Trapezoidin orta uzunluğu onun əsaslarının cəminə bərabərdir. trapesiya. Tam təsvirli bələdçi (2019)

Buna görə də onlardan birini çağıracağıq böyük , ikinci - kiçik baza trapesiya. Hündürlük trapesiya, təpələrdən müvafiq əks tərəfə çəkilmiş perpendikulyarın hər hansı bir seqmenti adlandırıla bilər (hər təpə üçün iki əks tərəf var), alınan təpə ilə əks tərəf arasında bağlanır. Ancaq yüksəkliklərin "xüsusi bir növü"nü ayırmaq olar.
Tərif 8. Trapezoidin əsasının hündürlüyü əsaslara perpendikulyar düz xəttin seqmentidir, əsaslar arasında bağlanır.
Teorem 7 . Trapezoidin median xətti əsaslara paraleldir və onların cəminin yarısına bərabərdir.
Sübut. ABCD trapesiya verilsin və orta xətt KM. B və M nöqtələrindən bir xətt çəkin. AD tərəfini D nöqtəsi ilə BM ilə kəsişənə qədər davam etdiririk. BCm və MPD üçbucaqları yan və iki bucaq baxımından bərabərdir (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - üst-üstə düşən, ∠ BMC=∠ DMP - şaquli), buna görə də VM=MP və ya M nöqtəsi BP-nin orta nöqtəsidir. KM ABP üçbucağında orta xəttdir. Üçbucağın orta xəttinin xüsusiyyətinə görə, KM AP-yə və xüsusən də AD-yə paraleldir və AP-nin yarısına bərabərdir:

Teorem 8 . Diaqonallar trapezoidi dörd hissəyə bölür, bunlardan ikisi yanlara bitişik olaraq bərabərdir.
Nəzərinizə çatdırım ki, rəqəmlər eyni sahəyə malikdirlərsə bərabər adlanırlar. ABD və ACD üçbucaqları bərabərdir: onların hündürlüyü bərabərdir (sarı ilə göstərilir) və ümumi bazası var. Bu üçbucaqlar ümumi hissə AOD. Onların sahəsi aşağıdakı kimi genişləndirilə bilər:

Trapesiya növləri:
Tərif 9. (Şəkil 1) Kəskin bucaqlı trapesiya daha böyük bazaya bitişik bucaqların kəskin olduğu trapesiyadır.
Tərif 10. (Şəkil 2) Küt trapesiya daha böyük bazaya bitişik bucaqlardan birinin küt olduğu trapesiyadır.
Tərif 11. (Şəkil 4) Bir tərəfi əsaslara perpendikulyar olan trapesiya düzbucaqlı adlanır.
Tərif 12. (Şəkil 3) Izosceles (izoskel, isosceles) tərəfləri bərabər olan trapesiyadır.

İkitərəfli trapezoidin xüsusiyyətləri:
Teorem 10 . İkitərəfli trapezoidin əsaslarının hər birinə bitişik bucaqlar bərabərdir.
Sübut. Məsələn, ABCD ikitərəfli trapesiyasının daha böyük AD əsası ilə A və D bucaqlarının bərabərliyini sübut edək. Bu məqsədlə C nöqtəsindən AB yan tərəfinə paralel düz xətt çəkirik. O, böyük baza ilə M nöqtəsində kəsişəcək. Dördbucaqlı ABCM paraleloqramdır, çünki konstruksiyaya görə iki cüt paralel tərəfə malikdir. Deməli, trapezoidin daxilində qapalı kəsici xəttin CM seqmenti onun yan tərəfinə bərabərdir: CM=AB. Buradan aydın olur ki, CM=CD, CMD üçbucağı ikitərəflidir, ∠CMD=∠CDM və deməli, ∠A=∠D.Kiçik bazaya bitişik bucaqlar da bərabərdir, çünki daxili birtərəfli tapılanlar üçündür və cəmi iki sətirdən ibarətdir.
Teorem 11 . İkitərəfli trapezoidin diaqonalları bərabərdir.
Sübut. ABD və ACD üçbucaqlarını nəzərdən keçirək. İki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq (AB=CD, AD ümumidir, A və D bucaqları 10-cu teoremə görə bərabərdir). Buna görə də AC=BD.

Teorem 13 . İkitərəfli trapezoidin diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə müvafiq olaraq bərabər seqmentlərə bölünür. ABD və ACD üçbucaqlarını nəzərdən keçirək. İki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq (AB=CD, AD ümumidir, A və D bucaqları 10-cu teoremə görə bərabərdir). Buna görə də, ∠ ОАД=∠ ОDA, deməli, ОВС və OSV bucaqları müvafiq olaraq üst-üstə düşən ODA və ОАД bucaqlarına bərabərdir. Teoremi xatırlayın: əgər üçbucaqda iki bucaq bərabərdirsə, o, ikitərəflidir, ona görə də ОВС və ОAD üçbucaqları ikitərəflidir, yəni OS=OB və ОА=OD və s.
İkitərəfli trapesiya simmetrik fiqurdur.
Tərif 13. İkitərəfli trapezoidin simmetriya oxuna onun əsaslarının orta nöqtələrindən keçən düz xətt deyilir.
Teorem 14 . İkitərəfli trapezoidin simmetriya oxu onun əsaslarına perpendikulyardır.
9-cu teoremdə sübut etdik ki, trapezoidin əsaslarının orta nöqtələrini birləşdirən xətt diaqonalların kəsişmə nöqtəsindən keçir. Sonra (Teorem 13) sübut etdik ki, AOD və BOC üçbucaqları ikitərəflidir. OM və OK tərifinə görə müvafiq olaraq bu üçbucaqların medianlarıdır. İkitərəfli üçbucağın xassəsini xatırlayın: bazaya endirilmiş ikitərəfli üçbucağın medianı da üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir. KM düz xəttinin hissələrinin əsaslarının perpendikulyarlığına görə simmetriya oxu əsaslara perpendikulyardır.
Bütün trapesiyalardan ikitərəfli trapesiyanı fərqləndirən əlamətlər:
Teorem 15 . Trapezoidin əsaslarından birinə bitişik bucaqlar bərabərdirsə, trapezoid ikitərəflidir.
Teorem 16 . Trapezoidin diaqonalları bərabərdirsə, trapezoid ikitərəflidir.
Teorem 17 . Trapezoidin kəsişməyə qədər uzanan yan tərəfləri böyük bazası ilə birlikdə ikitərəfli üçbucaq əmələ gətirirsə, trapezoid ikitərəflidir.
Teorem 18 . Bir trapesiya bir dairəyə yazıla bilərsə, o, ikitərəflidir.
Düzbucaqlı trapezoidin əlaməti:
Teorem 19 . Qonşu təpələrində yalnız iki düz bucağı olan hər hansı dördbucaqlı düzbucaqlı trapesiyadır (iki tərəfin paralel olduğu aydındır, çünki birtərəfli bərabərdir. üç düz bucaq düzbucaqlı olduqda)
Teorem 20 . Trapesiyaya daxil edilmiş dairənin radiusu təməlin hündürlüyünün yarısına bərabərdir.
Bu teoremin sübutu əsaslara çəkilmiş radiusların trapezoidin hündürlüyündə olduğunu izah etməkdir. O nöqtəsindən - bu trapesiyaya yazılmış ABCD dairəsinin mərkəzindən trapezoidin əsasları ilə təmas nöqtələrinə radiuslar çəkirik. Bildiyiniz kimi, təmas nöqtəsinə çəkilmiş radius tangensə perpendikulyardır, buna görə də OK ^ BC və OM ^ AD. Teoremi xatırlayın: əgər bir xətt paralel xətlərdən birinə perpendikulyardırsa, o, ikinciyə də perpendikulyardır. Deməli, OK xətti də AD-yə perpendikulyardır. Beləliklə, AD xəttinə perpendikulyar iki xətt ola bilməz O nöqtəsindən keçir, buna görə də bu xətlər üst-üstə düşür və KM-nin ümumi perpendikulyarını təşkil edir. cəminə bərabərdir iki radiusdur və içəriyə daxil edilmiş dairənin diametridir, ona görə də r=KM/2 və ya r=h/2.
Teorem 21 . Trapezoidin sahəsi əsasların cəminin yarısı ilə əsasların hündürlüyünün məhsuluna bərabərdir.

Sübut: ABCD verilmiş trapesiya, AB və CD isə onun əsasları olsun. A nöqtəsindən CD xəttinə endirilən hündürlük də AH olsun. Onda S ABCD = S ACD + S ABC.
Lakin S ACD = 1/2AH CD və S ABC = 1/2AH AB.
Buna görə də, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

İkinci düstur dördbucaqlıdan dəyişdi.

\[(\Böyük(\mətn(İxtiyari trapesiya)))\]

Təriflər

Trapesiya iki tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan qabarıq dördbucaqlıdır.

Trapezoidin paralel tərəflərinə onun əsasları, digər iki tərəfinə isə tərəfləri deyilir.

Trapezoidin hündürlüyü bir təməlin hər hansı bir nöqtəsindən digər bazaya endirilən perpendikulyardır.

Teoremlər: trapezoidin xassələri

1) Yan tərəfdəki bucaqların cəmi \(180^\circ\) -dir.

2) Diaqonallar trapesiyanı dörd üçbucağa bölür, onlardan ikisi oxşar, digər ikisi isə bərabərdir.

Sübut

1) Çünki \(AD\paralel BC\) , onda \(\BAD bucağı\) və \(\ABC bucağı\) bu xətlərdə birtərəfli və sekant \(AB\) olur, buna görə də, \(\bucaq BAD +\bucaq ABC=180^\circ\).

2) Çünki \(AD\paralel BC\) və \(BD\) sekantdır, sonra \(\bucaq DBC=\bucaq BDA\) enində uzanır.
Həmçinin \(\bucaq BOC=\AOD bucağı\) şaquli olaraq.
Buna görə də iki küncdə \(\üçbucaq BOC \sim \üçbucaq AOD\).

Gəlin bunu sübut edək \(S_(\üçbucaq AOB)=S_(\üçbucaq COD)\). Trapesiyanın hündürlüyü \(h\) olsun. Sonra \(S_(\üçbucaq ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\üçbucaq ACD)\). Sonra: \

Tərif

Trapezoidin orta xətti tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən bir seqmentdir.

Teorem

Trapezoidin median xətti əsaslara paraleldir və onların cəminin yarısına bərabərdir.

Sübut*

1) Gəlin paralelliyi sübut edək.

\(M\) nöqtəsindən \(MN"\paralel AD\) (\(N"\CD-də\) ) xətti çəkin. Sonra Thales teoremi ilə (çünki \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) \(N"\) nöqtəsi \(CD\) seqmentinin orta nöqtəsidir... Deməli, \(N\) və \(N"\) nöqtələri üst-üstə düşəcək.

2) Düsturu sübut edək.

Gəlin \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) çəkək. Qoy \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Sonra Thales teoremi ilə \(M"\) və \(N"\) müvafiq olaraq \(BB"\) və \(CC"\) seqmentlərinin orta nöqtələridir. Beləliklə, \(MM"\) orta xətt \(\üçbucaq ABB"\) , \(NN"\) orta xətt \(\üçbucaq DCC"\) . Buna görə də: \

Çünki \(MN\paralel AD\paralel BC\) və \(BB", CC"\perp AD\) , sonra \(B"M"N"C"\) və \(BM"N"C\) düzbucaqlıdır. Thales teoreminə görə, \(MN\paralel AD\) və \(AM=MB\) \(B"M"=M"B\) deməkdir. Beləliklə, \(B"M"N"C"\) və \(BM"N"C\) bərabər düzbucaqlıdır, buna görə də \(M"N"=B"C"=BC\) .

Bu minvalla:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\sağ)=\dfrac12\left(AD+BC\sağ)\]

Teorem: ixtiyari trapezoidin xassəsi

Əsasların orta nöqtələri, trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi və yan tərəflərin uzantılarının kəsişmə nöqtəsi eyni düz xətt üzərində yerləşir.

Sübut*
“Oxşar üçbucaqlar” mövzusunu öyrəndikdən sonra sübutla tanış olmanız tövsiyə olunur.

1) \(P\) , \(N\) və \(M\) nöqtələrinin eyni düz xətt üzərində olduğunu sübut edək.

Xətti çəkin \(PN\) (\(P\) tərəflərin uzantılarının kəsişmə nöqtəsidir, \(N\) \(BC\) orta nöqtəsidir). \(AD\) tərəfi ilə \(M\) nöqtəsində kəsilsin. Sübut edək ki, \(M\) \(AD\) -in orta nöqtəsidir.

\(\triangle BPN\) və \(\triangle APM\) nəzərdən keçirin. Onlar iki açıda oxşardırlar (\(\bucaq APM\) - ümumi, \(\bucaq PAM=\bucaq PBN\) \(AD\paralel BC\) və \(AB\) sekanta uyğundur). Vasitələri: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) və \(\triangle DPM\) nəzərə alın. Onlar iki bucaqda oxşardırlar (\(\bucaq DPM\) - ümumi, \(\bucaq PDM=\bucaq PCN\) \(AD\paralel BC\) və \(CD\) sekanta uyğundur). Vasitələri: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Lakin \(BN=NC\) , deməli \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) nöqtələrinin bir düz xətt üzərində yerləşdiyini sübut edək.

\(N\) \(BC\) -nin orta nöqtəsi, \(O\) diaqonalların kəsişmə nöqtəsi olsun. Xətti çəkin \(NO\) , o, \(AD\) tərəfini \(M\) nöqtəsində kəsəcək. Sübut edək ki, \(M\) \(AD\) -in orta nöqtəsidir.

\(\üçbucaq BNO\sim \üçbucaq DMO\) iki bucaqda (\(\bucaq OBN=\bucaq ODM\) \(BC\paralel AD\) və \(BD\) sekantda yerləşir; \(\bucaq BON=\DOM bucağı) şaquli olaraq). Vasitələri: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

oxşar \(\üçbucaq CON\sim \üçbucaq AOM\). Vasitələri: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Lakin \(BN=CN\) , deməli \(AM=MD\) .

\[(\Böyük(\mətn(İzoceles trapesiya)))\]

Təriflər

Bucaqlarından biri düzdürsə, trapesiya düzbucaqlı adlanır.

Tərəfləri bərabərdirsə, trapesiya ikitərəfli adlanır.

Teoremlər: ikitərəfli trapezoidin xassələri

1) İkitərəfli trapezoidin əsas bucaqları bərabərdir.

2) İkitərəfli trapezoidin diaqonalları bərabərdir.

3) Diaqonalların və əsasın əmələ gətirdiyi iki üçbucaq ikitərəflidir.

Sübut

1) \(ABCD\) ikitərəfli trapesiyaya nəzər salın.

\(B\) və \(C\) təpələrindən \(AD\) tərəfinə müvafiq olaraq \(BM\) və \(CN\) perpendikulyarları düşürük. \(BM\perp AD\) və \(CN\perp AD\) olduğundan, \(BM\paralel CN\) ; \(AD\paralel BC\) , onda \(MBCN\) paraleloqramdır, deməli \(BM = CN\) .

Düzgün üçbucaqları nəzərdən keçirin \(ABM\) və \(CDN\) . Onların hipotenuzları bərabər olduğundan və \(BM\) ayağı \(CN\) ayağına bərabər olduğundan, bu üçbucaqlar konqruentdir, buna görə də \(\bucaq DAB = \bucaq CDA\) .

Çünki \(AB=CD, \bucaq A=\bucaq D, AD\)- ümumi, sonra ilk işarədə. Beləliklə, \(AC=BD\) .

3) Çünki \(\üçbucaq ABD=\üçbucaq ACD\), sonra \(\bucaq BDA=\bucaq CAD\) . Buna görə də \(\üçbucaq AOD\) üçbucaq ikitərəflidir. Eyni şəkildə sübut oluna bilər ki, \(\üçbucaq BOC\) ikitərəflidir.

Teoremlər: ikitərəfli trapezoidin əlamətləri

1) Trapezoidin təməlindəki bucaqlar bərabərdirsə, o, ikitərəflidir.

2) Trapezoidin diaqonalları bərabərdirsə, o, ikitərəflidir.

Sübut

\(ABCD\) trapesiyasını nəzərdən keçirək ki, \(\bucaq A = \bucaq D\) .

Şəkildə göstərildiyi kimi \(AED\) üçbucağına trapesiyanı tamamlayaq. \(\bucaq 1 = \bucaq 2\) olduğundan, üçbucaq \(AED\) ikitərəflidir və \(AE = ED\) . \(1\) və \(3\) bucaqları \(AD\) və \(BC\) paralel xətlərə və \(AB\) sekanta uyğun olaraq bərabərdir. Eynilə, \(2\) və \(4\) bucaqları bərabərdir, lakin \(\bucaq 1 = \bucaq 2\) , onda \(\bucaq 3 = \bucaq 1 = \bucaq 2 = \bucaq 4\), buna görə də, üçbucaq \(BEC\) də ikitərəflidir və \(BE = EC\) .

Nəhayət \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), yəni sübut edilməli olan \(AB = CD\) .

2) \(AC=BD\) olsun. Çünki \(\üçbucaq AOD\sim \üçbucaq BOC\), onda biz onların oxşarlıq əmsalını \(k\) ilə işarə edirik. Əgər \(BO=x\) , onda \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) kimi.

Çünki \(AC=BD\) , sonra \(x+kx=y+ky \Sağ ox x=y\) . Beləliklə, \(\üçbucaq AOD\) ikitərəflidir və \(\bucaq OAD=\ODA bucağı\) .

Beləliklə, ilk əlamətə görə \(\üçbucaq ABD=\üçbucaq ACD\) (\(AC=BD, \bucaq OAD=\bucaq ODA, AD\)- ümumi). Beləliklə, \(AB=CD\) , yəni.

Tra-pe-tion

1. Trapesiya və onun növləri

Tərif

Tra-pe-tion- bu dörd-sən-rekh-kömür-nick, kimsə-ro-go-da iki yüz-ro-pa-ral-lel-na var, digər ikisində isə yoxdur.

Şəkildə. 1. image-ra-eyni-on pro-dən-free-tra-pe-tion. - bunlar b-to-th-s-ro-ns (par-ral-lel-ny olmayanlar). - os-no-va-niya (par-ral-lel-nye yüz-ro-ny).

düyü. 1. Tra-pe-tion

Əgər tra-pe-tionu para-ral-le-lo-qram-m ilə müqayisə etsək, onda para-ral-le-lo-qram-ma iki cüt para-le-lo-qrama malikdir. Yəni, pa-ral-le-lo-qram xüsusi bir tra-pe-tion halı deyil, çünki tra-pe-sionun tərifində aydın şəkildə deyilir ki, -for-amma iki yüz-ro-na -tra-pe-tions par-ral-lel-na deyil.

Siz bəzi tra-pe-tion növlərini (özəl hallar) məhdudlaşdırırsınız:

2. Trapezoidin orta xətti və onun xassələri

Tərif

Tra-pe-tionun orta xətti- dən-re-zok, bo-to-y tərəflərin qoşul-nya-yu-schee se-re-di-ny.

Şəkildə. 2. orta xətt-ni-her ilə tra-pe-tion üzərində image-ra-eyni-hər.

düyü. 2. Tra-pe-tionun orta xətti

Tra-pe-tionun orta xəttinin xüsusiyyətləri:

1. Tra-pe-sionun os-no-va-ni-yam üzərində para-ral-lel-in tra-pe-sionunun orta xətti.

Sübut:

Tra-pe-tion tərəfinin tərəfindəki se-re-di- nöqtə olsun. Bu nöqtədən düz xətt keçirik, par-ral-lel-naya os-but-va-ni-pits. Bu düz xətt yenidən yenidən se-hətta ikinci bo-ko-vu yüz-ro-quyu tra-pe-tion nöqtəsində.

Sifarişlə:. Theo-re-me Fa-le-sa-ya görə, bu belədir:. Belə-fırıldaqçı - se-re-di-on bir yüz-ro-na. Beləliklə, - orta xətt.

Əvvəl-üçün-amma.

2. Tra-pe-tionun orta xətti os-no-va-ny tra-pe-tionun lu-sum-me-yə bərabərdir:.

Sübut:

Tra-pe-tionun orta xəttini və dia-go-on-lei-dən birini çəkək: məsələn, (şək. 3-ə baxın).

Fa-le-sa nəzəriyyəsinə görə, bucağın tərəflərindəki-se-ka-yutdan para-ral-lel-ny düz xətləri prop-qi-o-nal-cut- ki. Onlar kəsiklərdən bərabər olduqları üçün:. Beləliklə, from-re-zok yav-la-is-sya orta-no-her üçbucağı-no-ka, və from-re-zok - orta yol-no-her üçbucağı -Nika .

O deməkdir ki, .

Qeyd: bu, üçbucağın orta xəttinin xassəsindən irəli gəlir: üçbucağın orta xətti-no-ka para-ral-lel-on os- but-va-niyu və onun günahına bərabərdir. Bu xassənin birinci hissəsi do-ka-zy-va-et-sya ana-məntiqidir-lakin do-ka-for-tra-tiyanın orta xəttinin birinci xassəsi ilə, ikinci hissəsi isə ola bilər. sübut olunmalı (məsələn, üçbucağın orta xətti üçün), nöqtədən düz xətt çəkmək, par- lel-nuyu. Fa-le-sa nəzəriyyəsindən belə nəticə çıxacaq ki, bu düz xətt orta xətt olacaq və you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram-mom (iki cüt cüt, lakin para-ral-lel-ny tərəfləri). Buradan-bəli, bu, artıq asandır, lakin in-lu-chit tre-bu-e-mənim əmlakımdır.

On-lu-cha-eat:.

Əvvəl-üçün-amma.

Ras-indi fraksiyalı şəkildə tra-pe-sionun əsas növlərinə və onların xassələrinə baxın.

3. İkitərəfli trapesiya əlamətləri

Nəzərinizə çatdıraq ki, bərabər-kasıb-ren-naya tra-pe-tion tra-pe-tiondur, bəziləri üçün tərəflər bərabərdir. Tra-pe-tionun bo-ko-houlunun xassələrinə baxaq.

1. Bərabər, lakin zəif-ren-noy tra-pe-sionunun os-no-va-nii-də bucaqları bərabərdir.

Sübut:

Siz-yarım-ona standart to-yarı-no-tel-noe in-stro-e-tion, kimsə çox tez-tez vaxt həll edərkən istifadə edir -tra-pe-tion üçün şəxsi tapşırıqlar: gəlin birbaşa para-ral-lel aparaq. lakin yan tərəfdə (bax. Şəkil 4).

Paraleloqram.

Buradan-bəli belə çıxır:. Beləliklə, üçbucaq-nick bərabər-lakin-kasıb-ren-ny-dir. Və bu o deməkdir ki, onun təməlindəki bucaqlar bərabərdir, yəni: biz X ).

Əvvəl-üçün-amma.

2. Dia-go-on-bərabər-amma-kasıb-ren-noy tra-pe-tions bərabərdir.

Sübut:

Bu əmlakı do-ka-for-tel-stva etmək üçün əvvəlki-du-shimdən istifadə edin. Həqiqətən, üçbucaqları nəzərdən keçirək: və (bax. Şəkil 5.).

(üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə: iki tərəf və aralarındakı bucaq).

Bu bərabərlikdən dərhal belə çıxır ki:.

Əvvəl-üçün-amma.

Oka-zy-va-et-sya, ki, pa-ral-le-lo-qram-mom vəziyyətində olduğu kimi, eyni dərəcədə zəif-ren-noy tra-pe-tion bir xüsusiyyətə malikdir -amma- zaman-men-amma yav-la-yut-sya və tanımaq-ka-mi. Sfor-mu-li-ru-em və bu əlamətləri söyləyin.

Bərabər-amma-yataq-ren-noy tra-pe-tion əlamətləri

1. Verilmişdir: - tra-pe-tion; .

Sübut edin:

Sübut:

To-ka-for-tel-stvo of this-no-go recognition-ka ab-so-lute-amma ana-lo-gich-am to-ka-for-tel-stvo with-from-vet-stvo- yu -schego əmlak. Gəlin tra-pe-tionda birbaşa para-ral-lel-i yan tərəfdən keçirək (bax. Şəkil 6).

(paralel xətlərlə uyğun açılar). From-ku-bəli,-we-eat, in-lu-cha-eat şərtindən istifadə edərək: - bərabər-amma-yoxsul-ren-ny

(bucaqlar os-no-va-nii-də bərabərdir). Bunun mənası: (par-ral-le-lo-qram-ma üçün pro-ti-in-on-yalan tərəflər bərabərdir).

Əvvəl-üçün-amma.

2. Verilmişdir: - tra-pe-tion; .

Sübut edin: .

Sübut:

Siz-yarım-bu tra-pe-qi-her ilə problemləri həll edərkən başqa bir standart tam-nor-tel-noe in-stro-e-tion: ver-shi-nu-muu vasitəsilə we-we-we-dem -muyu para-ral-lel-but dia-go-na-li (bax. Şəkil 7).

Pa-ral-le-lo-qram (iki cüt cüt, lakin para-ral-lel-ny tərəfləri).

(paralel xətlərlə uyğun açılar). Bundan əlavə, - bərabər-amma-kasıb-ren-ny ( - şərtlə; - əmlaka görə, pa-ral-le-lo-qram-ma). Və bu o deməkdir: .

Əvvəl-üçün-amma.

4. Nümunə tapşırıqlar

Tra-pe-qi ilə problemlərin həllinə dair bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.

Misal 1.

Verilmişdir: - tra-pe-tion; .

Həll:

Tra-pe-tionun yan tərəfi ilə bucaqların cəmi bərabərdir - paralel xətlərlə daxili birtərəfli bucaqların xassəsi. Bu faktdan iki bərabərlik əldə etmək olar:

Misal 2.

Verilmişdir: - tra-pe-tion; . .

Həll:

Sizi dəstəkləyəcəyik. In-lu-cha-eat che-you-rekh-coal-nick, in some-rum about-ti-in-on-false sides-ro-na-pair-am pa-ral-lel- us, and the two bucaqları bərabərdir. Beləliklə, - pa-ral-le-lo-qram, daha doğrusu, düzbucaqlı-nick.

Bundan belə çıxır. Harada: .

Ras-look-halqalı düzbucaqlı üçbucaq. Burada iti bucaqlardan biri şərti ilə bərabərdir. Deməli, ikinci sürü bərabərdir, yəni:. Vos-use-zu-em xüsusiyyəti ilə ka-te-ta, le-zha-sche-köşəyə qarşı: gi-po-te-nu-zy ölçüsünün yarısıdır.

Bu dərsdə biz tra-pe-siyanı və onun xassələrini başa düşüb-düşmədiyimizi yoxlayacağıq, tra-pe-siya növlərini öyrənəcəyik, həmçinin bir neçə zaman-tədbirləri həll edəcəyik.

MƏNBƏ

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

trapesiya. Trapezoidin orta xəttindəki tapşırıq.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg

Bu yazıda biz trapezoidin xüsusiyyətlərini mümkün qədər tam əks etdirməyə çalışacağıq. Xüsusilə, biz danışacağıq ümumi əlamətlər və trapezoidin xassələri, eləcə də trapezoidin xassələri və trapesiyaya həkk olunmuş dairə haqqında. Biz eyni zamanda ikitərəfli və düzbucaqlı trapezoidin xüsusiyyətlərinə də toxunacağıq.

Nəzərdən keçirilən xassələrdən istifadə edərək problemin həlli nümunəsi başınızdakı şeyləri sıralamağa və materialı daha yaxşı yadda saxlamağa kömək edəcəkdir.

Trapesiya və hər şey

Başlamaq üçün trapezoidin nə olduğunu və başqa hansı anlayışların onunla əlaqəli olduğunu qısaca xatırlayaq.

Deməli, trapesiya dördbucaqlı fiqurdur, onun iki tərəfi bir-birinə paraleldir (bunlar əsaslardır). Və iki paralel deyil - bunlar tərəflərdir.

Trapezoiddə hündürlüyü buraxmaq olar - əsaslara perpendikulyar. Orta xətt və diaqonallar çəkilir. Həm də trapezoidin istənilən bucağından bissektrisa çəkmək olar.

Bütün bu elementlər və onların birləşmələri ilə əlaqəli müxtəlif xüsusiyyətlər haqqında indi danışacağıq.

Trapezoidin diaqonallarının xassələri

Daha aydın olması üçün oxuyarkən bir kağız parçasına ACME trapesiyasının eskizini çəkin və içinə diaqonallar çəkin.

1. Əgər diaqonalların hər birinin orta nöqtələrini tapsanız (gəlin bu nöqtələri X və T adlandıraq) və onları birləşdirsəniz, bir seqment alırsınız. Trapezoidin diaqonallarının xassələrindən biri XT seqmentinin orta xətt üzərində yerləşməsidir. Uzunluğunu isə əsasların fərqini ikiyə bölmək yolu ilə əldə etmək olar: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Qarşımızda eyni ACME trapesiya var. Diaqonallar O nöqtəsində kəsişir.Trapezoidin əsasları ilə birlikdə diaqonalların seqmentlərinin əmələ gətirdiyi AOE və IOC üçbucaqlarını nəzərdən keçirək. Bu üçbucaqlar oxşardır. k üçbucağın oxşarlıq əmsalı trapezoidin əsaslarının nisbəti ilə ifadə edilir: k = AE/KM.
   AOE və IOC üçbucaqlarının sahələrinin nisbəti k 2 əmsalı ilə təsvir olunur.
3. Hamısı eyni trapesiya, O nöqtəsində kəsişən eyni diaqonallar. Yalnız bu dəfə biz diaqonal seqmentlərin trapezoidin tərəfləri ilə birlikdə yaratdığı üçbucaqları nəzərdən keçirəcəyik. AKO və EMO üçbucaqlarının sahələri bərabərdir - onların sahələri eynidir.
4. Trapezoidin başqa bir xüsusiyyəti diaqonalların qurulmasıdır. Deməli, AK və ME tərəflərini kiçik baza istiqamətində davam etdirsək, gec-tez onlar hansısa nöqtəyə qədər kəsişəcəklər. Sonra, trapezoidin əsaslarının orta nöqtələrindən düz bir xətt çəkin. X və T nöqtələrində əsasları kəsir.
   Əgər indi XT xəttini uzadsaq, o zaman O trapesiyasının diaqonallarının kəsişmə nöqtəsini, X və T əsaslarının tərəflərinin uzantılarının və orta nöqtələrinin kəsişdiyi nöqtəni birləşdirəcək.
5. Diaqonalların kəsişmə nöqtəsi vasitəsilə trapezoidin əsaslarını birləşdirəcək bir seqment çəkirik (T KM-nin daha kiçik bazasında, X - daha böyük AE-də yerləşir). Diaqonalların kəsişmə nöqtəsi bu seqmenti aşağıdakı nisbətdə bölür: TO/OH = KM/AE.
6. İndi diaqonalların kəsişmə nöqtəsindən trapezoidin (a və b) əsaslarına paralel bir seqment çəkirik. Kəsişmə nöqtəsi onu iki bərabər hissəyə böləcəkdir. Düsturdan istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapa bilərsiniz 2ab/(a + b).

Trapezoidin orta xəttinin xüsusiyyətləri

Trapeziyanın orta xəttini əsaslarına paralel olaraq çəkin.

1. Trapezoidin orta xəttinin uzunluğunu əsasların uzunluqlarını əlavə edib yarıya bölmək yolu ilə hesablamaq olar: m = (a + b)/2.
2. Hər hansı bir seqmenti (məsələn, hündürlük) trapezoidin hər iki əsasından keçirsəniz, orta xətt onu iki bərabər hissəyə böləcəkdir.

Trapezoidin bissektrisasının xassəsi

Trapezoidin istənilən bucağını seçin və bissektrisa çəkin. Məsələn, ACME trapesiyamızın KAE bucağını götürək. Quraşdırmanı özünüz başa vurduqdan sonra, bisektorun əsasdan (və ya fiqurun özündən kənarda düz bir xəttdə davamı) yan tərəflə eyni uzunluqda bir seqment kəsdiyini asanlıqla görə bilərsiniz.

Trapezoid bucağın xüsusiyyətləri

1. Seçdiyiniz tərəfə bitişik iki cüt bucaqdan hansını seçsəniz, bir cütdəki bucaqların cəmi həmişə 180 0-dır: α + β = 180 0 və γ + δ = 180 0.
2. Trapezoidin əsaslarının orta nöqtələrini TX seqmenti ilə birləşdirin. İndi trapezoidin əsaslarındakı bucaqlara baxaq. Onlardan hər hansı biri üçün bucaqların cəmi 90 0 olarsa, TX seqmentinin uzunluğunu yarıya bölünmüş əsasların uzunluqlarının fərqinə əsasən hesablamaq asandır: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Trapezoidin bucağının kənarlarından paralel xətlər çəkilərsə, bucağın tərəflərini mütənasib seqmentlərə bölərlər.

İkitərəfli (izoceles) trapezoidin xüsusiyyətləri

1. İkitərəfli trapesiyada hər hansı bir əsasdakı bucaqlar bərabərdir.
2. İndi onun nə haqqında olduğunu təsəvvür etməyi asanlaşdırmaq üçün yenidən trapesiya qurun. AE bazasına diqqətlə baxın - M-nin əks əsasının təpəsi AE-ni ehtiva edən xəttdə müəyyən bir nöqtəyə proqnozlaşdırılır. A təpəsindən M təpəsinin proyeksiya nöqtəsinə qədər olan məsafə və ikitərəfli trapezoidin orta xətti bərabərdir.
3. Bir isosceles trapezoidinin diaqonallarının xassələri haqqında bir neçə söz - onların uzunluqları bərabərdir. Həm də bu diaqonalların trapezoidin əsasına meyl açıları eynidir.
4. Yalnız ikitərəfli trapesiya yaxınlığında bir dairə təsvir edilə bilər, çünki dördbucaqlının əks bucaqlarının cəmi 180 0 bunun üçün ilkin şərtdir.
5. İkitərəfli trapezoidin xüsusiyyəti əvvəlki paraqrafdan irəli gəlir - əgər trapezoidin yaxınlığında bir dairə təsvir edilə bilərsə, o, isoscelesdir.
6. İkitərəfli trapezoidin xüsusiyyətlərindən trapezoidin hündürlüyünün xüsusiyyəti belədir: əgər onun diaqonalları düz bucaq altında kəsişirsə, hündürlüyün uzunluğu əsasların cəminin yarısına bərabərdir: h = (a + b)/2.
7. Trapezoidin əsaslarının orta nöqtələrindən yenidən TX xəttini çəkin - ikitərəfli trapesiyada o, əsaslara perpendikulyardır. Və eyni zamanda, TX bir isosceles trapezoidinin simmetriya oxudur.
8. Bu dəfə daha böyük bazaya (gəlin onu a deyək) trapezoidin əks təpəsindən hündürlüyə enin. İki kəsik alacaqsınız. Əsasların uzunluqları əlavə edilərək yarıya bölünsə, birinin uzunluğunu tapmaq olar: (a+b)/2. Böyük bazadan kiçik olanı çıxardıqda və yaranan fərqi ikiyə böldükdə ikincisini alırıq: (a – b)/2.

Dairəyə yazılmış trapezoidin xüsusiyyətləri

Artıq dairədə yazılmış trapesiyadan danışdığımız üçün bu məsələ üzərində daha ətraflı dayanaq. Xüsusilə, trapesiya ilə əlaqəli dairənin mərkəzi haradadır. Burada da qələm götürmək və aşağıda müzakirə ediləcəkləri çəkmək üçün çox tənbəl olmamaq tövsiyə olunur. Beləliklə, daha tez başa düşəcəksiniz və daha yaxşı xatırlayacaqsınız.

1. Dairənin mərkəzinin yeri trapezoidin diaqonalının onun tərəfinə meyl açısı ilə müəyyən edilir. Məsələn, trapezoidin yuxarı hissəsindən yana doğru bucaq altında bir diaqonal çıxa bilər. Bu halda, daha böyük baza tam olaraq ortada (R = ½AE) məhdud dairənin mərkəzini kəsir.
2. Diaqonal və yan da kəskin bir açı ilə görüşə bilər - onda dairənin mərkəzi trapezoidin içərisindədir.
3. Trapezoidin diaqonalı ilə yan tərəfi arasında küt bucaq varsa, dairəvi dairənin mərkəzi trapezoiddən kənarda, onun böyük bazasından kənarda ola bilər.
4. ACME trapesiyasının (yazılı bucaq) diaqonalının və böyük əsasının yaratdığı bucaq ona uyğun gələn mərkəzi bucağın yarısıdır: MAE = ½MY.
5. Qısaca olaraq, dairənin radiusunu tapmağın iki yolu haqqında. Birinci üsul: rəsminizə diqqətlə baxın - nə görürsünüz? Diaqonalın trapezoidi iki üçbucağa böldüyünü asanlıqla görəcəksiniz. Radiusu üçbucağın tərəfinin əks bucağın sinusuna nisbəti ilə tapmaq olar, ikiyə vurulur. Misal üçün, R \u003d AE / 2 * sinAME. Eynilə, düstur hər iki üçbucağın hər hansı tərəfi üçün yazıla bilər.
6. İkinci üsul: trapezoidin diaqonalı, tərəfi və əsası ilə əmələ gələn üçbucağın sahəsindən keçən dairənin radiusunu tapırıq: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Dairə ətrafında çəkilmiş trapezoidin xassələri

Bir şərt yerinə yetirilərsə, trapezoidə bir dairə yaza bilərsiniz. Bu barədə daha ətraflı aşağıda. Və birlikdə rəqəmlərin bu birləşməsi bir sıra maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir.

1. Bir dairə trapezoidə yazılmışdırsa, onun orta xəttinin uzunluğunu tərəflərin uzunluqlarını əlavə etməklə və əldə edilən cəmi yarıya bölməklə asanlıqla tapmaq olar: m = (c + d)/2.
2. Dairə ətrafında çəkilmiş ACME trapesiya üçün əsasların uzunluqlarının cəmi tərəflərin uzunluqlarının cəminə bərabərdir: AK + ME = KM + AE.
3. Trapezoidin əsaslarının bu xassəsindən əks ifadə belə çıxır: həmin trapezoidə əsaslarının cəmi tərəflərin cəminə bərabər olan bir dairə çəkilə bilər.
4. Radiusu r trapesiyaya daxil edilmiş çevrənin toxunan nöqtəsi yan tərəfi iki seqmentə ayırır, onları a və b adlandıraq. Bir dairənin radiusu düsturla hesablana bilər: r = √ab.
5. Və daha bir mülk. Çaşqın olmamaq üçün bu nümunəni özünüz çəkin. Bizdə bir dairənin ətrafında olan köhnə yaxşı ACME trapesiya var. Orada diaqonallar çəkilir, O nöqtəsində kəsişir. Diaqonalların və tərəflərin seqmentlərindən əmələ gələn AOK və EOM üçbucaqları düzbucaqlıdır.
   Bu üçbucaqların hipotenuslara (yəni, trapezoidin tərəfləri) endirilmiş hündürlükləri, yazılmış dairənin radiusları ilə üst-üstə düşür. Və trapezoidin hündürlüyü, yazılmış dairənin diametri ilə eynidir.

Düzbucaqlı trapezoidin xüsusiyyətləri

Künclərindən biri sağ olan trapesiya düzbucaqlı adlanır. Onun xassələri də bu vəziyyətdən irəli gəlir.

1. Düzbucaqlı trapezoidin əsaslarına perpendikulyar olan tərəflərdən biri var.
2. Bitişik trapezoidin hündürlüyü və tərəfi düz bucaq, bərabərdir. Bu, düzbucaqlı trapezoidin sahəsini hesablamağa imkan verir ( ümumi formula S = (a + b) * h/2) yalnız hündürlükdən deyil, həm də düzgün bucaqla bitişik tərəfdən.
3. Düzbucaqlı bir trapezoid üçün yuxarıda təsvir edilmiş trapesiya diaqonallarının ümumi xüsusiyyətləri aktualdır.

Trapezoidin bəzi xüsusiyyətlərinin sübutları

İkitərəfli trapezoidin bazasında bucaqların bərabərliyi:

• Yəqin ki, artıq təxmin etdiniz ki, burada yenidən ACME trapesiyasına ehtiyacımız var - bir isosceles trapesiya çəkin. M təpəsindən AK tərəfinə paralel MT xəttini (MT || AK) çəkin.

Nəticədə dördbucaqlı AKMT paraleloqramdır (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT olduğundan, ∆ MTE ikitərəfli və MET = MTE-dir.

AK || MT, buna görə də MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Burada AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

İndi ikitərəfli trapezoidin xassəsinə (diaqonalların bərabərliyi) əsaslanaraq bunu sübut edirik trapesiya ACME isosceles edir:

• Başlamaq üçün MX – MX || düz xəttini çəkək KE. KMHE paraleloqramını alırıq (əsas - MX || KE və KM || EX).

∆AMH ikitərəflidir, çünki AM = KE = MX və MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, buna görə də MAE = MXE.

Məlum oldu ki, AKE və EMA üçbucaqları bir-birinə bərabərdir, çünki AM \u003d KE və AE iki üçbucağın ümumi tərəfidir. Həm də MAE \u003d MXE. Belə nəticəyə gələ bilərik ki, AK = ME və bundan belə nəticəyə gəlmək olar ki, AKME trapesiya ikitərəflidir.

Təkrar etmək üçün tapşırıq

ACME trapesiyasının əsasları 9 sm və 21 sm-dir, KA-nın tərəfi 8 sm-ə bərabərdir, daha kiçik baza ilə 150 ​​0 bucaq əmələ gətirir. Trapezoidin sahəsini tapmaq lazımdır.

Həlli: K təpəsindən hündürlüyü trapezoidin daha böyük bazasına endiririk. Və trapezoidin bucaqlarına baxmağa başlayaq.

AEM və KAN bucaqları birtərəflidir. Bu o deməkdir ki, onlar 1800-ə qədər əlavə edirlər. Buna görə KAN = 30 0 (trapezoidin bucaqlarının xassəsinə əsasən).

İndi düzbucaqlı ∆ANK-a nəzər salın (məncə, bu məqam əlavə sübut olmadan oxucular üçün aydındır). Ondan KH trapesiyasının hündürlüyünü tapırıq - üçbucaqda 30 0 bucağının qarşısında yerləşən bir ayaqdır. Buna görə KN \u003d ½AB \u003d 4 sm.

Trapezoidin sahəsi düsturla tapılır: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 sm 2.

Son söz

Bu məqaləni diqqətlə və düşünülmüş şəkildə öyrənmisinizsə, yuxarıda göstərilən bütün xüsusiyyətlər üçün əlinizdə bir qələm ilə trapezoidlər çəkmək və onları praktikada təhlil etmək üçün çox tənbəl deyilsinizsə, materialı yaxşı mənimsəməli idiniz.

Əlbəttə ki, burada müxtəlif və bəzən hətta çaşdırıcı olan çoxlu məlumat var: təsvir olunan trapezoidin xüsusiyyətləri ilə yazılanların xüsusiyyətlərini qarışdırmaq o qədər də çətin deyil. Amma siz özünüz gördünüz ki, fərq çox böyükdür.

İndi hər şeyin ətraflı xülasəsi var ümumi xassələri trapesiya. Eləcə də ikitərəfli və düzbucaqlı trapezoidlərin spesifik xassələri və xüsusiyyətləri. Sınaq və imtahanlara hazırlaşmaq üçün istifadə etmək çox rahatdır. Özünüz cəhd edin və linki dostlarınızla paylaşın!

sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Trapesiyadır xüsusi hal bir cüt tərəfi paralel olan dördbucaqlı. "Trapezoid" termini yunanca "masa", "masa" mənasını verən τράπεζα sözündəndir. Bu yazıda trapeziyanın növlərini və onun xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirəcəyik. Bundan əlavə, biz bu nümunənin ayrı-ayrı elementlərini, bir isosceles trapezoidinin diaqonalını, orta xəttini, sahəsini və s. hesablamaq üçün necə başa düşəcəyik. Material elementar populyar həndəsə üslubunda, yəni asanlıqla əldə edilə bilən bir üslubda təqdim olunur. forma.

Ümumi məlumat

Əvvəlcə dördbucağın nə olduğunu anlayaq. Bu rəqəm dörd tərəfi və dörd təpəsi olan çoxbucaqlının xüsusi halıdır. Dördbucaqlının bitişik olmayan iki təpəsi əks adlanır. Eyni sözləri bitişik olmayan iki tərəf haqqında da demək olar. Dördbucaqlıların əsas növləri paraleloqram, düzbucaqlı, romb, kvadrat, trapezoid və deltoiddir.

Beləliklə, trapesiyaya qayıt. Artıq dediyimiz kimi, bu rəqəmin paralel olan iki tərəfi var. Onlara əsaslar deyilir. Digər ikisi (paralel olmayan) tərəflərdir. İmtahan materiallarında və müxtəlif nəzarət işləriçox tez-tez trapezoidlərlə əlaqəli tapşırıqlarla qarşılaşa bilərsiniz, onların həlli tez-tez tələbədən proqramda nəzərdə tutulmayan biliyə sahib olmağı tələb edir. Məktəb həndəsə kursu şagirdləri bucaqların və diaqonalların xassələri, həmçinin ikitərəfli trapezoidin orta xətti ilə tanış edir. Ancaq bütün bunlardan əlavə, qeyd olunan həndəsi fiqurun başqa xüsusiyyətləri də var. Amma onlar haqqında daha sonra...

Trapezoidlərin növləri

Bu rəqəmin bir çox növləri var. Bununla birlikdə, çox vaxt onlardan ikisini nəzərdən keçirmək adətdir - isosceles və düzbucaqlı.

1. Düzbucaqlı trapesiya tərəflərindən birinin əsaslara perpendikulyar olduğu fiqurdur. Onun həmişə doxsan dərəcə olan iki bucağı var.

2. İkitərəfli trapesiya tərəfləri bir-birinə bərabər olan həndəsi fiqurdur. Bu o deməkdir ki, əsaslardakı bucaqlar da cüt-cüt bərabərdir.

Trapezoidin xassələrinin öyrənilməsi metodologiyasının əsas prinsipləri

Əsas prinsip sözdə tapşırıq yanaşmasının istifadəsidir. Əslində, bu fiqurun yeni xassələrini həndəsənin nəzəri kursuna daxil etməyə ehtiyac yoxdur. Onlar həll prosesində aşkarlana və formalaşdırıla bilər müxtəlif vəzifələr(sistemdən daha yaxşıdır). Eyni zamanda, müəllimin bu və ya digər vaxtda şagirdlərə hansı tapşırıqların qoyulması lazım olduğunu bilməsi çox vacibdir. təhsil prosesi. Üstəlik, trapezoidin hər bir xüsusiyyəti tapşırıq sistemində əsas vəzifə kimi təqdim edilə bilər.

İkinci prinsip, trapeziyanın "əlamətdar" xüsusiyyətlərinin öyrənilməsinin sözdə spiral təşkilidir. Bu, öyrənmə prosesində verilənin fərdi xüsusiyyətlərinə qayıtmağı nəzərdə tutur həndəsi fiqur. Beləliklə, tələbələrin onları yadda saxlaması daha asan olur. Məsələn, dörd nöqtənin xüsusiyyəti. Bunu həm oxşarlığın öyrənilməsində, həm də vektorların köməyi ilə sübut etmək olar. Şəklin tərəflərinə bitişik üçbucaqların bərabər sahəsi yalnız eyni xəttdə yerləşən tərəflərə çəkilmiş bərabər hündürlüklü üçbucaqların xüsusiyyətlərini tətbiq etməklə deyil, həm də S = 1/2 düsturundan istifadə etməklə sübut edilə bilər. (ab*sinα). Bundan əlavə, siz yazılmış trapezoid və ya düzbucaqlı üçbucaqlı bir trapezoid üzərində işləyə bilərsiniz və s.

Məzmunda həndəsi fiqurun “proqramdan kənar” xüsusiyyətlərindən istifadə edilməsi məktəb kursu onların tədrisinin tapşırıq texnologiyasıdır. Başqa mövzulardan keçərkən öyrənilən xassələrə daim müraciət edilməsi tələbələrə trapesiya haqqında daha dərin biliklər əldə etməyə imkan verir və tapşırıqların həllində müvəffəqiyyəti təmin edir. Beləliklə, bu gözəl rəqəmi öyrənməyə başlayaq.

İkitərəfli trapezoidin elementləri və xassələri

Artıq qeyd etdiyimiz kimi, bu həndəsi fiqurun tərəfləri bərabərdir. O, həmçinin sağ trapesiya kimi tanınır. Niyə bu qədər diqqətəlayiqdir və niyə belə bir ad almışdır? Bu rəqəmin xüsusiyyətlərinə yalnız əsaslardakı tərəflərin və künclərin deyil, həm də diaqonalların bərabər olması daxildir. Həmçinin, ikitərəfli trapezoidin bucaqlarının cəmi 360 dərəcədir. Ancaq bu, hamısı deyil! Məlum olan bütün trapesiyalardan yalnız ikizövrənin ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər. Bu, bu rəqəmin əks bucaqlarının cəminin 180 dərəcə olması ilə bağlıdır və yalnız bu şərtlə dördbucaqlı ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər. Nəzərdən keçirilən həndəsi fiqurun növbəti xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, əsas təpədən əks təpənin bu əsası ehtiva edən düz xəttə proyeksiyasına qədər olan məsafə orta xəttə bərabər olacaqdır.

İndi ikitərəfli trapezoidin bucaqlarını necə tapacağımızı anlayaq. Fiqurun tərəflərinin ölçüləri məlum olmaq şərti ilə bu problemin həllini nəzərdən keçirin.

Həll

Adətən, dördbucaqlı adətən A, B, C, D hərfləri ilə işarələnir, burada BS və AD əsasdır. İkitərəfli trapesiyada tərəflər bərabərdir. Onların ölçüsünün X, əsasların ölçülərinin isə Y və Z (müvafiq olaraq daha kiçik və daha böyük) olduğunu fərz edəcəyik. Hesablamanı həyata keçirmək üçün B bucağından H hündürlüyünü çəkmək lazımdır. Nəticə düzbucaqlı ABN üçbucağıdır, burada AB hipotenuza, BN və AN isə ayaqlarıdır. AN ayağının ölçüsünü hesablayırıq: daha kiçik olanı daha böyük bazadan çıxarırıq və nəticəni 2-yə bölürük. Biz onu düstur şəklində yazırıq: (Z-Y) / 2 \u003d F. İndi hesablamaq üçün üçbucağın iti bucağı üçün cos funksiyasından istifadə edirik. Aşağıdakı qeydi alırıq: cos(β) = Х/F. İndi bucağı hesablayırıq: β=arcos (Х/F). Bundan əlavə, bir bucağı bilərək, ikincini təyin edə bilərik, bunun üçün elementar hesab əməliyyatı yerinə yetiririk: 180 - β. Bütün bucaqlar müəyyən edilmişdir.

Bu problemin ikinci həlli də var. Başlanğıcda B küncündən H hündürlüyünü aşağı salırıq. BN ayağının dəyərini hesablayırıq. Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunun kvadratının ayaqların kvadratlarının cəminə bərabər olduğunu bilirik. Alırıq: BN \u003d √ (X2-F2). Sonra tg triqonometrik funksiyasından istifadə edirik. Nəticədə, biz var: β = arctg (BN / F). Kəskin künc tapıldı. Sonra, birinci üsulla eyni şəkildə müəyyənləşdiririk.

İkitərəfli trapezoidin diaqonallarının xassələri

Əvvəlcə dörd qayda yazaq. Əgər ikitərəfli trapesiyada diaqonallar perpendikulyardırsa, onda:

Şəklin hündürlüyü ikiyə bölünən əsasların cəminə bərabər olacaq;

Onun hündürlüyü və orta xətti bərabərdir;

Dairənin mərkəzi nöqtədir ki, ;

Yan tərəf təmas nöqtəsi ilə H və M seqmentlərinə bölünürsə, o, bərabərdir kvadrat kök bu seqmentlərin məhsulları;

Tangens nöqtələrindən, trapezoidin təpəsindən və daxilə yazılmış dairənin mərkəzindən əmələ gələn dördbucaqlı, tərəfi radiusa bərabər olan kvadratdır;

Fiqurun sahəsi əsasların məhsulu ilə əsasların cəminin yarısının və onun hündürlüyünün məhsuluna bərabərdir.

Oxşar trapesiya

Bu mövzu bunun xassələrini öyrənmək üçün çox əlverişlidir.Məsələn, diaqonallar trapesiyanı dörd üçbucağa bölür və əsaslara bitişik olanlar oxşardır, tərəfləri isə bərabərdir. Bu ifadəni trapezoidin diaqonallarına görə bölündüyü üçbucaqların bir xüsusiyyəti adlandırmaq olar. Bu müddəanın birinci hissəsi iki bucaqda oxşarlıq meyarı vasitəsilə sübuta yetirilir. İkinci hissəni sübut etmək üçün aşağıda verilmiş üsuldan istifadə etmək daha yaxşıdır.

Teoremin sübutu

ABSD fiqurunun (AD və BS - trapezoidin əsasları) VD və AC diaqonalları ilə bölündüyünü qəbul edirik. Onların kəsişmə nöqtəsi O. Biz dörd üçbucaq alırıq: AOS - aşağı bazada, BOS - yuxarı bazada, ABO və SOD tərəflərdə. BO və OD seqmentləri onların əsaslarıdırsa, SOD və BOS üçbucaqlarının ümumi hündürlüyü var. Alırıq ki, onların sahələri arasındakı fərq (P) bu seqmentlər arasındakı fərqə bərabərdir: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Buna görə də PSOD = PBOS / K. Eynilə, BOS və AOB üçbucaqlarının ümumi hündürlüyü var. Biz CO və OA seqmentlərini əsas kimi götürürük. PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K və PAOB \u003d PBOS / K alırıq. Buradan belə çıxır ki, PSOD = PAOB.

Materialı möhkəmləndirmək üçün tələbələrə aşağıdakı məsələni həll etməklə trapezoidin diaqonallarına bölündüyü nəticədə üçbucaqların sahələri arasında əlaqə tapmaq tövsiyə olunur. Məlumdur ki, BOS və AOD üçbucaqlarının sahələri bərabərdir, trapezoidin sahəsini tapmaq lazımdır. PSOD \u003d PAOB olduğundan, bu o deməkdir ki, PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. BOS və AOD üçbucaqlarının oxşarlığından belə nəticə çıxır ki, BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Buna görə də, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). PSOD = √ (PBOS * PAOD) alırıq. Sonra PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

oxşarlıq xüsusiyyətləri

Bu mövzunu inkişaf etdirməyə davam edərək, başqalarını sübut edə bilərik maraqlı xüsusiyyətlər trapesiya. Beləliklə, oxşarlıqdan istifadə edərək, bu həndəsi fiqurun diaqonallarının kəsişməsindən əmələ gələn nöqtədən keçən seqmentin əsaslarına paralel xassəsini sübut edə bilərsiniz. Bunun üçün aşağıdakı məsələni həll edirik: O nöqtəsindən keçən RK seqmentinin uzunluğunu tapmaq lazımdır. AOD və BOS üçbucaqlarının oxşarlığından AO/OS=AD/BS belə çıxır. AOP və ASB üçbucaqlarının oxşarlığından belə çıxır ki, AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Buradan biz RO \u003d BS * AD / (BS + AD) alırıq. Eynilə, DOK və DBS üçbucaqlarının oxşarlığından belə çıxır ki, OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Buradan RO=OK və RK=2*BS*AD/(BS+AD) alırıq. Əsaslara paralel olan və iki tərəfi birləşdirən diaqonalların kəsişmə nöqtəsindən keçən seqment kəsişmə nöqtəsi ilə yarıya bölünür. Onun uzunluğu fiqurun əsaslarının harmonik ortasıdır.

düşünün növbəti keyfiyyət dörd nöqtənin mülkiyyəti adlanan trapesiya. Diaqonalların (O) kəsişmə nöqtələri, tərəflərin (E) davamının kəsişmə nöqtələri, eləcə də əsasların orta nöqtələri (T və W) həmişə eyni xətt üzərində yerləşir. Bu, oxşarlıq üsulu ilə asanlıqla sübuta yetirilir. Yaranan BES və AED üçbucaqları oxşardır və onların hər birində ET və EZH medianları E təpəsindəki bucağı bərabər hissələrə bölür. Buna görə də E, T və W nöqtələri eyni düz xətt üzərində yerləşir. Eyni şəkildə T, O və G nöqtələri eyni düz xətt üzərində yerləşir.Bütün bunlar BOS və AOD üçbucaqlarının oxşarlığından irəli gəlir. Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, bütün dörd nöqtə - E, T, O və W - bir düz xətt üzərində uzanacaq.

Oxşar trapesiyalardan istifadə edərək, şagirdlərə fiquru iki oxşar hissəyə bölən seqmentin uzunluğunu (LF) tapmağı tapşırmaq olar. Bu seqment əsaslara paralel olmalıdır. Nəticədə ALFD və LBSF trapesiyaları oxşar olduğundan, BS/LF=LF/BP olur. Buradan belə çıxır ki, LF=√(BS*BP). Alırıq ki, trapesiyanı iki oxşar hissəyə bölən seqment fiqurun əsaslarının uzunluqlarının həndəsi ortasına bərabər uzunluğa malikdir.

Aşağıdakı oxşarlıq xüsusiyyətini nəzərdən keçirin. O, trapesiyanı iki bərabər ölçülü rəqəmə bölən seqmentə əsaslanır. Biz qəbul edirik ki, trapesiya ABSD EN seqmenti ilə iki oxşar seqmentə bölünür. B təpəsində EH seqmenti ilə iki hissəyə bölünən hündürlük buraxılır - B1 və B2. Alırıq: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 və PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Sonra, ilk tənliyi (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 və ikinci (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / olan bir sistem tərtib edirik. 2. Buradan belə çıxır ki, B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) və BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Trapesiyanı iki bərabərə bölən seqmentin uzunluğunun əsasların uzunluqlarının orta kvadratına bərabər olduğunu alırıq: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Oxşarlıq nəticələri

Beləliklə, biz sübut etdik:

1. Trapesiyanın tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirən seqment AD və BS-yə paraleldir və BS və AD-nin arifmetik ortasına (trapesiyanın əsasının uzunluğu) bərabərdir.

2. AD və BS-yə paralel diaqonalların kəsişməsinin O nöqtəsindən keçən xətt AD və BS ədədlərinin harmonik ortasına bərabər olacaqdır (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Trapesiyanı oxşarlara bölən seqment BS və AD əsaslarının həndəsi ortasının uzunluğuna malikdir.

4. Fiquru iki bərabərə bölən element AD və BS orta kvadrat ədədlərinin uzunluğuna malikdir.

Materialı birləşdirmək və nəzərdən keçirilən seqmentlər arasındakı əlaqəni başa düşmək üçün tələbə onları müəyyən bir trapezoid üçün qurmalıdır. O, orta xətti və O nöqtəsindən keçən seqmenti - fiqurun diaqonallarının kəsişməsindən - əsaslara paralel olaraq asanlıqla göstərə bilər. Bəs üçüncü və dördüncü harada olacaq? Bu cavab tələbəni orta göstəricilər arasında arzu olunan əlaqənin kəşfinə aparacaq.

Trapezoidin diaqonallarının orta nöqtələrini birləşdirən xətt seqmenti

Bu rəqəmin aşağıdakı xüsusiyyətini nəzərdən keçirin. MH seqmentinin əsaslara paralel olduğunu və diaqonalları ikiyə böldüyünü qəbul edirik. Kəsişmə nöqtələrini W və W adlandıraq. Bu seqment əsasların yarı fərqinə bərabər olacaq. Bunu daha ətraflı təhlil edək. MSH - ABS üçbucağının orta xətti, BS / 2-ə bərabərdir. MS - ABD üçbucağının orta xətti, AD / 2-ə bərabərdir. Sonra əldə edirik ki, ShShch = MShch-MSh, buna görə də Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Qravitasiya mərkəzi

Bu elementin verilmiş həndəsi fiqur üçün necə təyin olunduğuna baxaq. Bunun üçün əsasları əks istiqamətlərə uzatmaq lazımdır. Bunun mənası nədi? Aşağı bazanı yuxarı bazaya əlavə etmək lazımdır - hər hansı bir tərəfə, məsələn, sağa. Və alt sola yuxarı uzunluğu ilə uzadılır. Sonra onları diaqonal ilə bağlayırıq. Bu seqmentin fiqurun orta xətti ilə kəsişmə nöqtəsi trapezoidin ağırlıq mərkəzidir.

Yazılı və hüdudlu trapezoidlər

Belə rəqəmlərin xüsusiyyətlərini sadalayaq:

1. Trapesiya yalnız ikitərəfli olduqda dairəyə daxil edilə bilər.

2. Trapesiyanı dairənin ətrafında təsvir etmək olar, bu şərtlə ki, onların əsaslarının uzunluqlarının cəmi tərəflərin uzunluqlarının cəminə bərabər olsun.

Yazılı dairənin nəticələri:

1. Təsvir edilən trapezoidin hündürlüyü həmişə iki radiusa bərabərdir.

2. Təsvir edilən trapezoidin yan tərəfi dairənin mərkəzindən düz bucaq altında müşahidə edilir.

Birinci nəticə göz qabağındadır və ikincini sübut etmək üçün SOD bucağının düzgün olduğunu müəyyən etmək lazımdır ki, bu da əslində çətin olmayacaq. Lakin bu xassə haqqında bilik bizə problemlərin həllində düzbucaqlı üçbucaqdan istifadə etməyə imkan verəcək.

İndi biz bu nəticələri bir dairədə yazılmış ikitərəfli trapesiya üçün müəyyənləşdiririk. Alırıq ki, hündürlük fiqurun əsaslarının həndəsi ortasıdır: H=2R=√(BS*AD). Trapesiya üçün məsələlərin həlli üçün əsas texnikanı (iki hündürlüyün çəkilmə prinsipi) məşq edərək tələbə aşağıdakı tapşırığı həll etməlidir. Biz qəbul edirik ki, BT ABSD isosceles fiqurunun hündürlüyüdür. AT və TD seqmentlərini tapmaq lazımdır. Yuxarıda təsvir olunan düsturdan istifadə edərək, bunu etmək çətin olmayacaq.

İndi sərhədlənmiş trapezoidin sahəsindən istifadə edərək bir dairənin radiusunu necə təyin edəcəyimizi anlayaq. Biz hündürlüyü yuxarı B-dən AD bazasına endiririk. Dairə trapezoidə yazılmış olduğundan, BS + AD \u003d 2AB və ya AB \u003d (BS + AD) / 2. ABN üçbucağından sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD) tapırıq. PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. PABSD \u003d (BS + HELL) * R alırıq, bundan R \u003d PABSD / (BS + HELL) belə çıxır.

Trapezoidin orta xəttinin bütün düsturları

İndi bu həndəsi fiqurun son elementinə keçmək vaxtıdır. Trapezoidin orta xəttinin (M) nəyə bərabər olduğunu anlayaq:

1. Əsaslar vasitəsilə: M \u003d (A + B) / 2.

2. Hündürlük, əsas və bucaqlar vasitəsilə:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Hündürlük, diaqonallar və onların arasındakı bucaq vasitəsilə. Məsələn, D1 və D2 trapezoidin diaqonallarıdır; α, β - aralarındakı açılar:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Sahə və hündürlük vasitəsilə: M = P / N.