Loqarifm düsturlarının şifahi formalaşdırılması. Loqarifmin tərifi və onun xassələri: nəzəriyyə və məsələnin həlli

Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b * a c = a b + c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplamaya çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu məqaləni oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dil.

Riyaziyyatda tərif

Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log a b=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” əsasına görə loqarifmi “c”-nin gücü hesab olunur. , bunun üçün "a" bazası qaldırılmalıdır ki, sonda "b" dəyəri alınsın. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir dərəcə tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan dərəcəyə qədər 8-i alırsınız. Fikrinizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Doğrudur, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi cavabda 8 rəqəmini verir.

Loqarifmlərin növləri

Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Üç fərqli loqarifmik ifadə var:

Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
Ondalık a, burada əsas 10-dur.
İstənilən b ədədinin a>1 əsasına loqarifmi.

Onların hər biri standart şəkildə həll olunur, o cümlədən loqarifmik teoremlərdən istifadə edərək sadələşdirmə, azalma və sonradan bir loqarifmə endirmə. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və qərarlarında hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamaq lazımdır.

Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər

Riyaziyyatda aksioma kimi qəbul edilən, yəni müzakirə mövzusu olmayan və doğru olan bir neçə qayda-məhdudiyyət var. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, mənfi ədədlərdən cüt dərəcənin kökünü çıxarmaq da mümkün deyil. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:

"a" bazası həmişə sıfırdan böyük olmalı və eyni zamanda 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki "1" və "0" istənilən dərəcədə həmişə öz qiymətlərinə bərabərdir;
a > 0, onda a b > 0 olarsa, belə çıxır ki, "c" sıfırdan böyük olmalıdır.

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

Məsələn, 10 x \u003d 100 tənliyinə cavab tapmaq tapşırığı verilir. Bu, çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq belə bir güc seçmək lazımdır. Bu, əlbəttə ki, 10 2-dir. \u003d 100.

İndi bu ifadəni loqarifmik kimi təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən bütün hərəkətlər praktiki olaraq verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasının hansı dərəcədə daxil edilməli olduğunu tapmaq üçün birləşir.

Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:

Gördüyünüz kimi, texniki təfəkkürünüz və vurma cədvəli haqqında biliyiniz varsa, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər bir güc masası tələb edəcəkdir. Onu hətta mürəkkəb riyazi mövzularda ümumiyyətlə heç nə başa düşməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Hüceyrələrdəki kəsişmədə cavab olan nömrələrin dəyərləri müəyyən edilir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratını götürək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən real humanist də başa düşəcək!

Tənliklər və bərabərsizliklər

Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik tənlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81 81-in 3 əsasına loqarifmi kimi yazıla bilər ki, bu da dörddür (log 3 81 = 4). Mənfi güclər üçün qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Tənliklərin nümunələrini və həllərini xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra bir az aşağı nəzərdən keçirəcəyik. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə fərqləndirəcəyinə baxaq.

Aşağıdakı formanın ifadəsi verilmişdir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum "x" qiyməti loqarifmin işarəsi altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: iki əsasda istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.

Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmalı tənliklər (məsələn, 2 x = √9 loqarifmi) cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyəri nəzərdə tutur, bərabərsizliyi həll edərkən, həm də məqbul dəyərlər və bu funksiyanı pozan nöqtələr. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi fərdi ədədlərin sadə çoxluğu deyil, davamlı seriya və ya ədədlər toplusudur.

Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər

Loqarifmin qiymətlərini tapmaq üçün primitiv tapşırıqları həll edərkən onun xassələri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmin bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələri ilə daha sonra tanış olacağıq, əvvəlcə hər bir xassəni daha ətraflı təhlil edək.

Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyükdürsə, birə bərabər deyilsə və B sıfırdan böyükdürsə tətbiq edilir.
Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla göstərmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu halda ilkin şərt: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifm düsturuna misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. Qoy log a s 1 = f 1 və log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (dərəcə xassələri) ), və daha sonra tərifinə görə: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, sübut edilməli idi.
Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu düstur “loqarifmin dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat müntəzəm postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.

Qoy a b \u003d t qeyd edək, a t \u003d b çıxır. Hər iki hissəni m gücünə qaldırsanız: a tn = b n ;

lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.

Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri

Loqarifm məsələlərinin ən çox yayılmış növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və riyaziyyatdan imtahanların məcburi hissəsinə də daxil edilir. Universitetə daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür tapşırıqları necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.

Təəssüf ki, loqarifmin naməlum dəyərinin həlli və müəyyən edilməsi üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq edilə bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya ümumi formaya salına biləcəyini öyrənməlisiniz. Uzun loqarifmik ifadələrin xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, onları sadələşdirə bilərsiniz. Gəlin tezliklə onlarla tanış olaq.

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən qarşımızda hansı növ loqarifm olduğunu müəyyən etmək lazımdır: ifadə nümunəsində təbii loqarifm və ya onluq ola bilər.

Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli ondan ibarətdir ki, 10-cu bazanın müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağı dərəcəsini təyin etməlisiniz. Təbii loqarifmlərin həlli üçün loqarifmik eyniliklər və ya onların xassələri tətbiq edilməlidir. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.

Loqarifm düsturlarından necə istifadə etməli: Nümunələr və həllər ilə

Beləliklə, loqarifmlər üzrə əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.

Məhsulun loqarifminin xassəsindən b ədədinin böyük qiymətini daha sadə amillərə parçalamaq lazım olan tapşırıqlarda istifadə oluna bilər. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi loqarifmin dərəcəsinin dördüncü xassəsindən istifadə edərək ilk baxışdan mürəkkəb və həll olunmayan ifadəni həll edə bildik. Yalnız bazanı faktorlara ayırmaq və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmaq lazımdır.

İmtahandan tapşırıqlar

Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında rast gəlinir, xüsusən Vahid Dövlət İmtahanında bir çox logarifmik problem (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı). Adətən bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən çətin və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Natural loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl biliyi nəzərdə tutur.

Nümunələr və problemin həlli imtahanın rəsmi versiyalarından götürülüb. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyinə baxaq.

Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2 , loqarifmin tərifindən alırıq ki, 2x-1 = 2 4 , buna görə də 2x = 17; x = 8.5.

Bütün loqarifmlər ən yaxşı şəkildə eyni bazaya endirilir ki, həll çətin və çaşdırıcı olmasın.
Loqarifmin işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, buna görə də loqarifmin işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisinin göstəricisi çıxarıldıqda, loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.

əsas xassələri.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

eyni əsaslar

log6 4 + log6 9.

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək.

Loqarifmlərin həlli nümunələri

Bəs loqarifmin əsası və ya arqumentində bir dərəcə varsa? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Təbii ki, bütün bu qaydalar ODZ loqarifminə əməl olunarsa məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x >

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Həmçinin bax:

Loqarifmin əsas xassələri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Göstərici 2,718281828… Göstəricini xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7 və Lev Tolstoyun doğum ilindən iki dəfədir.

Loqarifmlərin əsas xassələri

Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.

Loqarifmlər üçün nümunələr

İfadələrin loqarifmini götürün

Misal 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Xüsusiyyətlərə görə 3,5 hesablayırıq

4. harada .

Misal 2 Əgər x tapın

Misal 3. Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür şəkildə əlavə edilə, çıxıla və çevrilə bilər. Amma loqarifmlər kifayət qədər adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydalar bilinməlidir - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - hər şeyi bir gündə öyrənmək olar. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni bazaya malik iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə bərabərdir, fərq isə hissənin loqarifmidir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam - eyni əsaslar. Əsaslar fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hətta onun ayrı-ayrı hissələri nəzərə alınmadıqda belə loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək ("Loqarifm nədir" dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüyünüz kimi, orijinal ifadələr ayrıca nəzərdən keçirilməyən "pis" loqarifmlərdən ibarətdir. Ancaq transformasiyalardan sonra olduqca normal rəqəmlər çıxır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, nəzarət - imtahanda bütün ciddilikdə oxşar ifadələr (bəzən - faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Göstəricinin loqarifmdən çıxarılması

Sonuncu qaydanın onların ilk ikisinə uyğun olduğunu görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Əlbəttə ki, ODZ loqarifmi müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. loqarifmin özünə loqarifmin işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düstura görə arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, məxrəc bazası və arqumenti dəqiq dərəcələr olan loqarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal aydınlaşdırılmalıdır. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik.

Loqarifmlərin düsturları. Loqarifmlər həll nümunələridir.

Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini dərəcələr şəklində təqdim etdilər və göstəriciləri çıxardılar - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldılar.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü hesaba köçürmək olar, bu da edildi. Nəticə cavabdır: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs əsaslar fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edirik:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x qoysaq, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti bir-birini əvəz edə bilər, lakin bütün ifadə "çevrilmişdir", yəni. loqarifm məxrəcdədir.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Bununla belə, yeni təmələ keçməkdən başqa heç bir şəkildə həll edilə bilməyən vəzifələr var. Bunlardan bir neçəsini nəzərdən keçirək:

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentləri dəqiq eksponentlərdir. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı çevirək:

Məhsul faktorların dəyişməsindən dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini vurduq və sonra loqarifmləri tapdıq.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Gəlin onu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək tələb olunur. Bu vəziyyətdə düsturlar bizə kömək edəcək:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifmin dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Bu belə adlanır:

Doğrudan da, b rəqəmi elə bir dərəcəyə qaldırılarsa, bu dərəcədəki b rəqəmi a rəqəmini verərsə, nə olar? Düzdü: bu eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona "asılır".

Yeni əsas çevirmə düsturları kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - bazadan kvadratı və loqarifmin arqumentini çıxarmaq kifayətdir. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kiminsə xəbəri yoxdursa, bu Vahid Dövlət İmtahanının əsl tapşırığı idi 🙂

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, xassələri adlandırmaq çətin olan iki şəxsiyyət verəcəyəm - daha doğrusu, bunlar loqarifmin tərifindən gələn nəticələrdir. Onlar daim problemlər içində olurlar və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: o bazanın özündən istənilən a əsasının loqarifmi birinə bərabərdir.
loqa 1 = 0-dır. Əsas a hər şey ola bilər, lakin arqument birdirsə, loqarifm sıfırdır! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Həmçinin bax:

b ədədinin a əsasına loqarifmi ifadəni bildirir. Loqarifmi hesablamaq, bərabərliyin doğru olduğu x () gücünü tapmaq deməkdir

Loqarifmin əsas xassələri

Yuxarıdakı xüsusiyyətlər bilinməlidir, çünki onların əsasında demək olar ki, bütün problemlər və nümunələr loqarifmlər əsasında həll olunur. Qalan ekzotik xassələri bu düsturlarla riyazi manipulyasiyalarla əldə etmək olar

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Loqarifmlərin cəmi və fərqi üçün düsturları hesablayarkən (3.4) kifayət qədər tez-tez rast gəlinir. Qalanları bir qədər mürəkkəbdir, lakin bir sıra tapşırıqlarda mürəkkəb ifadələri sadələşdirmək və onların dəyərlərini hesablamaq üçün əvəzolunmazdır.

Loqarifmlərin ümumi halları

Ümumi loqarifmlərdən bəziləri bazası hətta on, eksponensial və ya ikili olanlardır.
Əsas on loqarifm adətən on əsas loqarifm adlanır və sadəcə olaraq lg(x) ilə işarələnir.

Qeyddən görünür ki, qeyddə əsaslar yazılmayıb. Misal üçün

Natural loqarifm əsası eksponent olan loqarifmdir (ln(x) ilə işarələnir).

Göstərici 2,718281828… Göstəricini xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7 və Lev Tolstoyun doğum ilindən iki dəfədir. Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.

Digər mühüm əsas iki loqarifmdir

Funksiyanın loqarifminin törəməsi dəyişənə bölünən birinə bərabərdir

İnteqral və ya antiderivativ loqarifm asılılıqla müəyyən edilir

Yuxarıdakı material loqarifmlər və loqarifmlərlə bağlı geniş sinif məsələləri həll etmək üçün kifayətdir. Materialı mənimsəmək üçün məktəb kurikulumundan və universitetlərdən yalnız bir neçə ümumi nümunə verəcəyəm.

Loqarifmlər üçün nümunələr

İfadələrin loqarifmini götürün

Misal 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Xüsusiyyətlərə görə 3,5 hesablayırıq

2.
Loqarifmlərin fərq xassəsinə görə bizdə var

3.
3.5 xassələrindən istifadə edərək tapırıq

4. harada .

Bir sıra qaydalardan istifadə edərək mürəkkəb görünən ifadə formaya sadələşdirilir

Loqarifm qiymətlərinin tapılması

Misal 2 Əgər x tapın

Həll. Hesablama üçün 5 və 13-cü xassələri son müddətə qədər tətbiq edirik

Qeyddə əvəz et və yas tut

Əsaslar bərabər olduğu üçün ifadələri bərabərləşdiririk

Loqarifmlər. Birinci səviyyə.

Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Həlli: Loqarifmi şərtlərin cəminə yazmaq üçün dəyişənin loqarifmini götürün

Bu, loqarifmlər və onların xassələri ilə tanışlığın yalnız başlanğıcıdır. Hesablamaları məşq edin, praktik bacarıqlarınızı zənginləşdirin - tezliklə loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əldə edilmiş biliyə ehtiyacınız olacaq. Bu cür tənliklərin həlli üçün əsas üsulları öyrəndikdən sonra biz sizin biliklərinizi eyni dərəcədə vacib olan başqa bir mövzu - loqarifmik bərabərsizliklər üçün genişləndirəcəyik ...

Loqarifmlərin əsas xassələri

Bu qaydalar bilinməlidir - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - hər şeyi bir gündə öyrənmək olar. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni bazaya malik iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log6 4 + log6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Göstəricinin loqarifmdən çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumentində bir dərəcə varsa? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Loqarifmləri necə həll etmək olar

Ən çox tələb olunan budur.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düstura görə arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, məxrəc bazası və arqumenti dəqiq dərəcələr olan loqarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal aydınlaşdırılmalıdır. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini dərəcələr şəklində təqdim etdilər və göstəriciləri çıxardılar - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldılar.

Yeni bir təmələ keçid

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edirik:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x qoysaq, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti bir-birini əvəz edə bilər, lakin bütün ifadə "çevrilmişdir", yəni. loqarifm məxrəcdədir.

Bununla belə, yeni təmələ keçməkdən başqa heç bir şəkildə həll edilə bilməyən vəzifələr var. Bunlardan bir neçəsini nəzərdən keçirək:

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentləri dəqiq eksponentlərdir. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı çevirək:

Məhsul faktorların dəyişməsindən dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini vurduq və sonra loqarifmləri tapdıq.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Gəlin onu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək tələb olunur. Bu vəziyyətdə düsturlar bizə kömək edəcək:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifmin dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Bu belə adlanır:

Yeni əsas çevirmə düsturları kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Bir tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - bazadan kvadratı və loqarifmin arqumentini çıxarmaq kifayətdir. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kiminsə xəbəri yoxdursa, bu Vahid Dövlət İmtahanının əsl tapşırığı idi 🙂

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: o bazanın özündən istənilən a əsasının loqarifmi birinə bərabərdir.
loqa 1 = 0-dır. Əsas a hər şey ola bilər, lakin arqument birdirsə, loqarifm sıfırdır! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

İbtidai səviyyəli cəbrin elementlərindən biri loqarifmdir. Adı yunan dilindən "rəqəm" və ya "dərəcə" sözündən gəlir və son rəqəmi tapmaq üçün rəqəmi bazada qaldırmaq lazım olan dərəcəni bildirir.

Loqarifmlərin növləri

log a b b ədədinin a əsasına loqarifmidir (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - onluq loqarifm (loqarifm bazası 10, a = 10);
ln b - natural loqarifm (loqarifm əsası e, a = e).

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

b ədədinin a əsasına olan loqarifmi eksponentdir və a əsasının b ədədinə qaldırılmasını tələb edir. Nəticə belə tələffüz olunur: “b-nin a-nın əsasına loqarifmi”. Loqarifmik məsələlərin həlli ondan ibarətdir ki, verilən dərəcəni göstərilən rəqəmlərlə ədədlərlə müəyyən etmək lazımdır. Loqarifmanı təyin etmək və ya həll etmək, həmçinin qeydin özünü çevirmək üçün bəzi əsas qaydalar var. Onlardan istifadə etməklə loqarifmik tənliklər həll edilir, törəmələr tapılır, inteqrallar həll edilir və bir çox başqa əməliyyatlar həyata keçirilir. Əsasən, loqarifmin özünün həlli onun sadələşdirilmiş qeydidir. Aşağıda əsas düsturlar və xüsusiyyətlər verilmişdir:

Hər hansı bir a üçün; a > 0; a ≠ 1 və istənilən x üçün; y > 0.

a log a b = b əsas loqarifmik eynilikdir
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 üçün
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - yeni bazaya keçid düsturu
log a x = 1/log x a

Loqarifmləri necə həll etmək olar - həll etmək üçün addım-addım təlimat

Əvvəlcə tələb olunan tənliyi yazın.

Diqqət edin: əsas loqarifm 10-dursa, qeyd qısaldılır, ondalık loqarifm alınır. Əgər natural e ədədi varsa, təbii loqarifmə endirərək yazırıq. Bu o deməkdir ki, bütün loqarifmlərin nəticəsi b ədədini əldə etmək üçün əsas ədədin qaldırıldığı gücdür.

Birbaşa, həll bu dərəcənin hesablanmasındadır. İfadəni loqarifmlə həll etməzdən əvvəl onu qaydaya əsasən, yəni düsturlardan istifadə etməklə sadələşdirmək lazımdır. Məqalədə bir az geriyə qayıtmaqla əsas şəxsiyyətləri tapa bilərsiniz.

İki fərqli ədədi olan, lakin əsası eyni olan loqarifmləri toplayan və çıxdıqda, müvafiq olaraq b və c ədədlərinin hasili və ya bölünməsi ilə tək loqarifmlə əvəz edin. Bu vəziyyətdə, keçid formulunu başqa bir bazaya tətbiq edə bilərsiniz (yuxarıya baxın).

Əgər loqarifmanı sadələşdirmək üçün ifadələrdən istifadə edirsinizsə, nəzərə alınmalı olan bəzi məhdudiyyətlər var. Və budur: a loqarifminin əsası yalnız müsbət ədəddir, lakin birə bərabər deyil. b sayı, a kimi, sıfırdan böyük olmalıdır.

İfadəni sadələşdirərək loqarifmanı ədədi formada hesablaya bilməyəcəyiniz hallar var. Belə bir ifadənin mənası yoxdur, çünki bir çox dərəcə irrasional ədədlərdir. Bu şərtlə ədədin gücünü loqarifm olaraq buraxın.

\(a^(b)=c\) \(\Sol sağ ox\) \(\log_(a)(c)=b\)

Daha asan izah edək. Məsələn, \(\log_(2)(8)\) gücə bərabərdir \(2\) \(8\) almaq üçün qaldırılmalıdır. Buradan aydın olur ki, \(\log_(2)(8)=3\).

Nümunələr:	\(\log_(5)(25)=2\)	çünki \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	çünki \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	çünki \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Loqarifmin arqumenti və əsası

İstənilən loqarifm aşağıdakı "anatomiyaya" malikdir:

Loqarifmin arqumenti adətən onun səviyyəsində yazılır, baza isə loqarifmin işarəsinə daha yaxın olan alt yazı ilə yazılır. Və bu giriş belə oxunur: "iyirmi beşdən beşin əsasına loqarifm".

Loqarifmi necə hesablamaq olar?

Loqarifmanı hesablamaq üçün suala cavab vermək lazımdır: arqumenti əldə etmək üçün baza hansı dərəcədə qaldırılmalıdır?

Misal üçün, loqarifmi hesablayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) almaq üçün \(4\) hansı gücə yüksəldilməlidir? Aydındır ki, ikinci. Buna görə də:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) almaq üçün \(\sqrt(5)\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Və hansı dərəcə istənilən ədədi vahid edir? Sıfır, əlbəttə!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) almaq üçün \(\sqrt(7)\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Birincidə - birinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) almaq üçün \(3\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Biz bilirik ki, bu kəsr qüvvəsidir və buna görə də kvadrat kök \(\frac(1)(2)\) -in gücüdür.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Misal : \(\log_(4\sqrt(2))(8)\) loqarifmini hesablayın

Həll :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Loqarifmin qiymətini tapmalıyıq, onu x kimi işarə edək. İndi loqarifmin tərifindən istifadə edək: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Sol sağ ox\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) və \(8\) hansı əlaqələndirir? İki, çünki hər iki ədəd iki ilə təmsil oluna bilər: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Solda dərəcə xüsusiyyətlərindən istifadə edirik: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) və \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Əsaslar bərabərdir, biz göstəricilərin bərabərliyinə keçirik
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Tənliyin hər iki tərəfini \(\frac(2)(5)\) ilə vurun
		Nəticədə kök loqarifmin dəyəridir

Cavab verin : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Loqarifm niyə icad edildi?

Bunu başa düşmək üçün tənliyi həll edək: \(3^(x)=9\). Bərabərliyin işləməsi üçün sadəcə \(x\) ilə uyğunlaşdırın. Əlbəttə, \(x=2\).

İndi tənliyi həll edin: \(3^(x)=8\) x nəyə bərabərdir? Məsələ bundadır.

Ən dahiyanə deyəcək: “X ikidən bir az azdır”. Bu rəqəm tam olaraq necə yazılmalıdır? Bu suala cavab vermək üçün onlar loqarifmə gəldilər. Onun sayəsində burada cavab \(x=\log_(3)(8)\) kimi yazıla bilər.

Mən vurğulamaq istəyirəm ki, \(\log_(3)(8)\), eləcə də istənilən loqarifm sadəcə bir ədəddir. Bəli, qeyri-adi görünür, amma qısadır. Çünki onu onluq kimi yazmaq istəsək, belə görünərdi: \(1.892789260714.....\)

Misal : \(4^(5x-4)=10\) tənliyini həll edin

Həll :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) və \(10\) eyni bazaya endirilə bilməz. Beləliklə, burada logarifm olmadan edə bilməzsiniz. Loqarifmin tərifindən istifadə edək: \(a^(b)=c\) \(\Sol sağ ox\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Tənliyi çevirin ki, x solda olsun
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bizdən əvvəl. \(4\) sağa köçürün. Və loqarifmadan qorxmayın, ona adi bir rəqəm kimi yanaşın.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Tənliyi 5-ə bölün
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Budur bizim kökümüz. Bəli, qeyri-adi görünür, amma cavab seçilmir.

Cavab verin : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Onluq və natural loqarifmlər

Loqarifmin tərifində deyildiyi kimi, onun əsası bir \((a>0, a\neq1)\) istisna olmaqla istənilən müsbət ədəd ola bilər. Bütün mümkün əsaslar arasında o qədər tez-tez baş verən ikisi var ki, onlarla loqarifmlər üçün xüsusi qısa notasiya icad edilmişdir:

Natural loqarifm: bazası Eyler ədədi \(e\) (təxminən \(2,7182818…\)-ə bərabərdir) və loqarifmi \(\ln(a)\) kimi yazılmış loqarifmdir.

Yəni, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) ilə eynidir

Onluq loqarifm: Əsası 10 olan loqarifma \(\lg(a)\) yazılır.

Yəni, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) ilə eynidir, burada \(a\) bəzi ədəddir.

Əsas loqarifmik eynilik

Loqarifmlər çoxlu xüsusiyyətlərə malikdir. Onlardan biri "Əsas loqarifmik eynilik" adlanır və belə görünür:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Bu xüsusiyyət birbaşa tərifdən irəli gəlir. Gəlin görək bu formul necə yaranıb.

Loqarifmin qısa tərifini xatırlayın:

əgər \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)

Yəni \(b\) \(\log_(a)(c)\) ilə eynidir. Sonra \(a^(b)=c\) düsturunda \(b\) yerinə \(\log_(a)(c)\) yaza bilərik. Məlum oldu ki, \(a^(\log_(a)(c))=c\) - əsas loqarifmik eynilik.

Loqarifmlərin qalan xassələrini tapa bilərsiniz. Onların köməyi ilə birbaşa hesablanması çətin olan loqarifmlərlə ifadələrin dəyərlərini sadələşdirə və hesablaya bilərsiniz.

Misal : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadəsinin qiymətini tapın

Həll :

Cavab verin : \(25\)

Bir ədədi loqarifm kimi necə yazmaq olar?

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, istənilən loqarifm sadəcə bir ədəddir. Əksi də doğrudur: istənilən ədədi loqarifm kimi yazmaq olar. Məsələn, \(\log_(2)(4)\) ikiyə bərabər olduğunu bilirik. Sonra iki əvəzinə \(\log_(2)(4)\) yaza bilərsiniz.

Lakin \(\log_(3)(9)\) da \(2\) bərabərdir, ona görə də \(2=\log_(3)(9)\) yaza bilərsiniz. Eynilə \(\log_(5)(25)\) və \(\log_(9)(81)\) ilə və s. Yəni belə çıxır

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Beləliklə, əgər ehtiyacımız varsa, ikisini hər hansı bir baza ilə loqarifm kimi yaza bilərik (hətta tənlikdə, hətta ifadədə, hətta bərabərsizlikdə belə) - sadəcə olaraq kvadrat bazanı arqument kimi yazmaq kifayətdir.

Üçlü ilə eynidir - o, \(\log_(2)(8)\) və ya \(\log_(3)(27)\) və ya \(\log_(4)() kimi yazıla bilər. 64) \) ... Burada arqument olaraq kubun əsasını yazırıq:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Və dörd ilə:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Və mənfi biri ilə:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Və üçdə biri ilə:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

İstənilən ədəd \(a\) əsası \(b\) olan loqarifm kimi təqdim edilə bilər: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Misal : İfadənin qiymətini tapın \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Həll :

Cavab verin : \(1\)

Bu gün haqqında danışacağıq loqarifm düsturları və nümayiş etdirin həll nümunələri.

Onlar öz-özlüyündə loqarifmlərin əsas xassələrinə görə həll nümunələrini nəzərdə tuturlar. Həll üçün loqarifm düsturlarını tətbiq etməzdən əvvəl sizin üçün ilk növbədə bütün xüsusiyyətləri xatırlayırıq:

İndi bu düsturlara (xüsusiyyətlərə) əsaslanaraq göstəririk loqarifmlərin həlli nümunələri.

Düsturlar əsasında loqarifmlərin həlli nümunələri.

Loqarifm a bazasındakı müsbət b ədədi (log a b ilə işarələnir) b > 0, a > 0 və 1 ilə b almaq üçün a yüksəldilməli olan göstəricidir.

Tərifə görə log a b = x, a x = b ilə bərabərdir, ona görə də log a a x = x.

Loqarifmlər, misallar:

log 2 8 = 3, çünki 2 3 = 8

log 7 49 = 2 çünki 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünki 5 -1 = 1/5

Onluq loqarifm adi loqarifmdir, əsası 10. lg kimi işarələnir.

log 10 100 = 2 çünki 10 2 = 100

təbii loqarifm- həm də adi loqarifm loqarifmi, lakin e bazası ilə (e \u003d 2.71828 ... - irrasional ədəd). ln kimi istinad edilir.

Loqarifmlərin düsturlarını və ya xassələrini xatırlamaq məqsədəuyğundur, çünki sonradan loqarifmləri, loqarifmik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən onlara ehtiyacımız olacaq. Gəlin hər bir düstur üzərində nümunələrlə yenidən işləyək.

Əsas loqarifmik eynilik
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Loqarifm oluna bilən ədədin dərəcəsinin və loqarifmin əsasının xassələri
Loqarifm ədədinin göstəricisi log a b m = mlog a b

Loqarifmin əsasının göstəricisi log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

m = n olarsa, log a n b n = log a b alırıq

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Yeni bir təmələ keçid
log a b = log c b / log c a,
c = b olarsa, log b b = 1 alırıq

sonra log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüyünüz kimi, loqarifm düsturları göründüyü qədər mürəkkəb deyil. İndi loqarifmlərin həlli nümunələrini nəzərdən keçirərək, loqarifmik tənliklərə keçə bilərik. Loqarifmik tənliklərin həlli nümunələrini məqalədə daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik: "". Qaçırmayın!

Həll yolu ilə bağlı hələ də suallarınız varsa, onları məqalənin şərhlərində yazın.

Qeyd: seçim olaraq xaricdə başqa sinif təhsili almaq qərarına gəldik.