Prizma. Paralelepiped

prizma iki üzü bərabər n-qonşulu olan çoxüzlü adlanır (əsaslar) , paralel müstəvilərdə uzanır və qalan n üz paraleloqramdır (yan üzlər) . Yan qabırğa prizma yan üzün bazaya aid olmayan tərəfidir.

Yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar olan prizma deyilir düz prizma (şək. 1). Yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar deyilsə, prizma adlanır əyri . Düzgün Prizma əsasları düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmadır.

Hündürlük prizma əsasların müstəviləri arasındakı məsafə adlanır. Diaqonal Prizma eyni üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirən seqmentdir. diaqonal bölmə Prizmanın eyni üzə aid olmayan iki yan kənarından keçən müstəvi ilə kəsişməsinə deyilir. Perpendikulyar hissə prizmanın yan kənarına perpendikulyar olan müstəvi ilə prizmanın kəsiyi adlanır.

Yan səth sahəsi prizma bütün yan üzlərin sahələrinin cəmidir. Tam səth sahəsi prizmanın bütün üzlərinin sahələrinin cəminə deyilir (yəni, yan üzlərin sahələrinin və əsasların sahələrinin cəmi).

İxtiyari prizma üçün düsturlar doğrudur:

Harada l yan qabırğanın uzunluğu;

H- hündürlük;

P

Q

S tərəfi

S dolu

S əsasəsasların sahəsidir;

V prizmanın həcmidir.

Düz prizma üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

Harada səh- təməlin perimetri;

l yan qabırğanın uzunluğu;

H- hündürlük.

ParalelepipedƏsası paraleloqram olan prizma deyilir. Yan kənarları əsaslara perpendikulyar olan paralelepiped deyilir birbaşa (Şəkil 2). Yan kənarları əsaslara perpendikulyar deyilsə, paralelepiped deyilir əyri . Əsası düzbucaqlı olan düz paralelepiped deyilir düzbucaqlı. Bütün kənarları bərabər olan düzbucaqlı paralelepiped adlanır kub.

Ümumi təpələri olmayan paralelepipedin üzlərinə deyilir əks . Bir təpədən çıxan kənarların uzunluqlarına deyilir ölçmələr paralelepiped. Qutu prizma olduğundan onun əsas elementləri prizmalar üçün təyin olunduğu kimi müəyyən edilir.

Teoremlər.

1. Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və onu ikiyə bölür.

2. Düzbucaqlı paralelepipeddə diaqonalın uzunluğunun kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratlarının cəminə bərabərdir:

3. Düzbucaqlı paralelepipedin dörd diaqonalının hamısı bir-birinə bərabərdir.

İxtiyari paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

Harada l yan qabırğanın uzunluğu;

H- hündürlük;

P perpendikulyar hissənin perimetridir;

Q– Perpendikulyar kəsimin sahəsi;

S tərəfi yanal səth sahəsidir;

S doluümumi səth sahəsidir;

S əsasəsasların sahəsidir;

V prizmanın həcmidir.

Düzgün paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

Harada səh- təməlin perimetri;

l yan qabırğanın uzunluğu;

H sağ paralelepipedin hündürlüyüdür.

Düzbucaqlı paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

(3)

Harada səh- təməlin perimetri;

H- hündürlük;

d- diaqonal;

a,b,c– paralelepipedin ölçüləri.

Bir kub üçün düzgün düsturlar:

Harada a qabırğanın uzunluğu;

d kubun diaqonalıdır.

Misal 1 Düzbucaqlı kuboidin diaqonalı 33 dm və ölçüləri 2:6:9 nisbətində bağlıdır.Kuboidin ölçülərini tapın.

Həll. Paralelepipedin ölçülərini tapmaq üçün (3) düsturundan istifadə edirik, yəni. kuboidin hipotenuzasının kvadratının onun ölçülərinin kvadratlarının cəminə bərabər olması faktı. ilə işarələyin k mütənasiblik əmsalı. Sonra paralelepipedin ölçüləri 2-yə bərabər olacaqdır k, 6k və 9 k. Problem məlumatları üçün düstur (3) yazırıq:

üçün bu tənliyin həlli k, alırıq:

Beləliklə, paralelepipedin ölçüləri 6 dm, 18 dm və 27 dm-dir.

Cavab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Misal 2 Yan kənarı təməlin yan tərəfinə bərabərdirsə və bazaya 60º bucaq altında meyllidirsə, əsası tərəfi 8 sm olan bərabərtərəfli üçbucaq olan maili üçbucaqlı prizmanın həcmini tapın.

Həll . Bir rəsm çəkək (şək. 3).

Maili prizmanın həcmini tapmaq üçün onun əsas sahəsini və hündürlüyünü bilməlisiniz. Bu prizmanın əsasının sahəsi tərəfi 8 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsidir, onu hesablayaq:

Prizmanın hündürlüyü onun əsasları arasındakı məsafədir. Yuxarıdan AÜst bazanın 1-i aşağı bazanın müstəvisinə perpendikulyar endiririk A 1 D. Onun uzunluğu prizmanın hündürlüyünə bərabər olacaq. Nəzərə alın ki, D A 1 AD: çünki bu, yan qabırğanın meyl bucağıdır A 1 A baza müstəvisinə A 1 A= 8 sm.Bu üçbucaqdan tapırıq A 1 D:

İndi (1) düsturundan istifadə edərək həcmi hesablayırıq:

Cavab: 192 sm3.

Misal 3 Müntəzəm altıbucaqlı prizmanın yan kənarı 14 sm-dir, ən böyük diaqonal hissənin sahəsi 168 sm 2-dir. Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 4)

Ən böyük diaqonal hissə düzbucaqlıdır AA 1 DD 1 , diaqonaldan bəri AD müntəzəm altıbucaqlı ABCDEFən böyüyüdür. Prizmanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün əsasın tərəfini və yanal qabırğanın uzunluğunu bilmək lazımdır.

Diaqonal hissənin (düzbucaqlı) sahəsini bilməklə, təməlin diaqonalını tapırıq.

O vaxtdan bəri

O vaxtdan bəri AB= 6 sm.

Sonra təməlin perimetri:

Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın:

Yan tərəfi 6 sm olan müntəzəm altıbucaqlının sahəsi:

Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın:

Cavab:

Misal 4 Düz paralelepipedin əsası rombdur. Diaqonal kəsiklərin sahələri 300 sm 2 və 875 sm 2-dir. Paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5).

Rombun tərəfini ilə işarələyin A, rombun diaqonalları d 1 və d 2, qutunun hündürlüyü h. Düz paralelepipedin yanal səthinin sahəsini tapmaq üçün təməlin perimetrini hündürlüyə vurmaq lazımdır: (formula (2)). Baza perimetri p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, çünki A B C D- romb. H = AA 1 = h. Bu. Tapmaq lazımdır A Və h.

Diaqonal bölmələri nəzərdən keçirin. AA 1 SS 1 - bir tərəfi rombun diaqonalı olan düzbucaqlı AC = d 1 , ikinci - yan kənar AA 1 = h, Sonra

Eynilə bölmə üçün BB 1 DD 1 alırıq:

Paraleloqramın elə xassəsindən istifadə edərək diaqonallarının kvadratlarının cəmi onun bütün tərəflərinin kvadratlarının cəminə bərabər olsun, bərabərliyi alırıq. Aşağıdakıları alırıq.

Tərif.

Bu altıbucaqlıdır, əsasları iki bərabər kvadrat, yan üzləri isə bərabər düzbucaqlıdır.

Yan qabırğa iki bitişik yan üzün ümumi tərəfidir

Prizmanın hündürlüyü prizmanın əsaslarına perpendikulyar olan xətt seqmentidir

Diaqonal prizma- eyni üzə aid olmayan əsasların iki təpəsini birləşdirən seqment

Diaqonal müstəvi- prizmanın diaqonalından və onun yan kənarlarından keçən müstəvi

Diaqonal bölmə- prizmanın və diaqonal müstəvinin kəsişməsinin sərhədləri. Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın diaqonal hissəsi düzbucaqlıdır

Perpendikulyar hissə (ortoqonal hissə)- bu prizmanın yan kənarlarına perpendikulyar çəkilmiş müstəvi ilə kəsişməsidir

Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın elementləri

Şəkildə müvafiq hərflərlə işarələnmiş iki müntəzəm dördbucaqlı prizma göstərilir:

• ABCD və A 1 B 1 C 1 D 1 əsasları bərabərdir və bir-birinə paraleldir
• Yan üzlər AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C və CC 1 D 1 D, hər biri düzbucaqlıdır
• Yan səth - prizmanın bütün yan üzlərinin sahələrinin cəmi
• Ümumi səth - bütün əsasların və yan üzlərin sahələrinin cəmi (yan səthin və əsasların sahəsinin cəmi)
• Yan qabırğalar AA 1, BB 1, CC 1 və DD 1.
• Diaqonal B 1 D
• Əsas diaqonal BD
• Diaqonal bölmə BB 1 D 1 D
• Perpendikulyar kəsiyi A 2 B 2 C 2 D 2.

Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın xassələri

• Əsaslar iki bərabər kvadratdır
• Bazalar bir-birinə paraleldir
• Yanları düzbucaqlıdır.
• Yan üzlər bir-birinə bərabərdir
• Yan üzlər əsaslara perpendikulyardır
• Yan qabırğalar bir-birinə paralel və bərabərdir
• Bütün yan qabırğalara perpendikulyar və əsaslara paralel olan perpendikulyar bölmə
• Perpendikulyar Bölmə Bucaqları - Sağ
• Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın diaqonal hissəsi düzbucaqlıdır
• Əsaslara paralel perpendikulyar (ortoqonal kəsik).

Müntəzəm dördbucaqlı prizma üçün düsturlar

Problemlərin həlli üçün göstərişlər

Mövzu ilə bağlı problemləri həll edərkən " müntəzəm dördbucaqlı prizma" o deməkdir ki:

Düzgün prizma- təməlində düzgün çoxbucaqlı olan və yan kənarları bazanın müstəvilərinə perpendikulyar olan prizma. Yəni adi dördbucaqlı prizma onun əsasında yerləşir kvadrat. (yuxarıda müntəzəm dördbucaqlı prizmanın xüsusiyyətlərinə baxın) Qeyd. Bu, həndəsə tapşırıqları olan dərsin bir hissəsidir (bərk həndəsə - prizma bölməsi). Burada həllində çətinlik yaradan vəzifələr var. Əgər burada olmayan həndəsə problemini həll etmək lazımdırsa - bu barədə forumda yazın. Problemlərin həllində kvadrat kökün çıxarılması hərəkətini ifadə etmək üçün simvoldan istifadə olunur√ .

Tapşırıq.

Düzgün dördbucaqlı prizmada əsas sahəsi 144 sm 2, hündürlüyü 14 sm-dir.Prizmanın diaqonalını və ümumi səth sahəsini tapın.

Həll.
Düzgün dördbucaqlı kvadratdır.
Müvafiq olaraq, bazanın tərəfi bərabər olacaqdır

√144 = 12 sm.
Buradan müntəzəm düzbucaqlı prizmanın əsasının diaqonalı bərabər olacaqdır
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Düzgün prizmanın diaqonalı təməlin diaqonalı və prizmanın hündürlüyü ilə düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. Müvafiq olaraq, Pifaqor teoreminə görə, verilmiş müntəzəm dördbucaqlı prizmanın diaqonalı aşağıdakılara bərabər olacaqdır:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 sm

Cavab verin: 22 sm

Tapşırıq

Düzgün dördbucaqlı prizmanın diaqonalı 5 sm və yan üzünün diaqonalı 4 sm-dirsə, onun ümumi səth sahəsini tapın.

Həll.
Düzgün dördbucaqlı prizmanın əsası kvadrat olduğundan, əsasın tərəfi (a kimi qeyd olunur) Pifaqor teoremi ilə tapılır:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Yan üzün hündürlüyü (h kimi qeyd olunur) onda bərabər olacaq:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Ümumi səth sahəsi yanal səth sahəsinin cəminə və əsas sahəsinin iki qatına bərabər olacaqdır

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Cavab: 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Məkan həndəsəsində, prizmalarla bağlı problemləri həll edərkən, bu üç ölçülü fiqurları meydana gətirən tərəflərin və ya üzlərin sahəsini hesablamaqda çox vaxt problem yaranır. Bu məqalə prizmanın əsasının və onun yan səthinin sahəsini təyin etmək məsələsinə həsr edilmişdir.

Fiqur prizması

Bu və ya digər növ prizmanın təməlinin və səthinin sahəsi üçün düsturların nəzərdən keçirilməsinə keçməzdən əvvəl hansı fiqurdan bəhs etdiyimizi başa düşmək lazımdır.

Həndəsədə prizma, bir-birinə bərabər olan iki paralel çoxbucaqlı və bir neçə dördbucaqlı və ya paraleloqramdan ibarət məkan fiqurudur. Sonuncuların sayı həmişə bir çoxbucaqlının təpələrinin sayına bərabərdir. Məsələn, əgər rəqəm iki paralel n-qonaqdan əmələ gəlirsə, onda paraleloqramların sayı n olacaqdır.

Paraleloqramın birləşdirici n-qonaqları prizmanın tərəfləri adlanır və onların ümumi sahəsi fiqurun yan səthinin sahəsidir. N-qonların özləri əsas adlanır.

Yuxarıdakı şəkildə kağız prizma nümunəsi göstərilir. Sarı düzbucaqlı onun yuxarı əsasıdır. Eyni fiqurun ikinci əsasında dayanır. Qırmızı və yaşıl düzbucaqlılar yan üzlərdir.

Prizmalar nədir?

Bir neçə növ prizma var. Onların hamısı bir-birindən yalnız iki parametrdə fərqlənir:

• əsasları təşkil edən n-qonşunun növü;
• n-gon və yan üzlər arasındakı bucaq.

Məsələn, əsaslar üçbucaqdırsa, o zaman prizma üçbucaqlı, əgər əvvəlki şəkildəki kimi dördbucaqlıdırsa, o zaman fiqur dördbucaqlı prizma adlanır və s. Bundan əlavə, n-gon qabarıq və ya konkav ola bilər, onda bu xüsusiyyət prizmanın adına da əlavə olunur.

Yan üzlər və əsas arasındakı bucaq düz və ya kəskin və ya küt ola bilər. Birinci halda, düzbucaqlı bir prizma haqqında, ikincisində - meylli və ya əyilmə haqqında danışırlar.

Daimi prizmalar xüsusi bir fiqur növünə bölünür. Onlar digər prizmalar arasında ən yüksək simmetriyaya malikdirlər. Yalnız düzbucaqlı və əsası düzgün n-bucaqlı olduqda düzgün olacaqdır. Aşağıdakı şəkildə n-qonşunun tərəflərinin sayı üçdən səkkizə qədər dəyişən müntəzəm prizmalar dəsti göstərilir.

Prizmanın səthi

İxtiyari tipli nəzərdən keçirilən fiqurun səthi altında prizmanın üzlərinə aid olan bütün nöqtələrin məcmusu başa düşülür. Prizmanın inkişafını nəzərə alaraq onun səthini öyrənmək rahatdır. Aşağıda üçbucaqlı prizma üçün belə bir süpürmə nümunəsidir.

Görünür ki, bütün səth iki üçbucaq və üç düzbucaqlıdan ibarətdir.

Ümumi tip prizma vəziyyətində onun səthi iki n-bucaqlı əsasdan və n dördbucaqlıdan ibarət olacaqdır.

Müxtəlif növ prizmaların səth sahəsinin hesablanması məsələsini daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Prizmanın əsas sahəsi

Prizmalarla işləyərkən bəlkə də ən asan məsələ adi bir fiqurun əsas sahəsini tapmaq problemidir. Bütün bucaqları və yan uzunluqları eyni olan n-bucaqlı ilə əmələ gəldiyi üçün onu həmişə bucaqları və tərəfləri məlum olan eyni üçbucaqlara bölmək mümkündür. Üçbucaqların ümumi sahəsi n-bucaqlının sahəsi olacaqdır.

Prizmanın (əsas) səth sahəsinin bir hissəsini təyin etməyin başqa bir yolu tanınmış bir düsturdan istifadə etməkdir. Bu belə görünür:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Yəni, n-qonşunun S n sahəsi onun a tərəfinin uzunluğuna dair bilik əsasında unikal şəkildə müəyyən edilir. Düsturun hesablanmasında bəzi çətinlik kotangensin hesablanması ola bilər, xüsusən n>4 olduqda (n≤4 üçün kotangensin dəyərləri cədvəl məlumatlarıdır). Bu triqonometrik funksiyanı təyin etmək üçün kalkulyatordan istifadə etmək tövsiyə olunur.

Həndəsi məsələ qoyarkən diqqətli olmalısınız, çünki prizmanın əsaslarının sahəsini tapmaq lazım ola bilər. Sonra düsturla alınan dəyər iki ilə vurulmalıdır.

Üçbucaqlı prizmanın əsas sahəsi

Üçbucaqlı prizma nümunəsindən istifadə edərək, bu rəqəmin əsasının sahəsini necə tapa biləcəyinizi düşünün.

Əvvəlcə sadə bir işi nəzərdən keçirin - müntəzəm prizma. Baza sahəsi yuxarıdakı bənddə verilmiş düstura görə hesablanır, ona n \u003d 3 əvəz etməlisiniz. Biz əldə edirik:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

İfadədə bir əsasın sahəsini almaq üçün bərabərtərəfli üçbucağın a tərəfinin uzunluğunun xüsusi dəyərlərini əvəz etmək qalır.

İndi fərz edək ki, təməli ixtiyari üçbucaq olan bir prizmamız var. Onun iki tərəfi a və b və onların arasındakı bucaq α məlumdur. Bu rəqəm aşağıda göstərilmişdir.

Bu vəziyyətdə üçbucaqlı prizmanın əsasının sahəsini necə tapmaq olar? Yadda saxlamaq lazımdır ki, hər hansı bir üçbucağın sahəsi tərəfin məhsulunun yarısına və bu tərəfə endirilən hündürlüyə bərabərdir. Şəkil b tərəfinə h hündürlüyünü göstərir. Uzunluğu h alfa bucağının sinusunun və a tərəfinin uzunluğunun hasilinə uyğundur. Sonra bütün üçbucağın sahəsi:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Bu təsvir olunan üçbucaqlı prizmanın əsas sahəsidir.

Yan səth

Prizmanın təməlinin sahəsini necə tapacağımızı anladıq. Bu fiqurun yan səthi həmişə paraleloqramlardan ibarətdir. Düz prizmalar üçün paraleloqramlar düzbucaqlıya çevrilir, buna görə də onların ümumi sahəsini hesablamaq asandır:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Burada b yan kənarın uzunluğu, i isə n-bucaqlının tərəfinin uzunluğu ilə üst-üstə düşən i-ci düzbucaqlının tərəfinin uzunluğudur. Normal n-bucaqlı prizma vəziyyətində sadə bir ifadə alırıq:

Prizma meyllidirsə, onun yanal səthinin sahəsini təyin etmək üçün perpendikulyar bir kəsik edilməlidir, onun perimetri P sr hesablanır və yanal qabırğanın uzunluğuna vurulur.

Yuxarıdakı rəqəm əyri beşbucaqlı prizma üçün bu kəsmənin necə aparılacağını göstərir.

Fərqli prizmalar bir-birindən fərqlidir. Eyni zamanda, onların çoxlu ortaq cəhətləri var. Prizmanın əsasının sahəsini tapmaq üçün onun hansı növə bənzədiyini anlamaq lazımdır.

Ümumi nəzəriyyə

Prizma, tərəfləri paraleloqram şəklində olan hər hansı çoxüzlüdür. Üstəlik, hər hansı bir polihedron onun əsasında ola bilər - üçbucaqdan n-bucaqlıya qədər. Üstəlik, prizmanın əsasları həmişə bir-birinə bərabərdir. Yan üzlərə nə aid edilmir - onlar ölçüdə əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənə bilər.

Problemləri həll edərkən, qarşılaşılan təkcə prizmanın əsas sahəsi deyil. Yan səthi, yəni əsas olmayan bütün üzləri bilmək lazım ola bilər. Tam səth artıq prizmanı təşkil edən bütün üzlərin birliyi olacaqdır.

Bəzən vəzifələrdə yüksəkliklər görünür. Əsaslara perpendikulyardır. Çoxüzlülərin diaqonalı eyni sifətə aid olmayan istənilən iki təpəni cüt-cüt birləşdirən seqmentdir.

Qeyd etmək lazımdır ki, düz və ya meylli prizmanın əsasının sahəsi onların və yan üzlər arasındakı bucaqdan asılı deyil. Əgər onların yuxarı və aşağı üzlərində eyni fiqurlar varsa, onda onların sahələri bərabər olacaq.

üçbucaqlı prizma

Onun bazasında üç təpəsi olan bir fiqur, yəni üçbucaq var. Fərqli olduğu məlumdur. Əgər onda onun sahəsinin ayaqların məhsulunun yarısı ilə müəyyən edildiyini xatırlamaq kifayətdir.

Riyazi qeyd belə görünür: S = ½ av.

Baza sahəsini ümumi formada tapmaq üçün düsturlar faydalıdır: Heron və tərəfin yarısının ona çəkilmiş hündürlüyə götürüldüyü biri.

Birinci düstur belə yazılmalıdır: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Bu giriş yarım perimetri (p) ehtiva edir, yəni üç tərəfin cəmi ikiyə bölünür.

İkinci: S = ½ n a * a.

Düzgün olan üçbucaqlı prizmanın əsasının sahəsini bilmək istəyirsinizsə, onda üçbucaq bərabərtərəfli olur. Onun öz düsturu var: S = ¼ a 2 * √3.

dördbucaqlı prizma

Onun əsası məlum dördbucaqlılardan hər hansı birisidir. Bu düzbucaqlı və ya kvadrat, paralelepiped və ya romb ola bilər. Hər bir halda, prizmanın əsasının sahəsini hesablamaq üçün öz düsturunuza ehtiyacınız olacaq.

Baza düzbucaqlıdırsa, onda onun sahəsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir: S = av, burada a, b düzbucaqlının tərəfləridir.

Dördbucaqlı prizmaya gəldikdə, adi prizmanın əsas sahəsi kvadrat üçün düsturdan istifadə edərək hesablanır. Çünki təməldə yatan odur. S \u003d a 2.

Baza paralelepiped olduqda, aşağıdakı bərabərlik tələb olunacaq: S \u003d a * n a. Elə olur ki, paralelepipedin bir tərəfi və bucaqlarından biri verilir. Sonra hündürlüyü hesablamaq üçün əlavə bir düsturdan istifadə etməlisiniz: na \u003d b * sin A. Üstəlik, A bucağı "b" tərəfinə bitişikdir və hündürlüyü bu bucağın əksinədir.

Prizmanın təməlində romb yerləşirsə, onun sahəsini təyin etmək üçün paraleloqramdakı kimi eyni düstur lazım olacaq (çünki bu, onun xüsusi halıdır). Ancaq bundan da istifadə edə bilərsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 və d 2 rombun iki diaqonalıdır.

Daimi beşbucaqlı prizma

Bu iş çoxbucaqlının sahələrini tapmaq daha asan olan üçbucaqlara bölməyi nəzərdə tutur. Baxmayaraq ki, rəqəmlər fərqli sayda uclarla ola bilər.

Prizmanın əsası düzgün beşbucaqlı olduğundan onu beş bərabərtərəfli üçbucağa bölmək olar. Sonra prizmanın əsasının sahəsi beşə vurulan belə bir üçbucağın sahəsinə bərabərdir (düstur yuxarıda görünə bilər).

Daimi altıbucaqlı prizma

Beşbucaqlı prizma üçün təsvir edilən prinsipə əsasən, əsas altıbucaqlını 6 bərabərtərəfli üçbucağa bölmək olar. Belə bir prizmanın əsasının sahəsi üçün düstur əvvəlkinə bənzəyir. Yalnız altı ilə vurulmalıdır.

Düstur belə görünəcək: S = 3/2 və 2 * √3.

Tapşırıqlar

№ 1. Müntəzəm düz xətt verilmişdir.Onun diaqonalı 22 sm, polihedrin hündürlüyü 14 sm-dir.Prizmanın əsasının və bütün səthinin sahəsini hesablayın.

Həll. Prizmanın əsası kvadratdır, lakin tərəfi məlum deyil. Onun qiymətini kvadratın (x) diaqonalından tapa bilərsiniz, bu prizmanın diaqonalı (d) və hündürlüyü (n) ilə bağlıdır. x 2 \u003d d 2 - n 2. Digər tərəfdən, bu "x" seqmenti ayaqları kvadratın tərəfinə bərabər olan üçbucağın hipotenuzudur. Yəni x 2 \u003d a 2 + a 2. Beləliklə, məlum olur ki, 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

d əvəzinə 22 rəqəmini dəyişdirin və "n" dəyərini - 14 ilə əvəz edin, kvadratın tərəfinin 12 sm olduğu ortaya çıxdı. İndi əsas sahəsini tapmaq asandır: 12 * 12 \u003d 144 sm 2 .

Bütün səthin sahəsini tapmaq üçün əsas sahəsinin dəyərini iki dəfə əlavə etmək və tərəfi dörd dəfə artırmaq lazımdır. Sonuncunu düzbucaqlı üçün düsturla tapmaq asandır: polihedronun hündürlüyünü və təməlin tərəfini çoxaltın. Yəni 14 və 12, bu rəqəm 168 sm 2-ə bərabər olacaq. Prizmanın ümumi səthinin sahəsi 960 sm 2 olduğu müəyyən edilmişdir.

Cavab verin. Prizmanın əsas sahəsi 144 sm2-dir. Bütün səth - 960 sm 2.

No 2. Dana Bazada tərəfi 6 sm olan üçbucaq yerləşir.Bu halda yan üzün diaqonalı 10 sm-dir.Sahələri hesablayın: əsas və yan səth.

Həll. Prizma nizamlı olduğundan onun əsası bərabərtərəfli üçbucaqdır. Buna görə də, onun sahəsi 6 kvadrat çarpı ¼ və kvadrat kökü 3-ə bərabər olur. Sadə bir hesablama nəticəyə gətirib çıxarır: 9√3 sm 2. Bu prizmanın bir əsasının sahəsidir.

Bütün yan üzlər eynidir və tərəfləri 6 və 10 sm olan düzbucaqlıdır.Onların sahələrini hesablamaq üçün bu ədədləri çoxaltmaq kifayətdir. Sonra onları üçə vurun, çünki prizmanın tam olaraq çoxlu yan üzü var. Sonra yan səthin sahəsi 180 sm 2 sarılır.

Cavab verin. Sahələr: əsas - 9√3 sm 2, prizmanın yan səthi - 180 sm 2.

Bərk həndəsə kursu üçün məktəb kurikulumunda üçölçülü fiqurların öyrənilməsi adətən sadə həndəsi cisimdən - prizma polihedronundan başlayır. Onun əsaslarının rolunu paralel müstəvilərdə yerləşən 2 bərabər çoxbucaqlı yerinə yetirir. Xüsusi bir hal müntəzəm dördbucaqlı prizmadır. Onun əsasları paraleloqramların (və ya prizma meylli deyilsə düzbucaqlıların) formasına malik olan tərəfləri perpendikulyar olan 2 eyni müntəzəm dördbucaqlıdır.

Prizma nə kimi görünür

Müntəzəm dördbucaqlı prizma altıbucaqlıdır, onun əsaslarında 2 kvadrat var və yan üzləri düzbucaqlılarla təmsil olunur. Bu həndəsi fiqurun başqa bir adı düz paralelepipeddir.

Dördbucaqlı prizmanı təsvir edən rəqəm aşağıda göstərilmişdir.

Şəkildə də görə bilərsiniz həndəsi cismi təşkil edən ən mühüm elementlər. Onlar adətən belə adlandırılır:

Bəzən həndəsə problemlərində bölmə anlayışını tapa bilərsiniz. Tərif belə səslənəcək: bir bölmə, kəsici təyyarəyə aid olan həcmli bir cismin bütün nöqtələridir. Bölmə perpendikulyardır (şəklin kənarlarını 90 dərəcə bir açı ilə keçir). Düzbucaqlı bir prizma üçün, 2 kənarından və əsasın diaqonallarından keçən diaqonal bölmə də nəzərə alınır (qurula bilən bölmələrin maksimum sayı 2-dir).

Əgər kəsik kəsici müstəvi nə əsaslara, nə də yan üzlərə paralel olmayacaq şəkildə çəkilirsə, nəticədə kəsilmiş prizma alınır.

Aşağı salınmış prizmatik elementləri tapmaq üçün müxtəlif nisbətlərdən və düsturlardan istifadə olunur. Onlardan bəziləri planimetriya kursundan məlumdur (məsələn, prizmanın əsasının sahəsini tapmaq üçün kvadratın sahəsinin düsturunu xatırlamaq kifayətdir).

Səth sahəsi və həcmi

Düsturdan istifadə edərək bir prizmanın həcmini təyin etmək üçün onun baza sahəsini və hündürlüyünü bilməlisiniz:

V = Sprim h

Müntəzəm tetraedral prizmanın əsası tərəfi olan kvadrat olduğundan a, Formulu daha ətraflı şəkildə yaza bilərsiniz:

V = a² h

Bir kubdan - uzunluğu, eni və hündürlüyü bərabər olan müntəzəm prizmadan danışırıqsa, həcm aşağıdakı kimi hesablanır:

Prizmanın yanal səth sahəsini necə tapmaq lazım olduğunu başa düşmək üçün onun süpürgəsini təsəvvür etmək lazımdır.

Rəsmdən görünür ki, yan səth 4 bərabər düzbucaqlıdan ibarətdir. Onun sahəsi bazanın perimetri ilə fiqurun hündürlüyünün məhsulu kimi hesablanır:

Yan = Pos h

Kvadratın perimetri olduğundan P = 4a, formula formasını alır:

Yan = 4a h

kub üçün:

Yan tərəf = 4a²

Prizmanın ümumi səth sahəsini hesablamaq üçün yan sahəyə 2 əsas sahə əlavə edin:

Sfull = Sside + 2Sbase

Dördbucaqlı müntəzəm prizmaya tətbiq edildikdə, düstur aşağıdakı formaya malikdir:

Sfull = 4a h + 2a²

Bir kubun səth sahəsi üçün:

Sfull = 6a²

Həcmi və ya səth sahəsini bilməklə, həndəsi bir cismin fərdi elementlərini hesablaya bilərsiniz.

Prizma elementlərinin tapılması

Tez-tez həcmin verildiyi və ya yanal səth sahəsinin dəyərinin bilindiyi problemlər var, burada bazanın tərəfinin uzunluğunu və ya hündürlüyünü müəyyən etmək lazımdır. Belə hallarda düsturlar əldə edilə bilər:

• əsas tərəfin uzunluğu: a = Sside / 4h = √(V / h);
• hündürlüyü və ya yan qabırğa uzunluğu: h = Sside / 4a = V / a²;
• baza sahəsi: Sprim = V / h;
• yan üz sahəsi: Yan gr = Yan tərəf / 4.

Diaqonal hissənin nə qədər sahəsi olduğunu müəyyən etmək üçün diaqonalın uzunluğunu və rəqəmin hündürlüyünü bilmək lazımdır. Bir kvadrat üçün d = a√2. Buna görə də:

Sdiag = ah√2

Prizmanın diaqonalını hesablamaq üçün düsturdan istifadə olunur:

dprize = √(2a² + h²)

Yuxarıdakı nisbətləri necə tətbiq edəcəyinizi başa düşmək üçün bir neçə sadə işi məşq edə və həll edə bilərsiniz.

Problemlərin həlli ilə bağlı nümunələr

Riyaziyyatdan dövlət buraxılış imtahanlarında görünən bəzi tapşırıqlar bunlardır.

Məşq 1.

Qum adi dördbucaqlı prizmaya bənzər bir qutuya tökülür. Onun səviyyəsinin hündürlüyü 10 sm-dir.Qumun eyni formalı, lakin əsas uzunluğu 2 dəfə uzun bir qaba köçürsəniz, onun səviyyəsi nə olacaq?

Bunu aşağıdakı kimi mübahisə etmək lazımdır. Birinci və ikinci qablardakı qumun miqdarı dəyişmədi, yəni onlarda onun həcmi eynidir. Baza uzunluğunu aşağıdakı kimi təyin edə bilərsiniz a. Bu halda, birinci qutu üçün maddənin həcmi:

V₁ = ha² = 10a²

İkinci qutu üçün bazanın uzunluğu 2a, lakin qum səviyyəsinin hündürlüyü məlum deyil:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Çünki V₁ = V₂, ifadələri bərabərləşdirmək olar:

10a² = 4ha²

Tənliyin hər iki tərəfini a² azaltdıqdan sonra alırıq:

Nəticədə, yeni qum səviyyəsi olacaq h = 10/4 = 2,5 santimetr.

Tapşırıq 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ müntəzəm prizmadır. Məlumdur ki, BD = AB₁ = 6√2. Bədənin ümumi səthini tapın.

Hansı elementlərin məlum olduğunu başa düşməyi asanlaşdırmaq üçün bir rəqəm çəkə bilərsiniz.

Müntəzəm prizmadan bəhs etdiyimiz üçün əsasın diaqonalı 6√2 olan kvadrat olduğu qənaətinə gələ bilərik. Yan üzün diaqonalı eyni dəyərə malikdir, buna görə də yan üz də bazaya bərabər kvadrat şəklinə malikdir. Belə çıxır ki, hər üç ölçü - uzunluq, en və hündürlük bərabərdir. Belə nəticəyə gələ bilərik ki, ABCDA₁B₁C₁D₁ kubdur.

Hər hansı bir kənarın uzunluğu məlum diaqonal vasitəsilə müəyyən edilir:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ümumi səth sahəsi kub üçün düsturla tapılır:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Tapşırıq 3.

Otaq təmir olunur. Məlumdur ki, onun döşəməsi 9 m² sahəsi olan kvadrat formasına malikdir. Otağın hündürlüyü 2,5 m-dir, 1 m² 50 rubla başa gəlirsə, otağın divar kağızı ilə örtülməsinin ən aşağı qiyməti nədir?

Döşəmə və tavan kvadratlar, yəni nizamlı dördbucaqlar və divarları üfüqi səthlərə perpendikulyar olduğundan, onun müntəzəm prizma olduğu qənaətinə gələ bilərik. Yan səthinin sahəsini müəyyən etmək lazımdır.

Otağın uzunluğu a = √9 = 3 m.

Meydan divar kağızı ilə örtüləcək Yan tərəf = 4 3 2.5 = 30 m².

Bu otaq üçün divar kağızı ən aşağı qiyməti olacaq 50 30 = 1500 rubl.

Beləliklə, düzbucaqlı prizma üçün məsələləri həll etmək üçün kvadratın və düzbucağın sahəsini və perimetrini hesablaya bilmək, həmçinin həcmi və səth sahəsini tapmaq üçün düsturları bilmək kifayətdir.

Bir kubun sahəsini necə tapmaq olar