İki ədədin ortaq qatının tapılması. Ən az ümumi çoxluğu tapmaq yolları, nok is və bütün izahatlar
İkinci nömrə: b=
Rəqəm ayırıcı Boşluq ayırıcı yoxdur "´
Nəticə:
Ən Böyük Ümumi Bölən gcd( a,b)=6
LCM-nin ən kiçik ümumi çoxluğu( a,b)=468
a və b ədədlərinin qalıqsız bölündüyü ən böyük natural ədəd deyilir ən böyük ortaq bölən(gcd) bu nömrələrin. İşarə gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) və ya hcf(a,b).
Ən kiçik ümumi çoxluq(LCM) a və b iki tam ədədi a və b-yə qalıqsız bölünən ən kiçik natural ədəddir. LCM(a,b) və ya lcm(a,b) ilə işarələnir.
a və b tam ədədləri deyilir coprime onların +1 və −1-dən başqa ümumi bölənləri yoxdursa.
Ən Böyük Ümumi Bölən
İki müsbət ədəd verilsin a 1 və a 2 1). Bu ədədlərin ortaq bölənini tapmaq tələb olunur, yəni. belə bir nömrə tapın λ , ədədləri bölən a 1 və a 2 eyni zamanda. Alqoritmi təsvir edək.
1) Bu məqalədə nömrə sözü tam ədəd mənasını verəcəkdir.
Qoy a 1 ≥ a 2 və icazə verin
harada m 1 , a 3 bəzi tam ədədlərdir, a 3 <a 2 (bölmədən qalan a 1 haqqında a 2 az olmalıdır a 2).
Belə iddia edək λ bölür a 1 və a 2, onda λ bölür m 1 a 2 və λ bölür a 1 −m 1 a 2 =a 3 (“Ədədlərin bölünmə qabiliyyəti. Bölünmə əlaməti” məqaləsinin 2-ci təsdiqi). Buradan belə çıxır ki, hər ortaq bölən a 1 və a 2 ümumi böləndir a 2 və a 3 . Əks halda da doğrudur λ ortaq bölən a 2 və a 3, onda m 1 a 2 və a 1 =m 1 a 2 +a 3-ə də bölünür λ . Beləliklə, ümumi bölən a 2 və a 3 də ümumi böləndir a 1 və a 2. Çünki a 3 <a 2 ≤a 1 , onda deyə bilərik ki, ədədlərin ortaq böləninin tapılması məsələsinin həlli a 1 və a 2 ədədlərin ümumi bölənini tapmaq üçün daha sadə bir məsələyə endirildi a 2 və a 3 .
Əgər a a 3 ≠0, onda biz bölmək olar a 2 haqqında a 3 . Sonra
,
harada m 1 və a 4 bəzi tam ədədlərdir, ( a Bölmənin 4 qalığı a 2 haqqında a 3 (a 4 <a 3)). Oxşar mülahizələrlə belə nəticəyə gəlirik ki, ədədlərin ortaq bölənləri a 3 və a 4 ədədlərin ümumi bölənləri ilə eynidir a 2 və a 3 və həmçinin ümumi bölənlərlə a 1 və a 2. Çünki a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... daim azalan ədədlər və arasında sonlu sayda tam ədədlər olduğundan a 2 və 0, sonra bir addım n, bölmənin qalan hissəsi a n on a n+1 sıfıra bərabər olacaq ( a n+2=0).
.
Hər ortaq bölən λ nömrələri a 1 və a 2 həm də ədədlərin bölənidir a 2 və a 3 , a 3 və a 4 , .... a n və a n+1 . Əksi də doğrudur, ədədlərin ümumi bölənləri a n və a n+1 həm də ədədlərin bölənləridir a n−1 və a n , .... , a 2 və a 3 , a 1 və a 2. Ancaq ümumi bölən a n və a n+1 ədəddir a n+1, çünki a n və a n+1-ə bölünür a n+1 (xatırlayın a n+2=0). Nəticədə a n+1 həm də ədədlərin bölənidir a 1 və a 2 .
Qeyd edək ki, nömrə a n+1 ədədin ən böyük bölənidir a n və a n+1 , ən böyük böləndən bəri a n+1 özüdür a n+1 . Əgər a a n + 1 tam ədədlərin hasili kimi göstərilə bilər, onda bu ədədlər də ədədlərin ümumi bölənləridir. a 1 və a 2. Nömrə a n+1 adlanır ən böyük ortaq bölən nömrələri a 1 və a 2 .
Nömrələri a 1 və a 2 həm müsbət, həm də mənfi ədəd ola bilər. Rəqəmlərdən biri sıfıra bərabərdirsə, bu ədədlərin ən böyük ortaq böləni digər ədədin mütləq qiymətinə bərabər olacaqdır. Sıfır ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi müəyyən edilməmişdir.
Yuxarıda göstərilən alqoritm adlanır Evklid alqoritmi iki tam ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq.
İki ədədin ən böyük ortaq böləninin tapılması nümunəsi
İki ədəd 630 və 434-ün ən böyük ortaq bölənini tapın.
- Addım 1. 630 rəqəmini 434-ə bölün. Qalan 196-dır.
- Addım 2. 434 rəqəmini 196-ya bölün. Qalan 42-dir.
- Addım 3. 196 rəqəmini 42-yə bölün. Qalan 28-dir.
- Addım 4. 42 rəqəmini 28-ə bölün. Qalan 14-dür.
- Addım 5. 28 rəqəmini 14-ə bölün. Qalan 0-dır.
5-ci addımda bölmənin qalığı 0-dır.Ona görə də 630 və 434 ədədlərinin ən böyük ortaq bölanı 14-dür.Qeyd edək ki, 2 və 7 ədədləri də 630 və 434 ədədlərinin bölənləridir.
Müqayisəli ədədlər
Tərif 1. Ədədlərin ən böyük ortaq böləni olsun a 1 və a 2 birə bərabərdir. Sonra bu nömrələr çağırılır ümumi ədədlər ortaq bölən yoxdur.
Teorem 1. Əgər a a 1 və a 2 nisbətən sadə ədəd və λ bəzi ədəd, sonra ədədlərin hər hansı ümumi bölən λa 1 və a 2 də ədədlərin ümumi bölənidir λ və a 2 .
Sübut. Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün Evklidin alqoritmini nəzərdən keçirək. a 1 və a 2 (yuxarıya bax).
.
Teoremin şərtlərindən belə çıxır ki, ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir a 1 və a 2 və buna görə də a n və a n+1 1-dir. Yəni. a n+1=1.
Gəlin bütün bu bərabərlikləri vuraq λ , sonra
.
Ortaq bölən olsun a 1 λ və a 2-dir δ . Sonra δ amil kimi daxil olur a 1 λ , m 1 a 2 λ və içində a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Bax: “Ədədlərin bölünməsi”, 2-ci bəyanat). Daha δ amil kimi daxil olur a 2 λ və m 2 a 3 λ , və buna görə də amil kimi daxil olur a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Bu cür düşünməklə biz buna əmin oluruq δ amil kimi daxil olur a n−1 λ və m n−1 a n λ , və buna görə də a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Çünki a n+1 =1, onda δ amil kimi daxil olur λ . Beləliklə, nömrə δ ədədlərin ümumi bölənidir λ və a 2 .
Teorem 1-in xüsusi hallarını nəzərdən keçirin.
Nəticə 1. Qoy a və c sadə ədədlər nisbətəndir b. Sonra onların məhsulu ac ilə bağlı sadə ədəddir b.
Həqiqətən. Teorem 1-dən ac və b ilə eyni ümumi bölənlərə malikdir c və b. Amma rəqəmlər c və b coprime, yəni. tək ortaq bölən var 1. Sonra ac və b tək ortaq bölən də var 1. Deməli ac və b qarşılıqlı sadə.
Nəticə 2. Qoy a və bədədləri birləşdirin və icazə verin b bölür ak. Sonra b bölür və k.
Həqiqətən. Təsdiq şərtindən ak və b ortaq bölən var b. Teorem 1-ə əsasən, bümumi bölən olmalıdır b və k. Nəticədə b bölür k.
Nəticə 1 ümumiləşdirilə bilər.
Nəticə 3. 1. Rəqəmlər olsun a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ədədə nisbətən sadədir b. Sonra a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , bu ədədlərin hasili ədədə görə sadədir b.
2. İki sıra ədədimiz olsun
elə ki, birinci cərgədəki hər bir ədəd ikinci cərgədəki hər ədədə nisbətən sadə olsun. Sonra məhsul
Bu ədədlərin hər birinə bölünən elə ədədləri tapmaq tələb olunur.
Əgər ədəd bölünürsə a 1, sonra belə görünür sa 1, harada s bəzi nömrə. Əgər a qədədlərin ən böyük ortaq bölənidir a 1 və a 2, onda
harada s 1 bəzi tam ədəddir. Sonra
edir ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu a 1 və a 2 .
a 1 və a 2 misal, sonra ədədlərin ən kiçik ortaq qatı a 1 və a 2:
Bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapın.
Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır ki, rəqəmlərin hər hansı çoxluğu a 1 , a 2 , a 3 ədədin çoxluğu olmalıdır ε və a 3 və əksinə. Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu olsun ε və a 3-dür ε bir . Bundan əlavə, çox sayda ədəd a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ədədlərin çoxluğu olmalıdır ε 1 və a dörd. Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu olsun ε 1 və a 4-dür ε 2. Beləliklə, bütün ədədlərin çoxluq olduğunu öyrəndik a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m müəyyən bir ədədin qatları ilə üst-üstə düşür ε n , bu verilmiş ədədlərin ən kiçik ortaq qatı adlanır.
Xüsusi halda, rəqəmlər a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ümumi, sonra ədədlərin ən kiçik ortaq qatı a 1 , a 2 yuxarıda göstərildiyi kimi (3) formasına malikdir. Bundan əlavə, bəri a Rəqəmlərə görə 3 sadə a 1 , a 2, onda a 3 sadə nisbi ədəddir a bir · a 2 (Nəticə 1). Beləliklə, ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu a 1 ,a 2 ,a 3 rəqəmdir a bir · a 2 · a 3 . Bənzər bir şəkildə mübahisə edərək, aşağıdakı iddialara çatırıq.
Bəyanat 1. Müsəlman ədədlərinin ən kiçik ümumi çoxluğu a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m onların məhsuluna bərabərdir a bir · a 2 · a 3 ··· a m .
Bəyanat 2. Hər birinə bölünən hər hansı bir ədəd a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m onların hasilinə də bölünür a bir · a 2 · a 3 ··· a m .
Tərif. a və b ədədlərinin qalıqsız bölündüyü ən böyük natural ədəd deyilir ən böyük ortaq bölən (gcd) bu nömrələr.
24 və 35 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapaq.
24-ün bölənləri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35-in bölənləri isə 1, 5, 7, 35 rəqəmləri olacaq.
Görürük ki, 24 və 35 ədədlərinin yalnız bir ümumi bölən var - 1 ədədi. Belə ədədlər adlanır. coprime.
Tərif. Natural ədədlər deyilir coprime onların ən böyük ortaq bölanı (gcd) 1 olarsa.
Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD) verilmiş ədədlərin bütün bölənlərini yazmadan tapmaq olar.
48 və 36 nömrələrini çarparaq alırıq:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu nömrələrdən birincisinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən ikinci nömrənin genişlənməsinə daxil olmayanları (yəni iki ikilik) silirik.
2 * 2 * 3 faktorları qalır.Onların hasilləri 12-dir. Bu ədəd 48 və 36 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Üç və ya daha çox ədədin ən böyük ortaq bölməsi də tapılır.
Tapmaq ən böyük ortaq bölən
2) bu rəqəmlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən digər rəqəmlərin genişlənməsinə daxil olmayanları kəsin;
3) qalan amillərin hasilini tapın.
Əgər bütün verilmiş ədədlər onlardan birinə bölünürsə, bu ədəddir ən böyük ortaq bölən verilmiş nömrələr.
Məsələn, 15, 45, 75 və 180-in ən böyük ortaq bölməsi 15-dir, çünki o, bütün digər ədədləri bölür: 45, 75 və 180.
Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM)
Tərif. Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM) a və b natural ədədləri həm a, həm də b-nin qatı olan ən kiçik natural ədəddir. 75 və 60 ədədlərinin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) bu ədədlərin qatlarını ardıcıl olaraq yazmadan tapmaq olar. Bunu etmək üçün 75 və 60-ı sadə amillərə parçalayırıq: 75 \u003d 3 * 5 * 5 və 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Bu ədədlərdən birincisinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazırıq və onlara ikinci ədədin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 amilləri əlavə edirik (yəni amilləri birləşdiririk).
Biz beş amil alırıq 2 * 2 * 3 * 5 * 5, məhsulu 300. Bu rəqəm 75 və 60 ədədlərinin ən kiçik ümumi qatıdır.
Həmçinin üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapın.
Kimə ən kiçik ümumi çoxluğu tapın bir neçə natural ədədə ehtiyacınız var:
1) onları əsas amillərə ayırın;
2) ədədlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazın;
3) onlara qalan nömrələrin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə edin;
4) yaranan amillərin hasilini tapın.
Qeyd edək ki, bu ədədlərdən biri bütün digər ədədlərə bölünürsə, bu ədəd bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatıdır.
Məsələn, 12, 15, 20 və 60-ın ən kiçik ümumi çoxluğu 60 olardı, çünki o, bütün verilmiş ədədlərə bölünür.
Pifaqor (e.ə. VI əsr) və onun tələbələri ədədlərin bölünməsi məsələsini öyrənmişlər. Bütün bölənlərin cəminə bərabər olan bir ədəd (rəqəmin özü olmadan) onlar mükəmməl ədəd adlandırdılar. Məsələn, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) rəqəmləri mükəmməldir. Növbəti mükəmməl rəqəmlər 496, 8128, 33,550,336-dır.Pifaqorçular yalnız ilk üç mükəmməl rəqəmi bilirdilər. Dördüncü - 8128 - 1-ci əsrdə məlum oldu. n. e. Beşinci - 33 550 336 - 15-ci əsrdə tapıldı. 1983-cü ilə qədər 27 mükəmməl rəqəm artıq məlum idi. Amma indiyə qədər elm adamları tək mükəmməl ədədlərin olub-olmadığını, ən böyük mükəmməl ədədin olub olmadığını bilmirlər.
Qədim riyaziyyatçıların sadə ədədlərə marağı onunla bağlıdır ki, istənilən ədəd sadədir və ya sadə ədədlərin hasili kimi göstərilə bilər, yəni sadə ədədlər təbii ədədlərin qalan hissəsinin tikildiyi kərpic kimidir.
Yəqin ki, təbii ədədlər seriyasındakı sadə ədədlərin qeyri-bərabər şəkildə baş verdiyini görmüsünüz - seriyanın bəzi hissələrində daha çox, digərlərində isə daha azdır. Amma biz say silsiləsi boyu irəlilədikcə, sadə ədədlər daha nadir olur. Sual yaranır: sonuncu (ən böyük) sadə ədəd mövcuddurmu? Qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid (e.ə. III əsr) iki min il ərzində riyaziyyatın əsas dərsliyi olan “Başlanğıclar” kitabında sonsuz sayda sadə ədədlərin olduğunu, yəni hər sadə ədədin arxasında bir cüt olduğunu sübut etmişdir. daha böyük sadə ədəd.
Sadə ədədləri tapmaq üçün eyni dövrün başqa bir yunan riyaziyyatçısı Eratosthenes belə bir üsul tapdı. O, 1-dən hansısa ədədə qədər bütün rəqəmləri yazdı, sonra nə sadə, nə də mürəkkəb ədəd olmayan vahidin üstündən xətt çəkdi, sonra 2-dən sonrakı bütün rəqəmləri (2-yə, yəni 4-ə çarpan ədədlər) birinin üstündən xətt çəkdi. 6, 8 və s.). 2-dən sonra qalan ilk ədəd 3 idi. Sonra ikidən sonra 3-dən sonrakı bütün rəqəmlərin üstündən xətt çəkildi (3-ün qatları olan ədədlər, yəni 6, 9, 12 və s.). sonda yalnız sadə ədədlər çarpazsız qaldı.
Ümumi çoxluqlar
Sadə dillə desək, verilmiş ədədlərin hər birinə bölünən istənilən tam ədəddir ümumi çoxluq verilmiş tam ədədlər.
Siz iki və ya daha çox tam ədədin ümumi çoxluğunu tapa bilərsiniz.
Misal 1
İki ədədin ümumi qatını hesablayın: $2$ və $5$.
Həll.
Tərifə görə, $2$ və $5$-ın ümumi çoxluğu $10$-dır, çünki $2$ və $5$-ın qatıdır:
$2$ və $5$ ədədlərinin ümumi qatları da $–10, 20, –20, 30, –30$ və s. olacaq, çünki onların hamısı $2$ və $5$-a bölünür.
Qeyd 1
Sıfır istənilən sayda sıfırdan fərqli tam ədədlərin ümumi çoxluğudur.
Bölünmə xüsusiyyətlərinə görə, müəyyən ədəd bir neçə ədədin ortaq qatıdırsa, işarəsi ilə əks olan ədəd də verilmiş ədədlərin ortaq qatı olacaqdır. Bunu nəzərdən keçirilən nümunədən görmək olar.
Verilmiş tam ədədlər üçün siz həmişə onların ümumi çoxluğunu tapa bilərsiniz.
Misal 2
$111$ və $55$-ın ümumi qatını hesablayın.
Həll.
Verilmiş ədədləri çarpın: $111\div 55=6105$. 6105$ rəqəminin $111$ və $55$ rəqəmlərinə bölündüyünü yoxlamaq asandır:
$6105\div 111=55$;
$6105\div 55=111$.
Beləliklə, $6105$ $111$ və $55$-ın ümumi qatıdır.
Cavab verin: $111$ və $55$-ın ümumi çoxluğu $6105$-dır.
Ancaq əvvəlki nümunədən gördüyümüz kimi, bu ümumi çoxluq bir deyil. Digər ümumi qatlar $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$ və s. Beləliklə, aşağıdakı nəticəyə gəldik:
Qeyd 2
İstənilən tam ədədlər çoxluğunda sonsuz sayda ümumi çarpalar var.
Təcrübədə onlar yalnız müsbət tam (təbii) ədədlərin ümumi qatlarını tapmaqla məhdudlaşır, çünki verilmiş ədədin qatlarının çoxluğu ilə onun əksi üst-üstə düşür.
Ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması
Çox vaxt verilmiş ədədin bütün qatlarından ən kiçik ümumi çoxluq (LCM) istifadə olunur.
Tərif 2
Verilmiş tam ədədlərin ən kiçik müsbət ümumi çoxluğudur ən az ümumi çoxluq bu nömrələr.
Misal 3
$4$ və $7$ rəqəmlərinin LCM-ni hesablayın.
Həll.
Çünki bu ədədlərin ümumi bölənləri yoxdur, onda $LCM(4,7)=28$.
Cavab verin: $LCM(4,7)=28$.
NOD vasitəsilə MOK-u tapmaq
Çünki LCM və GCD arasında əlaqə var, onun köməyi ilə hesablamaq mümkündür İki müsbət tam ədədin LCM-i:
Qeyd 3
Misal 4
$232$ və $84$ rəqəmlərinin LCM-ni hesablayın.
Həll.
GCD vasitəsilə LCM-i tapmaq üçün düsturdan istifadə edək:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$
$232$ və $84$ ədədlərinin gcd-ni Evklid alqoritmindən istifadə edərək tapaq:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Bunlar. $gcd (232, 84)=4$.
Gəlin $LCM (232, 84)$ tapaq:
$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
Cavab verin: $NOK(232,84)=4872$.
Misal 5
$LCM (23, 46)$ hesablayın.
Həll.
Çünki $46$ bərabər şəkildə $23$-a bölünür, sonra $gcd(23, 46)=23$. NOC-u tapaq:
$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
Cavab verin: $NOK(23.46)=46$.
Beləliklə, bir şəxs formalaşdıra bilər qayda:
Qeyd 4
Aşağıda təqdim olunan material LCM başlığı altındakı məqalədən nəzəriyyənin məntiqi davamıdır - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr, LCM və GCD arasındakı əlaqə. Burada biz danışacağıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq (LCM), və misalların həllinə xüsusi diqqət yetirin. Əvvəlcə iki ədədin LCM-nin bu ədədlərin GCD baxımından necə hesablandığını göstərək. Sonra, ədədləri sadə amillərə ayırmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağı düşünün. Bundan sonra biz üç və ya daha çox ədədin LCM-nin tapılmasına diqqət yetirəcəyik, həmçinin mənfi ədədlərin LCM-nin hesablanmasına diqqət yetirəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
gcd vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğun (LCM) hesablanması
Ən az ümumi çoxluğu tapmağın bir yolu LCM və GCD arasındakı əlaqəyə əsaslanır. LCM və GCD arasındakı mövcud əlaqə məlum ən böyük ümumi bölən vasitəsilə iki müsbət tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamağa imkan verir. Müvafiq formulun forması var LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Yuxarıdakı düstura görə LCM-nin tapılması nümunələrinə nəzər salın.
Misal.
126 və 70 iki ədədinin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
Bu misalda a=126 , b=70 . Düsturla ifadə olunan LCM və GCD arasındakı əlaqədən istifadə edək LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Yəni əvvəlcə 70 və 126 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmalıyıq, bundan sonra yazılı düsturla bu ədədlərin LCM-ni hesablaya bilərik.
Evklidin alqoritmindən istifadə edərək gcd(126, 70) tapın: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deməli gcd(126, 70)=14 .
İndi tələb olunan ən kiçik ümumi çoxluğu tapırıq: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Cavab:
LCM(126, 70)=630 .
Misal.
LCM(68, 34) nədir?
Həll.
Çünki 68 34-ə bərabər bölünür, onda gcd(68, 34)=34 . İndi ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayırıq: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Cavab:
LCM(68, 34)=68 .
Qeyd edək ki, əvvəlki misal a və b müsbət tam ədədləri üçün LCM-i tapmaq üçün aşağıdakı qaydaya uyğundur: əgər a sayı b-yə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu a-dır.
Nömrələri əsas faktorlara ayırmaqla LCM-nin tapılması
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın başqa bir yolu ədədləri sadə amillərə ayırmağa əsaslanır. Əgər bu ədədlərin bütün sadə amillərinin hasilini düzəltsək, bundan sonra bu ədədlərin genişlənmələrində mövcud olan bütün ümumi sadə amilləri bu hasildən çıxarsaq, nəticədə alınan məhsul bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğuna bərabər olacaqdır.
LCM-i tapmaq üçün elan edilmiş qayda bərabərlikdən irəli gəlir LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Həqiqətən, a və b ədədlərinin hasili a və b ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Öz növbəsində, gcd(a, b) a və b ədədlərinin genişlənmələrində eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir (bu, ədədlərin sadə amillərə parçalanmasından istifadə edərək gcd-nin tapılması bölməsində təsvir edilmişdir). ).
Bir misal götürək. Bilək ki, 75=3 5 5 və 210=2 3 5 7 . Bu genişlənmələrin bütün amillərinin hasilini tərtib edin: 2 3 3 5 5 5 7 . İndi biz bu məhsuldan həm 75 rəqəminin genişlənməsində, həm də 210 rəqəminin genişlənməsində mövcud olan bütün amilləri xaric edirik (belə amillər 3 və 5-dir), onda məhsul 2 3 5 5 7 formasını alacaq. Bu məhsulun dəyəri 75 və 210 rəqəmlərinin ən kiçik ümumi qatına bərabərdir, yəni LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Misal.
441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayırdıqdan sonra bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayıraq:
441=3 3 7 7 və 700=2 2 5 5 7 alırıq.
İndi bu ədədlərin genişləndirilməsində iştirak edən bütün amillərin hasilini çıxaraq: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Gəlin bu məhsuldan hər iki genişlənmədə eyni vaxtda mövcud olan bütün amilləri istisna edək (yalnız bir belə amil var - bu 7 rəqəmidir): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Bu minvalla, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Cavab:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Ədədlərin sadə amillərə parçalanmasından istifadə edərək LCM-nin tapılması qaydası bir az fərqli şəkildə tərtib edilə bilər. Əgər b ədədinin genişlənməsindən əldə edilən çatışmayan amilləri a ədədinin parçalanmasından gələn amillərə əlavə etsək, nəticədə alınan məhsulun qiyməti a və b ədədlərinin ən kiçik ümumi qatına bərabər olacaqdır..
Məsələn, bütün eyni 75 və 210 ədədlərini götürək, onların sadə amillərə genişlənməsi aşağıdakı kimidir: 75=3 5 5 və 210=2 3 5 7 . 75 rəqəminin genişlənməsindən 3, 5 və 5 amillərinə 210 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 7 əmsallarını əlavə edirik, dəyəri LCM(75) olan 2 3 5 5 7 hasilini alırıq. , 210).
Misal.
84 və 648-in ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
Əvvəlcə 84 və 648 ədədlərinin sadə amillərə parçalanmasını alırıq. Onlar 84=2 2 3 7 və 648=2 2 2 3 3 3 3 kimi görünürlər. 84 rəqəminin genişlənməsindən 2, 2, 3 və 7 faktorlarına 648 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2, 3, 3 və 3 əmsallarını əlavə edirik, hasilini 2 2 2 3 3 3 3 7 alırıq, bu da 4 536-ya bərabərdir. Beləliklə, 84 və 648 rəqəmlərinin arzu olunan ən kiçik ümumi çoxluğu 4536-dır.
Cavab:
LCM(84, 648)=4 536 .
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması
Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu iki ədədin LCM-ni ardıcıl olaraq tapmaqla tapmaq olar. Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmaq üçün bir yol verən müvafiq teoremi xatırlayın.
Teorem.
a 1 , a 2 , …, a k müsbət tam ədədləri verilsin, bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu m k ardıcıl hesablamada tapılır m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a) 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Dörd ədədin ən kiçik ortaq qatının tapılması nümunəsində bu teoremin tətbiqini nəzərdən keçirək.
Misal.
140, 9, 54 və 250 dörd ədədinin LCM-ni tapın.
Həll.
Bu misalda a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Əvvəlcə tapırıq m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək gcd(140, 9) , bizdə 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , buna görə də gcd( 140, 9)=1 , haradandır LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yəni m 2 =1 260 .
İndi tapırıq m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Onu gcd(1 260, 54) vasitəsilə hesablayaq ki, bu da Evklid alqoritmi ilə müəyyən edilir: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Onda gcd(1 260, 54)=18 , buradan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Yəni m 3 \u003d 3 780.
Tapmaq üçün sol m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(3 780, 250) tapırıq: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Buna görə də gcd(3 780, 250)=10 , buradan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Yəni m 4 \u003d 94 500.
Beləliklə, orijinal dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu 94.500-dür.
Cavab:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Bir çox hallarda üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu verilmiş ədədlərin sadə faktorizasiyasından istifadə etməklə tapılır. Bu halda aşağıdakı qaydaya əməl edilməlidir. Bir neçə ədədin ən kiçik ortaq qatı hasilinə bərabərdir ki, o, aşağıdakı kimi tərtib olunur: ikinci ədədin genişlənməsinin çatışmayan amilləri birinci nömrənin genişlənməsindən, çatışmayan amillərin genişlənməsindən gələn bütün amillərə əlavə olunur. üçüncü rəqəm alınan amillərə əlavə edilir və s.
Ədədlərin sadə amillərə parçalanmasından istifadə edərək ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması nümunəsini nəzərdən keçirin.
Misal.
Beş ədədin ən kiçik ortaq qatını tapın 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Həll.
Əvvəlcə bu ədədlərin sadə çarpanlara genişlənməsini alırıq: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 sadə amillər) və 143=11 13 .
Bu ədədlərin LCM-ni tapmaq üçün birinci 84 rəqəminin (onlar 2, 2, 3 və 7-dir) amillərinə ikinci 6 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə etmək lazımdır. 6 rəqəminin genişlənməsi çatışmayan amilləri ehtiva etmir, çünki həm 2, həm də 3 ilk rəqəmin 84 genişlənməsində artıq mövcuddur. 2, 2, 3 və 7 faktorlarına əlavə olaraq üçüncü ədəd 48-in genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 əmsallarını əlavə edirik, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillər toplusunu alırıq. Növbəti addımda bu dəstəyə faktorlar əlavə etməyə ehtiyac yoxdur, çünki 7 artıq onun tərkibindədir. Nəhayət, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 və 7 faktorlarına 143 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 11 və 13 əmsallarını əlavə edirik. 2 2 2 2 3 7 11 13 hasilini alırıq ki, bu da 48 048-ə bərabərdir.
Ən Böyük Ümumi Bölən
Tərif 2
Əgər a natural ədədi $b$ natural ədədinə bölünürsə, o zaman $b$-a $a$-ın bölməsi, $a$ ədədi isə $b$-ın qatı adlanır.
$a$ və $b$ natural ədədlər olsun. $c$ ədədi həm $a$, həm də $b$ üçün ümumi bölən adlanır.
$a$ və $b$ ədədlərinin ümumi bölənləri çoxluğu sonludur, çünki bu bölənlərin heç biri $a$-dan böyük ola bilməz. Bu o deməkdir ki, bu bölənlər arasında ən böyüyü var, o, $a$ və $b$ ədədlərinin ən böyük ortaq bölməsi adlanır və onu işarələmək üçün qeyddən istifadə olunur:
$gcd \ (a;b) \ veya \ D \ (a;b)$
İki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün:
- 2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə çıxan ədəd istədiyiniz ən böyük ümumi bölən olacaq.
Misal 1
$121$ və $132.$ rəqəmlərinin gcd-ni tapın
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Bu nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olan nömrələri seçin
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə çıxan ədəd istədiyiniz ən böyük ümumi bölən olacaq.
$gcd=2\cdot 11=22$
Misal 2
$63$ və $81$ monomialların GCD-ni tapın.
Təqdim olunan alqoritmə uyğun olaraq tapacağıq. Bunun üçün:
Gəlin ədədləri sadə amillərə ayıraq
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Bu nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olan nömrələri seçirik
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapaq. Nəticə alınan ədəd istənilən ən böyük ümumi bölən olacaq.
$gcd=3\cdot 3=9$
Rəqəmlərin bölənləri dəstindən istifadə edərək, iki ədədin GCD-ni başqa şəkildə tapa bilərsiniz.
Misal 3
$48$ və $60$ rəqəmlərinin gcd-ni tapın.
Həll:
$48$-ın bölənlər çoxluğunu tapın: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
İndi $60$-ın bölənlər çoxluğunu tapaq:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Bu çoxluqların kəsişməsini tapaq: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu çoxluq $48$ və $60 ədədlərinin ümumi bölənlər çoxluğunu müəyyən edəcək. $. Bu dəstdə ən böyük element $12$ olacaq. Beləliklə, $48$ və $60$-ın ən böyük ümumi bölənləri $12$-dır.
MOK-un tərifi
Tərif 3
natural ədədlərin ümumi çoxluğu$a$ və $b$ həm $a$, həm də $b$-ın qatına bərabər olan natural ədəddir.
Ədədlərin ümumi qatları orijinala qalıqsız bölünən ədədlərdir.Məsələn, $25$ və $50$ ədədləri üçün ümumi qatlar $50,100,150,200$ və s.
Ən kiçik ümumi çoxluq ən kiçik ümumi çoxluq adlanacaq və LCM$(a;b)$ və ya K$(a;b) ilə işarələnəcək.
İki ədədin LCM-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:
- Ədədləri sadə amillərə parçalayın
- Birinci ədədin bir hissəsi olan amilləri yazın və onlara ikincinin bir hissəsi olan və birinciyə getməyən amilləri əlavə edin.
Misal 4
$99$ və $77$ rəqəmlərinin LCM-ni tapın.
Təqdim olunan alqoritmə uyğun olaraq tapacağıq. Bunun üçün
Ədədləri sadə amillərə parçalayın
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Birinciyə daxil olan amilləri yazın
onlara ikincinin bir hissəsi olan və birinciyə getməyən amilləri əlavə edin
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə alınan ədəd istədiyiniz ən kiçik ümumi çoxluq olacaq
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Rəqəmlərin bölənlərinin siyahısını tərtib etmək çox vaxt çox vaxt aparır. GCD-ni tapmaq üçün Evklid alqoritmi adlanan bir yol var.
Evklidin alqoritminin əsaslandığı ifadələr:
Əgər $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə və $a\vdots b$, onda $D(a;b)=b$
Əgər $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə, $b
$D(a;b)= D(a-b;b)$ istifadə edərək, biri digərinə bölünən ədədlər cütünə çatana qədər nəzərdən keçirilən ədədləri ardıcıl olaraq azalda bilərik. Onda bu ədədlərdən kiçik olanı $a$ və $b$ ədədləri üçün arzu olunan ən böyük ümumi bölən olacaq.
GCD və LCM xüsusiyyətləri
- $a$ və $b$-ın istənilən ümumi çoxluğu K$(a;b)$-a bölünür
- Əgər $a\vdots b$ , onda K$(a;b)=a$
Əgər K$(a;b)=k$ və $m$-təbii ədəddirsə, onda K$(am;bm)=km$
Əgər $d$ $a$ və $b$ üçün ümumi böləndirsə, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Əgər $a\vdots c$ və $b\vdots c$ , onda $\frac(ab)(c)$ $a$ və $b$-ın ümumi qatıdır.
Hər hansı $a$ və $b$ natural ədədləri üçün bərabərlik
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
$a$ və $b$-ın hər hansı ortaq bölməsi $D(a;b)$-ın bölənidir.