İstənilən ədədi sıfıra vurma qaydası. Məktəb riyaziyyatı kursu: niyə məktəbdə sıfıra bölmək olmur

Evgeni Shiryayev, müəllim və Politexnik Muzeyinin Riyaziyyat laboratoriyasının müdiri, AiF.ru-ya sıfıra bölmə haqqında danışdı:

1. Məsələnin yurisdiksiyası

Razılaşın, qaydanı xüsusilə təxribatçı edən qadağadır. Bunu necə etmək olmaz? Kim qadağa qoyub? Bəs bizim vətəndaş hüquqlarımız?

Nə Rusiya Federasiyasının Konstitusiyası, nə Cinayət Məcəlləsi, nə də məktəbinizin nizamnaməsi bizi maraqlandıran intellektual fəaliyyətə etiraz etmir. Bu o deməkdir ki, qadağanın heç bir hüquqi qüvvəsi yoxdur və burada, AiF.ru səhifələrində nəyisə sıfıra bölməyə cəhd etməyə heç nə mane olmur. Məsələn, min.

2. Öyrəndiyimiz kimi bölək

Yadda saxlayın ki, siz ilk dəfə bölməyi öyrəndiyiniz zaman ilk misallar vurmanın yoxlanılması ilə həll olunurdu: bölücü ilə vurulan nəticə bölünənlə eyni olmalı idi. Əgər uyğun gəlmirsə, qərar vermədilər.

Misal 1. 1000: 0 =...

Bir anlıq qadağan olunmuş qaydanı unudaq və cavabı təxmin etmək üçün bir neçə cəhd edək.

Yanlış olanlar çeklə kəsiləcək. Aşağıdakı seçimləri sınayın: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000, onların hər biri üçün çek eyni nəticəni verəcək:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Sıfırı vurmaqla hər şey özünə çevrilir və heç vaxt minə çevrilmir. Nəticəni tərtib etmək asandır: heç bir nömrə testdən keçməyəcək. Yəni heç bir ədəd sıfırdan fərqli bir ədədin sıfıra bölünməsinin nəticəsi ola bilməz. Belə bölgü qadağan deyil, sadəcə olaraq heç bir nəticə vermir.

3. Nüans

Qadağanı təkzib etmək üçün az qala bir fürsəti əldən verdik. Bəli, biz etiraf edirik ki, sıfırdan fərqli bir ədəd 0-a bölünə bilməz. Amma bəlkə 0-ın özü ola bilər?

Misal 2. 0: 0 = ...

Şəxsi təklifləriniz nədir? 100? Zəhmət olmasa: 100-ün bölünən 0-a vurulan hissəsi dividend 0-a bərabərdir.

Daha çox seçim! 1? Uyğundur. Və -23, və 17, vəssalam. Bu nümunədə test istənilən nömrə üçün müsbət olacaq. Düzünü desəm, bu misaldakı həlli nömrə deyil, nömrələr toplusu adlandırmaq lazımdır. Hər kəs. Alisanın Alisa deyil, Meri Enn olduğu və hər ikisinin bir dovşan xəyalı olduğu ilə razılaşmaq çox çəkmir.

4. Bəs ali riyaziyyat?

Problem həll olundu, nüanslar nəzərə alındı, nöqtələr qoyuldu, hər şey aydın oldu - sıfıra bölməli misalın cavabı tək ədəd ola bilməz. Belə problemlərin həlli ümidsiz və qeyri-mümkündür. Bu o deməkdir ki... maraqlıdır! İki götürün.

Misal 3. 1000-i 0-a necə bölmək olar.

Amma heç cür. Amma 1000-i asanlıqla digər rəqəmlərə bölmək olar. Yaxşı, heç olmasa əlimizdən gələni edək, hətta qarşımızda duran vəzifəni dəyişsək də. Sonra da görürsən ki, özümüzə qapılırıq və cavab öz-özünə görünəcək. Gəlin bir dəqiqəyə sıfırı unudaq və yüzə bölün:

Yüz sıfırdan çox uzaqdır. Bölücü azaltmaqla ona doğru bir addım ataq:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamikası göz qabağındadır: bölən sıfıra nə qədər yaxındırsa, bölgü bir o qədər böyük olur. Trend fraksiyalara keçməklə və payı azaltmağa davam etməklə daha da müşahidə edilə bilər:

Qeyd etmək qalır ki, biz istədiyimiz qədər sıfıra yaxınlaşa bilərik, bölməni istədiyimiz qədər böyük edirik.

Bu prosesdə heç bir sıfır və son hissə yoxdur. Nömrəni maraqlandıran nömrəyə yaxınlaşan ardıcıllıqla əvəz edərək onlara doğru hərəkəti göstərdik:

Bu, divident üçün oxşar əvəzi nəzərdə tutur:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Okların ikitərəfli olması boş yerə deyil: bəzi ardıcıllıqlar rəqəmlərə yaxınlaşa bilər. Sonra ardıcıllığı onun ədədi həddi ilə əlaqələndirə bilərik.

Kotirovkaların ardıcıllığına baxaq:

Həddindən artıq böyüyür, heç bir saya can atmır və heç birini üstələyir. Riyaziyyatçılar rəqəmlərə simvol əlavə edirlər ∞ bu ardıcıllığın yanında iki tərəfli ox qoya bilmək üçün:

Məhdudiyyəti olan ardıcıllıqların sayı ilə müqayisə üçüncü nümunənin həllini təklif etməyə imkan verir:

1000-ə yaxınlaşan ardıcıllığı 0-a yaxınlaşan müsbət ədədlər ardıcıllığına elementarca böldükdə, ∞-ə yaxınlaşan ardıcıllıq əldə edirik.

5. Və burada iki sıfır olan nüansdır

Sıfıra yaxınlaşan müsbət ədədlərin iki ardıcıllığının bölünməsinin nəticəsi nədir? Əgər onlar eynidirsə, deməli vahid eynidir. Dividend ardıcıllığı daha sürətli sıfıra yaxınlaşırsa, onda sətirdə ardıcıllığın sıfır həddi var. Bölənin elementləri dividenddən daha sürətli azaldıqda, bölmənin ardıcıllığı çox artacaq:

Qeyri-müəyyən vəziyyət. Və buna belə deyilir: növün qeyri-müəyyənliyi 0/0 . Riyaziyyatçılar belə qeyri-müəyyənliyə uyğun gələn ardıcıllıqları gördükdə, iki eyni ədədi bir-birinə bölməyə tələsmirlər, əksinə, ardıcıllıqlardan hansının sıfıra daha sürətli və necə doğru getdiyini müəyyənləşdirirlər. Və hər bir nümunənin özünəməxsus cavabı olacaq!

6. Həyatda

Ohm qanunu dövrədə cərəyan, gərginlik və müqavimətlə əlaqəlidir. Çox vaxt bu formada yazılır:

Gəlin özümüzə diqqətli fiziki anlayışı laqeyd qoymağa və rəsmi olaraq baxmağa icazə verək sağ tərəf iki ədədin nisbəti kimi. Təsəvvür edək ki, elektrik enerjisi ilə bağlı məktəb problemini həll edirik. Şərt gərginliyi voltla və müqaviməti ohmla verir. Sual göz qabağındadır, həll yolu bir hərəkətdədir.

İndi super keçiriciliyin tərifinə baxaq: bu, bəzi metalların sıfır elektrik müqavimətinə malik olmasıdır.

Yaxşı, superkeçirici dövrə üçün problemi həll edək? Sadəcə qurun R= 0 işləməyəcək, fizika qusur maraqlı tapşırıq, bunun arxasında açıq-aydın bir elmi kəşf var. Və bu vəziyyətdə sıfıra bölməyi bacaran insanlar Nobel mükafatı aldılar. İstənilən qadağaları keçə bilmək faydalıdır!

"Sıfıra bölmək olmaz!" - əksər məktəblilər bu qaydanı sual vermədən əzbər öyrənirlər. Bütün uşaqlar "bacarmazsınız" nə olduğunu bilir və ona cavab olaraq soruşsanız nə baş verəcək: "Niyə?"

İş ondadır ki, hesabın dörd əməliyyatı - toplama, çıxma, vurma və bölmə - əslində qeyri-bərabərdir. Riyaziyyatçılar onlardan yalnız ikisini etibarlı hesab edirlər - toplama və vurma. Bu əməliyyatlar və onların xassələri ədəd anlayışının tərifinə daxildir. Bütün digər hərəkətlər bu və ya digər şəkildə bu ikisindən qurulur.

Məsələn, çıxma əməliyyatına baxacağıq. 5-3 nə deməkdir? Tələbə buna sadə cavab verəcək: beş obyekt götürməli, onlardan üçünü götürməli (çıxarmalı) və neçəsinin qaldığını görməlisiniz. Amma riyaziyyatçılar bu problemə tamam başqa cür baxırlar. Çıxarma yoxdur, yalnız toplama var. Buna görə də, 5 - 3 qeydi 3 rəqəminə əlavə edildikdə 5 rəqəmini verəcək ədəd deməkdir. Yəni 5 - 3 sadəcə olaraq tənliyin stenoqrammasıdır: x 3 = 5. Burada çıxma yoxdur. bu tənlik. Yalnız bir vəzifə var - uyğun bir nömrə tapmaq.

Eyni şey vurma və bölməyə də aiddir. Giriş 8:4 səkkiz elementin dörd bərabər yığına bölünməsinin nəticəsi kimi başa düşülə bilər. Amma reallıqda bu, 4 * x = 8 tənliyinin sadəcə qısaldılmış formasıdır.

Sıfıra bölünməyin niyə qeyri-mümkün (daha doğrusu qeyri-mümkün) olduğu burada aydın olur. Qeyd 5: 0 0 * x = 5-in abbreviaturasıdır. Yəni bu tapşırıq 0-a vurulduqda 5 verəcək ədədi tapmaqdır. Amma biz bilirik ki, 0-a vuranda həmişə 0 alırıq. Bu sıfırın xas xüsusiyyətidir, dəqiq desək, onun tərifinin bir hissəsidir.

Elə bir rəqəm yoxdur ki, 0-a vurulanda sıfırdan başqa bir şey çıxsın. Yəni bizim problemimizin həlli yoxdur. (Bəli, belə olur; hər problemin həlli yoxdur.) Bu o deməkdir ki, 5:0 qeydi heç bir konkret rəqəmə uyğun gəlmir və bu, sadəcə olaraq heç nə demək deyil və buna görə də heç bir məna daşımır. Bu girişin mənasızlığı qısaca olaraq sıfıra bölmək olmaz deyərək ifadə edilir.

Bu yerdəki ən diqqətli oxucular mütləq soruşacaqlar: sıfırı sıfıra bölmək mümkündürmü? Əslində, 0 * x = 0 tənliyi etibarlı şəkildə həll edilə bilər. Məsələn, x = 0 götürə bilərik və sonra 0 * 0 = 0 alırıq. Beləliklə, 0: 0=0? Ancaq tələsməyək. Gəlin x = 1 almağa çalışaq. 0 * 1 = 0 alırıq. düzdür? Yəni 0:0 = 1? Ancaq bu yolla istənilən rəqəmi götürüb 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 və s.

Ancaq hər hansı bir nömrə uyğundursa, onlardan birini seçmək üçün heç bir səbəbimiz yoxdur. Yəni 0:0 girişinin hansı rəqəmə uyğun olduğunu deyə bilmərik və əgər belədirsə, o zaman bu girişin də heç bir mənası olmadığını etiraf etmək məcburiyyətindəyik. Belə çıxır ki, hətta sıfırı da sıfıra bölmək olmaz. (Riyazi analizdə elə hallar olur ki, məsələnin əlavə şərtlərinə görə aşağıdakılardan birinə üstünlük verilə bilər. mümkün variantlar 0 * x = 0 tənliyinin həlləri; belə hallarda riyaziyyatçılar “Qeyri-müəyyənliyin açılması” haqqında danışırlar, lakin hesabda belə hallara rast gəlinmir. Bölmə əməliyyatının özəlliyi də budur. Daha dəqiq desək, vurma əməliyyatı və onunla əlaqəli ədəd sıfıra bərabərdir.

Yaxşı, ən vasvası olanlar bura qədər oxuyub soruşa bilərlər: niyə sıfıra bölmək olmur, amma sıfırı çıxara bilirsən? Müəyyən mənada əsl riyaziyyat buradan başlayır. Siz buna ancaq ədədi çoxluqların formal riyazi tərifləri və onlar üzərində əməliyyatlar ilə tanış olmaqla cavab verə bilərsiniz. O qədər də çətin deyil, amma nədənsə məktəbdə öyrədilmir. Amma universitetdə riyaziyyatdan mühazirələrdə ilk növbədə sizə məhz bunu öyrədəcəklər.

Niyə sıfıra bölə bilmirsən "Sıfıra bölmək olmaz!" - Əksər məktəblilər bu qaydanı sual vermədən əzbər öyrənirlər. Bütün uşaqlar “bacarmazsan”ın nə olduğunu bilir və ona cavab olaraq “Niyə?” deyə soruşsanız nə baş verəcək. Amma əslində bunun niyə mümkün olmadığını bilmək çox maraqlı və vacibdir. İş ondadır ki, hesabın dörd əməliyyatı - toplama, çıxma, vurma və bölmə - əslində qeyri-bərabərdir. Riyaziyyatçılar onlardan yalnız ikisini etibarlı hesab edirlər - toplama və vurma. Bu əməliyyatlar və onların xassələri ədəd anlayışının tərifinə daxildir. Bütün digər hərəkətlər bu və ya digər şəkildə bu ikisindən qurulur. Məsələn, çıxma əməliyyatını nəzərdən keçirək. 5-3 nə deməkdir? Tələbə buna sadə cavab verəcək: beş obyekt götürməli, onlardan üçünü götürməli (çıxarmalı) və neçəsinin qaldığını görməlisiniz. Amma riyaziyyatçılar bu problemə tamam başqa cür baxırlar. Çıxarma yoxdur, yalnız toplama var. Buna görə də, 5 – 3 qeydi 3 rəqəminə əlavə edildikdə 5 rəqəmini verəcək ədəd deməkdir. Yəni 5 – 3 sadəcə olaraq tənliyin stenoqrammasıdır: x + 3 = 5. Çıxarma yoxdur. bu tənlikdə. Yalnız bir vəzifə var - uyğun bir nömrə tapmaq.Eyni şey vurma və bölməyə də aiddir. Giriş 8:4 səkkiz elementin dörd bərabər yığına bölünməsinin nəticəsi kimi başa düşülə bilər. Ancaq bu, həqiqətən, 4 x = 8 tənliyinin qısaldılmış formasıdır.Sıfıra bölünməyin niyə qeyri-mümkün (daha doğrusu qeyri-mümkün) olduğu burada aydın olur. Qeyd 5: 0 0 x = 5-in abreviaturasıdır. Yəni bu tapşırıq 0-a vurulduqda 5 verəcək ədədi tapmaqdır. Amma biz bilirik ki, 0-a vurulanda nəticə həmişə 0 olur. Bu sıfırın xas xüsusiyyətidir, dəqiq desək, onun tərifinin bir hissəsidir.Elə bir rəqəm yoxdur ki, 0-a vurulanda sıfırdan başqa bir şey çıxsın. Yəni bizim problemimizin həlli yoxdur. (Bəli, belə olur; hər problemin həlli yoxdur.) Bu o deməkdir ki, 5:0 qeydi heç bir konkret rəqəmə uyğun gəlmir və bu, sadəcə olaraq heç nə demək deyil və buna görə də mənası yoxdur. Bu girişin mənasızlığı qısaca olaraq sıfıra bölmək olmaz deyərək ifadə edilir.Bu yerdəki ən diqqətli oxucular mütləq soruşacaqlar: sıfırı sıfıra bölmək mümkündürmü? Həqiqətən, 0 x = 0 tənliyi təhlükəsiz həll edilə bilər. Məsələn, x = 0 götürə bilərik və sonra 0 · 0 = 0 alırıq. Beləliklə, 0: 0=0? Amma tələsməyək. Gəlin x = 1 almağa çalışaq. 0 · 1 = 0 alırıq. Düzdür? Yəni 0:0 = 1? Ancaq bu yolla istənilən rəqəmi götürüb 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 və s.Ancaq hər hansı bir nömrə uyğundursa, onlardan birini seçmək üçün heç bir səbəbimiz yoxdur. Yəni 0:0 girişinin hansı rəqəmə uyğun olduğunu deyə bilmərik və əgər belədirsə, bu girişin də heç bir mənası olmadığını etiraf etmək məcburiyyətindəyik. Belə çıxır ki, hətta sıfırı da sıfıra bölmək olmaz. (Riyazi analizdə elə hallar olur ki, məsələnin əlavə şərtlərinə görə 0 x = 0 tənliyinin mümkün həll yollarından birinə üstünlük vermək olar; belə hallarda riyaziyyatçılar “qeyri-müəyyənliyin aşkarlanması” haqqında danışırlar, lakin belə hallar hesabda baş vermir.) Bölmə əməliyyatının özəlliyi də budur. Daha doğrusu, vurma əməliyyatı və onunla əlaqəli ədəd sıfıra bərabərdir. Yaxşı, ən vasvası olanlar, bura qədər oxuyub soruşa bilərlər: niyə sıfıra bölmək olmur, amma sıfırı çıxara bilirsən? Müəyyən mənada əsl riyaziyyat buradan başlayır. Siz buna ancaq ədədi çoxluqların formal riyazi tərifləri və onlar üzərində əməliyyatlar ilə tanış olmaqla cavab verə bilərsiniz. O qədər də çətin deyil, amma nədənsə məktəbdə öyrədilmir. Amma universitetdə riyaziyyat mühazirələrində sizə ilk növbədə bu öyrədiləcək.

Sıfıra bölmə riyaziyyatda bölən sıfır olan bölmə. Belə bölgü formal olaraq ⁄ 0 yazıla bilər, dividend haradadır.

Adi arifmetikada (həqiqi ədədlərlə) bu ifadənin mənası yoxdur, çünki:

• ≠ 0 üçün 0-a vurulduqda verən ədəd yoxdur, ona görə də heç bir ədəd ⁄ 0 hissəsi kimi qəbul edilə bilməz;
• = 0-da sıfıra bölmə də qeyri-müəyyəndir, çünki 0-a vurulan istənilən ədəd 0 verir və 0 ⁄ 0 nisbəti kimi qəbul edilə bilər.

Tarixən, ⁄ 0 dəyərinin təyin edilməsinin riyazi qeyri-mümkünlüyünə dair ilk istinadlardan biri Corc Berklinin sonsuz kiçik hesabla bağlı tənqidində yer alır.

Məntiqi səhvlər

Hər hansı bir ədədi sıfıra vurduqda, nəticədə həmişə sıfır alırıq, çünki ifadənin hər iki hissəsini × 0 = × 0 böldükdə, bu, dəyərindən asılı olmayaraq doğrudur və 0-da səhv olanı alırıq. özbaşına verilmiş hal dəyişən ifadə=. Sıfır açıq şəkildə deyil, olduqca mürəkkəb şəklində göstərilə bilər riyazi ifadə məsələn, iki dəyərin fərqi şəklində bir-birinə azaldılır cəbri çevrilmələr, belə bir bölgü olduqca açıq bir səhv ola bilər. Aşkar fərqli kəmiyyətlərin eyniliyini göstərmək və bununla da hər hansı bir absurd ifadəni sübut etmək üçün sübut prosesinə bu cür bölgüün hiss olunmaz şəkildə daxil edilməsi riyazi sofizmin növlərindən biridir.

Kompüter elmində

Proqramlaşdırmada, proqramlaşdırma dilindən, verilənlərin növündən və dividend dəyərindən asılı olaraq, sıfıra bölməyə cəhd müxtəlif nəticələr verə bilər. Tam və həqiqi arifmetikada sıfıra bölmənin nəticələri əsaslı şəkildə fərqlidir:

• Cəhd tam sıfıra bölmə həmişə proqramın sonrakı icrasını qeyri-mümkün edən kritik bir səhvdir. O, ya bir istisna atır (proqram özünü idarə edə bilər, bununla da qəzanın qarşısını alır) və ya proqramın dərhal dayandırılmasına səbəb olur, düzəldilə bilməyən xəta mesajı və ehtimal ki, zəng yığınının məzmunu göstərilir. Go kimi bəzi proqramlaşdırma dillərində tam ədədin sıfır sabitinə bölünməsi sintaksis xətası hesab edilir və proqramın qeyri-normal tərtib edilməsinə səbəb olur.
• IN real arifmetik nəticələr müxtəlif dillərdə fərqli ola bilər:

• istisna atmaq və ya tam bölmədə olduğu kimi proqramı dayandırmaq;
• əməliyyat nəticəsində xüsusi qeyri-rəqəm dəyərinin əldə edilməsi. Bu halda, hesablamalar kəsilmir və onların nəticəsi sonradan proqramın özü və ya istifadəçi tərəfindən mənalı bir dəyər və ya səhv hesablamaların sübutu kimi şərh edilə bilər. Geniş istifadə olunan prinsip ondan ibarətdir ki, ⁄ 0 kimi bölərkən, burada ≠ 0 üzən nöqtəli ədəddir, nəticə müsbət və ya mənfi (dividendin işarəsindən asılı olaraq) sonsuzluğa bərabərdir - və ya, və = 0 olduqda nəticə bir xüsusi dəyər NaN (qısaltma .. ingilis dilindən “nömrə deyil”). Bu yanaşma çoxları tərəfindən dəstəklənən IEEE 754 standartında qəbul edilmişdir müasir dillər proqramlaşdırma.

Sıfıra təsadüfi bölmə kompüter proqramı bəzən proqramla idarə olunan avadanlıqda bahalı və ya təhlükəli nasazlıqlara səbəb olur. Məsələn, 21 sentyabr 1997-ci ildə ABŞ Hərbi Dəniz Qüvvələrinin USS Yorktown (CG-48) kreyserinin kompüterləşdirilmiş idarəetmə sistemində sıfıra bölünməsi nəticəsində sistemdəki bütün elektron avadanlıqlar sönmüş, gəminin hərəkət sistemi sönmüşdür. fəaliyyətini dayandırmaq.

həmçinin bax

Qeydlər

Funksiya = 1 ⁄ . Sağdan sıfıra meyl etdikdə sonsuzluğa meyl edir; soldan sıfıra meyl etdikdə, mənfi sonsuzluğa meyllidir

Adi bir kalkulyatorda hər hansı bir rəqəmi sıfıra bölsəniz, o, sizə E hərfi və ya Xəta, yəni “səhv” sözünü verəcəkdir.

Bənzər bir vəziyyətdə, kompüter kalkulyatoru (Windows XP-də) yazır: "Sıfıra bölmək qadağandır."

Hər şey məktəbdən məlum olan qaydaya uyğundur ki, sıfıra bölmək olmaz.

Gəlin səbəbini anlayaq.

Bölmə vurmaya əks olan riyazi əməliyyatdır. Bölmə vurma yolu ilə müəyyən edilir.

Nömrəni bölün a(məsələn, 8-ə bölünür) ədədə görə b(bölən, məsələn, 2 rəqəmi) - belə bir ədəd tapmaq deməkdir x(hissə), bölücü ilə vurulduqda b dividend çıxır a(4 2 = 8), yəni a bölün b x · b = a tənliyinin həlli deməkdir.

a: b = x tənliyi x · b = a tənliyinə ekvivalentdir.

Bölməni vurma ilə əvəz edirik: 8: 2 = x əvəzinə x · 2 = 8 yazırıq.

8: 2 = 4 4 2 = 8-ə bərabərdir

18: 3 = 6, 6 3 = 18-ə bərabərdir

20: 2 = 10, 10 2 = 20-yə bərabərdir

Bölmənin nəticəsi həmişə vurma ilə yoxlanıla bilər. Bölənin bölünmə ilə çarpılmasının nəticəsi dividend olmalıdır.

Eyni şəkildə sıfıra bölməyə çalışaq.

Məsələn, 6: 0 = ... Bizə elə bir ədəd tapmaq lazımdır ki, onu 0-a vuranda 6 verir. Amma biz bilirik ki, sıfıra vuranda həmişə sıfır alırıq. Elə bir ədəd yoxdur ki, onu sıfıra vuranda sıfırdan başqa bir şey verir.

Sıfıra bölmənin qeyri-mümkün və ya qadağan olduğunu deyəndə, belə bölmənin nəticəsinə uyğun gələn ədədin olmadığını nəzərdə tuturlar (sıfıra bölmək olar, amma bölmək olmaz :)).

Niyə məktəbdə deyirlər ki, sıfıra bölmək olmaz?

Buna görə də tərifi a-nın b-yə bölünməsi əməliyyatı dərhal b ≠ 0 olduğunu vurğulayır.

Əgər yuxarıda yazılan hər şey sizə çox mürəkkəb görünürdüsə, sadəcə cəhd edin: 8-i 2-yə bölmək, 8-i əldə etmək üçün neçə iki almalı olduğunuzu tapmaq deməkdir (cavab: 4). 18-i 3-ə bölmək, 18-i əldə etmək üçün neçə üçlük götürməli olduğunuzu tapmaq deməkdir (cavab: 6).

6-nı sıfıra bölmək, 6-nı əldə etmək üçün neçə sıfır götürməli olduğunuzu tapmaq deməkdir. Nə qədər sıfır alsanız da, yenə də sıfır alacaqsınız, amma heç vaxt 6-nı əldə etməyəcəksiniz, yəni sıfıra bölmə qeyri-müəyyəndir.

Android kalkulyatorunda rəqəmi sıfıra bölməyə çalışsanız, maraqlı nəticə əldə edilir. Ekranda ∞ (sonsuzluq) (və ya bölünürsə - ∞) göstərilir mənfi rəqəm). Bu nəticə∞ rəqəmi olmadığı üçün səhvdir. Göründüyü kimi, proqramçılar tamamilə fərqli əməliyyatları - ədədlərin bölünməsi və həddi tapmağı qarışdırdılar nömrə ardıcıllığı n/x, burada x → 0. Sıfırı sıfıra böldükdə NaN (Nömrə deyil) yazılacaq.

"Sıfıra bölmək olmaz!" - Əksər məktəblilər bu qaydanı sual vermədən əzbər öyrənirlər. Bütün uşaqlar “bacarmazsan”ın nə olduğunu bilir və ona cavab olaraq “Niyə?” deyə soruşsanız nə baş verəcək. Amma əslində bunun niyə mümkün olmadığını bilmək çox maraqlı və vacibdir.

İş ondadır ki, hesabın dörd əməliyyatı - toplama, çıxma, vurma və bölmə - əslində qeyri-bərabərdir. Riyaziyyatçılar onlardan yalnız ikisini etibarlı hesab edirlər: toplama və vurma. Bu əməliyyatlar və onların xassələri ədəd anlayışının tərifinə daxildir. Bütün digər hərəkətlər bu və ya digər şəkildə bu ikisindən qurulur.

Məsələn, çıxma əməliyyatını nəzərdən keçirək. Nə deməkdir 5 - 3 ? Tələbə buna sadə cavab verəcək: beş obyekt götürməli, onlardan üçünü götürməli (çıxarmalı) və neçəsinin qaldığını görməlisiniz. Amma riyaziyyatçılar bu problemə tamam başqa cür baxırlar. Çıxarma yoxdur, yalnız toplama var. Buna görə də giriş 5 - 3 nömrəyə əlavə olunduqda o nömrə deməkdir 3 nömrə verəcək 5 . Yəni 5 - 3 tənliyin sadəcə qısa versiyasıdır: x + 3 = 5. Bu tənlikdə çıxma yoxdur.

Sıfıra bölmə

Yalnız bir vəzifə var - uyğun bir nömrə tapmaq.

Eyni şey vurma və bölməyə də aiddir. Qeyd 8: 4 səkkiz obyektin dörd bərabər yığına bölünməsinin nəticəsi kimi başa düşülə bilər. Amma əslində bu, tənliyin sadəcə qısaldılmış formasıdır 4 x = 8.

Sıfıra bölünməyin niyə qeyri-mümkün (daha doğrusu qeyri-mümkün) olduğu burada aydın olur. Qeyd 5: 0 üçün abreviaturadır 0 x = 5. Yəni, bu vəzifə vurulduqda bir ədəd tapmaqdır 0 verəcəyəm 5 . Amma biz bunu çoxaldıqda bilirik 0 həmişə nəticə verir 0 . Bu, onun tərifinin bir hissəsi olan sıfırın xas xüsusiyyətidir.

Elə bir ədəd ki, vurulduqda 0 sıfırdan başqa bir şey verəcək, sadəcə mövcud deyil. Yəni bizim problemimizin həlli yoxdur. (Bəli, belə olur; hər problemin həlli yoxdur.) Yəni qeydlər 5: 0 heç bir konkret rəqəmə uyğun gəlmir və sadəcə olaraq heç nə demək deyil və buna görə də heç bir mənası yoxdur. Bu girişin mənasızlığı qısaca olaraq sıfıra bölmək olmaz deyərək ifadə edilir.

Bu yerdəki ən diqqətli oxucular mütləq soruşacaqlar: sıfırı sıfıra bölmək mümkündürmü?

Həqiqətən, tənlik 0 x = 0 uğurla həll edilmişdir. Məsələn, götürə bilərsiniz x = 0, sonra alırıq 0 0 = 0. Çıxır 0: 0=0 ? Ancaq tələsməyək. almağa çalışaq x = 1. alırıq 0 1 = 0. Düzdür? O deməkdir ki, 0: 0 = 1 ? Amma istənilən nömrəni götürüb əldə edə bilərsiniz 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 və s.

Ancaq hər hansı bir nömrə uyğundursa, onlardan birini seçmək üçün heç bir səbəbimiz yoxdur. Yəni girişin hansı nömrəyə uyğun olduğunu deyə bilmərik 0: 0 . Əgər belədirsə, onda bu girişin də heç bir mənası olmadığını etiraf etmək məcburiyyətindəyik. Belə çıxır ki, hətta sıfırı da sıfıra bölmək olmaz. (Riyazi analizdə problemin əlavə şərtlərinə görə tənliyin mümkün həll yollarından birinə üstünlük verilə biləcəyi hallar var. 0 x = 0; Belə hallarda riyaziyyatçılar “qeyri-müəyyənliyin açılmasından” danışırlar, lakin hesabda belə hallar baş vermir.)

Bölmə əməliyyatının özəlliyi də budur. Daha dəqiq desək, vurma əməliyyatı və onunla əlaqəli ədəd sıfıra bərabərdir.

Yaxşı, ən vasvası olanlar bura qədər oxuyub soruşa bilərlər: niyə sıfıra bölmək olmur, amma sıfırı çıxara bilirsən? Müəyyən mənada əsl riyaziyyat buradan başlayır. Siz buna ancaq ədədi çoxluqların formal riyazi tərifləri və onlar üzərində əməliyyatlar ilə tanış olmaqla cavab verə bilərsiniz. O qədər də çətin deyil, amma nədənsə məktəbdə öyrədilmir. Amma universitetdə riyaziyyat mühazirələrində sizə ilk növbədə bu öyrədiləcək.

Bölmə funksiyası bölənin sıfır olduğu diapazon üçün müəyyən edilməyib. Bölmək olar, amma nəticə dəqiq deyil

Sıfıra bölmək olmaz. Orta məktəb 2 sinif riyaziyyat.

Əgər yaddaşım mənə düzgün xidmət edirsə, onda sıfır sonsuz kiçik dəyər kimi göstərilə bilər, deməli, sonsuzluq olacaq. Və məktəb "sıfır - heç bir şey" sadəcə bir sadələşdirmədir; məktəb riyaziyyatında bunlar çoxdur). Ancaq onlarsız mümkün deyil, hər şey vaxtında olacaq.

Cavab yazmaq üçün daxil olun

Sıfıra bölmə

-dən əmsal sıfıra bölmək sıfırdan başqa heç bir rəqəm yoxdur.

Burada əsaslandırma belədir: çünki bu halda heç bir ədəd bölmənin tərifini təmin edə bilməz.

Məsələn, yazaq,

Hansı nömrəni sınadığınızdan asılı olmayaraq (məsələn, 2, 3, 7) uyğun deyil, çünki:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

0-a bölsəniz nə olar?

və s., lakin məhsulda 2,3,7 almaq lazımdır.

Sıfırdan fərqli bir ədədi sıfıra bölmək məsələsinin həlli olmadığını deyə bilərik. Bununla belə, sıfırdan başqa bir ədədi istədiyiniz kimi sıfıra yaxın bir ədədə bölmək olar və bölən sıfıra nə qədər yaxın olarsa, bölmə bir o qədər böyük olar. Beləliklə, 7-ni bölsək

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

onda limitsiz artan 70, 700, 7000, 70 000 və s. nisbətləri alırıq.

Buna görə də tez-tez 7-nin 0-a bölünməsinin "sonsuz böyük" və ya "sonsuzluğa bərabər olduğunu" söyləyirlər və yazırlar

\[ 7: 0 = \infin \]

Bu ifadənin mənası budur ki, əgər bölən sıfıra yaxınlaşırsa və dividend 7-yə bərabər qalırsa (yaxud 7-yə yaxınlaşır), onda bölmə məhdudiyyətsiz artır.

Çox vaxt bir çox insan maraqlanır ki, niyə sıfıra bölmədən istifadə etmək olmaz? Bu yazıda bu qaydanın haradan gəldiyi, həmçinin sıfır ilə hansı hərəkətlərin edilə biləcəyi barədə ətraflı danışacağıq.

ilə təmasda

Sıfırı ən çox adlandırmaq olar maraqlı rəqəmlər. Bu rəqəmin heç bir mənası yoxdur, sözün əsl mənasında boşluq deməkdir. Ancaq hər hansı bir rəqəmin yanında sıfır qoyularsa, bu rəqəmin dəyəri bir neçə dəfə artacaqdır.

Nömrənin özü çox sirlidir. Yenidən istifadə etdim qədim insanlar Mayya. Mayyalılar üçün sıfır “başlanğıc” və saymaq deməkdir təqvim günləri həm də sıfırdan başladı.

Çox maraqlı fakt sıfır işarəsi ilə qeyri-müəyyənlik işarəsinin oxşar olmasıdır. Bununla Mayyalılar sıfırın qeyri-müəyyənliklə eyni işarə olduğunu göstərmək istəyirdilər. Avropada sıfır təyinatı nisbətən yaxınlarda ortaya çıxdı.

Bir çox insanlar sıfırla əlaqəli qadağanı da bilirlər. Bunu hər kəs deyəcək Sıfıra bölmək olmaz. Bunu məktəbdə müəllimlər deyir və uşaqlar adətən onların sözünü qəbul edirlər. Adətən uşaqlar ya bunu bilməkdə maraqlı deyillər, ya da vacib bir qadağa eşidəndə dərhal “Niyə sıfıra bölə bilmirsən?” deyə soruşsalar nə olacağını bilirlər. Amma yaşlandıqca maraq oyanır və bu qadağanın səbəbləri haqqında daha çox bilmək istəyirsən. Bununla belə, ağlabatan sübutlar var.

Sıfırla hərəkətlər

Əvvəlcə sıfırla hansı hərəkətlərin edilə biləcəyini müəyyənləşdirməlisiniz. Mövcuddur bir neçə növ hərəkət:

• Əlavə;
• çarpma;
• Çıxarma;
• Bölmə (sayıya görə sıfır);
• Eksponentasiya.

Vacibdir!Əgər toplama zamanı hər hansı bir ədədə sıfır əlavə etsəniz, bu rəqəm eyni qalacaq və onun ədədi dəyərini dəyişməyəcək. Hər hansı bir ədəddən sıfırı çıxarsanız, eyni şey baş verir.

Çoxaldıqda və böldükdə şeylər bir az fərqlidir. Əgər istənilən ədədi sıfıra vurun, onda məhsul da sıfır olacaq.

Bir misala baxaq:

Bunu əlavə olaraq yazaq:

Cəmi beş sıfır var, belə çıxır ki

Gəlin bir sıfıra vurmağa çalışaq. Nəticə də sıfır olacaq.

Sıfırı ona bərabər olmayan hər hansı digər ədədə də bölmək olar. Bu halda, nəticə olacaq, dəyəri də sıfır olacaq. Eyni qayda mənfi ədədlərə də aiddir. Sıfır mənfi ədədə bölünürsə, nəticə sıfırdır.

Siz həmçinin istənilən nömrəni yarada bilərsiniz sıfır dərəcəyə qədər. Bu halda nəticə 1 olacaq. “Sıfırdan sıfıra qədər” ifadəsinin tamamilə mənasız olduğunu xatırlamaq lazımdır. Sıfırı istənilən gücə yüksəltməyə çalışsanız, sıfır alırsınız. Misal:

Biz vurma qaydasından istifadə edirik və 0 alırıq.

Yəni sıfıra bölmək olarmı?

Beləliklə, biz əsas suala gəlirik. Sıfıra bölmək mümkündürmü? bütün? Sıfır olan bütün digər hərəkətlərin mövcud olduğunu və tətbiq edildiyini nəzərə alsaq, niyə biz bir ədədi sıfıra bölə bilmirik? Bu suala cavab vermək üçün ali riyaziyyata müraciət etmək lazımdır.

Konseptin tərifindən başlayaq, sıfır nədir? Məktəb müəllimləri deyir ki, sıfır heç nə deyil. Boşluq. Yəni 0 qulplu olduğunu deyəndə, demək ki, heç tutacaq da yoxdur.

Ali riyaziyyatda “sıfır” anlayışı daha genişdir. Bu heç də boşluq demək deyil. Burada sıfır qeyri-müəyyənlik adlanır, çünki bir az araşdırma etsək, sıfırı sıfıra böldükdə nəticədə hər hansı başqa bir ədəd çıxa bilərik, bu da mütləq sıfır olmaya bilər.

Məktəbdə oxuduğunuz o sadə hesab əməliyyatlarının bir-birinə o qədər də bərabər olmadığını bilirdinizmi? Ən əsas hərəkətlər bunlardır toplama və vurma.

Riyaziyyatçılar üçün “” və “çıxma” anlayışları mövcud deyil. Deyək: beşdən üçü çıxarsan, ikisi qalacaq. Çıxarma belə görünür. Ancaq riyaziyyatçılar bunu belə yazacaqlar:

Beləliklə, məlum olur ki, naməlum fərq 5-i əldə etmək üçün 3-ə əlavə edilməli olan müəyyən bir ədəddir. Yəni, heç nəyi çıxarmaq lazım deyil, sadəcə uyğun rəqəmi tapmaq lazımdır. Bu qayda əlavəyə aiddir.

ilə işlər bir az fərqlidir vurma və bölmə qaydalarını. Məlumdur ki, sıfıra vurma sıfır nəticəyə gətirib çıxarır. Məsələn, 3:0=x olarsa, girişi tərsinə çevirsəniz, 3*x=0 alırsınız. Və 0-a vurulan bir ədəd məhsulda sıfır verəcəkdir. Belə çıxır ki, sıfır olan məhsulda sıfırdan başqa heç bir dəyər verəcək rəqəm yoxdur. Bu o deməkdir ki, sıfıra bölmək mənasızdır, yəni bizim qaydamıza uyğundur.

Bəs sıfırı özü ilə bölməyə çalışsanız nə olacaq? Bəzi qeyri-müəyyən ədədi x kimi götürək. Nəticədə alınan tənlik 0*x=0-dır. Bunu həll etmək olar.

Əgər x əvəzinə sıfır almağa çalışsaq, 0:0=0 alacağıq. Məntiqli görünür? Ancaq x əvəzinə hər hansı başqa bir ədəd, məsələn, 1 götürməyə çalışsaq, nəticədə 0:0=1 olar. Hər hansı başqa bir nömrə götürsək və eyni vəziyyət yaranacaq onu tənliyə daxil edin.

Bu halda belə çıxır ki, amil kimi istənilən başqa rəqəmi götürə bilərik. Nəticə sonsuz sayda olacaq müxtəlif nömrələr. Bəzən ali riyaziyyatda 0-a bölmə hələ də məna kəsb edir, lakin sonra adətən müəyyən bir şərt yaranır, bunun sayəsində hələ də bir uyğun nömrə seçə bilərik. Bu hərəkət "qeyri-müəyyənliyin açıqlanması" adlanır. Adi arifmetikada sıfıra bölmək yenidən mənasını itirəcək, çünki çoxluqdan bir ədəd seçə bilməyəcəyik.

Vacibdir! Sıfırı sıfıra bölmək olmaz.

Sıfır və sonsuzluq

Sonsuzluğa ali riyaziyyatda çox rast gəlinir. Məktəblilərin sonsuzluqla riyazi əməliyyatların da olduğunu bilməsi sadəcə vacib olmadığı üçün müəllimlər uşaqlara niyə sıfıra bölməyin mümkün olmadığını düzgün izah edə bilmirlər.

Tələbələr əsas riyazi sirləri yalnız institutun birinci kursunda öyrənməyə başlayırlar. Ali riyaziyyat həlli olmayan böyük bir problem kompleksini təmin edir. Ən məşhur problemlər sonsuzluq problemləridir. Onlardan istifadə etməklə həll etmək olar riyazi analiz.

Sonsuzluğa da tətbiq edilə bilər elementar riyazi əməliyyatlar:əlavə, ədədə vurma. Adətən onlar toplama və bölmədən də istifadə edirlər, lakin sonda yenə də iki sadə əməliyyata gəlirlər.