Ang mga parallel na linya ng teorama ay pinutol ang pantay na mga segment. Teorama ni Thales. Gitnang linya ng tatsulok

Paksa ng aralin

Mga Layunin ng Aralin

• Kilalanin ang mga bagong kahulugan at alalahanin ang ilang napag-aralan na.
• Bumalangkas at patunayan ang mga katangian ng isang parisukat, patunayan ang mga katangian nito.
• Matutong ilapat ang mga katangian ng mga hugis sa paglutas ng mga problema.
• Pagbuo - upang paunlarin ang atensyon, tiyaga, tiyaga, lohikal na pag-iisip, pagsasalita sa matematika ng mga mag-aaral.
• Pang-edukasyon - sa pamamagitan ng isang aralin, upang linangin ang isang matulungin na saloobin sa bawat isa, upang makintal ang kakayahang makinig sa mga kasama, tulong sa isa't isa, kalayaan.

Mga layunin ng aralin

• Suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema.

Lesson plan

1. Sanggunian sa kasaysayan.
2. Thales bilang isang mathematician at ang kanyang mga gawa.
3. Magandang tandaan.

Sanggunian sa kasaysayan

• Ginagamit pa rin ang theorem ni Thales sa maritime navigation bilang panuntunan na ang banggaan ng mga barko na lumilipat mula pare-pareho ang bilis, ay hindi maiiwasan kung mapapanatili ang takbo ng mga barko patungo sa isa't isa.

• Sa labas ng panitikan sa wikang Ruso, ang Thales theorem ay kung minsan ay tinatawag na isa pang theorem ng planimetry, ibig sabihin, ang pahayag na ang isang nakasulat na anggulo batay sa diameter ng isang bilog ay isang tama. Ang pagtuklas ng teorama na ito ay talagang iniuugnay kay Thales, bilang ebidensya ng Proclus.

• Naunawaan ni Thales ang mga pangunahing kaalaman sa geometry sa Egypt.

Mga pagtuklas at merito ng may-akda nito

Alam mo ba na si Thales ng Miletus ay isa sa pitong pinakatanyag na pantas ng Greece noong panahong iyon. Itinatag niya ang paaralang Ionian. Ang ideya na itinaguyod ni Thales sa paaralang ito ay ang pagkakaisa ng lahat ng bagay. Naniniwala ang pantas na mayroong isang pinagmumulan kung saan nagmula ang lahat ng bagay.

Ang dakilang merito ng Thales ng Miletus ay ang paglikha ng siyentipikong geometry. Ang mahusay na pagtuturong ito ay nakalikha ng deductive geometry mula sa Egyptian art of measurement, na ang batayan ay karaniwang batayan.

Bilang karagdagan sa kanyang malawak na kaalaman sa geometry, si Thales ay bihasa rin sa astronomiya. Si Em ang unang naghula ng kabuuang eclipse ng Araw. Ngunit hindi ito nangyari sa modernong mundo, at noong 585, bago pa man ang ating panahon.

Si Thales ng Miletus ay ang taong napagtanto na ang hilaga ay maaaring tumpak na matukoy ng konstelasyon na Ursa Minor. Ngunit hindi rin siya iyon. pinakabagong natuklasan, dahil nagawa niyang tumpak na matukoy ang haba ng taon, hatiin ito sa tatlong daan at animnapu't limang araw, at itinakda din ang oras ng mga equinox.

Thales ay sa katunayan comprehensively binuo at matalinong tao. Bilang karagdagan sa pagiging sikat bilang isang mahusay na mathematician, physicist, at astronomer, siya rin, bilang isang tunay na meteorologist, ay lubos na nahuhulaan ang pag-aani ng oliba.

Ngunit ang pinaka-kapansin-pansin na bagay ay hindi nilimitahan ni Thales ang kanyang kaalaman lamang sa larangang pang-agham at teoretikal, ngunit palaging sinusubukang pagsamahin ang ebidensya ng kanyang mga teorya sa praktika. At ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay ang dakilang sage ay hindi tumutok sa anumang lugar ng kanyang kaalaman, ang kanyang interes ay may iba't ibang direksyon.

Ang pangalan ng Thales ay naging isang sambahayan na pangalan para sa pantas kahit na noon. Ang kanyang kahalagahan at kahalagahan para sa Greece ay kasing-dakila ng pangalan ng Lomonosov para sa Russia. Siyempre, ang kanyang karunungan ay maaaring bigyang-kahulugan sa iba't ibang paraan. Ngunit tiyak na masasabi natin na siya ay nailalarawan sa pamamagitan ng parehong katalinuhan, at praktikal na talino sa paglikha, at, sa ilang mga lawak, detatsment.

Si Thales ng Miletus ay isang mahusay na matematiko, pilosopo, astronomo, mahilig maglakbay, ay isang mangangalakal at negosyante, ay nakikibahagi sa kalakalan, at isa ring mahusay na inhinyero, diplomat, tagakita at aktibong lumahok sa buhay pampulitika.

Nagawa pa niyang matukoy ang taas ng pyramid sa tulong ng isang staff at isang anino. At naging ganoon. Isang magandang maaraw na araw, inilagay ni Thales ang kanyang mga tauhan sa hangganan kung saan natapos ang anino ng pyramid. Pagkatapos ay naghintay siya hanggang sa ang haba ng anino ng kanyang tungkod ay katumbas ng kanyang taas, at sinukat ang haba ng anino ng pyramid. Kaya, tila natukoy lamang ni Thales ang taas ng pyramid at pinatunayan na ang haba ng isang anino ay nauugnay sa haba ng isa pang anino, tulad ng taas ng pyramid ay nauugnay sa taas ng staff. Sinaktan nito ang pharaoh Amasis mismo.

Salamat kay Thales, ang lahat ng kaalaman na kilala sa oras na iyon ay inilipat sa larangan ng siyentipikong interes. Nagawa niyang dalhin ang mga resulta sa isang antas na angkop para sa pang-agham na pagkonsumo, na nagha-highlight ng isang tiyak na hanay ng mga konsepto. At marahil sa tulong ni Thales, nagsimula ang kasunod na pag-unlad ng sinaunang pilosopiya.

Ang theorem ni Thales ay gumaganap ng isa mahahalagang tungkulin sa matematika. Nakilala siya hindi lamang sa Sinaunang Ehipto at Babylon, ngunit gayundin sa ibang mga bansa at naging batayan para sa pag-unlad ng matematika. Oo at sa Araw-araw na buhay, sa panahon ng pagtatayo ng mga gusali, istruktura, kalsada, atbp., hindi magagawa ng isa kung wala ang Thales theorem.

Theorem ni Thales sa kultura

Ang teorama ni Thales ay naging tanyag hindi lamang sa matematika, ngunit ipinakilala rin ito sa kultura. Minsan, ang grupong musikal ng Argentina na Les Luthiers (Espanyol) ay nagpakita ng isang kanta sa madla, na kanilang inialay sa isang kilalang teorama. Ang mga miyembro ng Les Luthiers ay nagbigay ng patunay para sa direktang teorama para sa mga proporsyonal na segment sa kanilang video clip lalo na para sa kantang ito.

Mga tanong

1. Anong mga linya ang tinatawag na parallel?
2. Saan inilapat ang Thales theorem sa pagsasanay?
3. Tungkol saan ang Thales theorem?

Listahan ng mga mapagkukunang ginamit

1. Encyclopedia para sa mga bata. T.11. Mathematics / Editor-in-Chief M.D. Aksenova.-m.: Avanta +, 2001.
2. “Pinag-isang pagsusulit ng estado 2006. Mathematics. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda ng mga mag-aaral / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometry, 7 - 9: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon"

Subjects > Mathematics > Mathematics Grade 8

Walang mga paghihigpit sa mutual arrangement ng mga secants sa theorem (ito ay totoo kapwa para sa mga intersecting na linya at para sa mga parallel). Hindi rin mahalaga kung nasaan ang mga segment ng linya sa mga secant.

Patunay sa kaso ng mga parallel na linya

Gumuhit tayo ng linya BC. Ang mga anggulong ABC at BCD ay katumbas ng mga panloob na krus na nakahiga sa ilalim ng magkatulad na mga linya AB at CD at secant BC, at ang mga anggulo ng ACB at CBD ay pantay-pantay bilang panloob na mga krus na nakahiga sa ilalim ng parallel na linya AC at BD at secant BC. Pagkatapos, ayon sa pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, ang mga tatsulok na ABC at DCB ay magkapareho. Ito ay nagpapahiwatig na ang AC = BD at AB = CD. ■

Umiiral din proporsyonal na teorama ng segment:

Ang mga parallel na linya ay pumutol ng mga proporsyonal na segment sa mga secant: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Ang Thales theorem ay isang espesyal na kaso ng proportional segment theorem, dahil ang pantay na mga segment ay maaaring ituring na proportional na mga segment na may proportionality coefficient na katumbas ng 1.

Inverse theorem

Kung sa Thales theorem ang pantay na mga segment ay nagsisimula mula sa vertex (ang pagbabalangkas na ito ay kadalasang ginagamit sa panitikan ng paaralan), kung gayon ang converse theorem ay magiging totoo din. Para sa intersecting secants, ito ay formulated bilang mga sumusunod:

Kaya (tingnan ang Fig.) mula sa katotohanan na $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ ito ay sumusunod na ang direktang $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Kung ang mga secants ay magkatulad, kung gayon kinakailangan na humiling ng pagkakapantay-pantay ng mga segment sa parehong mga secant sa pagitan ng kanilang mga sarili, kung hindi man ang pahayag na ito ay nagiging hindi tama (isang counterexample ay isang trapezoid na intersected ng isang linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base).

Mga pagkakaiba-iba at Paglalahat

Ang sumusunod na pahayag ay dalawahan sa lemma ni Sollertinsky:

Ginagamit pa rin ngayon ang theorem ni Thales sa maritime navigation bilang panuntunan na hindi maiiwasan ang banggaan sa pagitan ng mga barko na gumagalaw sa isang pare-parehong bilis kung ang mga barko ay patuloy na patungo sa isa't isa. Sa labas ng panitikan sa wikang Ruso, ang Thales theorem ay kung minsan ay tinatawag na isa pang theorem ng planimetry, ibig sabihin, ang pahayag na ang isang nakasulat na anggulo batay sa diameter ng isang bilog ay isang tama. Ang pagtuklas ng teorama na ito ay talagang iniuugnay kay Thales, bilang ebidensya ng Proclus. Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Theorem of Thales" Panitikan Atanasyan L. S. at iba pa. Geometry 7-9. - Ed. ika-3. - M .: Enlightenment, 1992. Mga Tala Tingnan din Theorem ni Thales sa isang anggulo batay sa diameter ng isang bilog Isang sipi na nagpapakilala sa Thales Theorem "Wala akong iniisip, hindi ko lang maintindihan ... - Maghintay, Sonya, mauunawaan mo ang lahat. Tingnan mo kung anong klaseng tao siya. Huwag kang mag-isip ng masama tungkol sa akin o sa kanya. "Wala akong iniisip na masama tungkol sa sinuman: Mahal ko ang lahat at naaawa ako sa lahat. Pero ano ang gagawin ko? Hindi sumuko si Sonya sa malumanay na tono na kinausap siya ni Natasha. Ang mas malambot at mas naghahanap ng ekspresyon ni Natasha, mas seryoso at mabagsik ang mukha ni Sonya. "Natasha," sabi niya, "tinanong mo sa akin na huwag makipag-usap sa iyo, hindi ako, ngayon ikaw mismo ang nagsimula. Natasha, hindi ako naniniwala sa kanya. Bakit ito sikreto? - Muli, muli! putol ni Natasha. - Natasha, natatakot ako para sa iyo. - Ano ang dapat katakutan? "Natatakot ako na mapahamak mo ang iyong sarili," tiyak na sabi ni Sonya, na natatakot sa kanyang sinabi. Bakas na naman sa mukha ni Natasha ang galit. “At sisirain ko, sisirain ko, sisirain ko ang sarili ko sa lalong madaling panahon. Wala kang pakialam. Hindi sa iyo, ngunit sa akin ito ay magiging masama. Iwan mo na ako. Ayoko sa iyo. - Natasha! Takot na tawag ni Sonya. - Ayaw ko, ayaw ko! At ikaw ang aking kaaway magpakailanman! Tumakbo palabas ng kwarto si Natasha. Hindi na kinausap ni Natasha si Sonya at iniwasan siya. Sa parehong ekspresyon ng nabalisa na sorpresa at kriminalidad, nilakad niya ang mga silid, kinuha muna ito at pagkatapos ay isa pang trabaho at agad na iniwan ang mga ito. Kahit anong hirap para kay Sonya, nanatili ang tingin niya sa kaibigan. Sa bisperas ng araw kung saan babalik ang bilang, napansin ni Sonya na si Natasha ay nakaupo sa buong umaga sa bintana ng sala, na parang naghihintay ng isang bagay at gumawa siya ng isang uri ng pag-sign sa dumaan na militar, na napagkamalan ni Sonya na si Anatole. Sinimulang obserbahan ni Sonya ang kanyang kaibigan nang mas maingat at napansin na si Natasha ay nasa isang kakaiba at hindi likas na estado sa lahat ng oras ng hapunan at gabi (sinagot niya nang hindi naaangkop ang mga tanong na inilagay sa kanya, nagsimula at hindi natapos ang mga parirala, pinagtawanan ang lahat). Pagkatapos ng tsaa, nakita ni Sonya ang isang mahiyaing dalaga na naghihintay sa kanya sa pintuan ni Natasha. Pinabayaan niya ito, at, nakikinig sa pinto, nalaman niyang naibigay na naman ang sulat. At biglang naging malinaw kay Sonya na si Natasha ay may isang uri ng kakila-kilabot na plano para sa gabing ito. Kumatok si Sonya sa kanyang pintuan. Hindi siya pinapasok ni Natasha. “Tatakas siya kasama niya! Napaisip si Sonya. Kaya niya ang kahit ano. Ngayon ay may isang bagay na partikular na kaawa-awa at determinado sa kanyang mukha. Napaluha siya, nagpaalam sa kanyang tiyuhin, paggunita ni Sonya. Oo, tama, tumatakbo siya kasama niya - ngunit ano ang dapat kong gawin? naisip ni Sonya, na ngayon ay naaalala ang mga palatandaang iyon na malinaw na nagpapatunay kung bakit may kakila-kilabot na intensyon si Natasha. "Walang bilang. Ano ang dapat kong gawin, sumulat kay Kuragin, humihingi ng paliwanag mula sa kanya? Pero sinong may sabi sa kanya na sumagot? Sumulat kay Pierre, tulad ng tinanong ni Prinsipe Andrei kung sakaling maaksidente? ... Ngunit marahil, sa katunayan, tinanggihan na niya ang Bolkonsky (nagpadala siya ng liham kay Prinsesa Marya kahapon). Walang mga tito!" Tila nakakatakot kay Sonya na sabihin kay Marya Dmitrievna, na labis na naniniwala kay Natasha. Ngunit sa isang paraan o iba pa, naisip ni Sonya, na nakatayo sa isang madilim na koridor: ngayon o hindi dumating ang oras upang patunayan na naaalala ko ang mabubuting gawa ng kanilang pamilya at mahal ko si Nicolas. Hindi, hindi ako matutulog nang hindi bababa sa tatlong gabi, ngunit hindi ko iiwan ang koridor na ito at hindi ko siya papasukin nang puwersahan, at hindi ko hahayaang mahulog ang kahihiyan sa kanilang pamilya, "naisip niya. Anatole kamakailang mga panahon lumipat sa Dolokhov. Ang plano para sa pagdukot kay Rostova ay naisip at inihanda ni Dolokhov sa loob ng maraming araw, at sa araw na si Sonya, nang marinig si Natasha sa pintuan, ay nagpasya na protektahan siya, ang planong ito ay isasagawa. Nangako si Natasha na lalabas sa Kuragin sa back porch sa alas diyes ng gabi. Dapat ay ilagay siya ni Kuragin sa isang handa na troika at dalhin siya 60 milya mula sa Moscow hanggang sa nayon ng Kamenka, kung saan inihanda ang isang trimmed na pari, na dapat na pakasalan sila. Sa Kamenka, handa na ang isang set-up, na dapat maghatid sa kanila sa kalsada ng Varshavskaya, at doon sila dapat sumakay sa ibang bansa sa selyo. Si Anatole ay may pasaporte, at isang manlalakbay, at sampung libong pera na kinuha mula sa kanyang kapatid na babae, at sampung libong hiniram sa pamamagitan ng Dolokhov. Dalawang saksi - Khvostikov, isang dating klerk, na ginamit nina Dolokhov at Makarin sa paglalaro, isang retiradong hussar, mabait at mahinang tao, na walang hangganang pagmamahal kay Kuragin - umupo sa unang silid para sa tsaa. Sa malaking opisina ni Dolokhov, na pinalamutian mula sa dingding hanggang sa kisame ng mga karpet ng Persia, mga balat ng oso at mga sandata, si Dolokhov ay nakaupo sa isang naglalakbay na beshmet at mga bota sa harap ng isang bukas na kawanihan, kung saan nakalatag ang mga singil at limpak-limpak na pera. Si Anatole, sa kanyang nakabukas na uniporme, ay lumakad mula sa silid kung saan nakaupo ang mga saksi, sa pamamagitan ng pag-aaral patungo sa silid sa likod, kung saan ang kanyang French footman at iba pa ay nag-iimpake ng mga huling gamit. Nagbilang ng pera si Dolokhov at isinulat ito. "Buweno," sabi niya, "Dapat bigyan ang Khvostikov ng dalawang libo. - Well, hayaan mo ako, - sabi ni Anatole. - Makarka (iyan ang tinawag nilang Makarina), ang isang ito ay hindi interesado para sa iyo sa pamamagitan ng apoy at sa tubig. Buweno, tapos na ang mga marka, - sabi ni Dolokhov, na nagpapakita sa kanya ng isang tala. - Kaya? "Oo, siyempre, ganoon iyon," sabi ni Anatole, tila hindi nakikinig kay Dolokhov at may ngiti na hindi umalis sa kanyang mukha, nakatingin sa unahan ng kanyang sarili.

1. 
   pananalita;
2. 
   Katibayan;

1. 
   Theorem sa proporsyonal na mga segment;
2. 
   Teorama ni Ceva;

1. 
   pananalita;
2. 
   Katibayan;

1. 
   Teorama ni Menelaus;

1. 
   pananalita;
2. 
   Katibayan;

1. 
   Mga gawain at ang kanilang mga solusyon;
2. 
   Konklusyon;
3. 
   Listahan ng mga ginamit na mapagkukunan at literatura.

Panimula.

Lahat ng maliliit na bagay ay kailangan

Upang maging makabuluhan...

I. Severyanin
Ang abstract na ito ay nakatuon sa aplikasyon ng paraan ng parallel lines sa patunay ng theorems at paglutas ng problema. Bakit natin ginagamit ang pamamaraang ito? Sa ganyan Taong panuruan Sa Olympiad ng paaralan sa matematika, isang geometriko na problema ang iminungkahi, na tila napakahirap sa amin. Ang gawaing ito ay nagbigay ng impetus sa simula ng trabaho sa pag-aaral at pag-unlad ng paraan ng mga parallel na linya sa paglutas ng mga problema sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment.

Ang ideya ng pamamaraan mismo ay batay sa paggamit ng pangkalahatang Thales theorem. Ang Thales theorem ay pinag-aralan sa ikawalong baitang, ang generalization nito at ang paksang "Pagkakatulad ng mga Figure" sa ikasiyam na baitang at sa ika-sampung baitang lamang, sa isang panimulang plano, dalawang mahalagang teorema ng Ceva at Menelaus ang pinag-aralan, sa tulong ng kung saan ang isang bilang ng mga problema ay medyo madaling malutas para sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment. Samakatuwid, sa antas ng pangunahing edukasyon, maaari tayong magpasya nang lubos makitid na bilog takdang-aralin para sa materyal sa pag-aaral na ito. Bagaman sa huling sertipikasyon para sa kurso ng pangunahing paaralan at sa USE sa matematika, ang mga gawain sa paksang ito (theorem ni Thales. Pagkakatulad ng mga tatsulok, koepisyent ng pagkakapareho. Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tatsulok) ay inaalok sa ikalawang bahagi ng pagsusuri. papel at may mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Sa proseso ng pagtatrabaho sa abstract, naging posible na palalimin ang aming kaalaman sa paksang ito. Ang patunay ng theorem sa proporsyonal na mga segment sa isang tatsulok (ang theorem ay hindi kasama sa kurikulum ng paaralan) ay batay sa paraan ng parallel lines. Sa turn, pinahintulutan kami ng teorama na ito na magmungkahi ng isa pang paraan upang patunayan ang mga teorema nina Ceva at Menelaus. At bilang resulta, natutunan namin kung paano lutasin ang mas malawak na hanay ng mga problema para sa paghahambing ng mga haba ng mga segment. Ito ang kaugnayan ng aming trabaho.

Generalized Thales theorem.

pagbabalangkas:

Ang mga parallel na linya na nagsasalubong sa dalawang ibinigay na linya ay pumutol ng mga proporsyonal na segment sa mga linyang ito.
Ibinigay:

Diretso a pinutol ng magkatulad na linya ( PERO 1 AT 1 , PERO 2 AT 2 , PERO 3 AT 3 ,…, PERO n B n) sa mga segment PERO 1 PERO 2 , PERO 2 PERO 3 , …, A n -1 A n, at ang tuwid na linya b- sa mga segment AT 1 AT 2 , AT 2 AT 3 , …, AT n -1 AT n .

Patunayan:

Patunay:

Patunayan natin, halimbawa, iyon

Isaalang-alang ang dalawang kaso:

1 kaso (Larawan b)

Direkta a at b ay parallel. Tapos yung quadrilaterals

PERO 1 PERO 2 AT 2 AT 1 at PERO 2 PERO 3 AT 3 AT 2 - paralelograms. kaya lang

PERO 1 PERO 2 =AT 1 AT 2 at PERO 2 PERO 3 =AT 2 AT 3 , kung saan sinusundan iyon

2 kaso (fig. c)

Ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Sa pamamagitan ng tuldok PERO 1 gumuhit tayo ng isang tuwid na linya Sa, parallel sa linya b. She will cross the lines PERO 2 AT 2 at PERO 3 AT 3 sa ilang mga punto MULA SA 2 at MULA SA 3 . mga tatsulok PERO 1 PERO 2 MULA SA 2 at PERO 1 PERO 3 MULA SA 3 ay magkatulad sa dalawang anggulo (anggulo PERO 1 – pangkalahatan, anggulo PERO 1 PERO 2 MULA SA 2 at PERO 1 PERO 3 MULA SA 3 katumbas ng katumbas sa ilalim ng mga parallel na linya PERO 2 AT 2 at PERO 3 AT 3 secant PERO 2 PERO 3 ), kaya naman

1+

O ayon sa ari-arian ng mga sukat

Sa kabilang banda, sa kung ano ang napatunayan sa unang kaso, mayroon tayo PERO 1 MULA SA 2 =AT 1 AT 2 , MULA SA 2 MULA SA 3 =AT 2 AT 3 . Pagpapalit sa proporsyon (1) PERO 1 MULA SA 2 sa AT 1 AT 2 at MULA SA 2 MULA SA 3 sa AT 2 AT 3 , dumating tayo sa pagkakapantay-pantay

Q.E.D.
Theorem sa proporsyonal na mga segment sa isang tatsulok.

Sa mga gilid AC at Araw tatsulok ABC ang mga puntos ay minarkahan Upang at M kaya AC:CS=m: n, BM: MC= p: q. Mga segment AM at VC bumalandra sa isang punto O(Larawan 124b).

Patunayan:

Patunay:
Sa pamamagitan ng tuldok M gumuhit tayo ng isang tuwid na linya MD(Larawan 124a), parallel VC. Tumawid siya sa gilid AC sa punto D, at ayon sa generalization ng Thales theorem

Hayaan AK=mx. Pagkatapos, alinsunod sa kondisyon ng problema KS=nx, at mula noon KD: DC= p: q, pagkatapos ay muli naming ginagamit ang generalization ng Thales theorem:

Katulad nito, ito ay pinatunayan na .

Ang teorama ni Ceva.
Ang teorama ay pinangalanan pagkatapos ng Italyano na matematiko na si Giovanni Ceva, na nagpatunay nito noong 1678.

pagbabalangkas:

Kung sa mga gilid AB, BC at CA ng tatsulok ABC puntos C ay kinuha ayon sa pagkakabanggit 1 , PERO 1 at B 1 , pagkatapos ay i-segment ang AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto kung at kung lamang

Ibinigay:

Tatsulok ABC at sa mga gilid nito AB, Araw at AC ang mga puntos ay minarkahan MULA SA 1 ,PERO 1 at AT 1 .

Patunayan:

2.paghiwa A 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto.

Patunay:
1. Hayaan ang mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto O. Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay (3) ay may hawak. Ayon sa theorem sa proporsyonal na mga segment sa tatsulok 1 mayroon tayo:

Ang mga kaliwang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito ay pareho, kaya ang mga kanang bahagi ay pantay din. Pagtutumbas sa kanila, nakukuha natin

Hinahati ang dalawang bahagi sa kanang bahagi, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay (3).

2. Patunayan natin ang converse assertion. Hayaan ang mga puntos MULA SA 1 ,PERO 1 at AT 1 kinuha sa mga gilid AB, Araw at SA upang ang pagkakapantay-pantay (3) ay humahawak. Patunayan natin na ang mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto. Ipahiwatig sa pamamagitan ng titik O ang punto ng intersection ng mga segment A 1 at BB 1 at gumuhit ng isang tuwid na linya KAYA. Tumawid siya sa gilid AB sa ilang mga punto, na tinutukoy namin MULA SA 2 . Dahil sa mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto, pagkatapos ay sa kung ano ang napatunayan sa unang talata

Kaya, ang pagkakapantay-pantay (3) at (4) ay hawak.

Paghahambing ng mga ito, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay = , na nagpapakita na ang mga puntos C 1 at C 2 magbahagi ng panig AB C 1 at C 2 nag-tutugma, at samakatuwid ang mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto O.

Q.E.D.
Teorama ni Menelaus.

pagbabalangkas:

Kung sa mga gilid AB at BC at ang extension ng gilid AC (o sa mga extension ng mga gilid AB, BC at AC) ang mga puntos C ay kinuha ayon sa pagkakabanggit 1 , PERO 1 , AT 1 , pagkatapos ang mga puntong ito ay nasa parehong linya kung at kung lamang

Ibinigay:

Tatsulok ABC at sa mga gilid nito AB, Araw at AC ang mga puntos ay minarkahan MULA SA 1 ,PERO 1 at AT 1 .

Patunayan:

2. puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya
Patunay:
1. Hayaan ang mga puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya. Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay (5) ay nagtataglay. Gastos tayo AD,MAGING at CF parallel sa isang tuwid na linya AT 1 PERO 1 (tuldok D namamalagi sa isang tuwid na linya Araw). Ayon sa pangkalahatang Thales theorem, mayroon tayong:

Ang pagpaparami ng kaliwa at kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin

mga. pagkakapantay-pantay (5) hawak.
2. Patunayan natin ang converse assertion. Hayaan ang punto AT 1 kinuha sa gilid ng pagpapatuloy AC, at ang mga puntos MULA SA 1 at PERO 1 - sa mga gilid AB at Araw, at sa paraang pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay (5). Patunayan natin na ang mga puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya. Hayaang magsalubong ang tuwid na linya A 1 C 1 sa pagpapatuloy ng panig AC sa punto B 2, pagkatapos, sa pamamagitan ng napatunayan sa unang talata

Paghahambing ng (5) at (6), dumating tayo sa pagkakapantay-pantay = , na nagpapakita na ang mga puntos AT 1 at AT 2 magbahagi ng panig AC sa parehong paggalang. Samakatuwid, ang mga puntos AT 1 at AT 2 nag-tutugma, at samakatuwid ang mga punto PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya. Ang converse assertion ay napatunayang katulad sa kaso kapag ang lahat ng tatlong puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 humiga sa mga extension ng kaukulang panig.

Q.E.D.

Pagtugon sa suliranin.

Iminungkahi na isaalang-alang ang isang bilang ng mga problema sa proporsyonal na dibisyon ng mga segment sa isang tatsulok. Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong ilang mga pamamaraan para sa pagtukoy ng lokasyon ng mga punto na kailangan sa problema. Sa aming trabaho, kami ay nanirahan sa paraan ng parallel lines. Ang teoretikal na batayan ng pamamaraang ito ay ang pangkalahatang Thales theorem, na nagpapahintulot sa paggamit ng mga parallel na linya upang ilipat sikat na relasyon mga proporsyon mula sa isang gilid ng anggulo hanggang sa pangalawang bahagi nito, kaya kailangan mo lamang iguhit ang mga magkatulad na linya sa isang maginhawang paraan para sa paglutas ng problema.
Isaalang-alang ang mga partikular na gawain:
Ang Gawain №1 Point M ay kinuha sa tatsulok na ABC sa gilid ng BC upang ang VM:MC=3:2. Hinahati ng Point P ang segment na AM sa isang ratio na 2:1. Ang linyang BP ay nag-intersect sa gilid ng AC sa punto B 1 . Sa anong aspeto ang punto B 1 hinahati ang side AC?

Solusyon: Ito ay kinakailangan upang mahanap ang ratio AB 1: B 1 C, AC ay ang nais na segment kung saan ang punto B 1 ay namamalagi.

Ang parallel method ay ang mga sumusunod:

1. 
   gupitin ang nais na segment na may mga parallel na linya. Ang isang BB 1 ay naroon na, at ang pangalawang MN ay iguguhit sa puntong M, kahanay ng BB 1.
2. 
   Ilipat ang kilalang ratio mula sa isang gilid ng anggulo patungo sa kabilang panig nito, i.e. isaalang-alang ang mga anggulo ng gilid, na pinutol ng mga tuwid na linyang ito.

Ang mga gilid ng anggulo C ay pinutol ng mga tuwid na linya BB 1 at MN at, ayon sa pangkalahatang teorama ng Thales, tinatapos namin AT 1 N=3r, NC=2p. Ang mga gilid ng anggulo ng MAC ay bumalandra sa mga linya ng PB 1 at MN at hatiin ang mga panig nito sa isang ratio na 2: 1, samakatuwid AB 1: B 1 N \u003d 2: 1 at samakatuwid AB 1 \u003d 2n, AT 1 N= n. kasi AT 1 N=3r, at AT 1 N= n, pagkatapos 3p=n.

Lumipat tayo sa ratio ng interes sa atin AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6:5.

Sagot: AB 1:B 1 C = 6:5.

Magkomento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Menelaus theorem. Paglalapat nito sa tatsulok na AMC. Pagkatapos ang linyang BB 1 ay nagsalubong sa dalawang gilid ng tatsulok sa mga punto B 1 at P, at ang pagpapatuloy ng pangatlo sa punto B. Kaya ang pagkakapantay-pantay ay nalalapat: , Dahil dito
Gawain bilang 2 Sa tatsulok na ABC AN ay ang median. Sa panig ng AC, ang punto M ay kinuha upang ang AM: MC \u003d 1: 3. Ang mga segment na AN at BM ay bumalandra sa punto O, at ang ray CO ay nagsalubong sa AB sa puntong K. Sa anong ratio ang punto K ay naghahati sa segment na AB.

Solusyon: Kailangan nating hanapin ang ratio ng AK sa KV.

1) Gumuhit ng linyang NN 1 na kahanay sa linyang SK at isang linyang NN 2 na kahanay sa linyang VM.

2) Ang mga gilid ng anggulong ABC ay intersected ng mga tuwid na linya SC at NN 1 at, ayon sa generalised Thales theorem, hinuhusgahan natin ang BN 1:N 1 K=1:1 o BN 1 = N 1 K= y.

3) Ang mga gilid ng anggulong BCM ay pinagsalubong ng mga linyang BM at NN 2 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinatapos natin ang CN 2:N 2 M=1:1 o CN 2 = N 2 M=3:2= 1.5.

4) Ang mga gilid ng anggulo NAC ay intersected sa pamamagitan ng mga linya BM at NN 2 at ayon sa pangkalahatang Thales theorem namin tapusin AO: ON=1:1.5 o AO=m ON=1.5m.

5) Ang mga gilid ng anggulo ng BAN ay intersected ng mga tuwid na linya SK at NN 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinapos namin ang AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 o AK \u003d n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

Sagot: AK:KV=1:3.

Magkomento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Ceva's theorem, na inilalapat ito sa tatsulok na ABC. Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga puntong N, M, K ay nasa gilid ng tatsulok na ABC at ang mga segment na AN, CK at VM ay nagsalubong sa isang punto, na nangangahulugan na ang pagkakapantay-pantay ay totoo: , pinapalitan natin ang mga kilalang relasyon, mayroon tayong , AK:KV=1:3.

Gawain Blg. 3 Sa gilid ng BC ng tatsulok na ABC, ang isang punto D ay kinuha na ang BD: DC \u003d 2: 5, at sa gilid ng AC, ang punto E ay ganoon . Sa anong ratio hinati ang mga segment na BE at AD sa puntong K ng kanilang intersection?
Solusyon: Kailangang hanapin ang 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Iguhit ang linyang DD 1 parallel sa linyang BE.

2) Ang mga gilid ng anggulo ALL ay intersected sa pamamagitan ng mga linya BE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, aming tapusin ang CD 1:D 1 E=5:2 o CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Ayon sa kondisyon AE:EC=1:2, i.e. AE \u003d x, EC \u003d 2x, ngunit EC \u003d CD 1 + D 1 E, pagkatapos 2y=5z+2 z=7 z, z=

4) Ang mga gilid ng anggulo ng DCA ay intersected ng mga linyang BE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinapos namin

5) Upang matukoy ang ratio VK:KE, gumuhit kami ng isang tuwid na linya EE 1 at, nakikipagtalo sa katulad na paraan, nakuha namin

Sagot: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
Komento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Menelaus theorem. Paglalapat nito sa tatsulok na WEIGHT. Pagkatapos ang linyang DA ay nag-intersect sa dalawang gilid ng tatsulok sa mga puntong D at K, at ang pagpapatuloy ng pangatlo sa punto A. Kaya ang pagkakapantay-pantay ay nalalapat: , samakatuwid VK:KE=6:5. Ang pagtatalo ng katulad na may paggalang sa tatsulok na ADC, nakuha namin , AK:KD=7:4.
Problema #4 Sa ∆ ABC, hinahati ng bisector AD ang side BC sa ratio na 2:1. Sa anong ratio hinahati ng median CE ang bisector na ito?

Solusyon: Hayaan ang O point ang intersection ng bisector AD at median CE. Kailangan nating hanapin ang ratio AO:OD.

1) Gumuhit ng isang linya DD 1 parallel sa linya CE.

2) Ang mga gilid ng anggulo ABC ay intersected sa pamamagitan ng mga linya CE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatan Thales theorem, namin tapusin BD 1: D 1 E=2:1 o BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Ayon sa kondisyon AE:EB=1:1, i.e. AE=y, EB=y, ngunit EB= BD 1 + D 1 E, kaya y=2p+ p=3 p, p =
4) Ang mga gilid ng anggulo BAD ay intersected sa pamamagitan ng mga linya OE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, kami ay nagtatapos. .

Sagot: AO:OD=3:1.

Gawain #5 Sa mga gilid ng AB at AC ∆ABC, ang mga puntos na M at N ay ibinibigay, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay na AM:MB=C ay nasiyahanN: NA=1:2. Sa anong ratio hinahati ng point S ng intersection ng mga segment na BN at CM ang bawat isa sa mga segment na ito.

Ang Problema №6 Point K ay kinuha sa median AM ng triangle ABC, at AK:KM=1:3. Hanapin ang ratio kung saan ang isang linya na dumadaan sa point K na kahanay sa gilid AC ay naghahati sa gilid ng BC.

Solusyon: Hayaan ang M ay 1 puntos intersection ng isang linya na dumadaan sa point K na parallel sa side AC at side BC. Kinakailangang hanapin ang ratio ng BM 1:M 1 C.

1) Ang mga gilid ng anggulo ng AMC ay intersected ng mga tuwid na linya KM 1 at AC at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinatapos namin ang MM 1: M 1 C=3: 1 o MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d z

2) Sa pamamagitan ng kundisyon VM:MS=1:1, ibig sabihin, VM=y, MC=y, ngunit MC=MM 1 + M 1 C, kaya y=3z+ z=4 z,

3) .

Sagot: VM 1:M 1 C = 7:1.

Problema №7 Triangle ABC ay ibinigay. Sa extension ng gilid AC, ang isang punto ay kinuha para sa punto CN, at CN=AC; Ang puntong K ay ang midpoint ng side AB. Sa anong aspeto ang linya KNnaghahati sa gilid ng BC.

Komento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Menelaus theorem. Paglalapat nito sa tatsulok na ABC. Pagkatapos ay ang tuwid na linya na KN ay nagsalubong sa dalawang panig ng tatsulok sa mga puntong K at K 1, at ang pagpapatuloy ng pangatlo sa puntong N. Kaya ang pagkakapantay-pantay ay nalalapat: , samakatuwid VK 1:K 1 C=2:1.

Gawain #8

Mga site:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Pinag-isang State Examination 2011 Mathematics Task C4 R.K. Gordin M .: MTSNMO, 2011, - 148 s

Konklusyon:

Ang solusyon ng mga problema at theorems para sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment ay batay sa pangkalahatang Thales theorem. Bumuo kami ng isang paraan na nagpapahintulot, nang hindi inilalapat ang Thales theorem, na gumamit ng mga parallel na linya, ilipat ang mga kilalang proporsyon mula sa isang gilid ng anggulo patungo sa kabilang panig at, sa gayon, hanapin ang lokasyon ng mga punto na kailangan namin at ihambing ang mga haba. Ang paggawa sa abstract ay nakatulong sa amin na matutunan kung paano lutasin ang mga geometric na problema mataas na lebel kahirapan. Napagtanto namin ang katotohanan ng mga salita ng sikat na makatang Ruso na si Igor Severyanin: "Lahat ng hindi gaanong mahalaga ay kinakailangan upang maging makabuluhan ..." at sigurado kami na sa Unified State Examination makakahanap kami ng solusyon sa mga iminungkahing gawain gamit ang ang paraan ng parallel lines.

1 Ang theorem sa proporsyonal na mga segment sa isang tatsulok ay ang theorem na inilarawan sa itaas.

Kung ang mga gilid ng anggulo ay tinawid ng mga tuwid na parallel na linya na naghahati sa isa sa mga gilid sa ilang mga segment, ang pangalawang panig, ang mga tuwid na linya, ay hahatiin din sa mga segment na katumbas ng kabilang panig.

Teorama ni Thales nagpapatunay sa mga sumusunod: С 1 , С 2 , С 3 - ito ang mga lugar kung saan ang mga parallel na linya ay bumalandra sa anumang panig ng anggulo. Ang C 2 ay nasa gitna na may paggalang sa C 1 at C 3 .. Ang mga punto D 1 , D 2 , D 3 ay ang mga lugar kung saan ang mga linya ay nagsalubong, na tumutugma sa mga linya sa kabilang panig ng anggulo. Pinatunayan namin na kapag C 1 C 2 \u003d C 2 C z, pagkatapos ay D 1 D 2 \u003d D 2 D 3 .
Gumuhit kami ng isang tuwid na segment KR sa lugar D 2, parallel sa seksyon C 1 C 3. Sa mga katangian ng isang parallelogram C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. Kung C 1 C 2 \u003d C 2 C 3, pagkatapos ay KD 2 \u003d D 2 P.

Ang mga resultang triangular figure D 2 D 1 K at D 2 D 3 P ay pantay. At D 2 K=D 2 P sa pamamagitan ng patunay. Ang mga anggulo na may tuktok na punto D 2 ay pantay-pantay bilang patayo, at ang mga anggulo D 2 KD 1 at D 2 PD 3 ay katumbas ng mga panloob na krus na nakahiga na may parallel C 1 D 1 at C 3 D 3 at naghihiwalay sa KP.
Dahil D 1 D 2 =D 2 D 3 ang teorama ay pinatunayan ng pagkakapantay-pantay ng mga gilid ng tatsulok

Ang tala: Kung hindi natin kukunin ang mga gilid ng anggulo, ngunit dalawang tuwid na mga segment, ang patunay ay pareho.
Anumang mga segment ng tuwid na linya na parallel sa isa't isa, na bumabagtas sa dalawang linya na aming isinasaalang-alang at hatiin ang isa sa mga ito sa magkaparehong mga seksyon, gawin ang parehong sa pangalawa.

Tingnan natin ang ilang halimbawa

Unang halimbawa

Ang kundisyon ng gawain ay hatiin ang linyang CD sa P magkaparehong mga segment.
Gumuhit kami mula sa punto C ng isang semi-line c, na hindi namamalagi sa linya ng CD. Markahan natin ang mga bahagi ng parehong sukat dito. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. Ikinonekta namin ang C p sa D. Gumuhit kami ng mga tuwid na linya mula sa mga puntong C 1, C 2, ...., C p -1 na magiging parallel na may paggalang sa C p D. Ang mga linya ay magsalubong sa CD sa mga lugar D 1 D 2 D p-1 at hahatiin ang linyang CD sa n magkaparehong mga segment.

Pangalawang halimbawa

Ang puntong CK ay minarkahan sa gilid ng AB ng tatsulok na ABC. Bina-intersect ng Segment SK ang median AM ng tatsulok sa puntong P, habang ang AK = AP. Kinakailangang hanapin ang ratio ng VC sa RM.
Gumuhit kami ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng point M, parallel sa SC, na intersects AB sa point D

Sa pamamagitan ng Teorama ni ThalesВD=КD
Sa pamamagitan ng theorem ng proporsyonal na mga segment, nakukuha natin iyon
PM \u003d KD \u003d VK / 2, samakatuwid, VK: PM \u003d 2: 1
Sagot: VK: RM = 2:1

Pangatlong halimbawa

Sa tatsulok na ABC, gilid BC = 8 cm. Ang linyang DE ay nag-intersect sa mga gilid ng AB at BC na kahanay ng AC. At pinutol sa gilid ng BC ang segment EU = 4 cm. Patunayan na AD = DB.

Dahil BC = 8 cm at EU = 4 cm, kung gayon
BE = BC-EU, samakatuwid BE = 8-4 = 4(cm)
Sa pamamagitan ng Teorama ni Thales, dahil ang AC ay parallel sa DE at EC \u003d BE, samakatuwid, AD \u003d DB. Q.E.D.

AT magazine ng kababaihan- online, marami kang makikita Nakamamangha na impormasyon para sa sarili ko. Mayroon ding isang seksyon na nakatuon sa mga tula na isinulat ni Sergei Yesenin. Pumasok ka na hindi ka magsisisi!

Tungkol sa parallel at secant.

Sa labas ng panitikan sa wikang Ruso, ang Thales theorem ay kung minsan ay tinatawag na isa pang theorem ng planimetry, ibig sabihin, ang pahayag na ang isang nakasulat na anggulo batay sa diameter ng isang bilog ay isang tama. Ang pagtuklas ng teorama na ito ay talagang iniuugnay kay Thales, bilang ebidensya ng Proclus.

Salita

Kung sa isa sa dalawang tuwid na linya ang ilang magkatulad na mga segment ay sunud-sunod na itabi at ang mga parallel na linya ay iguguhit sa kanilang mga dulo, intersecting ang pangalawang tuwid na linya, pagkatapos ay puputulin nila ang pantay na mga segment sa pangalawang tuwid na linya.

Isang mas pangkalahatang pagbabalangkas, tinatawag din proporsyonal na teorama ng segment

Ang mga parallel na linya ay pumutol ng mga proporsyonal na segment sa mga secant:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Remarks

• Walang mga paghihigpit sa mutual arrangement ng mga secants sa theorem (ito ay totoo kapwa para sa mga intersecting na linya at para sa mga parallel). Hindi rin mahalaga kung nasaan ang mga segment ng linya sa mga secant.

• Ang Thales theorem ay isang espesyal na kaso ng proportional segment theorem, dahil ang pantay na mga segment ay maaaring ituring na proportional na mga segment na may proportionality coefficient na katumbas ng 1.

Patunay sa kaso ng mga secant

Isaalang-alang ang isang variant na may hindi magkakaugnay na mga pares ng mga segment: hayaang ang anggulo ay intersected ng mga tuwid na linya A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) at kung saan A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Patunay sa kaso ng mga parallel na linya

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya BC. mga sulok ABC at BCD ay katumbas ng mga panloob na krus na nakahiga sa magkatulad na linya AB at CD at secant BC, at ang mga anggulo ACB at CBD ay katumbas ng mga panloob na krus na nakahiga sa magkatulad na linya AC at BD at secant BC. Pagkatapos, ayon sa pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, ang mga tatsulok ABC at DCB ay pantay-pantay. Kaya naman sinusunod iyon AC = BD at AB = CD. ■

Mga pagkakaiba-iba at Paglalahat

Inverse theorem

Kung sa Thales theorem ang pantay na mga segment ay nagsisimula mula sa vertex (ang pagbabalangkas na ito ay kadalasang ginagamit sa panitikan ng paaralan), kung gayon ang converse theorem ay magiging totoo din. Para sa intersecting secants, ito ay formulated bilang mga sumusunod:

Sa inverse Thales theorem, mahalaga na ang mga pantay na segment ay magsisimula sa vertex

Kaya (tingnan ang Fig.) mula sa katotohanan na C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), kasunod niyan A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Kung ang mga secants ay magkatulad, kung gayon kinakailangan na humiling ng pagkakapantay-pantay ng mga segment sa parehong mga secant sa pagitan ng kanilang mga sarili, kung hindi man ang pahayag na ito ay nagiging hindi tama (isang counterexample ay isang trapezoid na intersected ng isang linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base).

Ang theorem na ito ay ginagamit sa pag-navigate: ang banggaan ng mga barko na gumagalaw sa isang pare-pareho ang bilis ay hindi maiiwasan kung ang direksyon mula sa isang barko patungo sa isa pa ay pinananatili.

Lemma ng Sollertinsky

Ang sumusunod na pahayag ay dalawahan sa lemma ni Sollertinsky:

Hayaan f (\displaystyle f)- projective na sulat sa pagitan ng mga punto ng linya l (\displaystyle l) at direktang m (\displaystyle m). Pagkatapos ang hanay ng mga linya ay ang hanay ng mga tangent sa ilang (posibleng mabulok) na seksyon ng conic.

Sa kaso ng Thales theorem, ang conic ay magiging isang punto sa infinity na tumutugma sa direksyon ng mga parallel na linya.

Ang pahayag na ito, sa turn, ay isang limitadong kaso ng sumusunod na pahayag:

Hayaan f (\displaystyle f) ay isang projective transformation ng isang conic. Pagkatapos ay ang sobre ng hanay ng mga linya X f (X) (\displaystyle Xf(X)) magkakaroon ng conic (posibleng degenerate).