay ididirekta sa parehong direksyon tulad ng kasalukuyang. Ang kasalukuyang sinusuportahan ng patlang na ito ay pupunta sa parehong direksyon at unti-unting muling magkarga ng kapasitor. Gayunpaman, habang ang singil ay naipon sa kapasitor, ang sarili nitong electric field ay lalong magpapabagal sa paggalaw ng mga electron, at ang kasalukuyang nasa circuit ay magiging mas mababa at mas mababa. Kapag ang kasalukuyang ay bumaba sa zero, ang kapasitor ay ganap na mai-recharge.
Ang mga estado ng system na inilalarawan sa fig. 17.2 at 17.3 tumutugma sa sunud-sunod na mga punto sa oras T
= 0;
;
;
at T.
Ang self-induction emf na nangyayari sa circuit ay katumbas ng boltahe sa mga capacitor plate: ε = U
at 
Ipagpalagay 
, nakukuha namin
(17.1)
Ang formula (17.1) ay katulad ng differential equation ng harmonic oscillations na isinasaalang-alang sa mechanics; magiging desisyon niya
q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17.2)
kung saan ang q max ay ang pinakamalaking (paunang) singil sa mga capacitor plate, ω 0 ay ang pabilog na dalas ng natural na mga oscillations ng circuit, φ 0 ay ang paunang yugto.
Ayon sa tinanggap na notasyon, 
saan
(17.3)
Expression (17.3) ay tinatawag Formula ni Thomson at ipinapakita na sa R=0, ang panahon ng mga electromagnetic oscillations na nangyayari sa circuit ay tinutukoy lamang ng mga halaga ng inductance L at capacitance C.
Ayon sa harmonic law, hindi lamang ang singil sa mga capacitor plate ay nagbabago, kundi pati na rin ang boltahe at kasalukuyang sa circuit:
kung saan ang U m at I m ay boltahe at kasalukuyang amplitude.
Mula sa mga expression (17.2), (17.4), (17.5) sumusunod na ang singil (boltahe) at kasalukuyang pagbabagu-bago sa circuit ay phase-shifted ng π/2. Dahil dito, ang kasalukuyang umabot sa pinakamataas na halaga nito sa mga sandaling iyon kapag ang singil (boltahe) sa mga plato ng kapasitor ay zero, at kabaliktaran.
Kapag sinisingil ang isang kapasitor, lumilitaw ang isang electric field sa pagitan ng mga plato nito, kung saan ang enerhiya ay
o 
Kapag ang isang kapasitor ay pinalabas sa isang inductor, isang magnetic field ang lumitaw dito, ang enerhiya na kung saan ay
Sa isang perpektong circuit, ang maximum na enerhiya ng electric field ay katumbas ng maximum na enerhiya ng magnetic field:
Ang enerhiya ng isang sisingilin na kapasitor ay pana-panahong nagbabago sa oras ayon sa batas
o 
Kung ganoon 
, nakukuha namin
Ang enerhiya ng magnetic field ng solenoid ay nag-iiba sa oras ayon sa batas
(17.6)
Isinasaalang-alang na ako m =q m ω 0 , nakuha namin
(17.7)
Ang kabuuang enerhiya ng electromagnetic field ng oscillatory circuit ay katumbas ng
W \u003d W e + W m \u003d (17.8)
Sa isang perpektong circuit, ang kabuuang enerhiya ay natipid, ang mga electromagnetic oscillations ay hindi nababalot.
Damped electromagnetic oscillations
Ang isang tunay na oscillatory circuit ay may ohmic resistance, kaya ang mga oscillations sa loob nito ay damped. Tulad ng inilapat sa circuit na ito, ang batas ng Ohm para sa kumpletong circuit ay maaaring isulat sa form
(17.9)
Pagbabago sa pagkakapantay-pantay na ito:
at ginagawa ang pagpapalit:
at 
, kung saan ang β ay ang attenuation coefficient, nakukuha natin
(17.10) ay differential equation ng damped electromagnetic oscillations
.
Ang proseso ng mga libreng oscillations sa naturang circuit ay hindi na sumusunod sa harmonic law. Para sa bawat panahon ng oscillation, bahagi ng electromagnetic energy na nakaimbak sa circuit ay na-convert sa Joule heat, at ang mga oscillations ay nagiging kumukupas(Larawan 17.5). Sa mababang pamamasa ω ≈ ω 0 , ang solusyon ng differential equation ay magiging equation ng form
(17.11)
Ang mga damped vibrations sa isang electric circuit ay katulad ng damped mechanical vibrations ng isang load sa isang spring sa pagkakaroon ng viscous friction.
Ang logarithmic damping decrement ay katumbas ng
(17.12)
agwat ng oras 
kung saan ang oscillation amplitude ay bumababa ng isang factor ng e ≈ 2.7 ay tinatawag oras ng pagkabulok
.
Quality factor Q ng oscillatory system ay tinutukoy ng formula:
(17.13)
Para sa isang RLC circuit, ang quality factor Q ay ipinahayag ng formula
(17.14)
Ang kalidad na kadahilanan ng mga de-koryenteng circuit na ginagamit sa radio engineering ay karaniwang nasa pagkakasunud-sunod ng ilang sampu o kahit daan-daan.
1. Oscillatory circuit.
2 Oscillating circuit equation
3. Libreng vibrations sa circuit
4. Libreng damped oscillations sa circuit
5. Sapilitang electrical oscillations.
6. Resonance sa isang serye ng circuit
7. Resonance sa isang parallel circuit
8. Alternating current
1.5.1. Oscillatory circuit.
Alamin natin kung paano umusbong ang mga electrical oscillations at pinananatili sa oscillatory circuit.
Hayaan muna ang tuktok na plato ng kapasitor ay positibong sisingilin ,at ang ilalim ay negatibo(Larawan 11.1, a).
Sa kasong ito, ang lahat ng enerhiya ng oscillatory circuit ay puro sa kapasitor.
I-lock natin ang susi SA.. Ang kapasitor ay magsisimulang mag-discharge, at sa pamamagitan ng coil L agos ang agos. Ang elektrikal na enerhiya ng capacitor ay magsisimulang maging magnetic energy ng coil. Ang prosesong ito ay magtatapos kapag ang kapasitor ay ganap na na-discharge, at ang kasalukuyang nasa circuit ay umabot sa maximum (Larawan 11.1, b).
Mula sa puntong ito, ang kasalukuyang, nang hindi nagbabago ng direksyon, ay magsisimulang bumaba. Gayunpaman, hindi ito agad titigil - ito ay susuportahan ng e. d.s. pagtatalaga sa sarili. Ang kasalukuyang ay muling magkarga ng kapasitor, isang electric field ay lilitaw, na naghahanap upang pahinain ang kasalukuyang. Sa wakas, ang kasalukuyang ay titigil at ang singil sa kapasitor ay maaabot ang pinakamataas nito.
Mula sa sandaling ito, ang kapasitor ay magsisimulang mag-discharge muli, ang kasalukuyang ay dadaloy sa kabaligtaran na direksyon, atbp. - ang proseso ay mauulit.
sa tabas sa kawalan ng pagtutol gagawin ang mga konduktor mahigpit na pana-panahong mga oscillation. Sa panahon ng proseso, ang mga sumusunod ay pana-panahong nagbabago: ang singil sa mga capacitor plate, ang boltahe sa kabuuan nito at ang kasalukuyang sa pamamagitan ng coil.
Ang mga oscillations ay sinamahan ng mutual transformations ng enerhiya ng electric at magnetic field.
Kung ang paglaban ng mga konduktor 
, pagkatapos bilang karagdagan sa inilarawan na proseso, ang electromagnetic energy ay mako-convert sa init ng Joule.
Ang resistensya ng konduktor ng circuitR tinawagaktibong paglaban.
1.5.2. Oscillatory circuit equation
Hanapin natin ang equation ng oscillations sa isang circuit na naglalaman ng series-connected capacitor MULA, inductor L,
aktibong paglaban R
at panlabas na baryabol e. d.s. 
(Larawan 1.5.1).
Pumili tayo positibong direksyon ng traversal ng contour, halimbawa clockwise.
Magpakilala sa pamamagitan ng q ang singil ng plate na iyon ng capacitor, ang direksyon kung saan papunta sa kabilang plate ay tumutugma sa napiling positibong direksyon ng circuit bypass.
Pagkatapos ang kasalukuyang sa circuit ay tinukoy bilang 
(1)
Samakatuwid, kung ako > Oh pagkatapos at dq > 0, at kabaliktaran (sign ako tumutugma sa tanda dq).
Ayon sa batas ng Ohm para sa isang seksyon ng chain 1 RL2
.
(2),
saan 
- e. d.s. pagtatalaga sa sarili.
Sa kaso natin 
(tanda q
dapat tumugma sa tanda ng pagkakaiba 
, dahil C > 0).
Samakatuwid, ang equation (2) ay maaaring muling isulat bilang 
o isinasaalang-alang ang (1) bilang 
Iyon na iyon oscillatory circuit equation
- linear differential non-homogeneous equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient. Paghahanap gamit ang equation na ito q(t),
madali nating makalkula ang boltahe sa kapasitor 
at kasalukuyang lakas I- ayon sa formula (1).
Ang oscillatory circuit equation ay maaaring bigyan ng ibang anyo:
(5)
kung saan ang notasyon
.
(6)
ang halaga 
- tinawag natural na dalas tabas,
β - kadahilanan ng pagpapalambing.
Kung ξ = 0, kung gayon ang mga oscillation ay tinatawag libre.
- Sa R = Oh gagawin nila walang basa,
- sa R ≠0 - basa.
Isaalang-alang ang sumusunod na oscillatory circuit. Ipinapalagay namin na ang paglaban nito R ay napakaliit na maaari itong mapabayaan.
Ang kabuuang electromagnetic energy ng oscillatory circuit sa anumang oras ay magiging katumbas ng kabuuan ng enerhiya ng kapasitor at ang enerhiya ng magnetic field ng kasalukuyang. Ang sumusunod na formula ay gagamitin upang kalkulahin ito:
W = L*i^2/2 + q^2/(2*C).
Ang kabuuang electromagnetic na enerhiya ay hindi magbabago sa paglipas ng panahon, dahil walang pagkawala ng enerhiya sa pamamagitan ng paglaban. Bagama't magbabago ang mga bahagi nito, palaging magdaragdag sila ng hanggang sa parehong bilang. Ibinigay ito ng batas ng konserbasyon ng enerhiya.
Mula dito posible na makakuha ng mga equation na naglalarawan ng mga libreng oscillations sa isang electrical oscillatory circuit. Ang equation ay magiging ganito:
q"' = -(1/(L*C))*q.
Ang parehong equation, hanggang sa notasyon, ay nakuha kapag naglalarawan ng mekanikal na vibrations. Dahil sa pagkakatulad sa pagitan ng mga ganitong uri ng oscillations, maaari nating isulat ang isang formula na naglalarawan ng mga electromagnetic oscillations.
Dalas at panahon ng mga electromagnetic oscillations
Ngunit una, harapin natin ang dalas at panahon ng mga electromagnetic oscillations. Ang halaga ng dalas ng mga natural na vibrations ay maaaring makuha muli mula sa isang pagkakatulad sa mekanikal na vibrations. Ang koepisyent k/m ay magiging katumbas ng parisukat ng natural na dalas.
Samakatuwid, sa aming kaso, ang parisukat mga frequency ang mga libreng vibrations ay magiging katumbas ng 1/(L*C)
ω0 = 1/√(L*C).
Mula rito panahon libreng vibrations:
T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(L*C).
Ang formula na ito ay tinatawag na Mga formula ni Thompson. Ito ay sumusunod mula dito na ang panahon ng oscillation ay tumataas na may pagtaas sa kapasidad ng kapasitor o ang inductance ng coil. Ang mga konklusyon na ito ay lohikal, dahil sa pagtaas ng kapasidad, ang oras na ginugol sa pagsingil ng kapasitor ay tumataas, at sa pagtaas ng inductance, ang kasalukuyang sa circuit ay tataas nang mas mabagal, dahil sa self-induction.
Charge fluctuation equation Ang kapasitor ay inilarawan ng sumusunod na formula:
q = qm*cos(ω0*t), kung saan ang qm ay ang amplitude ng capacitor charge oscillations.
Ang kasalukuyang lakas sa oscillatory circuit circuit ay gagawa din ng mga harmonic oscillations:
I = q'= Im*cos(ω0*t+pi/2).
Narito ako ay ang amplitude ng kasalukuyang mga oscillations. Tandaan na sa pagitan ng mga pagbabagu-bago ng singil at ang kasalukuyang lakas ay may pagkakaiba sa mga vase na katumbas ng pi / 2.
Ipinapakita ng figure sa ibaba ang mga graph ng mga pagbabagong ito.
Muli, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga mekanikal na panginginig ng boses, kung saan ang mga pagbabago sa bilis ng isang katawan ay nauuna sa pamamagitan ng pi / 2 ng mga pagbabago sa mga coordinate ng katawan na ito.
Sa totoong mga kondisyon, imposibleng pabayaan ang paglaban ng oscillatory circuit, at samakatuwid ang mga oscillations ay mada-damed.
Sa isang napakalaking resistensya R, ang mga oscillation ay maaaring hindi magsimula sa lahat. Sa kasong ito, ang enerhiya ng kapasitor ay inilabas sa anyo ng init sa paglaban.